지겔 모듈러 형식

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 지겔 상반평면과 심플렉틱 군
- 3.2. 지겔 모듈러 형식
4. 쾨허 원리
5. 예시
- 5.1. 레벨 1, 작은 차수의 예시
- 5.2. 레벨 1, 작은 가중치의 예시
6. 응용
참조

1. 개요

지겔 모듈러 형식은 1930년대 카를 루트비히 지겔에 의해 이차 형식을 해석적으로 연구하기 위해 도입되었다. 종수, 무게 및 준위로 특징지어지는 지겔 모듈러 형식은 정칙 함수이며, 지겔 상반평면과 심플렉틱 군 간의 관계를 통해 정의된다. 쾨허 원리는 차수가 1보다 큰 지겔 모듈러 형식이 푸리에 전개를 갖는다는 것을 보여준다. 지겔 모듈러 형식은 아이젠슈타인 급수, 세타 함수, 사이토-쿠로카와 올림 등 다양한 방식으로 구성될 수 있으며, 끈 이론의 블랙홀 연구 및 등각장론의 생성 함수 등 다양한 분야에 응용된다.

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모듈러 형식 - 모듈러성 정리
모듈러성 정리는 모든 유리수 타원곡선이 모듈러 곡선에서 유리 함수로 표현될 수 있다는 정리로, 유리수 타원 곡선과 모듈러 형식 간의 연관성을 보이며 페르마의 마지막 정리 증명에 중요한 역할을 했다.
모듈러 형식 - 모듈러 곡선
모듈러 곡선은 모듈러 군의 합동 부분군에 의해 상반평면을 나눈 몫공간으로 정의되는 리만 곡면으로, 타원 곡선의 모듈라이 공간으로 해석될 수 있으며 몬스터 군과의 연관성으로 수학 및 이론물리학에서 중요한 연구 대상이다.

지겔 모듈러 형식
기본 정보
유형	정칙 형태
변수 개수	n
군	심플렉틱 군 Sp(2n, R)
특성	해석적 함수 모듈러성
관련 주제	모듈러 형식 자코비 형태 타원 곡선 힐베르트 모듈러 형식
역사
창시자	카를 루트비히 지겔
발표 연도	1939년

2. 역사

카를 루트비히 지겔이 1930년대에 이차 형식을 해석적으로 분석하기 위하여 도입하였다.

3. 정의

$g, N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다.

: $\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\},$

이는 지겔 상반 공간이다. 레벨 $N$ 의 심플렉틱 군 $\Gamma_g(N)$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $\Gamma_g(N)=\left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} , \ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},$

여기서 $I_g$ 는 $g \times g$ 항등 행렬이다.

유한 차원 복소 벡터 공간 $V$ 에 대한 유리 표현 $\rho$ 는 다음과 같다.

: $\rho:\textrm{GL}_g(\mathbb{C}) \rightarrow \textrm{GL}(V)$

$\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \in \Gamma_g(N)$ 에 대해, 다음과 같은 표기법을 정의한다.

: $(f\big|\gamma)(\tau)=(\rho(C\tau+D))^{-1}f(\gamma\tau).$

정칙 함수 $f:\mathcal{H}_g \rightarrow V$ 가 모든 $\gamma \in \Gamma_g(N)$ 에 대해 $(f\big|\gamma)=f$ 를 만족하면, $f$ 는 차수 $g$ (종수라고도 함), 가중치 $\rho$ , 레벨 $N$ 의 지겔 모듈러 형식이다.

$g=1$ 인 경우(통상적인 모듈러 형식)에는 $f$ 가 '무한대에서' 정칙적이어야 한다는 추가 조건이 필요하다. 그러나 $g>1$ 인 경우에는 쾨허 원리에 의해 이 조건이 자동적으로 만족된다.

가중치 $\rho$ , 차수 $g$ , 레벨 $N$ 의 지겔 모듈러 형식의 공간은 $M_{\rho}(\Gamma_g(N))$ 으로 나타낸다.

3. 1. 지겔 상반평면과 심플렉틱 군

종수

g

의 '''지겔 상반평면'''

\mathbb H_g

는 다음과 같다.

