하세-베유 제타 함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 에탈 코호몰로지를 이용한 정교한 정의
3. 하세-베유 L-함수
- 3.1. 유리수체 위의 타원 곡선의 경우
4. 하세-베유 추측
5. 버치-스위너턴-다이어 추측
참조

1. 개요

하세-베유 제타 함수는 유리수체에 대한 비특이 사영 대수다양체 V에 대해 정의되는 함수로, 국소 제타 함수들의 곱으로 표현된다. 헬무트 하세와 앙드레 베유에 의해 리만 제타 함수의 영향을 받아 제안되었으며, 에탈 코호몰로지를 이용한 정교한 정의가 가능하다. 하세-베유 제타 함수는 타원 곡선의 하세-베유 L-함수의 특수한 경우이며, 하세-베유 추측에 따르면 복소평면 전체에서 유리형 함수로 해석적 연속이 가능해야 한다. 또한, 버치-스위너턴-다이어 추측은 타원 곡선의 L-함수와 타원 곡선 점들의 아벨 군의 계수 사이의 관계를 설명한다.

2. 정의

$V/\mathbb Q$ 가 유리수체에 대한 비특이 사영 대수다양체라고 하자. 그렇다면 모든 소수 $p$ 에 대하여 $V/\mathbb F_p$ 를 정의할 수 있다. 그렇다면 $V$ 의 하세-베유 제타 함수 $Z_{V,\mathbb Q}(s)\colon\mathbb C\to\mathbb{CP}^1$ 는 다음과 같이 정의된다.^[1]

: $Z(V/\mathbb Q,s)=\prod_p\zeta(V/\mathbb F_p;p^{-s})$

즉, 국소 제타 함수(local zeta function^영어) $\zeta(V/\mathbb F_p;p^{-s})$ 들의 곱으로 정의할 수 있다. 이 정의는 유한 개의 $p^{-s}$ 들의 유리 함수에 대하여 약간의 모호함을 가지지만, 이 함수의 성질은 이 모호함에 크게 의존하지 않는다. 이 모호함을 해소하려면 에탈 코호몰로지를 사용하여야 한다.

유리수 체 $\mathbb{Q}$ 에서 ''V''가 비특이 사영 대수다양체인 경우를 예로 들어보자. 거의 모든 소수 ''p''에 대해, ''V''의 방정식을 단순하게 줄여서 ''p''개의 원소를 갖는 유한체 $\mathbb{F}_{p}$ 위의 대수다양체인 ''V''_''p''를 법 ''p''로 축소하여 고려할 수 있다. 스킴 이론적으로, 이 축소는 정규 사상 Spec $\mathbb{F}_{p}$ → Spec $\mathbb{Z}$ 을 따라 ''V''의 네론 모형의 당김이다. 마찬가지로 거의 모든 ''p''에 대해 비특이하게 된다. 복소변수 ''s''의 디리클레 급수는 다음과 같이 정의한다.

: $Z_{V\!,\mathbb{Q}}(s) = \prod_{p} Z_{V\!,\,p}(p^{-s}),$

이것은 국소 제타 함수들의 무한 곱이다.

: $Z_{V\!,\,p}(p^{-s}) = \exp\left(\sum_{k = 1}^\infty \frac{N_k}{k} (p^{-s})^k\right)$

여기서 ''N_k''는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 유한체 확대 $\mathbb{F}_{p^k}$ 에서 정의된 ''V''의 점의 수이다.

이 $Z_{V\!,\mathbb{Q}}(s)$ 는 유한 개의 소수 ''p''에 대한 $p^{-s}$ 의 유리 함수를 곱하는 것까지 잘 정의된다.

불확정성이 비교적 무해하고, 어디에서나 유사 해석적 연속을 가지므로, ''Z(s)''의 성질이 본질적으로 이에 의존하지 않는다. 복소 평면의 수직선을 반영하는 ''Z''(''s'')에 대한 함수 방정식의 정확한 형태는 '누락된' 인수에 따라 달라지지만, 그러한 함수 방정식의 존재 여부는 그렇지 않다.

2. 1. 에탈 코호몰로지를 이용한 정교한 정의

에탈 코호몰로지의 발전으로 더 정교한 하세-베유 제타 함수 정의가 가능해졌다. 이 정교한 정의는 '나쁜 축소' 인수를 처리하는 방법을 명확하게 설명한다. 분기 이론에서 보이는 일반적인 원칙에 따르면, '나쁜' 소수는 좋은 정보를 담고 있다(''도체'' 이론).^[1]

이는 ''V''의 에탈 코호몰로지 군에 대한 갈루아 표현 ρ가 ''비분기''인 모든 소수 ''p''에서 좋은 축소가 있다는, 좋은 축소를 위한 Ogg–Néron–Shafarevich 기준에서 에탈 이론으로 나타난다. 이러한 경우, 국소 제타 함수의 정의는 다음의 특성 다항식을 사용하여 복구할 수 있다.

