제타 함수
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1. 개요
제타 함수는 다양한 종류가 존재하는 함수로, 해석적 정수론 등 수학 분야에서 중요한 역할을 한다. 리만 제타 함수를 비롯하여 데데킨트 제타 함수, 후르비츠 제타 함수, 하세-베유 제타 함수, 국소 제타 함수, 프라임 제타 함수, 근접 대수의 제타 함수, L-함수, 고스 제타 함수, 멀티플 제타 함수, P-진 제타 함수, 시미즈 L-함수, 제타 함수 (오퍼레이터) 등이 있다.
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- 제타 함수와 L-함수 - 리만 제타 함수
리만 제타 함수는 복소수 s의 함수로, 실수부가 1보다 큰 영역에서 무한급수로 정의되고 s ≠ 1인 모든 복소수에서 유리형 함수로 해석적 연속이 가능하며 함수 방정식과 오일러 곱 공식을 만족하고, 영점 분포는 소수 분포와 관련이 있으며, 비자명 영점이 임계선 상에 있다는 리만 가설은 중요한 미해결 문제이다. - 제타 함수와 L-함수 - 디리클레 L-함수
디리클레 L-함수는 디리클레 지표로 정의되는 복소함수로, 등차수열에 대한 디리클레 정리를 증명하기 위해 도입되었으며, 리만 제타 함수의 일반화이자 오일러 곱, 함수 방정식 등의 성질을 가지며, 모듈러 형식, 타원 곡선과 관련되어 수론적 L-함수 연구의 핵심이고 암호론, 컴퓨터 과학 등에 응용된다.
| 제타 함수 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 유형 | 수학 함수 |
| 분야 | 해석적 수론 |
| 역사 | 레온하르트 오일러 베른하르트 리만 카를 바이어슈트라스 헬게 본 코흐 존 셀버그 아틀레 셀버그 피에르 드 페르마 |
| 종류 | |
| 리만 제타 함수 | ζ(s) |
| 디리클레 L-함수 | L(s, χ) |
| 후르비츠 제타 함수 | ζ(s, a) |
| 데데킨트 제타 함수 | ζK(s) |
| 모타마 제타 함수 | ZM(t) |
| 국소 제타 함수 | Z(V, t) |
| 이하라 제타 함수 | ZG(u) |
2. 제타 함수의 종류
리만 제타 함수, 데데킨트 제타 함수, 후르비츠 제타 함수, 하세-베유 제타 함수, 국소 제타 함수, 프라임 제타 함수, 근접 대수의 제타 함수, L-함수, 고스 제타 함수, 멀티플 제타 함수, P-진 제타 함수, 시미즈 제타 함수, 제타 함수 (오퍼레이터) 등이 있다.
2. 1. 리만 제타 함수
리만 제타 함수는 수학에서 매우 중요한 함수 중 하나로, 소수의 분포와 깊은 관련이 있다.2. 2. 데데킨트 제타 함수
리만 제타 함수의 일반화이다. 대수적 수체 $K$에 대하여 정의되는 디리클레 급수의 일종이다.2. 3. 후르비츠 제타 함수
후르비츠 제타 함수2. 4. 하세-베유 제타 함수
리만 제타 함수, 데데킨트 제타 함수, 후르비츠 제타 함수, 국소 제타 함수, 프라임 제타 함수 등이 하세-베유 제타 함수와 관련이 있다.2. 5. 국소 제타 함수
국소 제타 함수는 제타 함수의 한 종류이다.2. 6. 프라임 제타 함수
2. 7. 근접 대수의 제타 함수
근접 대수의 제타 함수2. 8. L-함수
- 리만 제타 함수
- 데데킨트 제타 함수
- 후르비츠 제타 함수
- 하세-베유 제타 함수
- 국소 제타 함수
- 프라임 제타 함수
- 근접 대수의 제타 함수
- L-함수
- 고스 제타 함수(Goss zeta function)
- 멀티플 제타 함수(Multiple zeta function)
- P-진 제타 함수(p-adic zeta function)
- 시미즈 L-함수(시미즈 제타 함수)
- 제타 함수 (오퍼레이터)(Zeta function of an operator)
2. 9. 고스 제타 함수
고스 제타 함수는 데이비드 고스가 정의했다.2. 10. 멀티플 제타 함수
- 리만 제타 함수
- 데데킨트 제타 함수
- 후르비츠 제타 함수
- 하세-베유 제타 함수
- 국소 제타 함수
- 프라임 제타 함수
- 근접 대수의 제타 함수
- L-함수
- 고스 제타 함수
- 멀티플 제타 함수
- P-진 제타 함수
- 시미즈 L-함수
- 제타 함수 (오퍼레이터)
2. 11. P-진 제타 함수
P-진 제타 함수는 리만 제타 함수의 p진 버전이다.2. 12. 시미즈 L-함수 (시미즈 제타 함수)
시미즈 L-함수(시미즈 제타 함수)2. 13. 제타 함수 (오퍼레이터)
- 리만 제타 함수
- 데데킨트 제타 함수
- 후르비츠 제타 함수
- 하세-베유 제타 함수
- 국소 제타 함수
- 프라임 제타 함수
- 근접 대수의 제타 함수
- L-함수
- 고스 제타 함수
- 멀티플 제타 함수
- P-진 제타 함수
- 시미즈 제타 함수
3. 참고 문헌
- 스에츠나 죠이치, 《해석적 정수론》, 이와나미 쇼텐, (1950년 2월 10일).
- 마츠모토 코지, 《리만 제타 함수》, 아사쿠라 서점, ISBN 978-4-254-11731-8 (2005년 11월 15일).
- 구로카와 노부시게, 코야마 신야, 《제타로의 초대》, 일본 평론사, ISBN 978-4-535-60351-6 (2018년 2월 25일).
- Akeksandar Ivić영어, ''The Theory of Hardy's Z-function'', 케임브리지 대학교 출판부, ISBN 978-1-107-02883-8 (2013).
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