:

\mathbb H_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb C) \ \big| \ \tau^\top=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{  positive definite} \right\}

'''준위 1의 심플렉틱 군'''(symplectic group of level 1^영어)

\Gamma_g(1)

은 다음과 같이 정의된다.

:

\Gamma_g(1)=\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)=\left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{\top} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix}\right\}

이는 모듈러 군

\Gamma(1)=\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)

를 일반화한 것이며, 통상적인 심플렉틱 군

\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)

의 부분군이다. 모듈러 군의 경우와 마찬가지로, 합동류 사상

:

\Gamma_g(1)=\operatorname{Sp}(N;\mathbb Z)\xrightarrow{\bmod N}\operatorname{Sp}(N;\mathbb Z/N)

에 대한 핵

:

\Gamma_g(N)=\ker(\bmod N)\subset\Gamma_g(1)

을 정의할 수 있다. 이를 '''준위 ''N''의 심플렉틱 군'''(symplectic group of level ''N''^영어)이라고 한다.

\Gamma_g(1)

은 지겔 상반평면에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

:

\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\in \Gamma_g(1)

이고

:

\tau\in\mathbb H_g

라면,

:

\gamma\tau=\frac{A\tau+B}{C\tau+D}

이다.

지겔 상반 공간은 다음과 같이 정의된다.

g, N \in \mathbb{N}

:

\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{  positive definite} \right\},

레벨

N

의 심플렉틱 군

\Gamma_g(N)

은 다음과 같다.

:

\Gamma_g(N)=\left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} , \ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},

여기서

I_g

는

g \times g

항등 행렬이다.

유한 차원 복소 벡터 공간

V

에 대한 유리 표현

\rho

는 다음과 같다.

:

\rho:\textrm{GL}_g(\mathbb{C}) \rightarrow \textrm{GL}(V)

3. 2. 지겔 모듈러 형식

V

가 복소수 벡터 공간이고,

:

\rho\colon\operatorname{GL}(g;\mathbb C)\to\operatorname{GL}(V)

가 유리 함수인 군 표현이라고 하자. 종수

g>1

, 무게

\rho

, 준위 ''N''인 '''지겔 모듈러 형식'''

f\colon\mathbb H_g\to V

는 준위 ''N''의 심플렉틱 군의 임의의 원소

:

\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\in \Gamma_g(N)

에 대하여

:

f\left(\frac{A\tau+B}{C\tau+D}\right)=\rho(C\tau+D)f(\tau)

인 정칙함수이다.

종수가

g=1

인 경우(통상적 모듈러 형식)에는

f

가 첨점

i\infty

에서 정칙적이라는 조건을 추가해야 한다. 그러나

g>1

인 경우에는 '''쾨허 원리'''(Koecher principle^영어)^[4]라는 정리에 따라서 이 조건이 자동적으로 만족된다.

종수

g

, 무게

\rho

, 준위

N

의 지겔 모듈러 형식의 공간을

:

M_{\rho}(\Gamma_g(N))

이라고 쓴다.

다음과 같이 정의하자.

g, N \in \mathbb{N}

:

\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{  positive definite} \right\},

이것은 지겔 상반 공간이다. 레벨

N

의 심플렉틱 군을

\Gamma_g(N)

으로 표기하고 다음과 같이 정의한다.

:

\Gamma_g(N)=\left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} , \ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},

여기서

I_g

는

g \times g

항등 행렬이다. 마지막으로, 다음과 같은 유리 표현을 정의하자.

:

\rho:\textrm{GL}_g(\mathbb{C}) \rightarrow \textrm{GL}(V)

여기서

V

는 유한 차원 복소 벡터 공간이다.

주어진

:

\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

그리고

:

\gamma \in \Gamma_g(N),

표기법을 다음과 같이 정의한다.

:

(f\big|\gamma)(\tau)=(\rho(C\tau+D))^{-1}f(\gamma\tau).

그러면 정칙 함수

:

f:\mathcal{H}_g \rightarrow V

는 차수

g

(때로는 종이라고도 함), 가중치

\rho

, 레벨

N

의 ''지겔 모듈러 형식''이며, 다음을 만족한다.

