위토프 구성
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1. 개요
위토프 구성은 구면에서 구면 삼각형을 사용하여 타일링하는 방식으로, 슈바르츠 삼각형과 관련이 있다. 이 방법은 만화경과 유사하게 삼각형의 변에 세 개의 거울을 배치하지만, 거울이 한 점에서 교차하는 차이점이 있다. 구면 삼각형의 각도를 적절히 조절하면, 구면 삼각형 내 꼭짓점의 위치에 따라 다양한 다면체를 생성할 수 있으며, 4차원 고른 4-다포체를 포함한 고차원의 정다포체에도 적용된다. 위토프 구성을 통해 만들 수 없는 고른 다포체는 비-위토프 구성으로, 교대나 부분적인 형태의 교대 층을 삽입하여 파생된다.
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| 위토프 구성 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 유형 | 기하학적 구성 방법 |
| 목적 | 균일한 다면체 또는 평면 테셀레이션 구성 |
| 역사 및 배경 | |
| 고안자 | 빌럼 아브라함 위토프 |
| 발표 연도 | 1918년 |
| 관련 개념 | 콕서터 다이어그램, 슈플리 기호 |
| 구성 원리 | |
| 기본 도형 | 반사 대칭을 가진 다각형 또는 테셀레이션 |
| 생성 방법 | 기본 도형의 거울상들을 특정 규칙에 따라 결합 |
| 파생 도형 | 다양한 종류의 균일한 다면체 및 테셀레이션 |
| 기호 체계 | |
| 일반적인 형태 | p | q r (다면체), p q r (테셀레이션) |
| 변형 기호 | s | p q (스너브), t | p q r (깎은 형태) |
| 의미 | 'p', 'q', 'r'은 각 거울에 대한 반사 횟수를 나타냄 |
| 활용 예시 | |
| 다면체 | 깎은 정육면체, 깎은 정십이면체 등 |
| 평면 테셀레이션 | 정육각형 테셀레이션, 아치미데스 테셀레이션 등 |
| 수학적 의미 | |
| 대칭 그룹 | 다면체의 대칭 그룹 또는 테셀레이션의 벽지 그룹 |
| 생성원 | 거울 반사 |
| 관계 | 생성원 간의 관계를 나타내는 기호 |
| 추가 정보 | |
| 관련 용어 | 정다면체, 준정다면체, 균일한 다면체 |
| 응용 분야 | 결정학, 건축학, 컴퓨터 그래픽스 |
2. 구성 과정
위토프 구성법은 구면에서 구면 삼각형으로 타일링을 하는 방식에서 출발했다. 이는 슈바르츠 삼각형과 관련이 있다. 이 구성은 만화경처럼 삼각형의 변에 세 개의 거울을 배열한다. 하지만 만화경과 달리 이 거울들은 평행하지 않고 한 점에서 교차한다. 따라서 이 거울들은 그 점을 중심으로 갖는 구의 표면을 구면 삼각형으로 둘러싸고, 반사가 반복되면서 삼각형의 복사본을 만든다. 구면 삼각형의 각이 적절히 정해졌다면, 이 삼각형들은 구를 한 번 이상 둘러싼다.
거울로 둘러싸인 구면 삼각형 안에 꼭짓점을 적절한 위치에 놓으면, 그 점의 반사는 고른 다면체를 만들어 낸다. 구면 삼각형 ''ABC''에 대해서 고른 다면체를 만들어낼 네 가지 가능성이 있다.
- 꼭짓점이 점 ''A''에 놓였을 때. 이것은 위토프 기호가 ''a''|''b'' ''c''인 다면체를 만들어 내고, 이 때 ''a''는 π를 점 ''A''의 각으로 나눈 값이며, ''b''와 ''c''도 동일하다.
- 꼭짓점이 선 ''AB''에 놓여서 ''C''의 각을 이등분할 때. 이는 위토프 기호가 ''a'' ''b''|''c''인 다면체를 만들어 낸다.
- 꼭짓점이 ''ABC''의 내심에 놓여있을 때. 이것은 위토프 기호가 ''a'' ''b'' ''c''|인 다면체를 만들어 낸다.
- 꼭짓점이 어떤 점에 놓여서, 삼각형의 한 꼭짓점을 주위로 그 각의 두 배만큼 회전시켰을 때, 모든 각에 대해서 원래 점과 같은 거리만큼 떨어져 있다. 원래 꼭짓점의 짝수번 반사된 것만 사용한다. 그 다면체의 위토프 기호는 |''a'' ''b'' ''c''이다.
이 과정은 일반적으로 4차원의 고른 4-다포체를 포함한 고차원의 정다포체에 적용된다.
