정규화 사슬 복합체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 구성
- 5.1. 정규화 사슬 복합체
6. 역사
참조

1. 개요

정규화 사슬 복합체는 아벨 범주와 준단체 대상, 또는 단체 대상 사이에서 정의되는 사슬 복합체이다. 무어 사슬 복합체, 퇴화 사슬 복합체, 정규화 사슬 복합체 등의 개념을 포함하며, 짧은 완전열, 표준 분해, 돌트-칸 대응 등의 성질을 갖는다. 돌트-칸 대응은 단순 아벨 군의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 범주 동치를 제공하며, 모형 범주 구조를 통해 퀼런 동치를 이룬다. 1958년 알브레히트 돌트와 다니엘 칸에 의해 독립적으로 발견되었으며, 돌트-칸 대응과 칸 확장의 개념을 포함한다.

더 읽어볼만한 페이지

호몰로지 대수학 - 미분 등급 대수
미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다.
호몰로지 대수학 - 가환 그림
가환 그림은 대상, 사상, 경로 또는 합성으로 이루어진 구조로, 대수학에서 사상의 종류를 화살표 기호로 나타내고 점선 화살표로 사상의 존재성을 표시하며, 부분 다각형 그림이 가환적일 때 전체 그림이 가환적이라고 정의되고, 범주론에서 함자로 해석되며 호몰로지 대수학에서 사상의 성질 증명에 활용된다.
호모토피 이론 - 모노드로미
모노드로미는 연결 국소 연결 공간의 피복 공간에서 기본군의 작용으로 이해되는 개념으로, 모노드로미 작용에 대응하는 군 준동형의 상인 모노드로미 군을 통해 복소해석학, 리만 기하학, 미분방정식 등 다양한 분야에서 활용되며 갈루아 이론과도 관련된다.
호모토피 이론 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.

정규화 사슬 복합체

2. 정의

아벨 범주 $\mathcal A$ 가 주어졌을 때, 돌트-칸 대응(Dold-Kan correspondence)의 핵심 개념은 다음과 같다.

'''준단체 대상'''(semisimplicial object): 준단체 범주( $\triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}}$ )에서 $\mathcal A$ 로 가는 함자(functor)이다.
'''단체 대상'''(simplicial object): 단체 범주( $\triangle^{\operatorname{op}}$ )에서 $\mathcal A$ 로 가는 함자이다.
'''사슬 복합체'''(chain complex): 아벨 범주 $\mathcal A$ 의 대상 $C_i$ 와 사상(morphism) $\partial_i$ 으로 구성되며, $\partial_i \circ \partial_{i+1} = 0$ 을 만족한다.

준단체 대상

M_\bullet

의 '''무어 사슬 복합체'''(Moore chain complex)는 다음과 같이 정의된다.^[5]

:

\operatorname C_n(M) = M_n \qquad (n\in\mathbb N)

:

\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i} M_i \qquad (n\in\mathbb N)

단체 대상

M_\bullet

에 대해, '''퇴화 사슬 복합체'''(degenerate chain complex)

\operatorname D_\bullet(M)

와 '''정규화 사슬 복합체'''(normalized chain complex)

\operatorname N_\bullet(M)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname D_\bullet(M) = \operatorname{im} f_n

:

\operatorname N_\bullet(M) = \ker g_n

여기서,

:

f_n \colon \coprod_{i=0}^{n-1} s_{n,i} \colon M_{n-1}^{\oplus n} \to M_n

:

g_n \colon \prod_{i=0}^{n-1} \partial_{n,i} \colon M_n \to M_{n+1}^{\oplus n}

이며,

g_n

에서 합은

i=n

을 포함하지 않는다.

