자연로그의 밑의 원주율 제곱

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1. 개요
2. 값
3. 성질
4. 수학적 성질
5. 유사하거나 관련된 상수
참조

1. 개요

자연로그의 밑 e의 원주율 π 제곱, 즉 e^π는 약 23.140692632779...의 값을 가지는 무리수이다. 오일러 공식과 겔폰트-슈나이더 정리에 의해 e^π는 초월수임이 증명되었으며, 연분수와 특정 수열을 통해 근사할 수 있다. e^π - π는 거의 정수에 가까운 값을 가지며, 라마누잔 상수, π^e, iⁱ 등과 관련된 수학적 성질을 갖는다.

더 읽어볼만한 페이지

수학 상수 - 허수 단위
허수 단위 i는 i² = −1을 만족하는 수로, 실수 체계에서는 정의되지 않는 음수의 제곱근을 나타내며 복소수 체계의 기본 구성 요소로서 복소평면에서 90° 회전하는 효과를 가지며 1, i, -1, -i를 주기적으로 순환하는 특징을 가진다.
수학 상수 - 실베스터 수열
실베스터 수열은 각 항이 이전 항들의 곱에 1을 더한 값으로 정의되는 정수 수열로서, 재귀적으로 정의되며 이중 지수 함수적으로 증가하고, 이집트 분수 및 탐욕 알고리즘과 관련이 있으며, 역수 합은 1로 수렴한다.

자연로그의 밑의 원주율 제곱

2. 값

$e^\pi$ 의 값은 다음과 같다.

: $e^\pi=23.140692632779\cdots$

3. 성질

여기서 ''i''를 허수 단위라고 할 때,

''e''^π는 오일러 공식에 의해

: $e^{ix} =\cos x+i\sin x$

에서 다음과 같이 변형될 수 있다. $e^{\pi} =(e^{i \pi} )^{-i} =(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i} =(-1)^{-i}$

단, i의 i승과 마찬가지로 $e^{3\pi}$ , $e^{5\pi}$ …나 $e^{-\pi}$ , $e^{-3\pi}$ … 등 $e^{(2k+1)\pi}$ (k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로, $(-1)^{-i}$ 가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "''a''를 0, 1이 아닌 대수적 수, ''b''를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, ''a''^b는 초월수이다"라는 내용이다. ''a'' = −1, ''b'' = −''i''는 이 조건을 만족하므로 (−1)^−''i''는 초월수이다. 즉, ''e''^π는 초월수이다.

덧붙여서, ''e''^e, π^π, π^e 등은 유리수인지, 무리수인지, 초월수인지 여부는 증명되지 않았다.

$k_0 =\frac{1}{\sqrt{2}}$ 로 하고

: $k_n =\frac{1-\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}{1+\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}$

로 정의될 때, 수열

: $\left( \frac{4}{k_{n+1}} \right)^{2^{-n}}$

는 ''e''^π에 수렴한다.

''e''^π − π는 거의 정수이다.

:''e''^π − π = 19.99909997918947…

3. 1. 초월성

오일러 항등식에 따라,

:

e^\pi=(e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{-i}

이다.

-i

가 대수적 수이며, 실수가 아니므로 유리수가 아니다. 겔폰트-슈나이더 정리에 의하여,

e^\pi

는 초월수이다.

여기서 ''i''를 허수 단위라고 할 때, ''e''^π는 오일러 공식에 의해

:

e^{ix} =\cos x+i\sin x

에서 다음과 같이 변형될 수 있다.

e^{\pi} =(e^{i \pi} )^{-i} =(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i} =(-1)^{-i}

단, i의 i승과 마찬가지로

e^{3\pi}

,

e^{5\pi}

…나

e^{-\pi}

,

e^{-3\pi}

… 등

e^{(2k+1)\pi}

(k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로,

(-1)^{-i}

가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "''a''를 0, 1이 아닌 대수적 수, ''b''를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, ''a^b''는 초월수이다"라는 내용이다. ''a'' = −1, ''b'' = −''i''는 이 조건을 만족하므로 (−1)^−''i''는 초월수이다. 즉, ''e''^π는 초월수이다.

k_0 =\frac{1}{\sqrt{2}}

로 하고

:

k_n =\frac{1-\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}{1+\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}

로 정의될 때, 수열

:

\left( \frac{4}{k_{n+1}} \right)^{2^{-n}}

는 ''e''^π에 수렴한다.

3. 2. 연분수 표현

e^\pi

는 다음과 같은 연분수 전개를 갖는다.

