분해 (대수학)

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1. 개요
2. 가군의 분해
3. 아벨 범주의 분해
4. 비순환적 분해
참조

1. 개요

분해는 대수학에서 가군 또는 대상의 완전열로 표현되는 개념으로, 가군의 분해와 아벨 범주의 분해로 나뉜다. 가군의 분해는 자유, 사영, 단사, 평면 분해 등으로 분류되며, 사영 차원, 단사 차원, 평면 차원 등의 개념을 통해 가군의 구조를 분석하는 데 사용된다. 아벨 범주에서의 분해는 사영 및 단사 대상의 개념을 따르며, 비순환 분해는 함자의 유도 함자를 계산하는 데 중요한 역할을 한다.

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분해 (대수학)
개요
분야	수학, 대수학
하위 분야	군론, 환론, 가군론
관련 개념
기본 개념	가군, 환, 군, 선형대수학
고급 개념	정확한 열, 사슬 복합체, 단사 가군, 사영 가군, 평탄 가군, 분해능, 유도 함자, Ext 함자, Tor 함자
참고 문헌
참고 문헌	Jacobson, Nathan (2009). 《Basic algebra》 (영어) (2nd edition ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》 (영어). Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43500-5. Nlab. "projective resolution". Nlab. "resolution".

2. 가군의 분해

대수학에서, 특정 환 $R$ 위의 가군 $M$ 의 분해(resolution)는 $M$ 과 관련된 $R$ -가군들의 완전열을 의미한다. 이는 호몰로지 대수학 분야에서 기본적인 도구로 사용된다.

가군의 분해는 크게 두 가지 방향으로 정의된다. 하나는 왼쪽 분해로, 가군들의 열이 $M$ 으로 끝나며 각 단계를 연결하는 준동형사상을 경계 사상(boundary map)이라고 부른다. 다른 하나는 오른쪽 분해 또는 공분해(coresolution)로, $M$ 에서 시작하는 가군들의 완전열을 의미한다.

분해를 구성하는 각 가군이 특정 성질을 만족하는지에 따라 다양한 종류의 분해가 정의된다. 예를 들어, 왼쪽 분해에서 모든 가군이 자유 가군이면 자유 분해, 사영 가군이면 사영 분해, 평탄 가군이면 평면 분해라고 한다. 오른쪽 분해의 경우, 모든 가군이 단사 가군이면 단사 분해라고 부른다. 이러한 특정 종류의 분해들은 가군의 호몰로지 차원을 정의하거나, Tor 함자 및 Ext 함자와 같은 중요한 호몰로지 함자를 계산하는 데 핵심적인 역할을 수행한다.

2. 1. 정의

환

R

위의 가군

M

이 주어졌을 때,

M

의 왼쪽 분해(left resolution) 또는 간단히 분해(resolution)는 다음과 같은

R

-가군의 완전열이다.

\cdots\overset{d_{n+1}}{\longrightarrow}E_n\overset{d_n}{\longrightarrow}\cdots\overset{d_3}{\longrightarrow}E_2\overset{d_2}{\longrightarrow}E_1\overset{d_1}{\longrightarrow}E_0\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.

여기서 준동형사상

d_i

는 경계 사상(boundary map)이라고 하며, 사상

\varepsilon

은 증강 사상(augmentation map)이라고 한다. 위 분해는 간결하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

E_\bullet\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.

이와 쌍대되는 개념으로 오른쪽 분해(right resolution) 또는 공분해(coresolution)가 있다. 환

R

위의 가군

M

에 대한 오른쪽 분해는 다음과 같은

R

-가군의 완전열이다.

0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^0\overset{d^0}{\longrightarrow}C^1\overset{d^1}{\longrightarrow}C^2\overset{d^2}{\longrightarrow}\cdots\overset{d^{n-1}}{\longrightarrow}C^n\overset{d^n}{\longrightarrow}\cdots.

여기서 각

C^i

는

R

-가군이다. 분해와의 쌍대성을 나타내기 위해 대상과 사상에 위 첨자를 사용하는 것이 일반적이다. 위 분해는 간결하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^\bullet.

