대수적 수체

3. 대수적 성질

대수적 수체는 유리수체의 유한 차수 확대이므로, 가산 무한 집합이다. 유리수체의 표수는 0이므로, 분해 가능 확대이지만, 정규 확대(갈루아 확대)가 아닌 경우가 존재한다.

대수적 수체 $K$에 이산 위상을 주면, 그 덧셈군은 위상군을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 $\backslash hat\; K$는 아델 환의 몫으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash hat\; K\backslash cong\backslash mathbb\; A\_K/K$

일반적으로 추상대수학에서 체의 확대에서, 더 큰 체의 모든 원소는 작은 체의 계수를 갖는 다항식의 근이 된다.

:$p(f)\; =\; e\_mf^m\; +\; e\_\{m-1\}f^\{m-1\}\; +\; \backslash cdots\; +\; e\_1f\; +\; e\_0\; =\; 0$

'''유한 차수'''의 모든 체의 확장은 대수적이다. 특히 이는 대수적 수체에 적용되므로 대수적 수체 $K$의 임의의 원소 $f$는 유리수 계수를 갖는 다항식의 근으로 쓸 수 있다. 따라서 $K$의 원소는 대수적 수라고도 불린다.

$p(f)=0$인 다항식 $p$가 주어지면 최고차항의 계수 $e\_m$이 1이 되도록 배열할 수 있다. 이 속성을 가진 다항식은 모닉 다항식이라고 하며 일반적으로 유리수 계수를 갖는다.

$K=\backslash mathbb\{Q\}(\backslash theta)$라고 하고, $\backslash theta$의 공액수 $\backslash theta^\{(1)\},\backslash ldots,\backslash \; \backslash theta^\{(n)\}$에 대해,

$K^\{(i)\}\; =\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash theta^\{(i)\})$ ($i=1,\backslash ldots,\backslash \; n$)를, ''K''의 '''공액체''' (conjugate field)라고 한다. 만약 ''K''의 공액체가 모두 ''K''와 같을 때, ''K''를 갈루아 체 또는 유리수체상의 갈루아 확대체라고 한다.

공액체 $K^\{(i)\}$가 실수의 부분체이면, 즉 $\backslash theta^\{(i)\}$가 실수일 때, $K^\{(i)\}$를 실공액체라고 한다. 그렇지 않은 경우, 허공액체라고 한다.

''K''의 공액체 중, 실공액체의 개수를 $r\_1$, 허공액체의 개수를 $r\_2$라고 하면, $n\; =\; r\_1\; +\; r\_2$이며, $r\_2$는 짝수이다.

''K''의 모든 공액체가 실공액체일 때, ''K''를 총실체 또는 총실대수체라고 한다. 또한, 모든 공액체가 허공액체일 때, ''K''를 총허체 또는 총허대수체라고 한다.

3. 1. 대수적 정수환

• $\backslash mathcal\; O\_K$는 정수적으로 닫힌 정역이다.
• $\backslash mathcal\; O\_K$는 뇌터 환이다.
• 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

3. 1. 1. 정수 기저

3. 1. 2. 정칙 표현

• (대각합의 선형성) $\backslash operatorname\; T\_\{K/\backslash mathbb\; Q\}(ax+by)=a\backslash operatorname\; T\_\{K/\backslash mathbb\; Q\}(x)+b\backslash operatorname\; T\_\{K/\backslash mathbb\; Q\}(y)\backslash qquad\backslash forall\; x,y\backslash in\; K,\backslash ;a,b\backslash in\backslash mathbb\; Q$
• (노름의 승법성) $\backslash operatorname\; N\_\{K/\backslash mathbb\; Q\}(axy)=a^n\backslash operatorname\; N\_\{K/\backslash mathbb\; Q\}(x)\backslash operatorname\; N\_\{K/\backslash mathbb\; Q\}(y)\backslash qquad\backslash forall\; x,y\backslash in\; K,\backslash ;a\backslash in\backslash mathbb\; Q$

