입체각

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1. 개요
2. 정의 및 성질
- 2.1. 수학적 표현
3. 여러 분야에서의 응용
4. 여러 가지 물체의 입체각
5. 임의 차원에서의 입체각
참조

1. 개요

입체각은 3차원 공간의 점과 폐곡면을 연결하는 직선과, 점을 중심으로 하는 단위 구의 교점 자취 면적으로 정의된다. 단위는 스테라디안이며, 천문학, 물리학 등 다양한 분야에서 겉보기 크기를 나타내는 데 사용된다. 원뿔, 구면 캡, 사면체 등 특정 물체의 입체각을 계산하는 공식이 있으며, 구면 좌표계와 면적분으로도 표현할 수 있다.

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입체각
개요
정의	주어진 점에서 보이는 물체의 크기를 나타내는 척도
단위	스테라디안 (sr)
다른 단위	제곱도, spat
기호	Ω
차원	wikidata에 정의됨
보존량	아니오
유도	Ω = A/r²

2. 정의 및 성질

입체각은 3차원 공간에서 어떤 물체가 한 점을 중심으로 차지하는 범위를 나타내는 값이다. 스테라디안(sr)이라는 단위를 사용하며, 이는 해당 점을 중심으로 하는 단위 구의 표면에서 물체가 덮는 면적과 같다. 마치 평면에서 라디안이 원의 중심각에 대한 호의 길이를 나타내는 것과 비슷하다.

구의 중심에서 볼 때, 반지름의 제곱과 같은 면적을 가진 구 위의 모든 면적은 정확히 1 스테라디안을 덮습니다.

입체각의 크기는 물체가 덮는 면적을 구의 반지름 제곱으로 나눈 값으로, 다음과 같이 표현된다.

:

\Omega=\frac{A}{r^2},

여기서

A

는 구 표면의 면적,

r

은 구의 반지름이다.

구 전체의 입체각은 4π sr이다. 예를 들어, 정육면체의 한 면이 중심에서 이루는 입체각은 2π/3 sr이며, 정육면체의 모서리(팔분원)가 덮는 입체각은 π/2 sr이다.^[1]

입체각은 제곱 도, 제곱 분, 제곱 초, 또는 구의 분수(스패트, 1 sp = 4π sr)로도 측정할 수 있다.

입체각은 천문학, 물리학, 특히 천체물리학에서 멀리 떨어진 천체의 크기를 나타내는 데 유용하게 사용된다.

2. 1. 수학적 표현

점 O에서 폐곡면 C를 바라보는 입체각은 점 O와 폐곡면 C 위의 점을 잇는 직선과 점 O를 중심으로 하는 단위 구의 교점의 자취의 면적으로 정의된다. 구면 좌표계에서 입체각의 미분 요소는 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,

여기서

\theta

는 위도(북극에서 측정한 각도),

\varphi

는 경도이다.

3. 여러 분야에서의 응용

입체각은 광도 및 휘도, 복사 강도 및 복사 휘도 정의, 구면 과잉 계산, 경계 요소법(BEM)을 사용한 전위 계산, 금속 복합체에서 리간드 크기 평가(리간드 원뿔각 참조), 전하 분포 주변의 전기장 및 자기장 세기 계산, 가우스 법칙 유도, 열 전달에서 방사력 및 조사 계산, 러더퍼드 산란 및 라만 산란에서 단면적 계산, 광섬유의 수용각 표현, 메쉬에서 노드 밀도 계산 등 다양한 분야에서 응용된다.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]

3. 1. 천문학 및 천체물리학

각지름의 정의를 사용하여 천체의 입체각에 대한 공식은 천체의 반지름

R

과 관측자로부터 천체까지의 거리

d

를 사용하여 정의할 수 있다.

:

\Omega = 2 \pi \left (1 - \frac{\sqrt{d^2 - R^2}}{d} \right ) : d \geq R.

지구에서 관측했을 때 태양의 평균 입체각은 6.794×10^−5 스테라디안이고, 달의 평균 입체각은 6.418×10^−5 스테라디안이다. 전체 천구에서 태양과 달이 차지하는 면적 비율은 각각 평균 0.0005406%(5.406 ppm), 0.0005107%(5.107 ppm)이다. 태양과 달의 입체각은 이처럼 거의 같은 크기를 가지므로, 달은 일식 때 지구와 달 사이의 거리에 따라 개기 일식과 금환 일식을 모두 일으킬 수 있다.^[1]

3. 2. 물리학

입체각은 광도 및 휘도, 복사 강도 및 복사 휘도 정의에 사용된다. 전하 분포 주변의 전기장 및 자기장 세기 계산과 러더퍼드 산란, 라만 산란 등에서 산란 단면적 계산에도 활용된다.

3. 3. 광학

광섬유의 수용각을 나타내는 데 입체각이 사용된다.

