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1. 개요
2. 초등 집합론에서
3. 벤 다이어그램과 전체집합
4. 일반 수학에서의 전체집합
5. 집합론에서의 전체집합
6. 술어 논리에서의 전체집합
7. 범주론에서의 전체집합
8. 타입 이론에서의 전체집합
참조

1. 개요

전체집합은 집합론, 수학, 논리학 등에서 사용되는 개념으로, 특정 맥락에서 고려되는 모든 대상의 집합을 의미한다. 초등 집합론에서는 임의의 집합을 전체집합으로 지정할 수 있으며, 벤 다이어그램에서는 큰 직사각형으로 표현된다. 일반 수학에서는 주어진 집합 X의 부분집합, 관계, 함수 등을 다루기 위해 X보다 더 큰 상부구조를 전체집합으로 고려할 수 있다. 집합론에서는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 SN을 전체집합으로 간주하며, 술어 논리에서는 양화사가 적용되는 개체의 집합을, 범주론에서는 그로텐디크 우주를 통해 전체집합 개념을 사용한다. 타입 이론에서는 타입 자체를 항으로 간주하는 우주 개념을 사용하며, 지라르의 역설을 피하기 위해 우주의 계층 구조를 가진다.

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2. 초등 집합론에서

매우 직관적인 소박한 집합론(naive set theory)에서는 임의의 집합을 전체집합으로 지정할 수 있다. 이때, 전체집합 U의 부분집합 A에 대해, A에 포함되지 않는 U의 원소들의 집합을 A의 여집합으로 정의할 수 있다. 예를 들어 자연수 집합을 전체집합으로 놓았을 때, 그 부분집합인 홀수의 집합의 여집합은 짝수의 집합이다.

연구 대상이 특정 집합에 국한되어 있는 한 ''어떤'' 집합이든 전체 집합이 될 수 있다. 연구 대상이 실수로 구성되어 있다면, 실수 집합인 실수선 '''R'''이 고려 대상이 되는 전체 집합이 될 수 있다. 이는 게오르크 칸토어가 1870년대와 1880년대에 실해석학에 적용하여 현대적인 순진 집합론과 기수를 처음 개발했을 때 사용했던 전체 집합이다. 칸토어가 원래 관심을 가졌던 집합은 '''R'''의 부분 집합뿐이었다.

이러한 전체 집합의 개념은 벤 다이어그램의 사용에 반영되어 있다. 벤 다이어그램에서 작업은 전통적으로 전체 집합 ''U''를 나타내는 큰 직사각형 내부에서 이루어진다. 일반적으로 집합은 원으로 표현되지만, 이 집합들은 ''U''의 부분 집합일 수밖에 없다. 집합 ''A''의 여집합은 ''A''의 원 밖의 직사각형 부분으로 주어지는데, 엄밀히 말하면, 이것은 ''U''에 대한 ''A''의 상대 여집합 ''U'' \ ''A''이지만, ''U''가 전체 집합인 상황에서는 ''A''의 절대 여집합 ''A''^C으로 간주할 수 있다. 마찬가지로 영 교집합의 개념, 즉 영 집합(무(無) 집합이 아닌 집합 없음)의 교집합의 개념이 있다.

전체 집합이 없으면 영 교집합은 절대적인 모든 것의 집합이 될 것이고, 이는 일반적으로 불가능하다고 간주되지만, 전체 집합을 염두에 두면 영 교집합은 고려 대상인 모든 것의 집합으로 취급할 수 있으며, 이는 단순히 ''U''이다. 이러한 관례는 부울 격자를 기반으로 하는 기본적인 집합론에 대한 대수적 접근 방식에서 매우 유용하다.

3. 벤 다이어그램과 전체집합

벤 다이어그램에서 전체집합은 일반적으로 큰 직사각형으로 표현되며, 이 직사각형 내부의 원으로 다른 집합들을 표현한다. 집합 A의 여집합은 벤 다이어그램에서 A의 원 바깥쪽, 직사각형 내부 영역으로 표현된다. 이는 전체집합 U에 대한 A의 상대 여집합 U \ A와 같으며, U가 전체집합일 때는 A의 절대 여집합 AC로 간주된다.

전체집합이 없으면 영 교집합은 모든 것의 집합이 되지만, 전체집합이 있으면 고려 대상인 모든 것의 집합, 즉 U가 된다. 이러한 개념은 부울 격자를 기반으로 하는 집합론의 대수적 접근 방식에서 유용하게 사용된다.

4. 일반 수학에서의 전체집합

일반 수학에서 주어진 집합 *X*의 부분집합, 이항 관계, 함수 등을 다룰 때, *X*보다 더 큰 전체집합이 필요할 수 있다. 이러한 필요에 의해 *X*에 대한 상부구조(superstructure)를 고려할 수 있다.

집합 *X* 상의 상부구조 SX는 멱집합 연산과 합집합 연산을 반복 적용하여 얻어지는 모든 집합들의 합집합으로, 다음과 같이 정의된다.

S₀*X* = *X*
S_n+1*X* = S_n*X* ∪ P(S_n*X*) (여기서 P는 멱집합)
S*X* = ∪_i=0^∞ S_i*X*

어떤 집합 *X*에서 시작하든, 공집합 {}은 S₁*X*에 속하며, 이는 폰 노이만 순서수 [0]에 해당한다. {[0]}은 S₂*X*에 속하며, 이는 폰 노이만 순서수 [1]이다. 이 과정을 통해 모든 자연수가 상부구조에서 표현된다. *x*와 *y*가 상부구조에 속하면, 순서쌍 (*x*, *y*)를 나타내는 도 상부구조에 속하게 되어, 다양한 데카르트 곱을 포함한다. 또한, 함수와 관계도 데카르트 곱의 부분집합으로 표현되므로 상부구조에 포함된다.