:

(f\big|\gamma)=f

모든

\gamma \in \Gamma_g(N)

에 대해.

g=1

인 경우, 우리는 추가적으로

f

가 '무한대에서' 정칙적이어야 한다고 요구한다. 이러한 가정은 아래에서 설명하는 쾨허 원리에 의해

g>1

인 경우에는 필요하지 않다. 가중치

\rho

, 차수

g

, 레벨

N

의 지겔 모듈러 형식의 공간을 다음과 같이 나타낸다.

:

M_{\rho}(\Gamma_g(N)).

4. 쾨허 원리

쾨허 원리(Koecher principle)로 알려진 정리는 $f$ 가 가중치 $\rho$ , 레벨 1, 차수 $g>1$ 인 지겔 모듈러 형식일 경우, $f$ 는 다음 형태의 $\mathcal{H}_g$ 의 부분 집합에서 유계라는 것을 명시한다.

: $\left\{\tau \in \mathcal{H}_g \ | \textrm{Im}(\tau) > \epsilon I_g \right\},$

여기서 $\epsilon>0$ 이다. 이 정리의 따름정리는 차수 $g>1$ 인 지겔 모듈러 형식이 푸리에 전개를 가지며, 따라서 무한대에서 정칙이라는 사실이다.^[1]

5. 예시

지겔 모듈러 형식을 구성하는 방법은 다음과 같다.

아이젠슈타인 급수
격자의 세타 함수 및 지겔 세타 급수
차수 2에 대한 사이토-쿠로카와 올림
이케다 올림
미야와키 올림
지겔 모듈러 형식의 곱

레벨 1, 작은 차수 및 가중치에 대한 예시는 하위 섹션을 참고한다.

다음 표는 듀크(Duke), 이마모글루(Imamoḡlu), Chenevier, Lannes, Taïbi의 연구 결과를 종합하여 레벨 1 지겔 모듈러 형식 공간의 차원을 나타낸 것이다.^[3]^[4]

레벨 1 지겔 모듈러 형식 공간의 차원
가중치	차수 0	차수 1	차수 2	차수 3	차수 4	차수 5	차수 6	차수 7	차수 8	차수 9	차수 10	차수 11	차수 12
0	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
2	1: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
4	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
6	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
8	1: 1	0: 1	0: 1	0:1	1: 2	0: 2	0: 2	0: 2	0: 2	0:	0:	0:	0:
10	1: 1	0: 1	1: 2	0: 2	1: 3	0: 3	1: 4	0: 4	1:	0:	0:	0:	0:
12	1: 1	1: 2	1: 3	1: 4	2: 6	2: 8	3: 11	3: 14	4: 18	2:20	2: 22	1: 23	1: 24
14	1: 1	0: 1	1: 2	1: 3	3:6	3: 9	9: 18	9: 27
16	1: 1	1: 2	2: 4	3: 7	7: 14	13:27	33:60	83:143
18	1: 1	1: 2	2: 4	4:8	12:20	28: 48	117: 163
20	1: 1	1: 2	3: 5	6: 11	22: 33	76: 109	486:595
22	1: 1	1: 2	4: 6	9:15	38:53	186:239
24	1: 1	2: 3	5: 8	14: 22
26	1: 1	1: 2	5: 7	17: 24
28	1: 1	2: 3	7: 10	27: 37
30	1: 1	2: 3	8: 11	34: 45

5. 1. 레벨 1, 작은 차수의 예시

차수 1의 경우, 레벨 1 지겔 모듈러 형식은 레벨 1 모듈러 형식과 동일하다. 이러한 형식의 환은 (차수 1) 아이젠슈타인 급수 ''E''₄와 ''E''₆를 변수로 하는 다항식 환 '''C'''[''E''₄,''E''₆]이다.

차수 2의 경우, 이구사 준이치(1962, 1967)는 레벨 1 지겔 모듈러 형식의 환이 (차수 2) 아이젠슈타인 급수 ''E''₄와 ''E''₆, 그리고 가중치 10, 12, 35인 3개의 형식에 의해 생성된다는 것을 보였다. 이들 간의 관계의 아이디얼은 가중치 35 형식의 제곱에서 나머지 형식에 대한 특정 다항식을 뺀 것으로 생성된다.