3. 4. 기타

광도 및 휘도와 이에 상응하는 복사 강도 및 복사 휘도 정의에 사용된다.^[1]
구면 과잉 계산에 사용된다.^[2]
경계 요소법(BEM)을 사용한 전위 계산에 사용된다.^[3]
금속 복합체에서 리간드 크기 평가에 사용되며, 리간드 원뿔각을 참조하라.^[4]
전하 분포 주변의 전기장 및 자기장 세기 계산에 사용된다.^[5]
가우스 법칙 유도에 사용된다.^[6]
열 전달에서 방사력 및 조사 계산에 사용된다.^[7]
러더퍼드 산란에서 단면적 계산에 사용된다.^[8]
라만 산란에서 단면적 계산에 사용된다.^[9]
광섬유의 수용각의 입체각이다.^[10]
메쉬에서 노드 밀도 계산에 활용된다.^[11]

4. 여러 가지 물체의 입체각

3차원 공간에서 점 O와 폐곡면 C에 대해, 점 O와 폐곡면 C 위의 점을 잇는 직선이 점 O를 중심으로 하는 단위원과 만나는 점들이 이루는 면적을 "점 O에서 폐곡면 C를 바라보는 입체각"이라고 정의한다. 만약 폐곡면 C가 점 O를 완전히 둘러싸고 있다면, 이때의 입체각은 $4\pi$ 가 된다.^[3]

원뿔, 구면 캡, 반구: 꼭지각이 2θ인 원뿔의 입체각은 단위 구 위의 구면 캡의 면적과 같으며, 이는 $2\pi(1-\cos\theta)$ 또는 $4\pi\sin^2(\theta/2)$ 로 표현된다.
사면체: 사면체의 경우, L'Huilier의 정리를 이용하여 꼭지각 θ_a, θ_b, θ_c의 함수로 입체각을 계산할 수 있다.
각뿔: 꼭짓점 각도와 이면각을 갖는 사각 각뿔의 입체각은 특정 공식을 통해 계산할 수 있다.
위도-경도 사각형: 구 상의 위도-경도 사각형의 입체각은 위도와 경도의 차이를 이용하여 계산할 수 있다.

4. 1. 원뿔, 구면 캡, 반구

입체각의 꼭짓점에 꼭짓점을 두고, 꼭짓각이 2θ인 원뿔의 입체각은 단위 구 위의 구면 캡의 면적과 같다.

:

\Omega = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right)\ = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2}.

θ가 작아

\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}

와 같을 경우, 이는 원의 면적인

\pi\theta^2

로 근사할 수 있다.

위 식은 단위 구면 좌표계의 면적 요소를 사용하여 다음 이중 적분을 계산하여 구할 수 있다.

:

\begin{align}\int_0^{2\pi} \int_0^\theta \sin\theta' \, d \theta' \, d \phi&= \int_0^{2\pi} d \phi\int_0^\theta \sin\theta' \, d \theta' \\&= 2\pi\int_0^\theta \sin\theta' \, d \theta' \\&= 2\pi\left[ -\cos\theta' \right]_0^{\theta} \\&= 2\pi\left(1 - \cos\theta \right).\end{align}

이 공식은 미적분을 사용하지 않고도 유도할 수 있다. 2200년 전 아르키메데스는 구면 캡의 표면적은 항상 캡의 가장자리에서 캡의 대칭축이 캡과 교차하는 지점까지의 거리를 반지름으로 하는 원의 면적과 같다는 것을 증명했다.^[3]

아르키메데스의 정리: 주어진 다이어그램에서 수평면 H 아래 구역의 표면적은 반지름 t인 원의 면적과 같다.

위의 컬러 다이어그램에서 이 반지름은 다음과 같이 주어진다.

:

2r \sin \frac{\theta}{2}.

따라서 단위 구의 경우 구면 캡의 입체각은 다음과 같다.

:

\Omega = 4\pi \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2\pi \left (1 - \cos\theta \right).

θ = π/2일 때, 구면 캡은 입체각이 2π인 반구가 된다.

원뿔의 여집합의 입체각은 다음과 같다.

:

4\pi - \Omega = 2\pi \left(1 + \cos\theta \right) = 4\pi\cos^2 \frac{\theta}{2}.

이것은 위도 θ에 위치한 천문 관측자가 지구가 회전함에 따라 볼 수 있는 천구의 부분의 입체각이기도 하다. 적도에서는 천구 전체가 보이고, 양극에서는 절반만 보인다.

원뿔의 축에서 각도 γ로 잘리고 원뿔의 꼭짓점을 통과하는 평면에 의해 잘린 구면 캡의 세그먼트에 의해 해당되는 입체각은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.^[4]

:

\Omega = 2 \left[ \arccos \left(\frac{\sin\gamma}{\sin\theta}\right) - \cos\theta \arccos\left(\frac{\tan\gamma}{\tan\theta}\right) \right].

