이와사와 분해

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 카르탕 분해와의 관계
4. 예
- 4.1. 그람-슈미트 과정과의 관계
5. 역사
참조

1. 개요

이와사와 분해는 연결된 반단순 실 리 군 G를 리 부분군 K, A, N의 곱으로 분해하는 방법이다. 리 대수의 이와사와 분해는 실수 반단순 리 대수를 콤팩트 리 대수, 아벨 리 대수, 멱영 리 대수의 합으로 나타낸다. 리 군 G의 이와사와 분해는 KAN으로 표현되며, K는 G의 극대 콤팩트 부분군, A는 아벨 리 군, N은 멱영 리 군에 해당한다. 이와사와 분해는 그람-슈미트 과정과 연관되며, 실수 일반선형군의 분해에 적용될 수 있다. 이 분해는 이와사와 겐키치에 의해 1949년에 처음 소개되었다.

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이와사와 분해
일반 정보
리 군 G의 이와사와 분해. 여기서 K는 최대 콤팩트 부분군, A는 연결된 아벨 부분군, N은 멱영 부분군이다.
분야	리 군론
명명자	이와사와 겐키치
정의
군	G는 리 군 G는 대수군
분해	G = KAN
구성 요소	K는 G의 최대 콤팩트 부분군 A는 연결된 가해 부분군 N은 멱영 부분군
추가 조건	A와 N은 둘 다 닫힌 부분군이다.
중요성
중요성	이와사와 분해는 리 군과 대수군의 구조를 이해하는 데 중요한 도구이다. 특히, 군의 표현론 연구에 사용된다.
예시
특수선형군 SL(n,R)	K = SO(n) (특수 직교군) A는 양의 대각선 항목을 가진 대각 행렬의 군 N은 대각선 위에 1을 가진 상삼각 행렬의 군
일반선형군 GL(n,C)	K = U(n) (유니타리 군) A는 양의 실수 대각선 항목을 가진 대각 행렬의 군 N은 대각선 위에 1을 가진 상삼각 행렬의 군
관련 개념
관련 개념	카르탕 분해 브루하 분해

2. 정의

이와사와 겐키치의 이름을 딴 '''이와사와 분해'''는 실수 반단순 리 군 $G$ 를 세 종류의 부분군 $K, A, N$ 의 곱 $G=KAN$ 으로 나타내는 방법이다. 여기서 $K$ 는 최대 콤팩트 부분군, $A$ 는 아벨 부분군, $N$ 은 멱영군이다. 이 분해는 대응하는 리 대수 $\mathfrak g$ 의 분해 $\mathfrak g = \mathfrak k \oplus \mathfrak a \oplus \mathfrak n$ 와 밀접하게 연관되어 있다.

실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 와 그 위의 카르탕 대합 $\theta$ 가 주어지면, 카르탕 분해 $\mathfrak g = \mathfrak k \oplus\mathfrak p$ 를 얻는다. 여기서 $\mathfrak k$ 는 콤팩트 리 대수이고 $\mathfrak p$ 는 실수 벡터 공간이다. $\mathfrak p$ 안의 극대 가환 부분 대수 $\mathfrak a$ 를 선택하고, 양의 제한근에 해당하는 근 공간들의 직합으로 멱영 리 대수 $\mathfrak n$ 을 정의하면, 리 대수 $\mathfrak g$ 는 다음과 같이 세 부분 공간의 직합으로 분해된다.

: $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n$

이를 리 대수의 '''이와사와 분해'''라고 한다.

연결 실수 반단순 리 군 $G$ 의 경우, 그 리 대수의 이와사와 분해 $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n$ 에 대응하여 지수 사상을 통해 부분군 $K=\exp(\mathfrak k)$ , $A=\exp(\mathfrak a)$ , $N=\exp(\mathfrak n)$ 을 정의할 수 있다. 그러면 다양체로서 다음과 같은 미분 동형이 성립하며, 이를 리 군의 '''이와사와 분해'''라고 한다.^[3]

: $K\times A\times N\to G$

: $(k,a,n) \mapsto kan$

즉, 모든 $g \in G$ 는 $g=kan$ ( $k\in K, a\in A, n\in N$ ) 형태로 유일하게 표현될 수 있다. 이 분해는 일반적으로 군 준동형은 아니다.

