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제한근

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목차

1. 개요

제한근은 실수 반단순 리 대수 \mathfrak g와 \mathfrak g의 카르탕 대합 \theta에 대한 카르탕 분해 \mathfrak g = \mathfrak k\oplus\mathfrak p가 주어졌을 때, \mathfrak p의 극대 아벨 부분 리 대수 \mathfrak a에 대하여 정의되는 개념이다. 쌍대 공간 \mathfrak a^\vee의 원소 \lambda에 대해 \mathfrak g_\lambda = \{x \in \mathfrak g : [a, x] = \lambda(a)x \quad \forall a \in \mathfrak a\}를 정의하며, 만약 \mathfrak g_\lambda \neq 0이고 \lambda \neq 0이면, \lambda를 제한근이라 하고, \mathfrak g_\lambda를 제한근 공간이라 한다. 제한근들은 \mathfrak g를 제한근 공간들의 합으로 분해하며, 이 분해는 킬링 형식에 대해 직교한다. 또한, 제한근을 사용하여 \mathfrak g의 이와사와 분해를 얻을 수 있다.

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제한근
개요
분야리 군론, 대칭 공간
관련 개념근계, 바일 군
정의
정의대칭 공간에 연관된 근계
특징대칭 공간의 기하학적 성질 반영
리 군의 표현론과 밀접한 관련
성질
성질기약 대칭 공간에 대해 유일하게 결정
분류 이론 존재
응용
응용조화 해석학
정수론
물리학

2. 정의

실수 반단순 리 대수 \mathfrak g와 그 위의 카르탕 대합 \theta, 그리고 이에 따른 카르탕 분해 \mathfrak g = \mathfrak k\oplus\mathfrak p가 주어졌다고 하자. 또한, \mathfrak p 안의 극대 아벨 부분 리 대수를 \mathfrak a\subseteq \mathfrak p라고 하자.

이러한 구성 요소들을 바탕으로, \mathfrak a의 쌍대 공간 \mathfrak a^\vee에 속하는 특정 원소 \lambda와 연관된 \mathfrak g의 부분 공간 \mathfrak g_\lambda를 정의할 수 있다. 만약 \lambda가 0이 아니고 해당 부분 공간 \mathfrak g_\lambda 역시 0이 아닐 경우, \lambda를 (\mathfrak g,\mathfrak a)의 '''제한근'''이라 하며, \mathfrak g_\lambda를 그 '''제한근 공간'''(restricted root spaceeng)이라고 부른다.

2. 1. 제한근과 제한근 공간

실수 반단순 리 대수 \mathfrak g와 그 위의 카르탕 대합 \theta가 주어졌다고 하자. 이에 따른 카르탕 분해를 \mathfrak g = \mathfrak k\oplus\mathfrak p라고 하고, \mathfrak p 안의 극대 아벨 부분 리 대수를 \mathfrak a\subseteq \mathfrak p라고 하자.

쌍대 공간 \mathfrak a^\vee의 원소 \lambda\in\mathfrak a^\vee에 대하여, 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.

:\mathfrak g_\lambda = \{x\in\mathfrak g\colon [a,x] = \lambda(a) x\qquad\forall a\in\mathfrak a\}

물론 \lambda = 0인 경우,

:\mathfrak g_0 = \bigcap_{a\in\mathfrak a}\ker \operatorname{ad}(a)

이다.

만약 \mathfrak g_\lambda \ne 0이며 \lambda\ne 0이라면, \lambda를 (\mathfrak g,\mathfrak a)의 '''제한근'''이라고 하며, \mathfrak g_\lambda를 그 '''제한근 공간'''(restricted root spaceeng)이라고 한다. (\mathfrak g,\mathfrak a)의 제한근들의 집합을 \Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a)로 표기한다.

3. 성질

실수 반단순 리 대수 \mathfrak g의 제한근은 다음 조건들을 만족시킨다.

:\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \bigoplus_{\lambda\in\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a)}\mathfrak g_\lambda

즉, 실수 반단순 리 대수 \mathfrak g는 그 제한근 공간들의 합으로 분해된다. 또한, 이 분해의 각 성분들은 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다.

다음이 성립한다.

:[\mathfrak g_\lambda,\mathfrak g_\mu] \subseteq\mathfrak g_{\lambda+\mu} \qquad(\lambda,\mu\in\operatorname\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a))[1]

:\theta\mathfrak g_\lambda = \mathfrak g_{-\lambda} \qquad(\lambda,\mu\in\operatorname\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a))[1]

:\mathfrak g_0 = \mathfrak a \oplus \{k\in\mathfrak k \colon [\mathfrak a,k]= 0\}[1]

3. 1. 이와사와 분해

\operatorname\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a)에서, 임의로 양근의 개념

:\operatorname\Sigma^+(\mathfrak g,\mathfrak a)\subseteq \operatorname\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a)

을 정의하자. 이제

:\mathfrak n = \bigoplus_{\lambda\in\operatorname\Sigma^+(\mathfrak g,\mathfrak a)}\mathfrak g_\lambda

를 정의하면,

:\mathfrak g =\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n

은 \mathfrak g의 이와사와 분해이다.


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