일반화 페테르센 그래프

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

일반화 페테르센 그래프는 정수 n과 k를 사용하여 정의되는 그래프의 한 종류이다. GPG(n, k)로 표기하며, n이 3 이상이고, k는 n의 배수가 아니며, n이 짝수일 경우 k는 n/2의 배수가 아니어야 한다. 이 그래프는 2n개의 꼭짓점과 3n개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 왓킨스, 콕서터 표기법 등 다양한 방식으로 표현될 수 있다. 일반화 페테르센 그래프는 정점 추이 그래프, 변 추이 그래프, 이분 그래프, 케일리 그래프 등 다양한 성질을 가지며, 해밀턴 순환과 경로, 교차수, 색칠수 등 그래프 이론의 여러 개념과 관련된다. 대표적인 예시로는 페테르센 그래프, 뒤러 그래프, 데자르그 그래프 등이 있으며, 역사적으로 뒤러의 판화, 페테르센, 콕서터, 왓킨스 등에 의해 연구되었다.

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일반화 페테르센 그래프
일반 정보
페테르센 그래프의 다이어그램
종류	그래프 이론
꼭짓점	10
변	15
정규성	3-정규 그래프
지름	2
둘레	5
채색수	3
색인	3
대칭성	5
그래프 속성	큐빅 비평면 그래프 비해밀턴 그래프 무어 그래프 스트롱리 레귤러 그래프
군	대칭군 S5
명명법
쇼산 표기법	G(5, 2)
관련 그래프
관련 그래프	일반화된 페테르센 그래프 테테르 그래프

2. 정의

3 이상의 정수 $n\ge3$ 과, $n$ 의 배수가 아닌 정수 $k\in\mathbb Z$ , $n\nmid k$ 가 주어졌다고 하자. 또한, 만약 $n$ 이 짝수라면 $n/2\nmid k$ 라고 하자.

'''일반화 페테르센 그래프''' $\operatorname{GPG}(n,k)$ 는 다음과 같은 그래프이다.

: $\operatorname V(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i,v_i\colon i\in\mathbb Z/n\}$

: $\operatorname E(\operatorname{GPG}(n,k))=\{u_i u_{i+1}, u_i v_i, v_i v_{i+k}\colon i\in\mathbb Z/n\}$

여기서 첨자는 법 $n$ 으로 계산한다. 즉, $u_{n+i}=u_i$ 및 $v_{n+i}=u_i$ 로 간주한다.

일반화 페테르센 그래프의 변 가운데, $u_iv_i$ 꼴의 변을 '''바큇살'''(spoke^영어)이라고 한다.

당연히

: $\operatorname{GPG}(n,k)=\operatorname{GPG}(n,k+n)=\operatorname{GPG}(n,-k)$

이므로, 보통

: $1\le k< n/2$

를 가정한다.

왓킨스(Watkins)가 제시한 표기법 ''G''(''n'', ''k'')는 정점 집합 $\{u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}, v_0, v_1, \ldots, v_{n-1}\}$ 과 간선 집합 $\{u_iu_{i+1}, u_iv_i, v_iv_{i+k} \mid 0 \le i \le n-1 \}$ 을 갖는 그래프이다. 여기서 아래첨자는 모듈로 ''n''으로 읽으며, ''k'' < ''n''/2이다. 일부 저자는 ''GPG''(''n'', ''k'') 표기법을 사용한다. 같은 그래프에 대한 콕서터 표기법은 {''n''} + {''n''/''k''}인데, 이 표기법은 그래프가 형성되는 정다각형 및 별 다각형의 슐레플리 기호를 조합한 것이다. 페테르센 그래프 자체는 ''G''(5, 2) 또는 {5} + {5/2}이다.

어떤 일반화된 페테르센 그래프든 두 개의 정점, 두 개의 자기 루프, 그리고 하나의 다른 간선을 가진 전압 그래프로부터 구성될 수도 있다.^[3]

2. 1. 왓킨스 표기법

왓킨스(Watkins)가 제시한 표기법 ''G''(''n'', ''k'')는 정점 집합

\{u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}, v_0, v_1, \ldots, v_{n-1}\}