3. 1. 3. 판별식

• '''브릴 정리'''(Brill’s theorem^영어): 수체의 판별식의 부호는 $\backslash operatorname\{sgn\}\backslash Delta\_K=(-1)^\{r\_2(K)\}$이다. (판별식은 항상 0이 아니다.)
• '''슈티켈베르거 정리'''(Stickelberger’s theorem^영어): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다.
• :$\backslash Delta\_K\backslash equiv\; 0,1\backslash pmod\; 4$
• '''민코프스키 하한'''(Minkowski’s bound^영어): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 $r=r\_1+2r\_2=[K:\backslash mathbb\; Q]$이다.
• :$\backslash sqrt$
  \ge\frac{r^r}{r!}\left(\frac\pi4\right)^{r_2}

  '''민코프스키 정리'''(Minkowski’s theorem^영어): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.

  :$|\backslash Delta\_K|\backslash ge2\backslash qquad(K\backslash ne\backslash mathbb\; Q)$

  '''에르미트-민코프스키 정리'''(Hermite–Minkowski theorem^영어): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.

  
  
  $K$의 정수 기저 $\backslash \{\backslash omega\_1,\backslash ldots,\backslash \; \backslash omega\_n\backslash \}$에 대해, 다음 형태의 행렬식을 생각한다.
  
  :
  
  그러면, $\backslash Delta(\backslash omega\_1,\backslash ldots,\backslash omega\_n)^2$는 정수 기저의 선택에 관계없이 일정한 값이다.
  
  $\backslash Delta(\backslash omega\_1,\backslash ldots,\backslash omega\_n)^2$을 ''K''의 '''판별식'''($D\_K$)이라고 한다.
  
  ; 판별식의 성질
  
  :# 임의의 대수적 수체 ''K''에 대해, 판별식은 0이 아닌 유리 정수이다.
  
  :# '''민코프스키 정리''': 유리수체와 다른 대수적 수체의 판별식은 $\backslash pm\; 1$과 다르다. (즉, $|D\_K|\; >\; 1$이 된다.)
  
  :# '''에르미트 정리''': 임의의 양수 ''N''에 대해, 판별식의 절대값이 ''N'' 이하인 대수적 수체는 유한 개만 존재한다.
  
  :# '''슈티켈베르거 정리''': 대수적 수체 ''K''의 판별식 $D\_K$에 대해, $D\_K\backslash equiv\; 0,\backslash \; 1$ (mod 4)이다.
  
  :# ''n''차 대수적 수체 ''K''의 판별식 $D\_K$에 대해, $|D\_K|^\{1/2\}\; \backslash ge\; \backslash frac\{n^n\}\{n!\}\backslash left(\backslash frac\{n\}\{4\}\backslash right)^\{n/2\}$이다.
  

  3. 2. 곱셈 구조

  대수적 정수환의 곱셈 구조는 디리클레 가역원 정리, 가역원 기준, 아이디얼 유군 등을 통해 연구된다.
  
  일반적으로 데데킨트 환인 대수적 정수환에서는 아이디얼은 소 아이디얼의 곱으로 유일하게 소인수분해된다. 그러나, 이차 정수환인 $\backslash mathbf\{Z\}[\backslash sqrt\{-5\}]$에서 아이디얼 $(6)$은 다음과 같이 소 아이디얼로 인수분해되는데, 이는 유일 인수 분해가 성립하지 않는 예시이다.
  
  :$(6)\; =\; (2,\; 1\; +\; \backslash sqrt\{-5\})(2,1\; -\; \backslash sqrt\{-5\})(3,\; 1\; +\; \backslash sqrt\{-5\})(3,\; 1\; -\; \backslash sqrt\{-5\})$
  
  $\backslash mathbb\{Q\}$의 정수환인 $\backslash mathbb\{Z\}$와는 달리, $\backslash mathbb\{Q\}$의 고유한 확대체의 정수환은 숫자를 유일 인수 분해 정역으로 인수분해하는 것을 허용하지 않아도 된다. 예를 들어 $\backslash mathcal\{O\}\_\{\backslash mathbf\{Q\}(\backslash sqrt\{-5\})\}\; =\; \backslash mathbf\{Z\}[\backslash sqrt\{-5\}]$에서 다음과 같이 인수분해의 유일성이 실패한다.
  
