이면각

2. 수학적 정의 및 계산

직교 좌표계에서 두 평면의 방정식을 통해 이면각을 계산할 수 있다. 평면 방정식과 법선 벡터를 이용하는 두 가지 방법이 있으며, 하위 섹션에서 자세히 설명한다. 공식에서는 절대값이 필요한데, 이는 방정식의 모든 계수 부호를 변경하거나 법선 벡터를 반대 벡터로 교체해도 평면이 바뀌지 않기 때문이다.^[1]

경계가 같은 선인 두 반평면의 이면각은 절대값을 사용하지 않고 계산한다. 이 경우 반평면은 교차점 $P$와 세 벡터 $\backslash mathbf\{b\}\_0$, $\backslash mathbf\{b\}\_1$, $\backslash mathbf\{b\}\_2$로 표현할 수 있다. $P\; +\; \backslash mathbf\{b\}\_0$, $P\; +\; \backslash mathbf\{b\}\_1$, $P\; +\; \backslash mathbf\{b\}\_2$는 각각 교차선, 첫 번째 반평면, 두 번째 반평면에 속한다. 두 반평면의 이면각은 다음과 같이 정의된다.

:$$

\cos\varphi = \frac{ (\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_1) \cdot (\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_2)}

,

그리고 를 만족한다.

두 반평면을 서로 바꾸거나, $\backslash mathbf\; b\_0$을 $-\backslash mathbf\; b\_0$로 바꾸어도 결과는 같다. 화학에서는 $\backslash mathbf\; b\_0$을 $-\backslash mathbf\; b\_0$로 바꾸면 각도의 부호가 바뀌는 이면각을 정의하며, 이 각도는 $-\backslash pi$와 $\backslash pi$ 사이의 값을 가질 수 있다.

2. 1. 평면의 방정식으로 계산

직교 좌표계에서 두 평면의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$a\_1\; x\; +\; b\_1\; y\; +\; c\_1\; z\; +\; d\_1\; =\; 0$

:$a\_2\; x\; +\; b\_2\; y\; +\; c\_2\; z\; +\; d\_2\; =\; 0$

이때 두 평면 사이의 이면각 ''φ''는 다음과 같이 계산된다.^[1]

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{a\_1\; a\_2\; +\; b\_1\; b\_2\; +\; c\_1\; c\_2\}\{\backslash sqrt\{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2\}\backslash sqrt\{a\_2^2+b\_2^2+c\_2^2\}\}.$

또는, '''n'''_A와 '''n'''_B가 평면에 대한 법선 벡터라면, 다음이 성립한다.^[1]

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\; \backslash left\backslash vert\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}\backslash right\backslash vert\}$

여기서 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}$는 벡터의 내적이고, $|\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; |\; |\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}|$는 각 벡터 길이의 곱이다.

2. 2. 법선 벡터로 계산

직교 좌표계에서 두 평면의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$a\_1\; x\; +\; b\_1\; y\; +\; c\_1\; z\; +\; d\_1\; =\; 0$

:$a\_2\; x\; +\; b\_2\; y\; +\; c\_2\; z\; +\; d\_2\; =\; 0$

이때 두 평면 사이의 이면각 $\backslash varphi$는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\backslash left\backslash vert\; a\_1\; a\_2\; +\; b\_1\; b\_2\; +\; c\_1\; c\_2\; \backslash right\backslash vert\}\{\backslash sqrt\{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2\}\backslash sqrt\{a\_2^2+b\_2^2+c\_2^2\}\}$

그리고 $0\backslash le\; \backslash varphi\; \backslash le\; \backslash pi/2.$를 만족한다. 이 각도는 $d\_1$과 $d\_2$에 무관하다.

만약 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}$와 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}$가 각 평면의 법선 벡터라면, 다음이 성립한다.^[1]

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\; \backslash left\backslash vert\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}\backslash right\backslash vert\}$

여기서 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}$는 벡터의 내적이고, $|\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; |\; |\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}|$는 각 법선 벡터의 크기의 곱이다.

2. 3. 반평면으로 계산

직교 좌표계에서 평면의 방정식을 다음과 같이 두면

:$a\_1\; x\; +\; b\_1\; y\; +\; c\_1\; z\; +\; d\_1\; =\; 0$

:$a\_2\; x\; +\; b\_2\; y\; +\; c\_2\; z\; +\; d\_2\; =\; 0$

이면각 ''φ''는 다음과 같다.