2. 1. 무어 복합체

아벨 범주

\mathcal A

와 준단체 대상

M_\bullet \colon \triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}}\to \mathcal A

가 주어졌을 때, 무어 사슬 복합체는 다음과 같이 정의된다.^[5]

:

\operatorname C_n(M) = M_n \qquad (n\in\mathbb N)

:

\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i} M_i \qquad (n\in\mathbb N)

이때,

(\operatorname C_\bullet(M),\partial_\bullet)

은 사슬 복합체를 이룬다.^[5]

'''증명:'''

편의상 집합

:

S=\{0,\dotsc,n-1\} \times \{0,\dotsc, n\}

:

S_+ = \{(i,j)\in S\colon i < j \}

:

S_- = \{(i,j)\in S\colon i \ge j \}

을 정의하면, 이 둘 사이에는 전단사 함수

:

S_+ \to S_-

:

(j,i+1) \mapsto (i,j)

가 존재한다.

단체 항등식을 사용하면,

:

\begin{aligned}\partial_{n-1} \circ \partial_n &=\sum_{(i,j)\in S} \partial_{n-1,i}\circ\partial_{n,j} \\&=\sum_{(i,j)\in  S_+} (-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}+\sum_{(i,j)\in  S_-} (-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j} \\&=\sum_{(i,j)\in  S_-}\left((-)^{j+i-1} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}+(-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}\right)=0\end{aligned}

이 성립한다.

단순 아벨 군

A_\bullet \in \text{Ob}(\text{s}\textbf{Ab})

이 주어지면, '''정규화 사슬 복합체''' ('''무어 복합체'''라고도 함)

NA_\bullet

이 존재하며, 다음과 같은 항을 갖는다.

:

NA_n = \bigcap^{n-1}_{i=0}\ker(d_i) \subset A_n

미분은 다음과 같다.

:

NA_n \xrightarrow{(-1)^nd_n} NA_{n-1}

이 미분은 단순 항등식

d_i \circ d_n = d_{n-1}\circ d_i : A_n \to A_{n-2}

때문에 잘 정의된다.

d_n : NA_n \to A_{n-1}

의 이미지가 각

d_i:NA_{n-1} \to NA_{n-2}

의 커널에 있기 때문이다. 이는

NA_n

의 정의에 의해

d_i(NA_n) = 0

이기 때문이다.

이러한 미분을 합성하면 가환 다이어그램

:

NA_n \xrightarrow{(-1)^nd_n} NA_{n-1} \xrightarrow{(-1)^{n-1}d_{n-1}} NA_{n-2}

을 얻는다. 합성 맵은

(-1)^n(-1)^{n-1}d_{n-1}\circ d_n

이며, 이 합성은 단순 항등식

d_{n-1}\circ d_n = d_{n-1}\circ d_{n-1}

및 포함 관계

\text{Im}(d_n) \subset NA_{n-1}

때문에 영 맵이다. 따라서 정규화 사슬 복합체는

\text{Ch}_{\geq 0 }(\textbf{Ab})

의 사슬 복합체이다.

단순 아벨 군이

:

A_\bullet : \text{Ord} \to \textbf{Ab}

의 함자이고, 사상

A_\bullet \to B_\bullet

가 자연 변환으로 주어지므로, 단순 항등식의 맵이 여전히 유지된다는 의미이며, 정규화 사슬 복합체 구성은 함자적이다.

2. 2. 사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상

다음이 주어졌다고 하자.

아벨 범주 $\mathcal A$
$\mathcal A$ 속의 자연수 등급 사슬 복합체

:

\dotsb \to C_2 \xrightarrow{\partial_2} C_1 \xrightarrow{\partial_1} C_0 \to 0

이제,

C_\bullet

에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다.

:

M(n) = C_n

:

M(\partial_{n,i}) \colon C_n \to C_{n-1}

:

M(\partial_{n,i}) = \begin{cases}0 & 0 \le i \le n-1 \\(-)^n \partial_n & i = n\end{cases}

2. 3. 퇴화 복합체와 정규화 복합체

아벨 범주

\mathcal A

와 단체 대상

M_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}}\to \mathcal A

가 주어졌다고 하자.

:

f_n \colon \coprod_{i=0}^{n-1} s_{n,i} \colon M_{n-1}^{\oplus n} \to M_n

:

g_n \colon \prod_{i=0}^{n-1} \partial_{n,i} \colon M_n \to M_{n+1}^{\oplus n}

(※

g_n

에서, 합이

i=n

을 포함하지 않는다.)