  :$6\; =\; 2\; \backslash cdot\; 3\; =\; (1\; +\; \backslash sqrt\{-5\})\; \backslash cdot\; (1\; -\; \backslash sqrt\{-5\})$
  
  체 노름을 사용하면 이 두 인수분해가 실제로 $\backslash mathcal\{O\}\_\{\backslash mathbf\{Q\}(\backslash sqrt\{-5\})\}$의 단위에 의해 인수들이 달라지는 의미에서 동등하지 않다는 것을 보일 수 있다. 유클리드 정역은 유일 인수 분해 정역이다. 예를 들어 가우스 정수의 환인 $\backslash mathbf\{Z\}[i]$와 $\backslash omega$가 1과 같지 않은 3차 1의 거듭제곱근인 아이젠슈타인 정수의 환인 $\backslash mathbf\{Z\}[\backslash omega]$는 이러한 속성을 가진다.
  
  대수적 수체 ''K''의 아이디얼 군을 $J\_K$라고 하고, $J\_K$에 포함된 단항 아이디얼 전체를 $P\_K$라고 하면, $P\_K$는 $J\_K$의 부분군이 된다. 잉여군 $J\_K/P\_K$를 ''K''의 아이디얼 유군(ideal class group)이라고 한다.^[2]
  
  아이디얼 유군은 임의의 대수적 수체에 대해 유한군이다.^[2]
  

  3. 2. 1. 디리클레 가역원 정리

  $K$의 대수적 정수환 $\backslash mathcal\; O\_K$의 가역원군 $\backslash mathcal\; O\_K^\backslash times$은 유한 생성 아벨 군이며, '''디리클레 가역원 정리'''(Dirichlet unit theorem^영어)에 따르면 다음과 같은 꼴이다.
  
  :$\backslash mathcal\; O\_K^\backslash times\backslash cong\backslash operatorname\{Cyc\}(w\_k)\backslash oplus\backslash mathbb\; Z^\{\backslash oplus(r\_1+r\_2-1)\}$
  
  여기서 $\backslash operatorname\{Cyc\}(w\_K)$는 $K$에 속한 1의 거듭제곱근들로 구성된 유한 순환군이며, $w\_K$는 $K$에 속한 1의 거듭제곱근들의 수이다. $r\_1$은 실수 자리 수, $r\_2$는 복소수 자리 수이다. 즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 $r\_1+r\_2-1$이다.
  
  예를 들어, 다음과 같다.
  
  

  수체	가역원군	실수 자리 수 $r\_1$	복소수 자리 수 $r\_2$	가역원군의 크기	차수
  $\backslash mathbb\; Q$	$\backslash \{\backslash pm1\backslash \}$	1	0	0	1
  $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)$ ($d$는 양의 무제곱 정수)		2	0	1	2
  $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\{-d\})$ ($d$는 양의 무제곱 정수)		0	1	0	2
  $\backslash mathbb\; Q(i)$ (가우스 정수)	$\backslash \{\backslash pm1,\backslash pm\; i\backslash \}$	0	1	0	2
  $\backslash mathbb\; Q(\backslash omega)/(\backslash omega^2+\backslash omega+1)$ (아이젠슈타인 정수)	$\backslash \{\backslash pm1,\backslash pm\; \backslash omega,\backslash pm\backslash omega^2\backslash \}$	0	1	0	2

  
  
  디리클레 단수 정리에서 주어지는 $\backslash eta\_1,\backslash ldots,\backslash \; \backslash eta\_\{r\_1+r\_2-1\}$을 '''기본 단수계'''라고 하며, 각각을 '''기본 단수'''라고 한다. 기본 단수계는 ''K''에 대해 한 세트만 존재하는 것은 아니며, 일반적으로 무한히 존재한다.^[1]
  

  3. 2. 2. 가역원 기준

  수체의 가역원 기준은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽하게 존재하는지를 나타내는 불변량이다. 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다.
  