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{a\_1\; a\_2\; +\; b\_1\; b\_2\; +\; c\_1\; c\_2\}\{\backslash sqrt\{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2\}\backslash sqrt\{a\_2^2+b\_2^2+c\_2^2\}\}.$

두 평면이 위와 같은 두 개의 방정식으로 표현될 때, 이들 사이의 이면각 $\backslash varphi$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\backslash left\backslash vert\; a\_1\; a\_2\; +\; b\_1\; b\_2\; +\; c\_1\; c\_2\; \backslash right\backslash vert\}\{\backslash sqrt\{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2\}\backslash sqrt\{a\_2^2+b\_2^2+c\_2^2\}\}$

그리고 $0\backslash le\; \backslash varphi\; \backslash le\; \backslash pi/2.$를 만족한다. 이 각도는 $d\_1$과 $d\_2$에 무관하다.

만약 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}$와 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}$가 평면에 대한 법선 벡터라면, 다음이 성립한다.

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\; \backslash left\backslash vert\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}\backslash right\backslash vert\}$

여기서 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}$는 벡터의 내적이고, $|\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; |\; |\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}|$는 그들의 길이의 곱이다.^[1]

경계가 같은 선인 두 반평면의 이면각을 고려할 때는 절대값을 피할 수 있으며, 피해야 한다. 이 경우, 반평면은 그들의 교차점 $P$와 세 개의 벡터 $\backslash mathbf\{b\}\_0$, $\backslash mathbf\{b\}\_1$ 및 $\backslash mathbf\{b\}\_2$로 설명할 수 있다. $P\; +\; \backslash mathbf\{b\}\_0$, $P\; +\; \backslash mathbf\{b\}\_1$ 및 $P\; +\; \backslash mathbf\{b\}\_2$는 각각 교차선, 첫 번째 반평면 및 두 번째 반평면에 속한다. 이 두 반평면의 이면각은 다음과 같이 정의된다.

:$$

\cos\varphi = \frac{ (\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_1) \cdot (\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_2)}

,

그리고 를 만족한다.

3. 과학에서의 활용

입체화학에서 세 원자가 이루는 면끼리의 이면각을 이용해 분자의 구조를 나타낸다. 단백질 구조를 나타내는 도표를 라마찬드란 조사구라고 한다.^[7]

화학에서 이면각은 두 개의 원자를 공유하는 두 쌍의 3개 원자를 지나는 면 사이의 각도이다.^[15] 입체화학에서 비틀림각은 화학 결합에 의해 연결된 분자의 두 부분의 기하학적 관계를 정의하는 이면각의 특별한 예시로, 분자의 배열을 나타내는 데 사용된다.^[4][5][6]

모서리 추이 다면체의 모든 이면각은 동일한 값을 갖는다. 여기에는 5개의 정다면체, 13개의 카탈랑의 다면체, 4개의 케플러-푸앵소 다면체, 두 개의 준정다면체, 그리고 두 개의 준정 이중 다면체가 포함된다.

3. 1. 고분자 물리학

고분자 물리학에서 이면각은 점들의 사슬과 연속적인 점들 사이의 연결을 통해 정의된다. 점들이 순차적으로 번호가 매겨지고 위치 '''r'''₁, '''r'''₂, '''r'''₃ 등에 위치해 있다면, 결합 벡터는 '''u'''₁ = '''r'''₂ − '''r'''₁, '''u'''₂ = '''r'''₃ − '''r'''₂, 및 더 일반적으로 '''u'''_i = '''r'''_i+1 − '''r'''_i로 정의된다.^[2] 이는 운동 사슬 또는 단백질 구조 내의 아미노산의 경우이다.