예를 들어, γ = -θ이면 공식은 위의 구면 캡 공식으로 축소된다. 첫 번째 항은 π가 되고 두 번째 항은 π cos θ가 된다.

4. 2. 사면체

OABC를 삼각형 면 ABC에 의해 가려진 원점 O를 가진 사면체의 꼭지점으로 하고,

\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c

를 꼭지점 A, B, C의 벡터 위치라고 할 때, 삼각형 표면 ABC에 의해 가려지는 입체각 Ω는 다음과 같이 계산할 수 있다.

\Omega = \left(\phi_{ab} + \phi_{bc} + \phi_{ac}\right)\ - \pi.

여기서

\phi_{ab}

는 사면체 면 OAC와 OBC를 포함하는 평면 사이의 이면각이고,

\phi_{ac}

,

\phi_{bc}

는 대응적으로 정의된다.

원점 O에서 사면체의 입체각을 계산하는 데 유용한 공식은 L'Huilier의 정리^[6]^[7]에 의해 꼭지각 θ_a, θ_b, θ_c의 함수로 다음과 같이 주어진다.

\tan \left( \frac{1}{4} \Omega \right) =\sqrt{ \tan \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \tan \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)},

여기서

\theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}.

θ_a는 각 BOC를, θ_b, θ_c는 대응적으로 정의한다.

꼭지점을 3차원 공간의 벡터로 표현하여 입체각을 계산할 수도 있다.^[8]^[9]

\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c

를 꼭지점 A, B, C의 벡터 위치라고 하고, a, b, c를 각 벡터의 크기(원점-점 거리)라고 할 때, 삼각형 표면 ABC에 의해 가려지는 입체각 Ω는 다음과 같다.

\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) =\frac{\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|}{abc + \left(\vec a \cdot \vec b\right)c + \left(\vec a \cdot \vec c\right)b + \left(\vec b \cdot \vec c\right)a},

여기서

\left|\vec a\ \vec b\ \vec c\right|=\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)

는 세 벡터의 스칼라 삼중곱을 나타내고

\vec a \cdot \vec b

는 스칼라곱을 나타낸다.

4. 3. 각뿔

꼭짓점 각도와 (사각뿔의 반대쪽 면에 측정된 이면각도)를 갖는 사각 각뿔의 입체각은 다음과 같다.

:

각뿔 밑변의 두 변의 길이( 및 )와 밑면 사각형의 중심에서 각뿔의 꼭짓점(구의 중심)까지의 거리()를 알면 위의 방정식을 조작하여 다음을 얻을 수 있다.

:

각뿔 밑면이 외접원 반지름인 정 각형이고 각뿔의 높이가 인 정 각뿔의 입체각은 다음과 같다.

:

개의 변을 가진 임의의 각뿔의 입체각은 모서리를 나타내는 일련의 단위 벡터로 정의되며 다음을 사용하여 효율적으로 계산할 수 있다.^[2]

:

여기서 괄호()는 스칼라 곱이고 대괄호[]는 스칼라 삼중곱이며, 는 허수 단위이다. 인덱스는 순환된다: 및 . 복소수 곱은 다각형의 각 꼭지점 각도와 관련된 위상을 더한다. 그러나 의 가지 절단에서 의 배수가 손실되어 별도로 추적해야 한다. 또한, 복소수 위상의 실행 곱은 거의 평행한 세그먼트의 극한에서 언더플로우를 피하기 위해 때때로 축척해야 한다.

4. 4. 위도-경도 사각형

구 상의 위도-경도 사각형의 입체각은 다음과 같다.

: (''φ''_N - ''φ''_S)(''θ''_E - ''θ''_W) sr

여기서 ''φ''_N과 ''φ''_S는 각각 북쪽과 남쪽의 위도선(각도는 북쪽으로 증가하며 적도에서 라디안으로 측정)이고, ''θ''_E와 ''θ''_W는 동쪽과 서쪽의 경도선(각도는 동쪽으로 증가하며 라디안으로 측정)이다.^[10] 수학적으로, 이것은 ''θ''_E − ''θ''_W 라디안으로 구를 회전하면서 각 ''ϕ''_N − ''ϕ''_S의 호를 나타낸다. 경도가 2π 라디안을, 위도가 π 라디안을 차지할 때 입체각은 구의 입체각과 같다.

위도-경도 사각형은 사각뿔의 입체각과 혼동해서는 안 된다. 사각뿔의 네 변은 모두 구의 표면과 대원 호에서 교차한다. 위도-경도 사각형의 경우, 경도선만 대원 호이고 위도선은 그렇지 않다.