  대수적 정수환 $\backslash mathcal\; O\_K$의 가역원군 $\backslash mathcal\; O\_K^\backslash times$이 주어졌다고 하자. $K$에 속하는 1의 거듭제곱근들의 순환군 $\backslash operatorname\{Cyc\}(m)=\backslash \{1,\backslash zeta\_m,\backslash zeta\_m^2,\backslash dots\backslash \}$에 대한 몫군
  
  :$\backslash mathcal\; O\_K^\backslash times/\backslash operatorname\{Cyc\}(r)$
  
  을 생각하자. 이 군의 생성원
  
  :$\backslash mathcal\; O\_K^\backslash times/\backslash operatorname\{Cyc\}(r)=\backslash langle\; u\_1,\backslash dots,u\_r\backslash rangle$
  
  을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, $r=r\_1(K)+r\_2(K)-1$이다 ($r\_1(K)$은 실수 자리의 수, $r\_2(K)$는 복소수 자리의 수).
  
  $K$의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
  
  :$\backslash sigma^\{\backslash mathbb\; R\}\_1,\backslash dots,\backslash sigma\_\{r\_1\}^\{\backslash mathbb\; R\}\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\backslash mathbb\; R$
  
  :$\backslash sigma\_1^\{\backslash mathbb\; C\},\backslash dots,\backslash sigma^\{\backslash mathbb\; C\}\_\{r\_2\}\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\backslash mathbb\; C$
  
  다음과 같은 $r\backslash times(r+1)$행렬을 생각하자.
  
  :$M=\backslash begin\{pmatrix\}$
  
  \ln|\sigma_1^{\mathbb R}(u_1)|&\cdots&\ln|\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(u_1)|&2\ln|\sigma_1^{\mathbb C}(u_1)|&\cdots&2\ln|\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(u_1)|\\
  
  \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\
  
  \ln|\sigma_1^{\mathbb R}(u_r)|&\cdots&\ln|\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(u_r)|&2\ln|\sigma_1^{\mathbb C}(u_r)|&\cdots&2\ln|\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(u_r)|\\
  
  \end{pmatrix}
  
  
  
  $M$의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름의 절댓값은 항상 1이므로) 0이다.
  
  :$\backslash sum\_jM\_\{i,j\}=\backslash ln\backslash left|f\_1(u\_i)\backslash cdots\; f\_\{r\_1\}(u\_i)g\_1(u\_i)^2\backslash cdots\; g\_\{r\_2\}(u\_i)^2$
  
  \right|=\ln|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(u_i)|=0\quad\forall i=1,\dots,r
  
  $M$에서 임의의 한 열 $M\_\{-,j\}$을 제거한 $r\backslash times\; r$ 정사각 행렬을 $M\_\{-,\backslash hat\; j\}$라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 $\backslash det\; M\_\{-,\backslash hat\; j\}$는 $j$에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 $u\_i$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 $K$의 '''가역원 기준''' $\backslash operatorname\{Reg\}\_K$라고 한다.
  
  :$\backslash operatorname\{Reg\}\_K=\backslash det\; M\_\{-,\backslash hat\; j\}\backslash quad\backslash forall\; j=1,\backslash dots,r+1$
  
  대수적 수체 ''K''의 기본 단수를 $\backslash eta\_1,\backslash ldots,\backslash \; \backslash eta\_\{r\}$라고 하고,
  
  :
  
  라고 할 때
  
  :
  
  라고 두면, 앞서 언급한 기본 단수계가 되는 조건으로부터, $|R[\backslash eta\_1,\backslash ldots,\backslash eta\_r]|$는 기본 단수계에 의존하지 않고 일정한 값을 가진다. 이 값을 ''K''의 '''단수 기준''' 또는 '''레귤레이터'''라고 한다.
  

  3. 2. 3. 유일 인수 분해의 실패와 아이디얼 유군

  대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 데데킨트 정역인 대수적 수체는 유일 인수 분해 정역이면 항상 주 아이디얼 정역이다.
  
  유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 $H\_K$ 및 그 크기인 유수(類數) $h\_K=|H\_K|$를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수를 유수 공식을 통해 계산할 수 있다.^[2]
  
  대수체 ''K''의 아이디얼 군을 $J\_K$라고 하고, $J\_K$에 포함된 단항 아이디얼 전체를 $P\_K$라고 하면, $P\_K$는 $J\_K$의 부분군이 된다. 잉여군 $J\_K/P\_K$를 ''K''의 '''아이디얼 유군'''(ideal class group)이라고 한다.
  