:

\rho(\operatorname{Frob}(p)),

여기서 Frob(''p'')는 ''p''에 대한 프로베니우스 원소이다.

분기된 ''p''에서 ρ가 ''p''에 대한 관성군 ''I''(''p'')에서 비자명하게 작용한다. 이러한 소수에서는, 관성군이 자명 표현으로 작용하는 표현 ρ의 가장 큰 몫을 취하여 정의를 '수정'해야 한다.

이러한 정제를 통해, ''Z''(''s'')의 정의는 '거의 모든' ''p''에서 오일러 곱에 참여하는 ''모든'' ''p''로 성공적으로 업그레이드될 수 있다. 함수 방정식에 대한 결과는 장피에르 세르와 1960년대 후반 델린에 의해 연구되었다. 그러나 함수 방정식 자체는 일반적으로 증명되지 않았다.

3. 하세-베유 L-함수

타원 곡선의 '''하세-베유 L-함수'''(Hasse–Weil L-function^영어)는 하세-베유 제타 함수의 특수한 경우이다.

헬무트 하세(Helmut Hasse)와 앙드레 베유(André Weil)는 리만 제타 함수의 영향을 받아 하세-베유 제타 함수를 제안했다.^[1]

유리수 체 $\mathbb{Q}$ 에서 ''V''가 비특이 사영 대수다양체라면, 거의 모든 소수 ''p''에 대해 ''V''의 방정식을 단순화하여 ''p''개의 원소를 갖는 유한체 $\mathbb{F}_{p}$ 위의 대수다양체 ''V''_''p''를 법 ''p''로 축소할 수 있다. 스킴 이론에서 이 축소는 정규 사상 Spec $\mathbb{F}_{p}$ → Spec $\mathbb{Z}$ 을 따라 ''V''의 네론 모형을 당긴 것이다. 거의 모든 ''p''에 대해 이 축소는 비특이성을 유지한다.

복소변수 ''s''에 대한 디리클레 급수는 다음과 같이 정의된다.

: $Z_{V\!,\mathbb{Q}}(s) = \prod_{p} Z_{V\!,\,p}(p^{-s}),$

이는 국소 제타 함수들의 무한 곱이다.

: $Z_{V\!,\,p}(p^{-s}) = \exp\left(\sum_{k = 1}^\infty \frac{N_k}{k} (p^{-s})^k\right)$

여기서 ''N_k''는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 유한체 확대 $\mathbb{F}_{p^k}$ 에서 정의된 ''V''의 점의 개수이다.

이 $Z_{V\!,\mathbb{Q}}(s)$ 는 유한 개의 소수 ''p''에 대한 $p^{-s}$ 의 유리 함수를 곱하는 것까지 잘 정의된다.

에탈 코호몰로지의 발전은 '나쁜 축소' 인수를 처리하는 방법을 명확히 하여 더 정교한 정의를 가능하게 했다. 분기 이론에 따르면, '나쁜' 소수는 좋은 정보를 담고 있다(''도체'' 이론). 좋은 축소를 위한 Ogg–Néron–Shafarevich 기준에서 에탈 이론으로 나타나는 것처럼, ''V''의 에탈 코호몰로지 군에 대한 갈루아 표현 ρ가 ''비분기''인 모든 소수 ''p''에서 좋은 축소가 있다는 것이 명확해졌다. 이러한 경우, 국소 제타 함수는 다음의 특성 다항식을 사용하여 정의를 복구할 수 있다.

: $\rho(\operatorname{Frob}(p)),$

Frob(''p'')는 ''p''에 대한 프로베니우스 원소이다. 분기된 ''p''에서는 ρ가 ''p''에 대한 관성군 ''I''(''p'')에서 비자명하다. 이러한 소수에서는 관성군이 자명 표현으로 작용하는 표현 ρ의 가장 큰 몫을 취하여 정의를 '수정'해야 한다. 이러한 정제를 통해 ''Z''(''s'')의 정의는 '거의 모든' ''p''에서 오일러 곱에 참여하는 ''모든'' ''p''로 확장될 수 있다. 함수 방정식에 대한 결과는 장피에르 세르(Jean-Pierre Serre)와 1960년대 후반 델린(Deligne)에 의해 연구되었다.