과 간선 집합

\{u_iu_{i+1}, u_iv_i, v_iv_{i+k} \mid 0 \le i \le n-1 \}

을 갖는 그래프이다.^[3] 여기서 아래첨자는 모듈로 ''n''으로 읽으며, ''k'' < ''n''/2이다.^[3] 일부 저자는 ''GPG''(''n'', ''k'') 표기법을 사용한다.^[3] 같은 그래프에 대한 콕서터 표기법은 {''n''} + {''n''/''k''}인데, 이 표기법은 그래프가 형성되는 정다각형 및 별 다각형의 슐레플리 기호를 조합한 것이다.^[3] 페테르센 그래프 자체는 ''G''(5, 2) 또는 {5} + {5/2}이다.^[3]

2. 2. 콕서터 표기법

콕서터(Coxeter) 표기법은 {''n''} + {''n''/''k''}이며, 그래프가 형성되는 정다각형 및 별 다각형의 슐레플리 기호를 조합한 것이다.^[3] 페테르센 그래프 자체는 ''G''(5, 2) 또는 {5} + {5/2}이다.^[3]

Watkins의 표기법에서, ''G''(''n'', ''k'')는 다음과 같은 정점 집합을 갖는 그래프이다.

:

\{u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}, v_0, v_1, \ldots, v_{n-1}\}

그리고 간선 집합은 다음과 같다.

:

\{u_iu_{i+1}, u_iv_i, v_iv_{i+k} \mid 0 \le i \le n-1 \}

여기서 아래첨자는 모듈로 ''n''으로 읽으며, ''k'' < ''n''/2이다. 일부 저자는 ''GPG''(''n'', ''k'') 표기법을 사용한다.

어떤 일반화된 페테르센 그래프든 두 개의 정점, 두 개의 자기 루프, 그리고 하나의 다른 간선을 가진 전압 그래프로부터 구성될 수 있다.^[3]

2. 3. 전압 그래프

Watkins의 표기법에서 ''G''(''n'', ''k'')는 다음과 같은 정점 집합을 갖는 그래프이다.^[3]

:{u₀, u₁, …, u_n-1, v₀, v₁, …, v_n-1}

그리고 간선 집합은 다음과 같다.

:{u_iu_i+1, u_iv_i, v_iv_i+k | 0 ≤ i ≤ n-1}

여기서 아래첨자는 모듈로 ''n''으로 읽으며, ''k'' < ''n''/2이다. 일부 저자는 ''GPG''(''n'', ''k'') 표기법을 사용한다.^[3] 같은 그래프에 대한 Coxeter의 표기법은 {''n''} + {''n''/''k''}인데, 이 표기법은 그래프가 형성되는 정다각형 및 별 다각형의 슐레플리 기호를 조합한 것이다.^[3] 페테르센 그래프 자체는 ''G''(5, 2) 또는 {5} + {5/2}이다.^[3]

어떤 일반화된 페테르센 그래프든 두 개의 정점, 두 개의 자기 루프, 그리고 하나의 다른 간선을 가진 전압 그래프로부터 구성될 수 있다.^[3]

3. 성질

''G''(''n'', ''k'')는 정점-추이 그래프이다. 단, (''n'', ''k'') = (10, 2)이거나 ''k''² ≡ ±1 (mod ''n'')인 경우에만 해당된다.
''G''(''n'', ''k'')는 변-추이 그래프(모든 변을 다른 변으로 옮기는 대칭성을 가짐)는 다음 일곱 가지 경우에만 해당된다: (''n'', ''k'') = (4, 1), (5, 2), (8, 3), (10, 2), (10, 3), (12, 5), (24, 5).^[5] 따라서 이 일곱 개의 그래프는 유일한 대칭 그래프 일반화 페테르센 그래프이다.
''G''(''n'', ''k'')는 ''n''이 짝수이고 ''k''가 홀수인 경우에만 이분 그래프이다.
''G''(''n'', ''k'')는 케일리 그래프이다. 단, ''k''² ≡ 1 (mod ''n'')인 경우에만 해당된다.
''G''(''n'', ''k'')는 ''n''이 6을 법으로 5와 합동이고 ''k'' = 2, ''n'' − 2 또는 (''n'' ± 1)/2일 때 저해밀턴 그래프이다(이 네 가지 ''k'' 선택은 동형 그래프로 이어진다).^[6] 또한 ''n''이 4로 나누어지고, 8 이상이며, ''k'' = ''n''/2일 때 해밀턴 그래프가 아니다. 다른 모든 경우에는 해밀턴 순환을 갖는다.^[6] ''n''이 6을 법으로 3과 합동일 때 ''G''(''n'', 2)는 정확히 세 개의 해밀턴 순환을 갖는다.^[7] ''G''(''n'', 2)의 경우 해밀턴 순환의 수는 ''n''을 6으로 나눈 나머지에 따라 달라지며 피보나치 수를 포함하는 공식을 사용하여 계산할 수 있다.^[8]

''G''(9, 2)의 세 개의 해밀턴 순환 중 하나. 동일한 그래프의 다른 두 해밀턴 순환은 그림의 40° 회전에 대해 대칭입니다.