  ; 아이디얼 유군의 성질
  
  # 임의의 대수적 수체에 대해, 아이디얼 유군은 유한군이다.
  
  대수적 수체 ''K''의 아이디얼류군 $C\_K$는 유한군이지만, 아이디얼류군의 크기를 '''류수'''(class number)라고 한다.
  
  일반적인 대수체에 대해, 유수를 구하는 공식이 있으며, 이를 일반적으로 '''유수 공식''' (class number formula)이라고 한다.
  
  ;유수 공식
  
  : ''K'' 를 대수체로 하고, ''K'' 의 실 공역체, 허 공역체의 수를 각각 $r\_1,\backslash \; 2r\_2$ 로 하고, ''w'' 를, ''K'' 에 포함되는 1의 멱근의 수로 한다. ''R'' , $D\_K$ 를, 각각 ''K'' 의 단수 기준, 판별식으로 하고, $\backslash zeta\_K(s)$ 를 데데킨트의 제타 함수로 했을 때, ''K'' 의 유수 $h\_K$ 는, 다음 식으로 구할 수 있다.
  
  :$h\_K\; =\; \backslash frac\{w|D\_K|^\{1/2\}\}\{2^\{r\_1\}(2\backslash pi)^\{r\_2\}R\}\backslash mbox\{Res\}\_\{s=1\}\backslash zeta\_K(s)$
  
  하지만, 주어진 대수체의 유수를 구하는 것은 매우 어렵다. 이차체의 유수 공식이나 원분체의 유수 공식을 보면, 유수를 구하는 것이 얼마나 어려운지 알 수 있을 것이다.
  

  3. 2. 4. 분기화

  대수기하학적으로, 포함 관계 $\backslash mathbb\; Z\backslash hookrightarrow\backslash mathcal\; O\_K$는 반대로 스킴 사상 $\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathcal\; O\_K\backslash twoheadrightarrow\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; Z$을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, '''분기화'''(ramification^영어)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.^[3]
  
  수체 $K/\backslash mathbb\; Q$ 및 소수 $p\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$가 주어졌을 때, $p$로 생성되는 주 아이디얼은 $\backslash mathcal\; O\_K$에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다.
  
  :$(p)=\backslash mathfrak\; p\_1^\{e\_1\}\backslash mathfrak\; p\_2^\{e\_2\}\backslash dotsb\backslash mathfrak\; p\_k^\{e\_k\}$
  
  여기서 $e\_i$를 $K$의 $\backslash mathfrak\; p\_i$에서의 '''분기 지표'''(ramification index^영어)라고 한다.
  
  이 경우, $p$는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.
  
  
  • 만약 $e\_i>1$인 $\backslash mathfrak\; p\_i$가 존재한다면, $p$는 '''분기화된다'''(ramified^영어).
  • 만약 모든 $e\_i=1$이라면, $p$는 '''분기화되지 않는다'''(unramified^영어).
  • * 만약 $k=1$이라면, $p$는 '''분해되지 않는다'''(unsplit^영어).
  • * 만약 $k>1$이지만 $e\_1=e\_2=\backslash dots=e\_k=1$이라면, $p$는 (다른 소수들의 곱으로) '''분해된다'''(split^영어).
  
  
  수체 $K/\backslash mathbb\; Q$에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
  
  
  • 소수 $p$는 분기화된다.
  • $\backslash mathcal\; O\_K/(p)=\backslash prod\_i\backslash mathcal\; O\_K/\backslash mathfrak\; p\_i^\{e\_i\}$는 0이 아닌 멱영원을 갖는다. (중국인의 나머지 정리)
  • $p\backslash mid\backslash Delta\_K$. 여기서 $\backslash Delta\_K$는 $K$의 판별식이다.
  
  판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.
  