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

:

\operatorname D_\bullet(M) = \operatorname{im} f_n

:

\operatorname N_\bullet(M) = \ker g_n

그러면

(\operatorname D_\bullet(M),\partial_\bullet)

와

(\operatorname N_\bullet(M),\partial_\bullet)

둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다.

\operatorname D_\bullet(M)

을 '''퇴화 사슬 복합체'''(退化사슬複合體, degenerate chain complex^영어)라고 하며,

\operatorname N_\bullet(M)

을 '''정규화 사슬 복합체'''(正規化사슬複合體, normalized chain complex^영어)라고 한다.

'''퇴화 사슬 복합체의 존재 증명:'''

퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 충분하다.

:

\partial_{n+1} \circ s_{n,i} = \sum_{j=0}^n s_{n,j}\circ \phi_{i,j}

여기서

\phi_{i,j}

는 임의의 사상이다.

그런데

:

\begin{aligned}\partial_{n+1}\circ \circ s_{n,i}& = \sum_{j=0}^{n+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} \\& = \sum_{j=0}^{i-1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} + \sum_{j=i}^{i+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} + \sum_{j=i+1}^{n+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} \\&= \sum_{j=0}^{i-1}(-)^j s_{n-1,i-1} \circ \partial_{n,j} + \sum_{j=i}^{i+1}(-)^j + \sum_{j=i+1}^{n+1}(-)^j s_{n-1,i}  \circ \partial_{n,j-1} \\&= s_{n-1,i-1} \circ \left(\sum_{j=0}^{i-1} (-)^j  \partial_{n,j}\right) - s_{n-1,i}  \circ \left(\sum_{j=i}^n(-)^j \partial_{n,j}\right) \\\end{aligned}

이다.

'''정규화 사슬 복합체의 존재 증명:'''

g_{n+1}

의 핵의 경계가

g_n

의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 충분하다.

:

\partial_{n,i}\circ\partial_{n+1} =\sum_{j=1}^n \phi_{i,j} \circ \partial_{n+1,j}\qquad(j < n)

여기서

\phi_{i,j}

는 임의의 사상이다.

그런데

:

\begin{aligned}\partial_{n,i}\circ\partial_{n+1}&= \sum_{j=0}^{n+1} \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \\&= \left(\sum_{j=0}^n \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \right)+ (-)^{n+1} \partial_{n,i} \circ \partial_{n+1,n+1} \\&= \left(\sum_{j=0}^n \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \right)+ (-)^{n+1} \partial_{n,n} \circ \partial_{n+1,i} \\\end{aligned}

이다.

단순 아벨 군

A_\bullet \in \text{Ob}(\text{s}\textbf{Ab})

이 주어지면, '''정규화 사슬 복합체''' ('''무어 복합체'''라고도 함)

NA_\bullet

이 존재하며, 다음과 같다.

:

NA_n = \bigcap^{n-1}_{i=0}\ker(d_i) \subset A_n

미분은 다음과 같다.

:

NA_n \xrightarrow{(-1)^nd_n} NA_{n-1}

이 미분은 단순 항등식 때문에 잘 정의된다.

:

d_i \circ d_n = d_{n-1}\circ d_i \colon A_n \to A_{n-2}

이를 통해

d_n \colon NA_n \to A_{n-1}

의 이미지가 각

d_i\colon NA_{n-1} \to NA_{n-2}

의 커널에 있음을 알 수 있다. 이는

NA_n

의 정의에 의해

d_i(NA_n) = 0

이기 때문이다.

이제 이러한 미분을 합성하면, 다음과 같은 가환 다이어그램을 얻는다.