  육각기둥은 (6 2 2)와 (3 2 2)족 둘 다에서 구성된다. |
  깎은 정사각형 타일링은 (4 4 2)족의 다른 두 대칭점에서 구성된다. |
2. 1. 거울 대칭
이것은 구면에서 구면 삼각형으로 타일링을 하는 생각에서 기반했다. 슈바르츠 삼각형을 참고하라. 이 구성은 세 개의 거울을 만화경처럼 삼각형의 변에다가 배열한다. 하지만 만화경과 다른 점은 이 거울들은 평행하지 않고 한 점에서 교차한다. 따라서 이것들은 그 점을 중심으로 갖는 아무 구의 구면의 구면 삼각형을 둘러싸고, 반사가 반복되어서 삼각형의 복사본을 만든다. 구면 삼각형의 각이 적절히 정해졌다면, 삼각형들은 구를 한번 이상 둘러싼다.육각 기둥은 (6 2 2) 및 (3 2 2) 계열에서 모두 구성됩니다. | 절단된 정사각형 타일링은 (4 4 2) 계열의 두 가지 다른 대칭 위치로 구성됩니다. |  뷔토프 패턴 pq2| = 432|.  전체 팔면체군의 작용 하에 위 뷔토프 패턴의 궤도. |
2. 2. 꼭짓점 배치
이것은 구면에서 구면 삼각형으로 타일링을 하는 생각에서 기반했다. 슈바르츠 삼각형을 보라. 이 구성은 세 개의 거울을 만화경처럼 삼각형의 변에다가 배열한다. 하지만 만화경과 다른 점은 이 거울들은 평행하지 않고 한 점에서 교차한다. 따라서 이것들은 그 점을 중심으로 갖는 아무 구의 구면의 구면 삼각형을 둘러싸고, 반사가 반복되어서 삼각형의 복사본을 만든다. 구면 삼각형의 각이 적절히 정해졌다면, 삼각형들은 구를 한번 이상 둘러싼다.거울로 둘러싸진 구면 삼각형 안에 꼭짓점을 적절한 위치에 놓는다면, 그 점의 반사는 고른 다면체를 만들어 낼 것이다. 구면 삼각형 ''ABC''에 대해서 우리는 고른 다면체를 만들어낼 네 가지 가능성이 있다:
# 꼭짓점이 점 ''A''에 놓였을 때. 이것은 위토프 기호가 ''a''|''b'' ''c''인 다면체를 만들어 낼 것이고, 이 때 ''a''는 π를 점 ''A''의 각으로 나눈 값이며, ''b''와 ''c''도 동일하다.
# 꼭짓점이 선 ''AB''에 놓여서 ''C''의 각을 이등분할 때. 이는 위토프 기호가 ''a'' ''b''|''c''인 다면체를 만들어 낼 것이다.
# 꼭짓점이 ''ABC''의 내심에 놓여있을 때. 이것은 위토프 기호가 ''a'' ''b'' ''c''|인 다면체를 만들어 낼 것이다.
# 꼭짓점이 어떤 점에 놓여서 삼각형의 한 꼭짓점을 주위로 그 각의 두 배만큼 회전시켰을 때, 모든 각에 대해서 원래 점과 같은 거리만큼 떨어져 있다. 원래의 꼭짓점이 짝수번 반사된 것만을 사용한다. 그 다면체의 위토프 기호는 |''a'' ''b'' ''c''이다.
이 과정은 일반적으로 4차원의 고른 4-다포체를 포함한 고차원의 정다포체에 적용된다.
육각기둥은 (6 2 2)와 (3 2 2)족 둘 다에서 구성된다. |   깎은 정사각형 타일링은 (4 4 2)족의 다른 두 대칭점에서 구성된다. |
2. 2. 1. 위토프 기호 ''a''|''b'' ''c''
이 구성은 구면에서 구면 삼각형으로 타일링을 하는 개념에서 기반했다. 슈바르츠 삼각형을 참고하라. 이 구성은 세 개의 거울을 만화경처럼 삼각형의 변에다가 배열한다. 하지만 만화경과 다른 점은 이 거울들은 평행하지 않고 한 점에서 교차한다. 따라서 이것들은 그 점을 중심으로 갖는 임의의 구의 구면의 구면 삼각형을 둘러싸고, 반사가 반복되어서 삼각형의 복사본을 만든다. 구면 삼각형의 각이 적절히 정해졌다면, 삼각형들은 구를 한 번 이상 둘러싼다.거울로 둘러싸진 구면 삼각형 안에 꼭짓점을 적절한 위치에 놓는다면, 그 점의 반사는 고른 다면체를 만들어 낼 것이다. 구면 삼각형 ''ABC''에 대해서 고른 다면체를 만들어낼 네 가지 가능성이 있는데 그중 첫번째 경우이다.
- 꼭짓점이 점 ''A''에 놓였을 때. 이것은 위토프 기호가 ''a''|''b'' ''c''인 다면체를 만들어 낼 것이고, 이 때 ''a''는 π를 점 ''A''의 각으로 나눈 값이며, ''b''와 ''c''도 동일하다.