모든 일반화 페테르센 그래프는 단위 거리 그래프이다.^[9]

3. 1. 기본 성질

일반화 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(n,k)

는

2n

개의 꼭짓점과

3n

개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 완벽 부합을 갖는다. 구체적으로,

\{u_iv_i\}_{i\in\mathbb Z/n}

은 완벽 부합을 이룬다.

페테르센 그래프 $\operatorname{GPG}(5,2)$ 속의 완벽 부합

일반화 페테르센 그래프는 여러 흥미로운 속성을 가지고 있다.

$\operatorname{GPG}(n,k)$ 는 정점-추이 그래프이다. 단, $(n,k) = (10,2)$ 이거나 $k^2 \equiv \pm 1 \pmod n$ 인 경우에만 해당된다.
$\operatorname{GPG}(n,k)$ 는 변-추이 그래프는 다음 일곱 가지 경우에만 해당된다: $(n,k) = (4,1), (5,2), (8,3), (10,2), (10,3), (12,5), (24,5)$ .^[5] 따라서 이 일곱 개의 그래프는 유일한 대칭 그래프 일반화 페테르센 그래프이다.
$\operatorname{GPG}(n,k)$ 는 $n$ 이 짝수이고 $k$ 가 홀수인 경우에만 이분 그래프이다.
$\operatorname{GPG}(n,k)$ 는 케일리 그래프이다. 단, $k^2 \equiv 1 \pmod n$ 인 경우에만 해당된다.
$\operatorname{GPG}(n,k)$ 는 $n$ 이 6을 법으로 5와 합동이고 $k = 2, n-2$ 또는 $(n \pm 1)/2$ 일 때 저해밀턴 그래프이다(이 네 가지 $k$ 선택은 동형 그래프로 이어진다).^[6] 또한 $n$ 이 4로 나누어지고, 8 이상이며, $k = n/2$ 일 때 해밀턴 그래프가 아니다. 다른 모든 경우에는 해밀턴 순환을 갖는다.^[6] $n$ 이 6을 법으로 3과 합동일 때 $\operatorname{GPG}(n,2)$ 는 정확히 세 개의 해밀턴 순환을 갖는다.^[7]

모든 일반화 페테르센 그래프는 단위 거리 그래프이다.^[9]

3. 2. 동형

임의의 정수

n\ge3

및 정수

1\le k,k' 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치 이다.

^[17]^[18]

$\operatorname{GPG}(n,k)\cong\operatorname{GPG}(n,k')$
$kk' \equiv \pm1 \pmod n$

예를 들어,

\operatorname{GPG}(7,2)\cong\operatorname{GPG}(7,3)

이다. ''G''(''n'', ''k'')는 ''k=l'' 또는 ''kl'' ≡ ±1 (mod ''n'')인 경우에만 ''G''(''n'', ''l'')과 동형이다.^[10]

3. 3. 안둘레(Girth)

일반화 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(n,k)

의 안둘레는 항상

\min\{8,k+3,n/\gcd\{n,k\}\}

이하이다.^[19] 이는 길이 8의 순환, 길이

k+3

의 순환, 길이

n/\gcd\{n,k\}

의 순환이 존재하기 때문이다.

또한, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{girth}(\operatorname{GPG}(ak\pm b,k))\le a+b+2

이는 길이

a+b+2

의 순환이 존재하기 때문이다.

만약

1\le k 이며, k=\min\left\{1\le k' 일 때, 일반화 페테르센 그래프 \operatorname{GPG}(n,k) 의 안둘레는 다음 표에서, 위에서부터 가장 먼저 해당하는 행에 의해 주어진다.