여기서 부분군들은 다음과 같은 성질을 가진다.

$K$ 는 $G$ 의 최대 콤팩트 부분군이다.
$A$ 는 아벨 리 군이다.
$N$ 은 멱영 리 군이다.

만약

G

가 연결되지 않은 반단순 리 군이더라도 군의 중심이 유한군이라면 이와사와 분해를 정의할 수 있으며, 이때

K

는

G

의 (연결되지 않을 수 있는) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 '''실수 계수'''(real rank^영어)는 이와사와 분해에서 아벨 성분

A

(또는 리 대수 분해에서

\mathfrak a

)의 실수 차원으로 정의된다.

2. 1. 리 대수의 이와사와 분해

실수 반단순 리 대수

\mathfrak{g}_0

와 그 위의 카르탕 대합

\theta

가 주어졌다고 하자. 이 대합

\theta

는

\mathfrak{g}_0

의 카르탕 분해를 유도한다:

:

\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{p}_0

여기서

\mathfrak{k}_0

는

\theta

의 +1 고유공간으로 콤팩트 리 대수를 이루고,

\mathfrak{p}_0

는

\theta

의 -1 고유공간인 실수 벡터 공간이다.

이제

\mathfrak{p}_0

의 극대 아벨 부분 대수(즉,

\mathfrak{p}_0

내에서 교환 법칙이 성립하는 가장 큰 부분 대수)

\mathfrak{a}_0

를 하나 선택한다.

\mathfrak{a}_0

의

\mathfrak{g}_0

에 대한 딸림표현 작용에 대한 고유값들을 제한근이라고 하며, 이들의 집합을

\Sigma

로 표기한다. 제한근은

\mathfrak{a}_0^*

의 원소이다.

\Sigma

내에서 양근의 집합

\Sigma^+

를 선택하고, 이 양근들에 해당하는 근 공간들의 직합으로 멱영 리 대수

\mathfrak{n}_0

를 다음과 같이 정의한다:

:

\mathfrak{n}_0 = \bigoplus_{\lambda \in \Sigma^+} \mathfrak{g}_\lambda

여기서

\mathfrak{g}_\lambda = \{X \in \mathfrak{g}_0 : [H, X] = \lambda(H)X \text{ for all } H \in \mathfrak{a}_0\}

는 근

\lambda

에 대응하는 근 공간이다.

그러면 리 대수

\mathfrak{g}_0

는 다음과 같이 세 부분 공간의 직합으로 분해될 수 있으며, 이를

\mathfrak{g}_0

의 '''이와사와 분해'''라고 한다:

:

\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{a}_0 \oplus \mathfrak{n}_0

이 분해는 실수 벡터 공간으로서의 직합이다.

또한,

\mathfrak{g}_0

는 제한근 공간을 이용하여 다음과 같이 분해될 수도 있다:

:

\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{m}_0 \oplus \mathfrak{a}_0 \oplus \bigoplus_{\lambda \in \Sigma} \mathfrak{g}_{\lambda}

여기서

\mathfrak{m}_0

는

\mathfrak{k}_0

안에서

\mathfrak{a}_0

와 교환되는 원소들의 집합, 즉

\mathfrak{a}_0

의

\mathfrak{k}_0

에서의 중심화 부분 대수 (

\mathfrak{m}_0 = Z_{\mathfrak{k}_0}(\mathfrak{a}_0)

)이다. 각 근 공간

\mathfrak{g}_{\lambda}

의 차원

m_{\lambda} = \dim \mathfrak{g}_{\lambda}

를 근

\lambda

의 중복도라고 부른다.

2. 2. 리 군의 이와사와 분해

G

가 연결 실수 반단순 리 군이라고 가정하자. 그 리 대수

\mathfrak g

의 이와사와 분해

\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n

에 대응하여, 각 성분의 지수 사상의 상으로 다음과 같은

G

의 리 부분군

K, A, N

을 정의할 수 있다.

:

K=\exp(\mathfrak k)\subset G

:

A=\exp(\mathfrak a)\subset G

:

N=\exp(\mathfrak n)\subset G

여기서 각 부분군은 다음과 같은 성질을 가진다.