분해 또는 공분해에서 관련된 가군 중 유한한 개수만이 0이 아닐 경우, 이를 유한 분해(finite resolution)라고 한다. 유한 분해의 길이(length)는 0이 아닌 가군을 나타내는 가장 큰 첨자

n

이다.

2. 2. 자유 분해, 투사 분해, 단사 분해, 평면 분해

주어진 가군

M

에 대해, 분해를 구성하는 각 가군

E_i

(또는

C^i

)에 특정 조건을 부여하는 경우가 많다.

가군 $M$ 의 자유 분해(free resolution)는 모든 가군 $E_i$ 가 자유 $R$ -가군인 왼쪽 분해를 의미한다.
사영 분해(projective resolution)는 모든 $E_i$ 가 사영 가군인 왼쪽 분해이다.
평면 분해(flat resolution)는 모든 $E_i$ 가 평탄 가군인 왼쪽 분해이다.
단사 분해(injective resolution)는 모든 $C^i$ 가 단사 가군인 오른쪽 분해이다.

모든

R

-가군은 자유 왼쪽 분해를 가진다.^[3] 이는 모든 가군이 사영 가군으로 이루어진 사영 분해와 평탄 가군으로 이루어진 평면 분해를 가짐을 의미한다. 왜냐하면 모든 자유 가군은 사영 가군이고, 모든 사영 가군은 평탄 가군이기 때문이다. 자유 분해의 존재는 다음과 같은 방식으로 보일 수 있다: 먼저

E_0

을

M

의 생성원들로 생성된 자유

R

-가군으로 잡는다. 그 다음, 자연스러운 전사 사상

E_0 \to M

의 핵(kernel)을 생각하고, 이 핵의 생성원들로 생성된 자유

R

-가군을

E_1

으로 잡는다. 이 과정을 계속 반복하여 자유 분해를 구성할 수 있다. 쌍대적인 논리로, 모든

R

-가군은 단사 분해를 가진다는 것을 보일 수 있다. 사영 분해(또는 더 일반적으로 평면 분해)는 Tor 함자

\text{Tor}_n^R(A, B)

를 계산하는 데 사용될 수 있다.

가군

M

의 사영 분해는 사슬 호모토피(chain homotopy)를 기준으로 유일하다. 즉,

M

의 두 사영 분해

P_\bullet \to M

과

P'_\bullet \to M

가 주어졌을 때, 두 분해 사이에는 항등 사상

M \to M

을 유도하는 사슬 사상

f: P_\bullet \to P'_\bullet

가 존재하며, 이러한 사슬 사상은 사슬 호모토피를 제외하고 유일하다.

분해는 호몰로지 차원을 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 가군

M

의 사영 차원(projective dimension)

\text{pd}(M)

은

M

이 갖는 사영 분해의 길이 중 가장 짧은 길이로 정의된다 (만약 유한한 길이의 사영 분해가 없다면 무한대로 정의한다). 예를 들어, 가군

M

이 사영 가군일 필요충분조건은

\text{pd}(M) = 0

인 것이다. 가환 국소환

R

의 경우, 모든

R

-가군의 사영 차원이 유한할 필요충분조건은

R

이 정칙 국소환인 것이며, 이 경우

R

의 크룰 차원이 모든 가군의 사영 차원의 상한(supremum)이 된다. 비슷하게, 가군의 단사 차원(injective dimension)

\text{id}(M)

과 평면 차원(flat dimension)

\text{fd}(M)

도 각각 단사 분해와 평면 분해의 최소 길이를 이용하여 정의된다.

이러한 가군의 차원 개념은 환

R

자체의 호몰로지적 차원을 정의하는 데 사용된다. 환

R

의 오른쪽 대역 차원(global dimension)은 모든 오른쪽

R

-가군의 사영 차원(또는 단사 차원)들의 상한으로 정의된다. 마찬가지로, 환

R

의 약한 전역 차원(weak global dimension)은 모든 오른쪽

R

-가군의 평면 차원들의 상한으로 정의된다. 이 차원들은 환의 중요한 성질을 나타낸다. 예를 들어, 환

R

이 반단순 환일 필요충분조건은 대역 차원이 0인 것이다. 또한, 환

R

이 절대평탄환일 필요충분조건은 약한 대역 차원이 0인 것이다.