^[19]

조건	안둘레
$n=3k$	3
$n=4k$	4
$k=1$	4
$n=5k$	5
$n=5k/2$
$k=2$
$n=6k$	6
$k=3$
$n=2k+2$
$n=7k$	7
$n=7k/2$
$n=7k/3$
$k=4$
$n=2k+3$
$n=3k\pm2$
그 밖의 경우	8

3. 4. 케일리 그래프

일반화 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(n,k)

는 특정 조건을 만족할 때 유한군의 케일리 그래프와 동형이다.^[20]

다음 두 조건은 서로 동치이다.^[20]

어떤 유한군의 케일리 그래프와 동형이다.
$k^2\equiv1\pmod n$

예를 들어, 나우루 그래프

\operatorname{GPG}(12,5)

는

5^2\equiv 1\pmod{12}

를 만족하며, 대칭군

\operatorname{Sym}(4)

의 케일리 그래프이다.^[20]

나우루 그래프 $\operatorname{GPG}(12,5)$ 는 대칭군 $\operatorname{Sym}(4)$ 의 케일리 그래프이다.

각기둥 그래프

\operatorname{GPG}(n,1)

는 크기

2n

의 정이면체군

\operatorname{Dih}(n)

의 케일리 그래프이다.^[20] 반면, 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(5,2)

는 케일리 그래프가 아니다.^[20]

3. 5. 꼭짓점 색칠

일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리(Brooks’ theorem)에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다. 일반화 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(n,k)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이분 그래프이다. (즉, 색칠수가 2이다.)
$n$ 이 짝수이며, $k$ 는 홀수이다.

다시 말해, 일반화 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(n,k)

의 색칠수는 다음과 같다.

:

\chi(\operatorname{GPG}(n,k))=\begin{cases}2&2\mid n \land 2\nmid k\\3&2\nmid n \lor 2\mid k\end{cases}

여기서

\land

는 논리곱(AND),

\lor

는 논리합(OR)이다. 예를 들어, 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(5,2)

의 색칠수는 3이다.

3. 6. 변 색칠

페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다.^[21] 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 페테르센 그래프는 스나크이므로 채색 지수는 4이다. 즉, 변에 4가지 색이 필요하다.^[12] 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다.^[22] 이는 비징의 정리에 따른 유일한 가능성이다.

페테르센 그래프 $\operatorname{GPG}(5,2)$ 의 4색 변 색칠

일반화 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(9,2)

는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다.^[13] 페테르센 그래프 자체는 3-변 채색이 불가능한 유일한 일반화 페테르센 그래프이다.^[14]

3. 7. 해밀턴 경로와 순환

임의의 일반화 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(n,k)

(

3\le n

,

1\le k)에 대하여, 다음 두 가지 가운데 정확히 하나가 성립한다.

^[23]

(가) 해밀턴 순환을 갖는다.
(나) $n\equiv5\pmod6$ 이며, $k\in\{2,(n-1)/2\}$ 이다.

또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. 특히, 모든 일반화 페테르센 그래프는 항상 해밀턴 경로를 갖는다.^[23]

예를 들어, 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(5,2)

는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다.

\operatorname{GPG}(n,k)

는

n

이 6을 법으로 5와 합동이고

k

= 2,

n

− 2 또는 (

n

± 1)/2일 때 저해밀턴 그래프이다(이 네 가지

k

선택은 동형 그래프로 이어진다).^[6] 또한

n

이 4로 나누어지고, 8 이상이며,

k

=

n

/2일 때 해밀턴 그래프가 아니다. 다른 모든 경우에는 해밀턴 순환을 갖는다.^[6]

3. 8. 교차수

각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(n,1)

은 평면 그래프이며, 그래프 교차수는 0이다. 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(5,2)

의 그래프 교차수는 2이고, 나우루 그래프

\operatorname{GPG}(12,5)

의 그래프 교차수는 8이다. 이 두 그래프는 모두 평면 그래프가 아니다.

평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프

K_5

또는 완전 이분 그래프

K_{3,3}

를 그래프 마이너로 가지는데, 페테르센 그래프

\operatorname{GPG}(5,2)

는 이 둘 모두를 그래프 마이너로 갖는다.

3. 9. 완벽한 색칠 (Perfect Colorings)

일반화 페테르센 그래프 ''G''(''n'', ''2'')와 ''G''(''n'', ''3'')의 모든 완벽한 2-채색에 대한 허용 행렬은 다음과 같다.^[15]

허용 행렬
	G(n, 2)	G(n, 3)

4. 예시

일반화 페테르센 그래프 가운데 일부는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

'''페테르센 그래프'''는 일반화 페테르센 그래프 GPG(5, 2)이다. 이는 완전 그래프 K₅의 선 그래프의 여 그래프와 동형이다.
'''뒤러 그래프'''(Dürer graph^영어)는 일반화 페테르센 그래프 GPG(6,2)이다.
일반화 페테르센 그래프 GPG(10,2)는 정십이면체의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.
'''데자르그 그래프'''(Desargues graph^영어)는 일반화 페테르센 그래프 GPG(10, 3)이다.
일반화 페테르센 그래프 GPG(n,1)는 n각형 각기둥의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.