:

NA_n \xrightarrow{(-1)^nd_n} NA_{n-1} \xrightarrow{(-1)^{n-1}d_{n-1}} NA_{n-2}

합성 맵은

(-1)^n(-1)^{n-1}d_{n-1}\circ d_n

이다. 이 합성은 단순 항등식

d_{n-1}\circ d_n = d_{n-1}\circ d_{n-1}

및 포함 관계

\text{Im}(d_n) \subset NA_{n-1}

때문에 영 맵이다. 따라서 정규화 사슬 복합체는

\text{Ch}_{\geq 0 }(\textbf{Ab})

의 사슬 복합체이다. 단순 아벨 군이

A_\bullet \colon \text{Ord} \to \textbf{Ab}

의 함자이고, 사상

A_\bullet \to B_\bullet

가 자연 변환으로 주어지므로, 단순 항등식의 맵이 여전히 유지된다는 의미이며, 정규화 사슬 복합체 구성은 함자적이다.

2. 4. 준단체 대상에 대응하는 단체 대상

아벨 범주

\mathcal A

속의 준단체 대상

:

C \colon \triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}} \to \mathcal A

이 주어졌을 때,

\mathcal A

위의 단체 대상은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\sigma(C_n) = \bigoplus_{m=0}^n \bigoplus_{\operatorname{Surj}(n,m)} C_m

이는 각

\phi\in\operatorname{Surj}(n,m)

에 대한 포함 사상

:

\beta_\phi \colon C_m \hookrightarrow \sigma(C_n)

을 갖는다.

단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주

\triangle

속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다.

임의의 단체 범주 사상

:

f\in \hom_\triangle(m,n)

에 대하여,

:

\sigma(f) \colon \sigma(C_n) \to \sigma(C_m)

은 다음과 같다.

:

\sigma(f) = \coprod_{\scriptstyleg\in \operatorname{Surj}(n,k) \atop \scriptstyle \iota\circ\phi = g\circ f }\beta_\phi \circ C(\iota)

여기서,

$\iota\circ\phi = g\circ f$ 은 $(\iota,\phi)$ 가 $g\circ f\in \hom_\triangle(m, k)$ 의, 단사 함수( $\iota\colon\{0,\dotsc, n'\}\hookrightarrow \{0,\dotsc, k\}$ )와 전사 함수( $\phi\colon\{0,\dotsc, m\}\twoheadrightarrow\{0,\dotsc, n'\}$ )로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
$C(\iota) \colon C_k \to C_{n'}$ 은 함자 $C\colon\triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}} \to \mathcal A$ 아래의, $\iota\in\hom_{\triangle_{\operatorname{pre}}}(n',k)$ 의 상이다.

3. 성질

아벨 범주 $\mathcal A$ 속의 단체 대상 $M_\bullet$ 에 대하여, 정규화 사슬 복합체 $\operatorname N_\bullet (M)$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname N_\bullet (M) \cong \frac{\operatorname C_\bullet(M)}{\operatorname D_\bullet(M)}$

여기서 $\operatorname C_\bullet(M)$ 은 사슬 복합체, $\operatorname D_\bullet(M)$ 은 그 부분 복합체이다.

정규화 사슬 복합체는 돌트-칸 대응의 주요 성질들을 가지며, 단체 대상과 사슬 복합체 사이의 관계를 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

3. 1. 짧은 완전열

아벨 범주

\mathcal A

속의 단체 대상

M_\bullet

에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다.

:

0 \to \operatorname D_\bullet(M) \to \operatorname C_\bullet(M) \to \operatorname N_\bullet(M) \to 0

즉, 다음이 성립한다.

:

\operatorname N_\bullet (M) \cong \frac{\operatorname C_\bullet(M)}{\operatorname D_\bullet(M)}

3. 2. 정규 사슬 복합체의 표준 분해

아벨 범주

\mathcal A

속의 단체 대상

M_\bullet

에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.

:

i_n \colon \bigoplus_{m=0}^n \bigoplus_{\operatorname{Surj}(n,m)} \operatorname N_k(M) \cong \operatorname C_n(M)

이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.

:

i_n = \coprod_{m=0}^n \coprod_{f\in\operatorname{Surj}(n,m)} M(f^{\operatorname{op}})

여기서

:

M(f^{\operatorname{op}}) \colon \operatorname N_m(M) \to M_n

은 함자

M \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \mathcal A

아래

f^{\operatorname{op}}\in\hom_{\triangle^{\operatorname{op}}}(m^{\operatorname{op}},n^{\operatorname{op}})

의 상이다.