M

을 체

k

위의 등급 대수

R

에 대한 등급 가군이라고 하자 (여기서

R

은 양의 차수 원소들로 생성된다고 가정한다). 그러면

M

은 등급 자유 분해(graded free resolution)를 가진다. 이는 자유 분해

\dots \to E_1 \xrightarrow{d_1} E_0 \xrightarrow{\varepsilon} M \to 0

에서 각 자유 가군

E_i

가 등급을 가지며, 사상

d_i

와

\varepsilon

가 등급을 보존하는 등급 선형 사상이 되는 분해를 말한다. 등급 자유 분해 중에서, 각

E_i = \bigoplus_j R(-j)^{\beta_{i,j}}

의 생성원(기저)의 개수

\sum_j \beta_{i,j}

가 최소가 되는 분해를 최소 자유 분해(minimal free resolution)라고 한다. 최소 자유 분해에서 각 등급 자유 가군

E_i

의 생성원들의 수와 그 차수(즉, 베티 수

\beta_{i,j}

)는

M

에 대해 유일하게 결정된다.

I

가 체

k

위의 다항식환

S = k[x_0, \dots, x_n]

안의 동차 이데알이라고 하자. 그러면 몫환

S/I

는 등급 가군이다.

S/I

의 최소 자유 분해는

I

로 정의되는 사영 대수 집합의 기하학적 성질과 관련이 있다. Castelnuovo-Mumford 규칙성(Castelnuovo–Mumford regularity)은

I

의 최소 자유 분해에서

E_i

의 기저 원소의 차수가 모두

r-i

보다 작은 최소 정수

r

로 정의된다. (다른 표현으로는,

S/I

의 최소 자유 분해

\dots \to \bigoplus_j S(-j)^{\beta_{1,j}} \to \bigoplus_j S(-j)^{\beta_{0,j}} \to S/I \to 0

에서, 모든

i \ge 0

에 대해

\beta_{i,j} \neq 0

이면

j < r+i

를 만족하는 가장 작은 정수

r

이다.)

2. 3. 예

자유 분해의 대표적인 예는 국소환의 정칙렬이나, 체 위에서 유한하게 생성된 등급 대수의 동차 정칙렬에 대한 코쥘 복합체이다.

다른 예로, ''

X

''를 비구면 공간이라고 하자. 이는 ''

X

''의 보편 덮개 ''

E

''가 축약 가능 공간임을 의미한다. 이 경우, ''

E

''의 모든 특이 사슬 복합체 또는 단체 사슬 복합체는 정수환 '''''

\Z

''''' 위의 가군 '''''

\Z

'''''의 자유 분해이면서, 동시에 군환 '''''

\Z[\pi_1(X)]

''''' 위의 가군 '''''

\Z

'''''의 자유 분해이기도 하다. 여기서

\pi_1(X)

는 ''

X

''의 기본군을 나타낸다.

3. 아벨 범주의 분해

아벨 범주 $A$ 에서 대상 $M$ 의 분해는, 대상 $E_i$ (또는 $C^i$ )와 관련된 모든 사상들이 $A$ 에 속한다는 점을 제외하면 일반적인 분해의 정의와 동일하다.

가군에 대한 사영 가군 및 단사 가군 개념과 유사하게, 아벨 범주에서는 사영 대상과 단사 대상 개념을 사용하며, 이를 이용해 사영 분해와 단사 분해를 정의할 수 있다. 그러나 일반적인 아벨 범주 $A$ 에서는 이러한 분해가 항상 존재한다고 보장할 수 없다. 만약 $A$ 의 모든 대상이 사영 분해(또는 단사 분해)를 가지면, 해당 아벨 범주 $A$ 는 충분한 사영(또는 충분한 단사)을 가진다고 말한다.

분해가 존재한다고 하더라도, 실제로 이를 구성하거나 다루는 것은 어려운 경우가 많다. 예를 들어, 모든 $R$ -가군은 단사 분해를 가지지만, 이 분해는 함자적이지 않다. 즉, 두 가군 $M$ , $M'$ 과 그 사이의 준동형사상 $M \rightarrow M'$ 이 주어졌을 때, 각각의 단사 분해

$0 \rightarrow M \rightarrow I_*, \ \ 0 \rightarrow M' \rightarrow I'_*$

가 존재하더라도, 분해된 대상들 사이의 사상 $I_* \rightarrow I'_*$ 를 일반적으로 함자적인 방법으로 얻을 수는 없다.