이러한 경우, 연속적인 세 점에 의해 정의된 반평면과 이러한 연속적인 반평면 사이의 이면각에 관심이 있다. 만약 '''u'''₁, '''u'''₂, '''u'''₃가 세 개의 연속적인 결합 벡터라면, 반평면의 교차는 방향이 지정되어 (−π, π] 구간에 속하는 이면각을 정의할 수 있다. 이 이면각은 다음과 같이 정의된다.^[3]

:$\backslash begin\{align\}$

\cos \varphi&=\frac{ (\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}

\\

\sin \varphi&=\frac{ \mathbf{u}_2 \cdot((\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \times (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3))}

,

\end{align}

또는, atan2 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash varphi=\backslash operatorname\{atan2\}(\backslash mathbf\{u\}\_2\; \backslash cdot((\backslash mathbf\{u\}\_1\; \backslash times\; \backslash mathbf\{u\}\_2)\; \backslash times\; (\backslash mathbf\{u\}\_2\; \backslash times\; \backslash mathbf\{u\}\_3)),\; |\backslash mathbf\{u\}\_2|\backslash ,(\backslash mathbf\{u\}\_1\; \backslash times\; \backslash mathbf\{u\}\_2)\; \backslash cdot\; (\backslash mathbf\{u\}\_2\; \backslash times\; \backslash mathbf\{u\}\_3)).$

이 이면각은 사슬의 방향(점들이 고려되는 순서)에 의존하지 않는다. 이 순서를 반전하는 것은 각 벡터를 반대 벡터로 바꾸고, 인덱스 1과 3을 교환하는 것으로 구성된다. 두 연산 모두 코사인을 변경하지 않지만 사인의 부호를 변경한다. 따라서 이들은 함께 각도를 변경하지 않는다.

동일한 이면각에 대한 더 간단한 공식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

\cos \varphi&=\frac{ (\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}

\\

\sin \varphi&=\frac{ |\mathbf{u}_2|\,\mathbf{u}_1 \cdot(\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}

,

\end{align}

또는 동등하게,

:$\backslash varphi=\backslash operatorname\{atan2\}($

|\mathbf{u}_2|\,\mathbf{u}_1 \cdot(\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3) ,

(\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)).

이는 벡터 사중 곱 공식과, 동일한 벡터를 두 번 포함하는 경우 스칼라 삼중 곱이 0이라는 사실을 사용하여 이전 공식에서 유추할 수 있다.

:$$

(\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2)\times(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3) = [(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3)\cdot\mathbf{u}_1]\mathbf{u}_2 - [(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3)\cdot\mathbf{u}_2]\mathbf{u}_1

= [(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3)\cdot\mathbf{u}_1]\mathbf{u}_2



외적의 정의에 따르면, 이는 $\backslash varphi$가 두 번째 원자에서 세 번째 원자로 축을 내려다볼 때, 첫 번째 원자에 비해 네 번째 원자의 시계 방향 각도임을 의미한다. 특수한 경우(일반적인 경우라고 할 수 있음)는 $\backslash varphi\; =\; \backslash pi$, $\backslash varphi\; =\; +\backslash pi/3$ 및 $\backslash varphi\; =\; -\backslash pi/3$이며, 이를 각각 "트랜스", "고슈⁺", "고슈⁻" 컨포메이션이라고 한다.

3. 2. 화학 (입체화학)

입체화학에서 비틀림각은 화학 결합으로 연결된 분자의 두 부분 간의 기하학적 관계를 설명하는 이면각의 특별한 예시이다.^[4][5] 분자 내의 세 개의 비공선 원자 집합은 각각 하나의 평면을 정의한다. 이면각은 두 평면 사이의 각도로, 분자의 배열을 나타내는 데 사용된다.^[6]

이면각에 따른 입체화학적 배열은 다음과 같이 분류된다.

• syn (s): 0°에서 ±90° 사이
• anti (a): ±90°에서 180° 사이
• clinal (c): 30°에서 150° 사이 또는 −30°에서 −150° 사이
• periplanar (p): 0°에서 ±30° 사이 또는 ±150°에서 180° 사이

이 용어들을 조합하여 각도 범위를 더 세분화할 수 있다.

• synperiplanar (sp): 0° ~ ±30° (''syn''- 또는 ''cis''-배열)
• synclinal (sc): 30° ~ 90° 및 −30° ~ −90° (''gauche'' 또는 ''skew'' 배열)
• anticlinal (ac): 90° ~ 150° 및 −90° ~ −150°
• antiperiplanar (ap): ±150° ~ 180° (''anti'' 또는 ''trans'' 배열)

예를 들어, ''n''-부탄의 경우, 두 개의 중심 탄소 원자와 각 메틸기의 탄소 원자를 기준으로 두 평면을 정의할 수 있다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이, ''syn''-배열은 이면각이 60°이고, ''anti''-배열은 180°로 ''syn''-배열보다 더 안정적이다.