:

e^\pi=23+\cfrac 1{7+\cfrac 1{9+\cfrac 1{3+\cfrac 1{1+\cfrac 1{1+\cfrac 1{591+\cfrac 1{2+\cfrac 1{9+\cfrac 1{1+\cfrac 1{2+\cfrac 1{34+\ddots}}}}}}}}}}}

허수 단위 ''i''에 대하여, 오일러 공식에 의해

:

e^{ix} =\cos x+i\sin x

에서 다음과 같이 변형될 수 있다.

e^{\pi} =(e^{i \pi} )^{-i} =(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i} =(-1)^{-i}

i의 i승과 마찬가지로

e^{3\pi}

,

e^{5\pi}

…나

e^{-\pi}

,

e^{-3\pi}

… 등

e^{(2k+1)\pi}

(k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로,

(-1)^{-i}

가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "''a''를 0, 1이 아닌 대수적 수, ''b''를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, ''a''는 초월수이다"라는 내용이다. ''a'' = −1, ''b'' = −''i''는 이 조건을 만족하므로 (−1)는 초월수이다. 즉, ''e''^π는 초월수이다.

k_0 =\frac{1}{\sqrt{2}}

로 하고

:

k_n =\frac{1-\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}{1+\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}

로 정의될 때, 수열

:

\left( \frac{4}{k_{n+1}} \right)^{2^{-n}}

는 ''e''^π에 수렴한다.

''e''^π − π는 거의 정수이다.

:''e''^π − π = 19.99909997918947…

3. 3. 극한 공식

e^\pi

는 다음과 같은 극한을 통해 빠르게 근사할 수 있다.^[12]

:

e^\pi=\lim_{n\to\infty}(k_n/4)^{-1/2^{n-1}}

여기서

:

k_0=1/\sqrt 2

:

k_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}

여기서 ''i''를 허수 단위라고 할 때, ''e''^π는 오일러 공식에 의해

:

e^{ix} =\cos x+i\sin x

에서 다음과 같이 변형될 수 있다.

e^{\pi} =(e^{i \pi} )^{-i} =(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i} =(-1)^{-i}

단, i의 i승과 마찬가지로

e^{3\pi}

,

e^{5\pi}

…나

e^{-\pi}

,

e^{-3\pi}

… 등

e^{(2k+1)\pi}

(k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로,

(-1)^{-i}

가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "''a''를 0, 1이 아닌 대수적 수, ''b''를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, ''a''는 초월수이다"라는 내용이다. ''a'' = −1, ''b'' = −''i''는 이 조건을 만족하므로 (−1)는 초월수이다. 즉, ''e''^π는 초월수이다.

k_0 =\frac{1}{\sqrt{2}}

로 하고

:

k_n =\frac{1-\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}{1+\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}

로 정의될 때, 수열

:

\left( \frac{4}{k_{n+1}} \right)^{2^{-n}}

는 ''e''^π에 수렴한다.

''e''^π − π는 거의 정수이다.

:''e''^π − π = 19.99909997918947…

4. 수학적 성질

''e''^π는 오일러 공식에 의해 다음과 같이 변형될 수 있다.

: $e^{ix} =\cos x+i\sin x$

: $e^{\pi} =(e^{i \pi} )^{-i} =(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i} =(-1)^{-i}$

단, i의 i승과 마찬가지로 $e^{3\pi}$ , $e^{5\pi}$ …나 $e^{-\pi}$ , $e^{-3\pi}$ … 등 $e^{(2k+1)\pi}$ (k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로, $(-1)^{-i}$ 가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "''a''를 0, 1이 아닌 대수적 수, ''b''를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, ''a''는 초월수이다"라는 내용이다. ''a'' = −1, ''b'' = −''i''는 이 조건을 만족하므로 (−1)는 초월수이다. 즉, ''e''^π는 초월수이다.

$k_0 =\frac{1}{\sqrt{2}}$ 로 하고

: $k_n =\frac{1-\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}{1+\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}$

로 정의될 때, 수열

: $\left( \frac{4}{k_{n+1}} \right)^{2^{-n}}$

는 ''e''^π에 수렴한다.

''e''^π − π는 거의 정수이다.

:''e''^π − π = 19.99909997918947…

5. 유사하거나 관련된 상수

5. 1. 라마누잔 상수

수

e^{\pi\sqrt{163}}

는 라마누잔 상수로 알려져 있다. 십진법 전개는 다음과 같다.

:

e^{\pi\sqrt{163}}

= 262537412640768743.99999999999925007259...

이는 놀랍게도 정수

640320^3 + 744

에 매우 가깝다. 이는 Heegner 수의 응용으로 설명되며, 여기서 163은 해당 Heegner 수이다. 이 수는 1859년 수학자 샤를 에르미트에 의해 발견되었다.^[8] 1975년 ''사이언티픽 아메리칸'' 잡지의 만우절 기사에서^[9] "수학 게임" 칼럼니스트 마틴 가드너는 이 수가 사실 정수이며, 인도의 수학 천재 스리니바사 라마누잔이 이를 예측했다고 허위로 주장했다. - 따라서 이름이 붙여졌다. 라마누잔 상수는 또한 초월수이다.

