겔폰트-슈나이더 정리

3. 공식화와 응용

''a''와 ''b''가 대수적 수이고, ''a''가 0이나 1이 아니며, ''b''가 유리수가 아닌 무리수라면, ''a^b''는 초월수이다.^[5] 이 정리는 힐베르트의 7번째 문제에 대한 긍정적인 해답을 제시한다. 예를 들어, α가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고, β가 유리수가 아닌 대수적 수일 때, $\backslash alpha^\backslash beta$는 초월수이다.

3. 1. 설명

• 만약 ''a'', ''b''가 0이나 1과 같지 않은 대수적 수라면 log(b) / log(a)^영어는 유리수이거나 초월수이다.
• 만약 log(a), log(b)^영어가 유리수에 대해 선형으로 독립적이라면 그들은 대수적 수에도 선형으로 독립적이다.
• ''a''와 ''b''의 값은 실수에 제한되지 않으며 복소수도 허용된다.
• 일반적으로 a^b = exp(''b'' log ''a'')^영어는 다가 함수이며 여기서 로그는 복소수 로그를 나타낸다.
• ''α''와 ''γ''가 0이 아닌 대수적 수이고 ''α''의 0이 아닌 로그들을 취한다면 (log ''γ'')/(log ''α'')^영어는 유리수 또는 초월수이다.
• ''a''와 ''b''가 대수라는 제한이 제거되면 일반적으로 문장은 참으로 유지되지 않는다. 예를 들어 에서 ''a''는 이며, 이는 초월적이다.
• 쿠르트 말러는 이 정리의 ''p''진수 유사성을 증명했다.

4. 따름정리

다음 숫자의 초월성은 겔폰트-슈나이더 정리로부터 즉시 도출된다.

• 겔폰트-슈나이더 상수 $2^\{\backslash sqrt\{2\}\}$와 그 제곱근 $\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}\}.$
• 겔폰트 상수 $e^\{\backslash pi\}\; =\; \backslash left(\; e^\{i\; \backslash pi\}\; \backslash right)^\{-i\}\; =\; (-1)^\{-i\}\; =\; 23.14069263\; \backslash ldots$
• $i^i\; =\; \backslash left(\; e^\{\backslash frac\{i\; \backslash pi\}\{2\}\}\; \backslash right)^i\; =\; e^\{-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\; =\; 0.207879576\; \backslash ldots$

5. 예시

다음 숫자의 초월성은 겔폰트-슈나이더 정리로부터 도출된다.

• 겔폰트-슈나이더 상수 $2^\{\backslash sqrt\{2\}\}$와 제곱근 $\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}\}.$
• 겔폰트 상수 $e^\{\backslash pi\}\; =\; \backslash left(\; e^\{i\; \backslash pi\}\; \backslash right)^\{-i\}\; =\; (-1)^\{-i\}\; =\; 23.14069263\; \backslash ldots$
• $i^i\; =\; \backslash left(\; e^\{\backslash frac\{i\; \backslash pi\}\{2\}\}\; \backslash right)^i\; =\; e^\{-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\; =\; 0.207879576\; \backslash ldots$

• 유리수가 아닌 대수적 수 $\backslash alpha$ 에 대한 $\backslash sin\{\backslash alpha\backslash pi\}$, $\backslash cos\{\backslash alpha\backslash pi\}$, $\backslash tan\{\backslash alpha\backslash pi\}$
• $i\backslash alpha$ 가 유리수가 아닌 대수적 수 $\backslash alpha$ 에 대한 $\backslash sinh\{\backslash alpha\backslash pi\}$, $\backslash cosh\{\backslash alpha\backslash pi\}$, $\backslash tanh\{\backslash alpha\backslash pi\}$
• 곱셈적으로 독립^[2]이며 0, 1이 아닌 대수적 수 $\backslash alpha,\backslash \; \backslash beta$ 에 대한 $\backslash log\{\backslash alpha\}/\backslash log\{\backslash beta\}$

6. 확장

• ''a''와 ''b''의 값은 실수에 국한되지 않으며, 복소수도 허용된다(여기서 복소수는 허수부가 0이 아닌 경우, 실수부와 허수부 모두가 유리수이더라도 유리수로 간주되지 않는다).
• 일반적으로 ''a''^''b'' = exp(''b'' log ''a'')는 다중값 함수이며, 여기서 log는 복소 자연 로그를 나타낸다. (이것은 지수 함수 exp의 다중값 역함수이다.) 이는 정리의 문구에서 "어떤 값"이라는 표현을 설명한다.
• 이 정리의 동치 공식은 다음과 같다. 만약 ''α''와 ''γ''가 0이 아닌 대수적 수이고, ''α''의 0이 아닌 로그를 취하면, (log ''γ'')/(log ''α'')는 유리수이거나 초월수이다. 이는 만약 log ''α'', log ''γ''가 유리수에 대해 선형 독립이면, 대수적 수에 대해서도 선형 독립이라는 것을 의미한다. 이 명제를 여러 대수적 수의 로그의 선형 형식으로 일반화하는 것은 초월수론의 영역에 속한다.
• ''a''와 ''b''가 대수적 수라는 제약이 제거되면, 일반적인 경우 명제가 참이 아니다. 예를 들어,

• 쿠르트 말러는 이 정리의 ''p''-진수 유사체를 증명했다. 만약 ''a''와 ''b''가 '''C'''_''p''에 있고, '''Q'''_''p''의 대수적 폐포의 완비이며, '''Q'''에 대해 대수적이고, 이고 이면, $(\backslash log\_p\; a)/(\backslash log\_p\; b)$는 유리수이거나 초월수이다. 여기서 log_''p''는 ''p''-진수 로그 함수이다.

참조

_[1] 간행물 Sur le septième Problème de Hilbert http://mi.mathnet.ru[...]
_[2] 문서 整数 $k,\backslash \; l$ に対して、$\backslash alpha^k\; \backslash beta^l\; =\; 1$ ならば、$k\; =\; l\; =\; 0$ が成り立つとき、$\backslash alpha,\backslash \; \backslash beta$ は、乗法的独立であるという。
_[3] 간행물 Sur le septième Problème de Hilbert http://mi.mathnet.ru[...]
_[4] 간행물 Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen
_[5] 웹인용 Алгебраические и трансцендентные числа http://kvant.mccme.r[...] 2017-08-09