모듈러 형식

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1. 개요

모듈러 형식은 모듈러 군 또는 그 부분군에 대해 특정 변환 성질을 만족하는 함수를 의미한다. 상반 평면에서 정의되는 복소수 값을 갖는 함수로, 정칙 함수이며 모듈러 군의 행렬에 대해 특정 변환을 만족하고, 첨점에서 유계인 경우 모듈러 형식이라고 정의된다. 모듈러 형식은 정수론, 표현론, 랭글랜즈 프로그램, 물리학 등 다양한 분야에 응용되며, 타원 함수 이론에서 시작하여 20세기 초 헤케에 의해 체계화되었다. 모듈러 형식은 1994년 앤드루 와일스의 페르마의 마지막 정리 증명에 사용되었으며, 타원 곡선의 모듈러성 증명에도 기여했다.

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모듈러성 정리는 모든 유리수 타원곡선이 모듈러 곡선에서 유리 함수로 표현될 수 있다는 정리로, 유리수 타원 곡선과 모듈러 형식 간의 연관성을 보이며 페르마의 마지막 정리 증명에 중요한 역할을 했다.
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모듈러 형식

2. 정의

모듈러 형식 $f\colon\mathbb H\to\mathbb C$ 는 열린 상반평면 $\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}$ 위에 정의된 함수로, 다음 세 가지 조건을 만족시킨다.^[2]

(S변환) 어떤 정수 $k$ 에 대하여, $f(-1/z)=z^kf(z)$ 이다. 이 $k$ 를 $f$ 의 '''무게'''(weight^영어)라고 한다.
(T변환) $f(1+z)=f(z)$ 이다.
(정칙성) $f(z)$ 는 $\mathbb H$ 에서 정칙함수이며, $z\to i\infty$ 에서도 정칙함수이다. 즉, $f(z)$ 는 다음과 같은 푸리에 급수로 쓸 수 있다.

:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n\exp(2\pi inz)

:여기서

c_0=f(i\infty)

에 해당한다.

z=i\infty

를 '''첨점''' 또는 '''뾰족점'''(cusp^영어)이라고 하며,

c_0=0

인 모듈러 형식을 '''첨점 형식'''(cusp form^영어)이라고 한다.

보다 일반적으로, 정칙성 조건을 완화시켜

f

가 반평면 위에서 유리형 함수가 되도록 할 수 있다.

'''모듈러 함수'''는 S변환 및 T변환을 만족하고, 반평면 위에서 유리형 함수이며, 무게가 0인 함수다. 반평면 위에서 정칙 함수인 모듈러 함수는 상수함수밖에 없다.

2. 1. 모듈러 변환

모듈러 군 또는 그 부분군에 대한 변환 성질을 갖는 함수를 모듈러 형식이라고 한다.

열린 상반평면

\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}

위에 정의된 함수

f\colon\mathbb H\to\mathbb C

가 다음 성질을 만족하면 무게(weight)

k

의 모듈러 형식이라고 한다.

(S변환) $f(-1/z)=z^kf(z)$
(T변환) $f(1+z)=f(z)$
(정칙성) $f(z)$ 는 $\mathbb H$ 에서 정칙함수이며, $z\to i\infty$ (첨점)에서도 정칙함수이다. 즉, $f(z)$ 는 다음과 같은 푸리에 급수로 쓸 수 있다.

::

f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n\exp(2\pi inz)

::여기서

c_0=f(i\infty)

에 해당한다.

c_0=0

인 모듈러 형식을 '''첨점 형식'''이라고 한다.

보다 일반적으로, 정칙성 공리를 약화시켜

f

가 반평면 위에서 유리형 함수이어야 한다는 조건을 가할 수도 있다.

'''모듈러 함수'''는 S변환 및 T변환 공리를 만족시키고, 반평면 위에서 유리형 함수이고, 무게가 0인 함수다. (반평면 위에서 정칙 함수인 모듈러 함수는 상수함수밖에 없다.)

Γ의 유한 지표의 부분군

G\subset\Gamma

에 대해서도 모듈러 형식을 정의할 수 있다. 이 경우,

G

에 대한 무게

k\in\mathbb Z

의 '''모듈러 형식'''은 다음 조건을 만족시키는 함수

f

이다.

(모듈러 변환) 모든 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in G$ 에 대하여, $f((az+b)/(cz+d))=(cz+d)^kf(z)$ 이다.
(정칙성) $f(z)$ 는 $\mathbb H$ 에서 정칙함수이며, 또한 '''첨점''' $z\to i\infty$ 에서 정칙함수이다. 즉, $f(z)$ 는 다음과 같은 푸리에 급수로 쓸 수 있다 ( $q=\exp(2\pi iz)$ ).

::

f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nq^n

특히,

G

가 Γ₀(''N'')인 경우에는, 이 군에 대한 모듈러 형식을 '''준위'''(level|레벨^영어) ''N''의 모듈러 형식이라고 한다.