수

640320^3 + 744

의 1조 분의 1 이내의 우연의 일치는 복소수 곱셈과 ''q''-확장 of the j-invariant에 의해 설명된다.

5. 2. 수 $e^{\pi} - \pi$

수

e^{\pi} - \pi

는 정수에 매우 가까우며, 그 소수 전개는 다음과 같다.^[10]

:

e^{\pi} - \pi

= 19.99909997918947576726...

이 겉보기에 놀라운 일치는 야코비 세타 함수와 관련된 합의 결과로 설명된다.^[10]

\sum_{k=1}^{\infty}\left( 8\pi k^2 -2 \right) e^{-\pi k^2} = 1.

첫 번째 항이 지배적인데,

k\geq 2

에 대한 항의 합이

\sim 0.0003436

이기 때문이다. 따라서 합은

\left( 8\pi -2\right) e^{-\pi}\approx 1,

로 절단될 수 있으며, 여기서

e^{\pi}

에 대해 풀면

e^{\pi} \approx 8\pi -2.

가 된다.

e^{\pi}

에 대한 근사를 다시 쓰고

7\pi \approx 22

에 대한 근사를 사용하면 다음과 같다.

e^{\pi} \approx \pi + 7\pi - 2 \approx \pi + 22-2 = \pi+20.

따라서 항을 재배열하면

e^{\pi} - \pi \approx 20.

이 된다. 아이러니하게도,

7\pi

에 대한 조잡한 근사는 정밀도의 추가 차수를 산출한다.^[10]

5. 3. 수 $\pi^e$

\pi^e

의 소수 전개는 다음과 같다.^[11]

:

\pi^{e} = 22.45915771836104547342...

이 수가 초월수인지 여부는 알려져 있지 않다.^[11] 겔폰트-슈나이더 정리에 따르면, a와 b가 대수적일 경우 (a와 b 모두 복소수로 간주),

a^b

가 초월수인지 여부를 확실하게 추론할 수 있다.

e^\pi

의 경우, 복소 지수 형태의 속성과

(-1)^{-i}

로 변환하여 겔폰트-슈나이더 정리를 적용할 수 있는 위의 등가성을 통해 이 수가 초월수임을 증명할 수 있다.

\pi^e

는 그러한 등가성을 갖지 않으므로, π와 e가 모두 초월수이므로, 겔폰트-슈나이더 정리를 사용하여

\pi^e

의 초월성에 대한 결론을 내릴 수 없다. 그러나 현재 증명되지 않은 샤누엘의 추측은 그 초월성을 암시한다.^[11]

5. 4. 수 $i^i$

복소 로그의 주값을 사용하여 다음을 계산할 수 있다.

i^{i} = (e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = (e^{\pi})^{-1/2}

이에 대한 소수 전개는 다음과 같다.

:

i^{i} =

0.20787957635076190854...

이 수의 초월성은

e^{\pi}

의 초월성으로부터 직접적으로 따른다.

참조

_[1] 웹사이트 A039661 - OEIS https://oeis.org/A03[...] 2024-10-27
_[2] 웹사이트 Gelfond's Constant https://mathworld.wo[...] 2024-10-27
_[3] 논문 Modular Functions and Transcendence Problems
_[4] arXiv Open Diophantine Problems 2004-01-24
_[5] 서적 Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems American Mathematical Society
_[6] 웹사이트 Sums of volumes of unit spheres https://www.johndcoo[...] 2019-05-26
_[7] 서적 Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century https://archive.org/[...] A K Peters
_[8] 서적 The Constants of Nature Jonathan Cape
_[9] 논문 Mathematical Games Scientific American, Inc 1975-04
_[10] 웹사이트 Almost Integer http://mathworld.wol[...]
_[11] 웹사이트 Schanuel’s Conjecture: algebraic independence of transcendental numbers https://webusers.imj[...] 2021
_[12] 서적 Mathematics by experiment. Plausible reasoning in the 21st century https://archive.org/[...] A K Peters 2008

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자연로그의 밑의 원주율 제곱

1. 개요

더 읽어볼만한 페이지

2. 값

3. 성질

3. 1. 초월성

3. 2. 연분수 표현

3. 3. 극한 공식

4. 수학적 성질

5. 유사하거나 관련된 상수

5. 1. 라마누잔 상수

5. 2. 수 e^{\pi} - \pi

5. 3. 수 \pi^e

5. 4. 수 i^i

참조

5. 2. 수 $e^{\pi} - \pi$

5. 3. 수 $\pi^e$

5. 4. 수 $i^i$