5. 임의 차원에서의 입체각

차원 유클리드 공간에서 단위 구의 전체 ()-차원 구면이 그리는 입체각은 임의의 차원 에서 정의될 수 있다. 이러한 입체각 인자는 구면 대칭을 이용한 계산에서 자주 필요하다. 이는 다음과 같은 공식으로 주어진다.

: $\Omega_{d} = \frac{2\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)},$

여기서 는 감마 함수이다. 가 정수일 때, 감마 함수는 명시적으로 계산될 수 있다.^[11] 따라서 다음이 성립한다.

: $\Omega_{d} = \begin{cases}\frac{1}{ \left(\frac{d}{2} - 1 \right)!} 2\pi^\frac{d}{2}\ & d\text{ 짝수} \\\frac{\left(\frac{1}{2}\left(d - 1\right)\right)!}{(d - 1)!} 2^d \pi^{\frac{1}{2}(d - 1)}\ & d\text{ 홀수}.\end{cases}$

이것은 면적이 인 표면으로 둘러싸인 3차원 구에 대해 예상되는 스테라디안의 결과를, 그리고 길이가 인 둘레로 둘러싸인 2차원 원에 대해 라디안의 결과를 제공한다. 또한 원점을 중심으로 한 1차원 "구"가 구간 이고 두 개의 제한된 점으로 경계가 지어지는 1차원 경우에 대해 약간 덜 직관적인 2의 결과도 제공한다.

임의 차원에서 벡터 공식에 상응하는 것은 Aomoto에 의해^[12]^[13] 유도되었고, Ribando에 의해 독립적으로 유도되었다.^[14] 그것은 무한 다변수 테일러 급수로 표현한다.

: $\Omega = \Omega_d \frac{\left|\det(V)\right|}{(4\pi)^{d/2}} \sum_{\vec a\in \N_0^{\binom {d}{2}}}\left [\frac{(-2)^{\sum_{i$

각도를 정의하는 개의 단위 벡터 $\vec{v}_i$ 가 주어졌을 때, 를 $\vec{v}_i$ 를 i번째 열로 결합하여 형성된 행렬로 나타내고, $\alpha_{ij} = \vec{v}_i\cdot\vec{v}_j = \alpha_{ji}, \alpha_{ii}=1$ 로 정의한다. 변수 $\alpha_{ij},1 \le i < j \le d$ 는 다변수 $\vec \alpha = (\alpha_{12},\dotsc , \alpha_{1d}, \alpha_{23}, \dotsc, \alpha_{d-1,d}) \in \R^{\binom{d}{2}}$ 를 형성한다. "합동" 정수 다중 지수 $\vec a=(a_{12}, \dotsc, a_{1d}, a_{23}, \dotsc , a_{d-1,d}) \in \N_0^{\binom{d}{2}},$ 에 대해 $\vec \alpha^{\vec a}=\prod \alpha_{ij}^{a_{ij}}$ 를 정의한다. 여기서 $\N_0$ 는 음이 아닌 정수, 즉 0부터 시작하는 자연수이다. $j > i$ 에 대한 $\alpha_{ji}$ 표기는 지수 $a_{ji}$ 와 마찬가지로 변수 $\alpha_{ij}$ 를 의미한다.

따라서, 항 $\sum_{m \ne l} a_{lm}$ 은 l이 첫 번째 또는 두 번째 인덱스로 나타나는 $\vec a$ 의 모든 항의 합을 의미한다.

이 급수가 수렴하는 곳에서, 그것은 벡터로 정의된 입체각으로 수렴한다.

참조

_[1] 웹사이트 octant https://planetmath.o[...] 2013-03-22
_[2] 논문 Mesh adaption for two-dimensional bounded and free-surface flows with the particle finite element method https://link.springe[...]
_[3] 논문 Archimedes on Spheres and Cylinders http://www.mathpages[...]
_[4] 논문 Solid Angle of Conical Surfaces, Polyhedral Cones, and Intersecting Spherical Caps
_[5] 논문 Selected Chapters of Geometry http://pi.math.corne[...] 1940
_[6] 웹사이트 L'Huilier's Theorem – from Wolfram MathWorld http://mathworld.wol[...] Mathworld.wolfram.com 2015-10-19
_[7] 웹사이트 Spherical Excess – from Wolfram MathWorld http://mathworld.wol[...] Mathworld.wolfram.com 2015-10-19
_[8] 논문 On the measure of solid angles
_[9] 논문 The Solid Angle of a Plane Triangle
_[10] 논문 Area of a Latitude-Longitude Rectangle http://mathforum.org[...]
_[11] 논문 Polytopes in Euclidean n-space https://www.research[...]
_[12] 논문 Analytic structure of Schläfli function
_[13] 논문 Positivity theorems for solid-angle polynomials
_[14] 논문 Measuring Solid Angles Beyond Dimension Three

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