일반화 페테르센 그래프에는 ''n''-각기둥 ''G''(n, 1), 뒤러 그래프 ''G''(6, 2), 뫼비우스-칸토어 그래프 ''G''(8, 3), 정십이면체 ''G''(10, 2), 데자르그 그래프 ''G''(10, 3) 및 나우루 그래프 ''G''(12, 5)가 있다.

세 개의 각기둥, 다섯 개의 각기둥, 뒤러 그래프, 그리고 ''G''(7, 2)를 포함한 네 개의 일반화 페테르센 그래프는 정규 그래프, 3-정점 연결 그래프이며, 모든 극대 독립 집합이 동일한 크기를 갖는 잘 덮인 그래프인 일곱 개의 그래프 중 하나이다.^[4]

5. 역사

알브레히트 뒤러의 1514년 판화 《멜란콜리아 1》(Melancholia Ⅰ^de)에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다.

1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센은 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며,^[24] 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를, 임의의 변을 제거하더라도 연결 그래프로 남는 연결 삼차 그래프는 모두 변 색칠수가 3 이하라는 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다.

“데자르그 그래프”라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키고, 서로 인접하는 점과 직선 사이를 변으로 이으면 데자르그 그래프가 된다.

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다.^[25] 콕서터는 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname{GPG}(n,k)$ 를 $\{n\}+\{n/k\}$ 로 표기하였으며, 이에 특별한 이름을 부여하지 않았다.

1969년에 마크 왓킨스(Mark E. Watkins^영어)가 이 그래프 족을 “일반화 페테르센 그래프”(generalized Petersen graph^영어)라고 명명하였다.^[26]

“나우루 그래프”(Nauru graph^영어)라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인(David Arthur Eppstein^영어)이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다.

데자르그의 정리에 등장하는 작도. 10개의 점 $(A,B,C,A',B',C',P,Q,R,S)$ 와 10개의 직선 $(a,b,c,a',b',c',p,q,r,s)$ 에 각각 어떤 그래프의 꼭짓점을 대응시키고, 인접하는 점과 직선에 대응하는 두 꼭짓점 사이를 변으로 이으면, 데자르그 그래프 $\operatorname{GPG}(10,3)$ 를 얻는다.

참조

_[1] 논문 Self-dual configurations and regular graphs
_[2] 논문 A Theorem on Tait Colorings with an Application to the Generalized Petersen Graphs
_[3] 서적 Topological Graph Theory Wiley
_[4] 논문 A characterisation of well-covered cubic graphs
_[5] 논문 The groups of the generalized Petersen graphs
_[6] 논문 The classification of Hamiltonian generalized Petersen graphs
_[7] 논문 Cubic graphs with three Hamiltonian cycles are not always uniquely edge colorable
_[8] 논문 Enumeration of Hamiltonian cycles in certain generalized Petersen graphs
_[9] 논문 All generalized Petersen graphs are unit-distance graphs http://preprinti.imf[...] 2017-04-07
_[10] 논문 The isomorphism classes of the generalized Petersen graphs
_[11] 논문 Component connectivity of generalized Petersen graphs http://danielaferrer[...] 2018-10-20
_[12] 논문 Every generalized Petersen graph has a Tait coloring
_[13] 서적 Extremal Graph Theory Dover
_[14] 논문 Every Generalized Petersen Graph has a Tait Coloring
_[15] 논문 Perfect 2-colorings of the generalized Petersen graph GP(n,3)
_[16] 서적 The Petersen graph https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[17] 저널 http://preprinti.imf[...] 2017-07-05
_[18] 저널
_[19] 저널 http://danielaferrer[...] 2017-07-05
_[20] 저널 https://archive.org/[...]
_[21] 저널
_[22] 저널 Every generalized Petersen graph has a Tait coloring
_[23] 저널
_[24] 저널 Sur le théorème de Tait https://babel.hathit[...]
_[25] 저널 Self-dual configurations and regular graphs
_[26] 저널 A theorem on Tait colorings with an application to the generalized Petersen graphs

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