$K$ 는 콤팩트 반단순 리 군이며, $G$ 의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다. 또한 $G$ 의 군의 중심을 포함한다.
$A$ 는 단일 연결 아벨 리 군이며, $G$ 의 닫힌 부분군이다.
$N$ 은 단일 연결 멱영 리 군이며, $G$ 의 닫힌 부분군이다.

이때, 다양체

K \times A \times N

에서 리 군

G

로 가는 미분 동형 사상

(k,a,n) \mapsto kan

이 존재한다.^[3] 이는 일반적으로 군 준동형은 아니다. 이 사상을 통해 임의의 원소

g \in G

를 다음과 같이 유일하게 분해할 수 있다.

:

g=k(g)a(g)n(g)

여기서

k(g)\in K

,

a(g)\in A

,

n(g)\in N

이다. 이를 리 군

G

의 '''이와사와 분해'''

G=KAN

이라고 한다.

만약

G

가 연결 공간이 아닌 반단순 리 군이더라도,

G

의 군의 중심이 유한군이라면 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우,

K

는

G

의 (연결 공간이 아닐 수 있는) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 '''실수 계수'''(real rank^영어)는 이와사와 분해에서 아벨 성분

A

(또는 리 대수 분해에서

\mathfrak{a}_0

)의 실수 차원을 의미한다. 이는

G

의 실 랭크와 같다.

2. 3. 비아르키메데스 이와사와 분해

위에 언급된 이와사와 분해는 비아르키메데스 체

F

에 대해서도 유사하게 적용될 수 있다. 이 경우, 군

GL_n(F)

는 상삼각 행렬의 부분군과 최대 콤팩트 부분군인

GL_n(O_F)

의 곱으로 표현될 수 있다. 여기서

O_F

는

F

의 정수환이다.^[2]

3. 성질

실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 이와사와 분해

: $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n$

의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.

$\mathfrak k$ 는 콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식은 음의 정부호이다.
$\mathfrak a$ 는 가환 리 대수이다. 즉, $[\mathfrak a,\mathfrak a]=0$ 이다.
$\mathfrak n$ 은 멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여

::

\overbrace{[\mathfrak n,[\mathfrak n,[\cdots[\mathfrak n,\mathfrak n]\cdots]}^{n\text{ times}}=0

이다.

3. 1. 카르탕 분해와의 관계

반단순 리 대수

\mathfrak g

의 카르탕 대합

\theta

가 주어졌을 때, 카르탕 분해

:

\mathfrak g = \mathfrak k \oplus \mathfrak p

를 정의할 수 있다. 이는 같은

\theta

에 대한 이와사와 분해

:

\mathfrak g = \mathfrak k \oplus\mathfrak a \oplus\mathfrak n

와 다음과 같은 관계를 갖는다.

카르탕 분해의 $\mathfrak k$ 는 이와사와 분해의 $\mathfrak k$ 와 같다.
카르탕 분해의 $\mathfrak p$ 는 이와사와 분해의 $\mathfrak a$ 를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나 $\mathfrak n$ 은 일반적으로 $\mathfrak k$ 의 부분 대수도, $\mathfrak p$ 의 부분 대수도 아니다.)
카르탕 분해에서, $\mathfrak p$ 는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 분해의 $\mathfrak a$ 와 $\mathfrak n$ 은 둘 다 리 대수이다.
카르탕 분해에서, $\mathfrak k$ 와 $\mathfrak p$ 는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서, $\mathfrak k$ 와 $\mathfrak a$ 는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만, $\mathfrak n$ 은 $\mathfrak k$ 및 $\mathfrak a$ 와 직교일 필요가 없다.

4. 예

대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다.

군	콤팩트 성분	아벨 성분	멱영 성분
실수 일반선형군 $\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$	직교군 $\operatorname{O}(n,\mathbb R)$	양의 대각행렬군 $(\mathbb R^+)^n$	대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
실수 특수선형군 $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$	특수직교군 $\operatorname{SO}(n,\mathbb R)$	행렬식이 1인 양의 대각행렬군 $(\mathbb R^+)^{n-1}$	대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
2×2 실수 특수선형군 $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$	$S^1\cong\left\\right\}$	\mathbb R^+\cong\left\>a\in\mathbb R^+\right\}	\mathbb R\cong\left\>a\in\mathbb R\right\}
복소 일반선형군 $\operatorname{GL}(n,\mathbb C)$	유니터리 군 $\operatorname U(n)$	양의 대각행렬군 $(\mathbb R^+)^n$	대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
복소 특수선형군 $\operatorname{SL}(n,\mathbb C)$	특수 유니터리 군 $\operatorname{SU}(n)$	행렬식이 1인 양의 대각행렬군 $(\mathbb R^+)^{n-1}$	대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
콤팩트 반단순 리 군 $G$	$G$	자명군 1	자명군 1