4. 비순환적 분해

많은 경우, 분해 자체보다는 주어진 함자에 대한 분해의 행동 방식에 더 관심이 있다. 이러한 맥락에서 '''비순환 분해'''라는 개념이 중요하게 사용된다. 두 아벨 범주 $A, B$ 사이에 왼쪽 완전 함자 $F: A \rightarrow B$ 가 주어졌다고 하자. $A$ 의 대상 $M$ 의 분해

: $0 \rightarrow M \rightarrow E_0 \rightarrow E_1 \rightarrow E_2 \rightarrow \cdots$

가 있을 때, 만약 모든 $i > 0$ 와 $n \ge 0$ 에 대해 유도 함자 $R_iF(E_n)$ 가 0이 된다면, 이 분해를 ' $F$ -비순환'이라고 부른다. 마찬가지로, 오른쪽 완전 함자의 경우, 왼쪽 분해의 대상들에 대한 유도 함자가 0이 될 때 그 분해를 비순환적이라고 한다.

예를 들어, $R$ -가군 $M$ 이 주어졌을 때, 텐서 곱 $\otimes_R M$ 은 오른쪽 완전 함자 $\mathbf{Mod}(R) \rightarrow \mathbf{Mod}(R)$ 이다. 모든 평탄 분해(flat resolution)는 이 함자에 대해 비순환적이다. 즉, '평탄 분해'는 모든 $M$ 에 대한 텐서 곱 함자에 대해 비순환적인 분해를 의미한다. 유사하게, 모든 사영 분해는 함자 $\mathbf{Hom}(\cdot, M)$ 에 대해 비순환적이고, 모든 단사 분해는 함자 $\mathbf{Hom}(M, \cdot)$ 에 대해 비순환적이다.

일반적으로, 모든 단사 분해는 임의의 왼쪽 완전 함자 $F$ 에 대해 $F$ -비순환적이며, 모든 사영 분해는 임의의 오른쪽 완전 함자 $F$ 에 대해 $F$ -비순환적이다.

비순환 분해의 중요성은 왼쪽 완전 함자 $F$ 의 오른쪽 유도 함자 $R_iF$ (또는 오른쪽 완전 함자 $F$ 의 왼쪽 유도 함자 $L_iF$ )를 $F$ -비순환 분해의 호몰로지로부터 계산할 수 있다는 점에 있다. 대상 $M$ 의 $F$ -비순환 분해를 $E_*$ 라고 할 때, 다음이 성립한다.

: $R_i F(M) = H_i F(E_*)$

여기서 우변은 복합체 $F(E_*)$ 의 $i$ 번째 호몰로지 대상을 나타낸다.

이러한 개념은 다양한 상황에 적용된다. 예를 들어, 미분 다양체 $M$ 위의 상수층 $\mathbf{R}$ 은 매끄러운 미분 형식의 층 $\mathcal{C}^*(M)$ 을 이용하여 다음과 같이 분해될 수 있다 (드람 복합체).

: $0 \rightarrow \mathbf{R} \subset \mathcal{C}^0(M) \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{C}^1(M) \stackrel{d}{\rightarrow} \cdots \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{C}^{\dim M}(M) \rightarrow 0$

여기서 층 $\mathcal{C}^k(M)$ 들은 '세밀 층'(fine sheaf)으로 알려져 있으며, 대역 단면(global section) 함자 $\Gamma: \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(M)$ 에 대해 비순환적이다. 따라서 대역 단면 함자 $\Gamma$ 의 유도 함자인 층 코호몰로지는 다음과 같이 계산될 수 있다.

: $\mathrm{H}^i(M, \mathbf{R}) = \mathrm{H}^i(\mathcal{C}^*(M))$

마찬가지로, 고데먼트 분해(Godement resolution) 역시 대역 단면 함자에 대해 비순환적인 분해의 한 예이다.

참조

_[1] 논문
_[2] 웹사이트 projective resolution
_[3] 논문

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