3. 3. 돌트-칸 대응

아벨 범주

\mathcal A

위에서, 단체 대상의 범주

\operatorname s(\mathcal A)

와 자연수 등급의 사슬 복합체들의 범주

\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)

사이에는 범주의 동치가 존재한다.

:

\operatorname s(\mathcal A) \leftrightarrows \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)

이 동치는 다음 두 함자로 정의된다.

$\operatorname N\colon \operatorname s(\mathcal A) \to \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)$ 는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
$\Gamma \colon \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A) \to \operatorname s(\mathcal A)$ 는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다.

이 범주의 동치는 다음과 같은 자연 동형으로부터 유도된다.

:

\operatorname N \circ \operatorname \Gamma \Rightarrow 1_{\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)}

:

\operatorname \Gamma \circ \operatorname N \Rightarrow 1_{\operatorname s(\mathcal A) }

이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다.

:

\operatorname N\dashv \operatorname \Gamma

:

\operatorname\Gamma\dashv \operatorname N

심플리셜 아벨 군의 범주 '''sAb'''와 음이 아닌 등급의 사슬 복합체의 범주 Ch_≥0('''Ab''') 사이의 돌드-칸 대응은 함자^[1]를 통해 구성되며, 이 함자들은 범주 동치를 이룬다. 첫 번째 함자는 정규화된 사슬 복합체 함자이다.

$N:s\textbf{Ab} \to \text{Ch}_{\geq 0}(\textbf{Ab})$

두 번째 함자는 사슬 복합체로부터 심플리셜 아벨 군을 구성하는 "심플리셜화" 함자이다.

$\Gamma:\text{Ch}_{\geq 0}(\textbf{Ab}) \to s\textbf{Ab}$

이 동치는 '''신경-실현 패러다임'''^[3]('''신경-실현 컨텍스트''')이라고 불리는 특수한 유형의 수반 관계의 예시이며, 이 수반 관계는 [https://ncatlab.org/nlab/show/cosimplicial+object 코시심플리셜 대상]

dk: \Delta^{\text{op}}\to \text{Ch}_{\geq 0}(\textbf{Ab})

에 의해 결정되며, 다음과 같은 형태를 취한다.

$\Gamma = \mathrm{Lan}_y dk : \text{Ch}_{\geq 0}(\textbf{Ab}) \dashv s\textbf{Ab} : \mathrm{Lan}_{dk} y = N$

여기서 왼쪽 칸 연장을 사용하고

y

는 요네다 임베딩이다.

3. 4. 모형 구조

돌트-칸 대응을 사용하여,

\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)

위의 모형 범주 구조를

\operatorname s(\mathcal A)

에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은

\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)

와

\operatorname s(\mathcal A)

사이의 퀼런 동치를 이룬다.^[1]

이 경우,

\operatorname s(\mathcal A)

의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.^[1]

4. 예시

차수 ''n''에 아벨 군 ''A''를 가지고 다른 모든 차수에서는 0을 갖는 사슬 복합체 ''C''에 대해, 해당하는 단체 군은 에일렌베르크-맥레인 공간 $K(A, n)$ 이다.

5. 구성

심플리셜 아벨 군의 범주 '''sAb'''와 음이 아닌 등급의 사슬 복합체의 범주 Ch_≥0('''Ab''') 사이의 돌드-칸 대응은 일련의 함자^[1]를 통해 명시적으로 구성될 수 있으며, 이 함자들은 범주 동치를 이룬다. 첫 번째 함자는 정규화된 사슬 복합체 함자이다.

$N:s\textbf{Ab} \to \text{Ch}_{\geq 0}(\textbf{Ab})$

두 번째 함자는 사슬 복합체로부터 심플리셜 아벨 군을 구성하는 "심플리셜화" 함자이다.