2. 2. 2. 위토프 기호 ''a'' ''b''|''c''
꼭짓점이 선 ''AB''에 놓여서 ''C''의 각을 이등분할 때, 이는 위토프 기호가 ''a'' ''b''|''c''인 다면체를 만들어 낸다.2. 2. 3. 위토프 기호 ''a'' ''b'' ''c''|
꼭짓점이 ''ABC''의 내심에 놓여있을 때, 위토프 기호가 ''a'' ''b'' ''c''|인 다면체를 만들어 낸다.2. 2. 4. 위토프 기호 |''a'' ''b'' ''c''
꼭짓점이 어떤 점에 놓여서, 삼각형의 한 꼭짓점을 주위로 그 각의 두 배만큼 회전시켰을 때, 모든 각에 대해서 원래 점과 같은 거리만큼 떨어져 있다. 원래 꼭짓점의 짝수번 반사된 것만 사용한다.2. 3. 고차원 확장
이 과정은 일반적으로 4차원의 고른 4-다포체를 포함한 고차원의 정다포체에도 적용된다. 이 구성은 타일링의 아이디어를 기반으로 하며, 구면에서 구면 삼각형 (슈바르츠 삼각형)을 사용한다. 세 개의 거울은 만화경처럼 삼각형의 변에 배열되지만, 만화경과 달리 거울은 평행하지 않고 한 점에서 교차한다. 거울들은 그 점을 중심으로 갖는 구의 구면 삼각형을 둘러싸고, 반사가 반복되어 삼각형의 복사본을 만든다. 구면 삼각형의 각이 적절히 정해졌다면, 삼각형들은 구를 한 번 이상 둘러싼다.거울로 둘러싸인 구면 삼각형 안에 꼭짓점을 적절한 위치에 놓으면, 그 점의 반사는 고른 다면체를 만들어 낸다. 구면 삼각형 ''ABC''에 대해서 고른 다면체를 만들어낼 네 가지 가능성이 있다.
육각기둥은 (6 2 2)와 (3 2 2)족 둘 다에서 구성된다. |
깎은 정사각형 타일링은 (4 4 2)족의 다른 두 대칭점에서 구성된다. |
| 뷔토프 패턴 pq2| = 432|. 전체 팔면체군의 작용 하에 위 뷔토프 패턴의 궤도. |
위토프 거울 구성을 통해서 만들 수 없는 고른 다포체들은 비-위토프(non-Wythoffian)라고 한다. 이들은 일반적으로 위토프 구성에서 교대(하나 건너뛴 꼭짓점을 삭제)나 부분적인 형태의 교대 층을 삽입함으로써 파생될 수 있다. 이 두 종류의 형태은 모두 회전 대칭을 포함한다. 종종 다듬은 형태는 부풀려 깎은 형태의 교대를 통해서만 생성 할 수 있어도, 위토프 구성으로 고려된다.
3. 비-위토프 구성
엇육각기둥은 십이각기둥의 교대로 생성된다.
늘린 삼각형 타일링은 정사각형 타일링과 정삼각형 타일링의 열로 층을 쌓아서 생성된다.
큰 이중마름모이십십이면체는 유일한 비-위토프 고른 다면체이다.
3. 1. 생성 방법
위토프 거울 구성을 통해서 만들 수 없는 고른 다포체들은 비-위토프(non-Wythoffian)라고 한다. 이들은 일반적으로 위토프 구성에서 교대(하나 건너뛴 꼭짓점을 삭제)나 부분적인 형태의 교대 층을 삽입함으로써 파생될 수 있다. 이 두 종류의 형태은 모두 회전 대칭을 포함한다. 종종 다듬은 형태는 부풀려 깎은 형태의 교대를 통해서만 생성 할 수 있어도, 위토프 구성으로 고려된다.
| 은 십이각기둥의 교대로 생성된다. |
| 은 정사각형 타일링과 정삼각형 타일링의 열로 층을 쌓아서 생성된다. |
| 는 유일한 비-위토프 고른 다면체이다. |
4. 구성 예시
4. 1. 위토프 구성 예시
육각기둥은 (6 2 2) 및 (3 2 2) 족 둘 다에서 구성된다.
깎은 정사각형 타일링은 (4 4 2)족의 다른 두 대칭점에서 구성된다.
뷔토프 패턴 pq2| = 432|.
전체 팔면체군의 작용 하에 위 뷔토프 패턴의 궤도.
4. 2. 비-위토프 구성 예시
엇육각기둥은 십이각기둥의 교대로 생성된다. 늘린 삼각형 타일링은 정사각형 타일링과 정삼각형 타일링의 열로 층을 쌓아서 생성된다. 큰 이중마름모이십십이면체는 유일한 비-위토프 고른 다면체이다.
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