3. 1. 유리수체 위의 타원 곡선의 경우

타원 곡선의 '''하세-베유 L-함수'''(Hasse–Weil L-function^영어)는 리만 제타 함수를 사용하여 정의되는 특수한 함수이다. 유리수체 위의 타원 곡선

E/\mathbb Q

의 하세-베유 L-함수

L(s,E)

는 다음과 같이 표현된다.^[5]

:

L(E;s)= \frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{Z(E_n/\mathbb F_p,s)}

여기서

\zeta(s)

는 리만 제타 함수이다.

타원 곡선 ''E''의 도수를 ''N''이라 할 때, ''E''는 ''N''을 나누지 않는 모든 소수 ''p''에서 좋은 환원을 갖는다. ''N''을 "정확하게" 나누는 소수 ''p'' (즉, ''p''는 ''N''을 나누지만 ''p''²는 그렇지 않은 경우)에서는 곱셈 환원을 가지며, ''p''²가 ''N''을 나누는 경우에는 가법 환원을 갖는다.

이러한 성질을 바탕으로, ''E''의 하세-베유 제타 함수는 다음과 같이 표현된다.^[6]

:

Z_{V\!,\mathbb{Q}}(s)= \frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{L(E,s)}

여기서 ζ(''s'')는 리만 제타 함수이고, ''L''(''E'', ''s'')는 ''E''/'''Q'''의 ''L''-함수이며, 다음과 같이 정의된다.

:

L(E,s)=\prod_pL_p(E,s)^{-1}

이때, 주어진 소수 ''p''에 대해,

:

L_p(E,s)=\begin{cases}(1-a_pp^{-s}+p^{1-2s}), & \text{if } p\nmid N \\(1-a_pp^{-s}), & \text{if }p\mid N \text{ and } p^2 \nmid N \\1, & \text{if }p^2\mid N\end{cases}

여기서 좋은 환원의 경우 ''a''_''p''는 ''p'' + 1 − (''E'' mod ''p''의 점의 수)이고, 곱셈 환원의 경우 ''a''_''p''는 ''E''가 ''p''에서 분할(양수) 또는 비분할(음수) 곱셈 환원을 갖는지에 따라 ±1이다.

타원 곡선의 판별식을

\Delta

라고 할 때, 다음과 같은 관계가 성립한다.

1. ''p''가

\Delta

를 나누지 않으면, ''E''는 ''p''에서 좋은 환원을 갖는다.

2. ''p''가

\Delta

를 나누지만

c_4

는 나누지 않으면, ''E''는 ''p''에서 곱셈적 나쁜 환원을 갖는다.

3. ''p''가

\Delta

와

c_4

를 모두 나누면, ''E''는 ''p''에서 가법적 나쁜 환원을 갖는다.

4. 하세-베유 추측

하세-베유 추측(Hasse–Weil conjecture^영어)에 따르면, 하세-베유 제타 함수는 복소평면 전체에서 유리형 함수로 해석적 연속이 가능해야 한다. 타원 곡선의 경우는 모듈러성 정리에 따라 이미 증명되었다.^[2]

5. 버치-스위너턴-다이어 추측

버치-스위너턴-다이어 추측은 타원 곡선 ''E''의 점으로 이루어진 아벨 군 ''E''(''K'')의 계수가 하세-베유 ''L''-함수 ''L''(''E'', ''s'')의 ''s'' = 1에서의 영점의 차수와 같으며, ''s'' = 1에서의 ''L''(''E'', ''s'')의 테일러 급수의 첫 번째 0이 아닌 계수는 ''K'' 위의 ''E''에 부착된 더 정교한 산술 데이터에 의해 주어진다고 주장한다.^[3] 이 추측은 클레이 수학 연구소가 선정한 일곱 개의 밀레니엄 문제 중 하나이며, 최초의 정확한 증명에 대해 100만달러의 상금이 제공된다.^[4]

참조

_[1] 웹사이트 The Hasse-Weil Zeta Function of a Quotient Variety https://mast.queensu[...] 2024-04-29
_[2] 논문 The Riemann hypothesis over finite fields: from Weil to the present day 2016
_[3] 간행물 The Millennium prize problems American Mathematical Society 2022-04-13
_[4] 웹사이트 Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture http://www.claymath.[...] Clay Mathematics Institute
_[5] 서적 The arithmetic of elliptic curves Springer-Verlag
_[6] 웹사이트 Number theory - Testing to see if $\ell$ is of split or nonsplit multiplicative reduction https://math.stackex[...]
_[7] 서적 The arithmetic of elliptic curves Springer-Verlag

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