$\Gamma:\text{Ch}_{\geq 0}(\textbf{Ab}) \to s\textbf{Ab}$

이들은 '''신경-실현 패러다임'''^[3]('''신경-실현 컨텍스트''')이라고 불리는 특수한 유형의 수반 관계의 예시이며, 이 수반 관계는 [https://ncatlab.org/nlab/show/cosimplicial+object 코시심플리셜 대상]

dk: \Delta^{\text{op}}\to \text{Ch}_{\geq 0}(\textbf{Ab})

에 의해 결정된다. 이 수반 관계는 다음과 같은 형태를 취한다.

$\Gamma = \mathrm{Lan}_y dk : \text{Ch}_{\geq 0}(\textbf{Ab}) \dashv s\textbf{Ab} : \mathrm{Lan}_{dk} y = N$

여기서

y

는 요네다 임베딩이고, 왼쪽 칸 연장이 사용되었다.

5. 1. 정규화 사슬 복합체

심플리셜 아벨 군의 범주 '''sAb'''와 음이 아닌 등급의 사슬 복합체의 범주 Ch_≥0('''Ab''') 사이의 돌드-칸 대응은 일련의 함자^[1]를 통해 명시적으로 구성될 수 있으며, 이 함자들은 범주 동치를 이룬다. 첫 번째 함자는 정규화된 사슬 복합체 함자이다.

$N:s\textbf{Ab} \to \text{Ch}_{\geq 0}(\textbf{Ab})$

단순 아벨 군

A_\bullet \in \text{Ob}(\text{s}\textbf{Ab})

이 주어지면, '''정규화 사슬 복합체''' ('''무어 복합체'''라고도 함)라고 하는 사슬 복합체

NA_\bullet

이 존재하며, 다음과 같은 항을 갖는다.

$NA_n = \bigcap^{n-1}_{i=0}\ker(d_i) \subset A_n$

미분은 다음과 같다.

$NA_n \xrightarrow{(-1)^nd_n} NA_{n-1}$

이 미분은 단순 항등식 때문에 잘 정의된다.

$d_i \circ d_n = d_{n-1}\circ d_i : A_n \to A_{n-2}$

이를 통해

d_n : NA_n \to A_{n-1}

의 이미지가 각

d_i:NA_{n-1} \to NA_{n-2}

의 커널에 있음을 알 수 있다. 이는

NA_n

의 정의에 의해

d_i(NA_n) = 0

이기 때문이다.

이제 이러한 미분을 합성하면, 다음과 같은 가환 다이어그램을 얻는다.

$NA_n \xrightarrow{(-1)^nd_n} NA_{n-1} \xrightarrow{(-1)^{n-1}d_{n-1}} NA_{n-2}$

합성 맵은

(-1)^n(-1)^{n-1}d_{n-1}\circ d_n

이다. 이 합성은 단순 항등식

$d_{n-1}\circ d_n = d_{n-1}\circ d_{n-1}$

및 포함 관계

\text{Im}(d_n) \subset NA_{n-1}

때문에 영 맵이다. 따라서 정규화 사슬 복합체는

\text{Ch}_{\geq 0 }(\textbf{Ab})

의 사슬 복합체이다.

단순 아벨 군이

$A_\bullet : \text{Ord} \to \textbf{Ab}$

의 함자이고, 사상

A_\bullet \to B_\bullet

가 자연 변환으로 주어지므로, 단순 항등식의 맵이 여전히 유지된다는 의미이며, 정규화 사슬 복합체 구성은 함자적이다.

6. 역사

알브레히트 돌트^[6]와 다니얼 칸^[7]이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.^[8]

참조

_[1] 문서 Goerss Jardine 1999
_[2] 문서 Lurie
_[3] 서적 Coend calculus https://arxiv.org/ab[...] 2023-05-21
_[4] 서적 Simplicial homotopy theory Birkhäuser 1999
_[5] 서적 Cyclic homology Springer-Verlag 1998
_[6] 저널 Homology of symmetric products and other functors of complexes 1958-07
_[7] 저널 Functors involving c.s.s. complexes 1958-03
_[8] 저널 Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen 1961

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com