만약 $G = \operatorname{SL}(n,\mathbb R)$ 이면, $K$ 는 직교 행렬, $A$ 는 행렬식이 1인 양의 대각행렬, $N$ 은 대각선에 1이 있는 상삼각행렬로 구성된 단일군으로 취할 수 있다.

$n = 2$ 인 경우, $G = \operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ 의 이와사와 분해는 다음과 같다.

: $\mathbf{K} = \left\{\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) \ | \ \theta\in\mathbf{R} \right\} \cong \operatorname{SO}(2) ,$

: $\mathbf{A} = \left\{\begin{pmatrix}r & 0 \\0 & r^{-1}\end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) \ | \ r > 0 \right\},$

: $\mathbf{N} = \left\{\begin{pmatrix}1 & x \\0 & 1\end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) \ | \ x\in\mathbf{R} \right\}.$

심플렉틱 군 $G = \operatorname{Sp}(2n, \mathbb R)$ 의 경우, 가능한 이와사와 분해는 다음과 같다.

: $\mathbf{K} = \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R})\cap \operatorname{SO}(2n)= \left\{\begin{pmatrix}A & B \\$

B & A

\end{pmatrix} \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R}) \ | \ A+iB \in \operatorname{U}(n) \right\} \cong \operatorname{U}(n) ,

:

\mathbf{A} = \left\{\begin{pmatrix}D & 0 \\0 & D^{-1}\end{pmatrix} \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R}) \ | \  D \text{는 양의 대각행렬} \right\},

:

\mathbf{N} = \left\{\begin{pmatrix}N & M \\0 & N^{-T}\end{pmatrix} \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R}) \ | \  N \text{은 대각 성분이 1인 상삼각행렬},\ NM^T = MN^T \right\}.

4. 1. 그람-슈미트 과정과의 관계

일반선형군

\operatorname{GL}(n,\mathbb R)

의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간

V\cong\mathbb R^n

의 기저

\{v_1,\dots,v_n\}\subset V

가 주어졌다고 가정하자. 그러면 이 기저 벡터들을 열벡터로 하는 행렬

:

B=\begin{pmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(V)\cong\operatorname{GL}(n,\mathbb R)

을 정의할 수 있다. 이 기저에 그람-슈미트 과정을 적용하면, 행렬

B

를 다음과 같이 분해할 수 있다.

:

U^{-1}B=O

여기서

O

는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 열벡터로 갖는 직교행렬이고,

U

는 원래 기저를 정규 직교 기저로 변환하는 과정을 나타내는 상삼각행렬이다.

여기서 상삼각행렬

U

를 추가로 분해하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

U_0^{-1}D^{-1}B=O

여기서

U_0

는 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이며,

B

의 열벡터들을 직교 기저로 변환하는 역할을 한다.

D

는 양의 대각 성분을 가진 대각행렬로, 직교 기저를 정규 직교 기저로 정규화하는 역할을 한다.

따라서,

:

B=U_0DO

로 표현할 수 있으며, 이는

\operatorname{GL}(n,\mathbb R)

의 이와사와 분해

KAN

에 해당한다 (

K=O

,

A=D

,

N=U_0

). 즉,

O

는 콤팩트 리 군

K

(직교군

O(n)

),

D

는 아벨 리 군

A

(양의 대각 행렬의 군),

U_0

는 멱영 리 군

N

(대각 성분이 1인 상삼각행렬의 군)의 원소에 각각 대응된다.

5. 역사

이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다.^[5]

참조

_[1] 논문 On Some Types of Topological Groups
_[2] 서적 Automorphic forms and representations Cambridge University Press
_[3] 서적 Lie groups Springer 2013
_[4] 서적 Representation Theory and Automorphic Forms http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 1997
_[5] 저널 On some types of topological groups 1949

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