공집합 {}에서 시작하는 상부구조 S({})는 모든 유한 집합을 포함하며, 유한주의 수학의 전체로 간주될 수 있다. 19세기 유한주의자 레오폴트 크로네커는 각 자연수의 존재는 믿었지만, 자연수 집합 N의 존재는 믿지 않았는데, 이러한 관점은 S({})와 유사하다.

일반적인 수학에서는 자연수 집합 N에 대한 상부구조 S(N)이 전체집합으로 간주될 수 있다. 예를 들어, 데데킨트 컷과 같은 일반적인 실수 구성은 SN에 속한다.

5. 집합론에서의 전체집합

에른스트 체르멜로가 1908년에 개발한 체르멜로 집합론은 일반적인 수학을 공리화한 초기 공리적 집합론이다. '''SN'''은 체르멜로 집합론의 모형이다. 그러나 체르멜로 집합론은 치환 공리가 없어, 1922년에 치환 공리가 추가된 체르멜로-프렝켈 집합론이 현재 가장 널리 받아들여지는 공리 집합이 되었다.

일반적인 수학은 '''SN''' "안에서" 수행될 수 있지만, '''SN'''에 대한 논의는 "일반적인" 범위를 넘어 메타수학으로 확장된다. 강력한 집합론이 도입되면, 초구조 과정은 초한 귀납법의 시작에 불과하다.

폰 노이만 우주 ''V''는 모든 ''V''_''i''의 합집합으로, 각 ''V''_''i''는 집합이지만, ''V''는 진계급이다. 기초의 공리는 모든 집합이 폰 노이만 전체 ''V''에 속한다고 말한다.

6. 술어 논리에서의 전체집합

일차 논리의 해석에서, 전체집합(또는 담론 영역)은 양화사가 적용되는 개체(개별 상수)의 집합이다. 예를 들어 와 같은 명제는 담론 영역이 식별되지 않은 경우 모호하다. 담론 영역이 실수 집합이면 이 명제는 거짓이며, }}가 반례가 된다. 반면 담론 영역이 자연수 집합이면 이 명제는 참인데, 2는 어떤 자연수의 제곱도 아니기 때문이다.

7. 범주론에서의 전체집합

범주론은 그로텐디크 우주라는 개념을 통해 집합론에 접근한다.^[1] 그로텐디크 우주는 집합론의 일반적인 연산을 수행할 수 있는 집합이다.^[1]

x ∈ u ∈ U는 x ∈ U를 의미한다.
u ∈ U이고 v ∈ U이면, {u, v}, (u, v) 및 u × v ∈ U이다.
x ∈ U이면, 𝒫x ∈ U이고 ∪x ∈ U이다.
ω ∈ U (여기서 ω = {0, 1, 2, ...}는 모든 서수의 집합이다.)
f: a → b가 a ∈ U이고 b ⊂ U인 전사 함수이면, b ∈ U이다.

그로텐디크 우주 ''U''는 모든 집합의 범주를 대체하는 데 사용된다.^[1] 집합 ''S''가 ''U''에 속하면(''S'' ∈ ''U'') ''U''-작은 집합(U-small)이고, 그렇지 않으면 ''U''-큰 집합(U-large)이다. 모든 ''U''-작은 집합을 대상으로 하고, 그들 사이의 모든 함수를 사상으로 하는 범주를 ''U''-'''Set'''이라 한다.^[1] ''U''-'''Set'''의 대상 집합과 사상 집합은 모두 집합이므로, 고유 클래스를 사용하지 않고 "모든" 집합의 범주를 논의할 수 있다.

수학자들은 종종 우주 공리를 가정한다.^[2] 우주 공리는 "임의의 집합 ''x''에 대해, ''x'' ∈ ''U''인 우주 ''U''가 존재한다"는 것이다.^[2] 이 공리는 접근 불가능한 기수의 존재와 밀접하게 관련되어 있다.^[2]

8. 타입 이론에서의 전체집합

타입 이론에서 타입 자체는 항으로 간주될 수 있다. 타입들을 요소로 갖는 타입을 우주( $\mathcal{U}$ 로 표기)라고 한다. 지라르의 역설(타입 이론에서 러셀의 역설과 유사)을 피하기 위해, 타입 이론은 우주의 가산 무한 계층 구조를 가지며, 각 우주는 다음 우주의 항이 된다.^[3]^[4]^[5]

타입 이론에서 고려할 수 있는 우주는 '''러셀 스타일 우주'''와 '''타르스키 스타일 우주''' 두 가지가 있다.^[3] 러셀 스타일 우주는 항이 타입인 타입이다.^[3] 타르스키 스타일 우주는 해석 연산과 함께 제공되어 항을 타입으로 간주할 수 있게 해주는 타입이다.^[3]

마틴-뢰프 형식 이론에서 타입 우주는 반사 원리를 따른다.^[6]

참조

_[1] 서적 Mac Lane 1998
_[2] 논문 Universes for category theory 2013-04-18
_[3] 웹사이트 Universe in Homotopy Type Theory https://ncatlab.org/[...]
_[4] 문서 Notes on Universes in Type Theory http://www.cs.rhul.a[...] 2012
_[5] 서적 Intuitionistic Type Theory Bibliopolis 1984
_[6] 간행물 The Constructive Hilbert Program and the Limits of Martin-Löf Type Theory https://link.springe[...] 2022-09-21

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