이항식

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 이항식 연산
참조

1. 개요

이항식은 두 개의 단항식의 합으로 이루어진 다항식이다. 일변수 이항식은 a*x^m - b*x^n 형태로 표현되며, 여기서 a, b는 수, m, n은 음이 아닌 정수, x는 변수이다. 이항식은 제곱의 차, 세제곱의 합/차 등의 형태로 인수분해될 수 있으며, 이항 정리를 통해 거듭제곱을 전개할 수 있다. 또한, 이항식 제곱 공식을 활용하여 피타고라스 수를 생성할 수 있다.

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이항식
기본 정보
유형	다항식
항의 수	2
변수의 수	여러 개일 수 있음
예시
예시	x + y x - y x² - y² x³ + 3x²y + 3xy² + y³

2. 정의

이항식은 두 개의 단항식의 합으로 이루어진 다항식이다. 일변수 이항식은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

: ${\displaystyle ax^{m}-bx^{n}}$

여기서 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$는 수이고, ${\displaystyle m}$과 ${\displaystyle n}$은 서로 다른 음이 아닌 정수이며, ${\displaystyle x}$는 미지수 또는 변수라고 불리는 기호이다. 로랑 다항식의 맥락에서 "로랑 이항식"은 종종 단순히 "이항식"이라고 불리며 유사하게 정의되지만, 지수 ${\displaystyle m}$과 ${\displaystyle n}$은 음수가 될 수 있다.

더 일반적으로, 이항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[2]

: ${\displaystyle a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$

이항식의 예시는 다음과 같다.^[4]

: ${\displaystyle 3x-2x^{2}}$

: ${\displaystyle xy+yx^{2}}$

: ${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$

3. 예시

다음은 이항식의 예시이다.

$3x - 2x^2$
$xy + yx^2$
$0.9 x^3 + \pi y^2$
$2 x^3 + 7$

4. 이항식 연산

이항식 연산에는 다음과 같은 것들이 있다.

제곱의 차이는 다른 두 이항식의 곱으로 인수분해할 수 있다.
두 일차 이항식의 곱은 삼항식을 만든다.
이항식의 거듭제곱은 이항 정리나 파스칼의 삼각형을 사용하여 전개할 수 있다.
피타고라스 수는 이항식 제곱 공식을 활용하여 만들 수 있다.
세제곱의 합 또는 차인 이항식은 더 작은 차수의 다항식으로 인수분해할 수 있다.

4. 1. 인수분해

이항식 , 즉 제곱의 차이는 다른 두 이항식의 곱으로 인수분해될 수 있다.

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y).

이는 더 일반적인 공식의 특수한 경우이다.

x^{n+1} - y^{n+1} = (x - y)\sum_{k=0}^{n} x^{k} y^{n-k}.

복소수에서 이 공식은 다음과 같이 확장될 수도 있다.

x^2 + y^2 = x^2 - (iy)^2 = (x - iy)(x + iy).

세제곱의 합 또는 차인 이항식은 다음과 같이 더 작은 차수 다항식으로 인수분해될 수 있다.

x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

4. 2. 두 일차 이항식의 곱

두 일차 이항식 $(ax+b)$와 $(cx+d)$의 곱은 삼항식이다.

$$(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd$$

4. 3. 이항 정리

이항식 $(x + y)^n$으로 표현되는, $n$ 제곱의 거듭제곱은 이항 정리를 사용하거나, 이와 동등하게 파스칼의 삼각형을 사용하여 전개할 수 있다. 예를 들어, 이항식 $(x + y)$의 제곱 $(x + y)^2$는 두 항의 제곱의 합과 두 항의 곱의 두 배의 합과 같다. 즉,

:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.

이 전개식의 각 항에 대한 승수로 나타나는 숫자 (1, 2, 1)는 파스칼의 삼각형의 꼭대기에서 두 행 아래에 있는 이항 계수이다. $n$ 제곱의 전개식은 삼각형의 꼭대기에서 $n$ 행 아래에 있는 숫자를 사용한다.

4. 4. 피타고라스 수 생성

$m < n$일 때, $a = n^2 - m^2$, $b = 2mn$, $c = n^2 + m^2$이면, $a^2 + b^2 = c^2$이 성립한다. 이 방법은 이항식 제곱 공식을 응용하여 피타고라스 수를 생성하는 공식이다.^[1]

참조

_[1] Mathworld Binomial
_[2] 서적 Solving Systems of Polynomial Equations https://books.google[...] American Mathematical Society
_[3] MathWorld Binomial
_[4] 간행물 Solving Systems of Polynomial Equations https://books.google[...] Conference Board of the Mathematical Sciences 2014-03-21
_[5] 저널 Solving Systems of Polynomial Equations https://books.google[...] Conference Board of the Mathematical Sciences 2014-03-21

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