마름모구십면체
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1. 개요
마름모구십면체는 깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 각뿔을 붙여 만들 수 있는 다면체이다. 넓은 마름모 60개와 좁은 마름모 30개로 구성되며, 넓은 마름모는 마름모 십이면체와 동일한 형태를 가진다. 좁은 마름모는 황금비의 제곱과 관련된 대각선 비율을 갖는다. 마름모구십면체의 최적 충전율은 약 0.7947이다.
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| 마름모구십면체 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 종류 | 존슨 다면체 |
| 면 | 90개 마름모 (60개 넓은 마름모, 30개 좁은 마름모) |
| 모서리 | 180개 (60+120) |
| 꼭짓점 | 92개 (12+20+60) |
| 꼭짓점 배열 | , 4, 4}} |
| 콘웨이 표기법 | PolyHédronisme |
| 대칭군 | ]], [5,3], *532}} |
| 쌍대 | 깎은 정이십면체 |
| 성질 | 볼록 |
| 전개도 | Rhombic enneacontahedron flat.png |
2. 구성
마름모구십면체는 깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 각뿔을 붙이고, 이각이 0이 되도록 높이를 조절하여 만들 수 있다. 이때, 두 종류의 각뿔 옆면 모서리 길이가 같도록 하면 마름모구십면체가 된다. 이러한 구조는 Conway 다면체 표기법에서 결합 연산자 'j'를 사용하여 ''jtI''로 표현한다.
2. 1. 깎은 정이십면체와의 관계
깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 각뿔을 붙이고, 이각이 0이 되도록 높이를 조절하여 마름모구십면체를 만들 수 있다. Conway 다면체 표기법으로는 jtI로 표현된다.2. 2. 마름모의 형태
마름모구십면체는 깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 피라미드를 붙이고 이각이 0이 되도록 높이를 조절하여, 두 종류의 피라미드 옆면 모서리가 길이가 같도록 만든 비균일 도형으로 볼 수 있다. 이러한 구조는 Conway 다면체 표기법에서 결합 연산자 ''j''를 사용하여 ''jtI''로 표현된다. 모서리 길이 같음 제약 조건이 없으면 넓은 마름모는 연이 되며, 정이십면체 대칭으로만 제한된다.로이드 칸(Lloyd Kahn)의 ''Domebook 2''에서는 '''마름모구십면체'''라고도 불린다.
2. 2. 1. 넓은 마름모
마름모구십면체의 60개의 넓은 마름모 면은 마름모 십이면체와 동일하며, 대각선의 비율은 1: 제곱근 2(백은비)이다. 이 마름모의 면각은 약 70.528°와 109.471°이다.2. 2. 2. 좁은 마름모
30개의 좁은 마름모 면의 꼭짓각은 41.810°와 138.189°이며, 대각선의 비율은 1: φ2(황금비의 제곱)이다.3. 성질
마름모구십면체는 마름모십이면체 내부에 포함되어 있으며, 내접구는 마름모구십면체의 내접구와 같다.
3. 1. 밀도
마름모구십면체의 최적 충전율은 다음과 같다.:.
이 최적값은 브라베 격자에서 얻어지는 것으로 밝혀졌다. 마름모구십면체는 마름모십이면체 내부에 포함되어 있으며, 그 내접구는 마름모구십면체의 내접구와 동일하므로, 최적 충전율 값은 케플러 추측의 귀결이다. 즉, 마름모 십이면체 벌집의 각 세포에 깎은 정육면체를 배치함으로써 얻을 수 있으며, 이를 초과할 수 없다. 그렇지 않으면 이를 초과하는 가상의 채움에서 각 깎은 정육면체에 구를 배치함으로써 구의 최적 채움 밀도를 초과할 수 있기 때문이다.
4. 관련 다면체
마름모구십면체는 깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 피라미드를 붙이고 이각이 0이 되도록 높이를 조절하며, 두 종류의 피라미드 옆면 모서리가 길이가 같도록 한 비균일 도형으로 볼 수도 있다. 이러한 구조는 Conway 다면체 표기법에서 결합 연산자 ''j''를 사용하여 ''jtI''로 표현된다. 모서리 길이 같음 제약 조건이 없으면 넓은 마름모는 연이 되며, 정이십면체 대칭으로만 제한된다.
마름모구십면체의 60개의 넓은 마름모 면은 마름모 십이면체와 동일하며, 대각선의 비율은 1 대 제곱근 2이다. 이 마름모의 면각은 약 70.528°와 109.471°이다. 30개의 좁은 마름모 면의 면 꼭지각은 41.810°와 138.189°이며, 대각선의 비율은 1 대 φ2이다.
로이드 칸의 ''Domebook 2''에서는 '''마름모구십면체'''라고도 불린다.
5. 같이 보기
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