차수 3의 경우, 쓰유미네 시게아키(1986)는 레벨 1 지겔 모듈러 형식의 환을 묘사했으며, 34개의 생성자 집합을 제시했다.^[1]

차수 4의 경우, 작은 가중치의 레벨 1 지겔 모듈러 형식이 발견되었다. 가중치 2, 4 또는 6인 첨점 형식은 없다. 가중치 8의 첨점 형식의 공간은 1차원이며, 쇼트키 형식에 의해 생성된다. 가중치 10의 첨점 형식 공간은 1차원, 가중치 12의 첨점 형식 공간은 2차원, 가중치 14의 첨점 형식 공간은 3차원, 가중치 16의 첨점 형식 공간은 7차원이다.^[2]

차수 5의 경우, 가중치 10의 첨점 형식 공간은 0차원, 가중치 12의 첨점 형식 공간은 2차원이다. 가중치 12의 형식 공간은 5차원이다.

차수 6의 경우, 가중치 0, 2, 4, 6, 8인 첨점 형식은 없다. 가중치 2의 지겔 모듈러 형식 공간은 0차원이며, 가중치 4 또는 6의 형식 공간은 둘 다 1차원이다.

작은 가중치와 레벨 1의 경우, 듀크(Duke)와 이마모글루(Imamoḡlu)는 (모든 양의 차수에 대해) 다음 결과를 제공한다.^[3]

가중치	설명
0	형식 공간은 1차원이며 1에 의해 생성된다.
1	유일한 지겔 모듈러 형식은 0이다.
2	유일한 지겔 모듈러 형식은 0이다.
3	유일한 지겔 모듈러 형식은 0이다.
4	모든 차수에 대해, 가중치 4의 형식 공간은 1차원이며, E₈ 격자 (해당 차수)의 세타 함수에 의해 생성된다. 유일한 첨점 형식은 0이다.
5	유일한 지겔 모듈러 형식은 0이다.
6	가중치 6의 형식 공간은 차수가 최대 8이면 차원이 1이고, 차수가 9 이상이면 차원이 0이다. 유일한 첨점 형식은 0이다.
7	차수가 4 또는 7이면 첨점 형식 공간은 사라진다.
8	종수 4에서 첨점 형식 공간은 1차원이며, 쇼트키 형식에 의해 생성되고, 형식 공간은 2차원이다. 종수가 8이면 첨점 형식은 없다.
	종수가 가중치의 두 배보다 크면 첨점 형식은 없다.

5. 2. 레벨 1, 작은 가중치의 예시

가중치가 0인 경우 형식 공간은 1차원이며 1에 의해 생성된다. 가중치가 1, 2, 3일 때 유일한 지겔 모듈러 형식은 0이다. 가중치가 4인 경우 모든 차수에 대해 형식 공간은 1차원이며, E₈ 격자(해당 차수)의 세타 함수에 의해 생성된다. 이때 유일한 첨점 형식은 0이다. 가중치가 5일 때 유일한 지겔 모듈러 형식은 0이다. 가중치가 6인 경우 형식 공간은 차수가 최대 8이면 차원이 1이고, 차수가 9 이상이면 차원이 0이다. 이때 유일한 첨점 형식은 0이다. 가중치가 7인 경우 차수가 4 또는 7이면 첨점 형식 공간은 사라진다. 가중치가 8인 경우 종수 4에서 첨점 형식 공간은 1차원이며, 쇼트키 형식에 의해 생성되고, 형식 공간은 2차원이다. 종수가 8이면 첨점 형식은 없다. 종수가 가중치의 두 배보다 크면 첨점 형식은 없다.

6. 응용

끈 이론의 초대칭 블랙홀 D1D5P 시스템에서 블랙홀 엔트로피의 미시 상태를 자연스럽게 포착하는 함수는 지겔 모듈러 형식이다.^[2] 일반적으로 지겔 모듈러 형식은 블랙홀 또는 기타 중력 시스템을 설명할 가능성이 있는 것으로 묘사되어 왔다.^[2]

지겔 모듈러 형식은 또한 특히 가설적인 AdS/CFT 대응에서 등각장론의 중앙 전하가 증가하는 CFT2 패밀리의 생성 함수로 사용된다.^[3]

참조

_[1] 논문 Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I 1954
_[2] 논문 Siegel modular forms and black hole entropy 2017-04-11
_[3] 논문 Siegel paramodular forms and sparseness in AdS3/CFT2 2018-11-07
_[4] 저널 Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I 1954

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