  일반적으로, 분기는 유한 대 일 맵(즉, 모든 점 ''y''의 역상이 유한한 수의 점으로만 구성된 맵 $f:X\backslash to\; Y$)에서 발생할 수 있는 기하학적 현상을 설명한다. 섬유 ''f''⁻¹(''y'')의 기수는 일반적으로 동일한 수의 점을 갖지만, 특별한 점 ''y''에서는 이 수가 감소하는 경우가 발생한다. 예를 들어, 맵
  
  :$\backslash mathbb\; C\; \backslash to\; \backslash mathbb\; C\; ,\; z\; \backslash mapsto\; z^n$
  
  는 각 섬유에 ''n''개의 점, 즉 ''t''의 ''n''개의 (복소수) 근을 갖지만, t = ''0''에서는 섬유가 단 하나의 요소, ''z'' = 0으로 구성된다. 이 맵은 0에서 "분기된다"고 한다. 이것은 리만 곡면의 분기 피복의 예이다. 이 직관은 또한 대수적 수론에서 분기를 정의하는 데에도 사용된다. 수체 $K/L$의 (필연적으로 유한한) 확장이 주어지면, $\backslash mathcal\{O\}\_L$의 소 아이디얼 ''p''는 $\backslash mathcal\{O\}\_K$의 아이디얼 $p\backslash mathcal\{O\}\_K$를 생성한다. 이 아이디얼은 소 아이디얼일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있지만, 라스커-뇌터 정리에 따르면 항상 다음을 통해 주어집니다.
  
  :''pO''_$K$ = ''q''₁^''e''₁ ''q''₂^''e''₂ ⋯ ''q''_''m''^''e''_''m''
  
  여기서 $\backslash mathcal\{O\}\_K$의 고유하게 결정된 소 아이디얼 ''q''_''i''와 숫자(분기 지수라고 함) ''e''_''i''가 있다. 분기 지수가 1보다 클 때마다 소 ''p''는 $K$에서 분기된다고 한다.
  
  이 정의와 기하학적 상황 간의 연결은 링의 스펙트럼 맵 $\backslash mathrm\{Spec\}\backslash mathcal\{O\}\_K\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Spec\}\backslash mathcal\{O\}\_L$에 의해 제공된다. 실제로 스키마의 비분기 사상은 대수 기하학에서 수체의 비분기 확장의 직접적인 일반화이다.
  
  분기는 순전히 국소적인 속성이며, 즉, 소수 ''p''와 ''q''_''i'' 주변의 완전에만 의존한다. 관성군은 어떤 위치에서의 국소 갈루아 군과 관련된 유한 잔여체의 갈루아 군 사이의 차이를 측정한다.
  

4. 자리

오스트롭스키 정리(Ostrowski’s theorem^영어)에 따르면, 수체 $K$ 위의 자명하지 않은 자리는 다음과 같이 분류된다.^[18]

• 실수 매장 $\backslash iota\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\backslash mathbb\; R$에 대해 $|\backslash cdot|\_\backslash iota=|\backslash cdot|\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash circ\backslash iota$로 정의되는 실수 무한 자리가 있다. 여기서 $|\backslash cdot|\_\{\backslash mathbb\; R\}$는 실수 위의 표준 절댓값이다.
• 복소수 매장 $\backslash iota\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\backslash mathbb\; C$ ($\backslash iota(K)\backslash not\backslash subset\backslash mathbb\; R$)에 대해 $|\backslash cdot|\_\backslash iota=|\backslash cdot|\_\{\backslash mathbb\; C\}\backslash circ\backslash iota$로 정의되는 복소수 무한 자리가 있다. 여기서 $|\backslash cdot|\_\{\backslash mathbb\; C\}$는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이때, $\backslash iota$와 켤레 복소수 매장 $\backslash bar\backslash iota$는 같은 절댓값을 정의한다.
• 대수적 정수환 $\backslash mathcal\; O\_K$의 소 아이디얼 $\backslash mathfrak\; p$에 대해 정의되는 $\backslash mathfrak\; p$진 절댓값의 자리인 유한 자리가 있다.