이 면각에 따른 배열 이름	syn n-부탄의 gauche− 배열 (−60°) 뉴먼 투영식	syn n-부탄 쏘우호스 투영식

3. 2. 1. 단백질

• ω (오메가)는 C^α − C' − N − C^α 사슬의 각도이다.
• φ (파이)는 C' − N − C^α − C' 사슬의 각도이다.
• ψ (프사이)는 N − C^α − C' − N 사슬의 각도이다(라마찬드란은 ''φ′''라고 부름).^[8]

4. 기하학 (다면체)

모든 다면체는 각 모서리마다 해당 모서리를 공유하는 두 면의 관계를 설명하는 이면각을 갖는다. 이면각은 면각이라고도 불리며, 다면체에 대한 내각으로 측정된다. 0°의 각도는 면의 법선 벡터가 반대평행 벡터이고 면이 서로 겹쳐서 퇴화된 다면체의 일부임을 의미한다. 180°의 각도는 타일링과 같이 면이 평행함을 의미한다. 180°보다 큰 각도는 다면체의 오목한 부분에서 존재한다.^[1]

모서리 추이 다면체의 모든 이면각은 동일한 값을 갖는다. 여기에는 정다면체, 카탈랑의 다면체, 케플러-푸앵소 다면체, 준정다면체, 준정 이중 다면체 등이 포함된다.^[1]

볼록 다면체는 모든 이면각이 180° 미만인 다면체로 정의된다.

4. 1. 정다면체 및 준정다면체의 이면각

5. 코사인 법칙과의 관계

세 면이 공통 꼭짓점 P에서 만나고 모서리 AP, BP, CP를 갖는 다면체가 있을 때, APC와 BPC를 포함하는 면 사이의 이면각의 코사인은 다음과 같다.^[13]

:$\backslash cos\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\; \backslash cos\; (\backslash angle\; \backslash mathrm\{APB\})\; -\; \backslash cos\; (\backslash angle\; \backslash mathrm\{APC\})\; \backslash cos\; (\backslash angle\; \backslash mathrm\{BPC\})\}\{\; \backslash sin(\backslash angle\; \backslash mathrm\{APC\})\; \backslash sin(\backslash angle\; \backslash mathrm\{BPC\})\}$

이는 구면 코사인 법칙에서 유추할 수 있지만, 다른 방법으로도 찾을 수 있다.^[14]

참조

_[1] 웹사이트 Angle Between Two Planes https://math.tutorvi[...] 2018-07-06
_[2] 서적 Models for polymeric and anisotropic liquids Springer
_[3] 논문 New formulation for derivatives of torsion angles and improper torsion angles in molecular mechanics: Elimination of singularities 1998-12-07
_[4] GoldBookRef Torsion angle
_[5] GoldBookRef Dihedral angle
_[6] 서적 Modern Physical Organic Chemistry University Science
_[7] 논문 Stereochemistry of polypeptide chain configurations
_[8] 서적 Anatomy and Taxonomy of Protein Structures
_[9] 논문 Detecting Proline and Non-Proline Cis Isomers in Protein Structures from Sequences Using Deep Residual Ensemble Learning 2018-08
_[10] 웹사이트 Side Chain Conformation http://www.cryst.bbk[...]
_[11] 논문 Backbone-dependent rotamer library for proteins. Application to side-chain prediction. 1993-03-20
_[12] 논문 Conformational analysis of the backbone-dependent rotamer preferences of protein sidechains. 1994-05
_[13] 웹사이트 dihedral angle calculator polyhedron http://www.had2know.[...] 2015-10-25
_[14] 웹사이트 Formula Derivations from Polyhedra http://www.whistlera[...] 2024-12-04
_[15] GoldBookRef dihedral angle
_[16] GoldBookRef torsion angle
_[17] 서적 Modern Physical Organic Chemistry University Science
_[18] 논문 Stereochemistry of polypeptide chain configurations
_[19] 논문 Anatomy and Taxonomy of Protein Structures