• 자명 자리 $|\backslash cdot|\_0$
• 소수 $p$에 대하여, $p$진 자리 $|\backslash cdot|\_p$
• 하나의 실 무한 자리 $|\backslash cdot|\_\backslash infty$

5. 수체의 기타 불변량

종수체(genus field), 힐베르트 유체(Hilbert class field), 데데킨트 제타 함수(Dedekind zeta function), 아델 환(adele ring), 이델 군(idele group) 등은 수체의 중요한 불변량이다.^[2]

• '''종수체'''(genus field^영어) $G/K$: $K$의 아벨 확대이다. 갈루아 군은 '''종수군'''(genus group^영어)이라고 하며, 종수체의 차수는 '''종수'''(genus^영어) $g(K)=[G:K]$이다. 대수 곡선의 종수와 유사한 성질을 보이는 양의 정수이다.
• '''힐베르트 유체'''(Hilbert class field^영어) $E/K$: $K$의 아벨 확대이다. $E/K$의 갈루아 군은 $K$의 아이디얼 유군과 같다.
• '''데데킨트 제타 함수'''(Dedekind zeta function^영어) $\backslash zeta\_K(s)$: 유리형 함수이며, 다른 불변량들에 대한 다양한 정보를 담고 있다.
• '''아델 환'''(adele ring^영어) $\backslash mathbb\; A\_K$: 위상환을 이룬다. 가역원군은 '''이델 군'''(idele group^영어)이라고 한다. 이들은 유체론에 자주 등장한다.

6. 예시

다음은 대수적 수체의 몇 가지 예이다.

• 유리수체: 가장 기본적인 수체로, 모든 대수적 수체의 부분체이다. 차수가 1인 유일한 수체이다.
• 이차 수체: 유리수체에 제곱근 \(\sqrt{d}\)를 추가하여 얻어진다. 여기서 \(d\)는 제곱 인수가 없는 정수이다. \(d\)가 양수이면 실수 이차 수체, 음수이면 허수 이차 수체라고 한다.
• 원분체: 유리수체에 1의 거듭제곱근 \(\zeta_n\)을 추가하여 얻어진다.
• \(\mathbb Q(\sqrt[3]2)\): 정규 확대가 아닌 수체의 예시이다. \(x^3-2\)의 세 근 가운데 하나만 포함하기 때문이다.
• \(x^3-x^2-2x-8\)의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다.^[3]

6. 1. 유리수체

• 자명한 자리
• :
• 표준 자리 (통상적인 절댓값)
• 소수 ''p''에 대하여, ''p''진 자리
• :
• : ($a,b,p$는 서로소)

6. 3. 원분체

• $\backslash varphi(n)$은 오일러 피 함수이다.
• $\backslash prod\_\{p|n\}$은 $n$의 소인수들에 대한 곱이다.

참조

_[1] 서적 A Classical Introduction to Modern Number Theory Springer-Verlag
_[2] 서적 The Grothendieck Festschrift, Vol. I Birkhäuser Boston
_[3] 간행물
_[4] 간행물 Field theory: from equations to axiomatization. I
_[5] 간행물 Mathematical models: a sketch for the philosophy of mathematics
_[6] 서적 Class field theory : from theory to practice https://www.worldcat[...] 2003
_[7] 문서 Cohn, Chapter 11 §C p. 108
_[8] 문서 Conrad
_[9] 문서 Cohn, Chapter 11 §C p. 108
_[10] 문서 Conrad
_[11] 서적 Algebraic Number Theory https://www.worldcat[...] Springer Berlin Heidelberg 1999
_[12] 웹사이트 number field - PlanetMath. "#Reference-PlanetMa[...]
_[13] 문서 ProofWiki
_[14] 문서 ProofWiki (but, no source).
_[15] 문서 分数イデアルの条件 1, 2 を満たす、$\backslash mathcal\{O\}\_K$ の部分集合 $\backslash mathfrak\{a\}$ のこと。
_[16] 문서 $\backslash Delta(\backslash ldots)$ は、項目[[대수체#판별식|판별식]] で定義された行列式。
_[17] 문서 $\backslash alpha^\{(j)\}$ は $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash theta^\{(j)\})$ に含まれる ''α'' の共役数とする。
_[18] 서적 Algebraic number theory Springer
_[19] 서적 Local fields Cambridge University Press