일반적으로,^[2] 유한 지수를 갖는

\Gamma \subset \text{SL}_2(\mathbb{Z})

의 부분군을 산술군이라고 하는데, '''레벨

\Gamma

와 가중치

k

를 갖는 모듈러 형식'''은 다음 두 가지 조건을 만족하는 정칙 함수

f:\mathcal{H} \to \mathbb{C}

이다. 여기서

\mathcal{H}

는 상반 평면이다.

자기형성 조건: 모든 $\gamma \in \Gamma$ 에 대해 $f(\gamma(z)) = (cz + d)^k f(z)$ 이다.^[3]
성장 조건: 모든 $\gamma \in \text{SL}_2(\mathbb{Z})$ 에 대해 함수 $(cz + d)^{-k} f(\gamma(z))$ 는 $\text{im}(z) \to \infty$ 일 때 유계이다.

여기서

\gamma(z) = (az+b)/(cz+d)

이고, 함수

\gamma

는 행렬

\gamma = \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z}).\,

와 동일시된다.

첨점 조건은 모든

\gamma \in \text{SL}_2(\mathbb{Z})

에 대해 함수

(cz + d)^{-k}f(\gamma(z)) \to 0

as

\text{im}(z) \to \infty

이며, 이 조건을 만족하면 '''첨점 형식'''이 된다.

모듈러 군에 대한 무게

k

의 모듈러 형식은 다음과 같다.

:

\text{SL}(2, \mathbf Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \right| a, b, c, d \in \mathbf Z,\ ad-bc = 1 \right \}

상반 평면

\mathbb{H}

에서, 다음 조건을 만족하는 복소수 값을 갖는 함수는 모듈러 형식이 된다.

#

f

는

\mathbb{H}

에서 정칙 함수이다.

# 모든

z \in \mathbb{H}

와 위에 언급한

\text{SL}(2, \mathbf Z)

의 모든 행렬에 대해 다음이 성립한다.

#:

f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)

#

f

는

z \to i\infty

로 갈 때 제한되어 있어야 한다.

무게

k

는 일반적으로 양의 정수이다. 홀수

k

의 경우 두 번째 조건을 만족하는 함수는 영 함수뿐이다.

세 번째 조건은

f

가 "첨점에서 정칙"이라고도 표현된다.

다음 행렬에 대한 두 번째 조건은

::

S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

:다음과 같다.

::

f\left(-\frac{1}{z}\right) = z^k f(z), \qquad f(z + 1) = f(z)

S

와

T

는 모듈러 군

\text{SL}(2, \mathbf Z)

를 생성하므로 위의 두 번째 조건은 이 두 방정식과 동일하다.

f(z+1) = f(z)

이므로 모듈러 형식은 주기 함수이며, 주기 1을 가지므로 푸리에 급수를 갖는다.

''k''를 양의 정수라고 할 때, '''가중치''' ''k''의, '''레벨''' ''N'' (또는 레벨 군 Γ₀(''N''))을 갖는 '''모듈러 형식'''은 상반 평면상에서 정칙인 함수 ''f''이며, 임의의

:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)

와 상반 평면상의 임의의 점 ''z''에 대해

:

f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)

를 만족하고, 첨점에서 ''f''가 유리형인 것을 말한다. 여기서 "첨점에서 유리형"이란, 허축의 양의 부분에 따른 ''z'' → ''i'' ∞가 되는 극한에서 모듈러 형식이 유리형임을 말한다.

''f''(''z'' + 1) = ''f''(''z'') 즉, 모듈러 형식이 주기 1을 갖는 주기 함수이며, 따라서 푸리에 급수 전개를 갖는다는 것에 주의해야 한다.

Γ의 무게 k인 모듈러 형식은 '''H''' 위의 함수이며, '''H''' 위와 Γ의 모든 첨점에서 정칙이고, Γ의 모든 행렬에 대해 함수 방정식을 만족하는 것을 말한다.

2. 2. 정칙성 조건

모듈러 형식

f\colon\mathbb H\to\mathbb C

는 열린 상반평면

\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}

에서 정칙함수이고,

z\to i\infty

에서도 정칙함수여야 한다.

이는

f(z)

를 다음과 같은 푸리에 급수로 쓸 수 있다는 것을 의미한다.^[2]

:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n\exp(2\pi inz)

여기서

c_0=f(i\infty)

이다.

z=i\infty

를 '''첨점''' 또는 '''뾰족점'''(cusp^영어)이라고 하며,

c_0=0

인 모듈러 형식을 '''첨점 형식'''(cusp form^영어)이라고 한다.^[2]

보다 일반적으로는, 정칙성 조건을 완화시켜

f

가 상반평면 위에서 유리형 함수이어야 한다는 조건을 적용할 수도 있다.

q=\exp(2\pi iz)

일 때, 모듈러 형식은 다음과 같은 푸리에 급수로도 쓸 수 있다.^[2]

:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nq^n

2. 3. 첨점 형식

모듈러 형식에서, '''첨점''' 또는 '''뾰족점'''(cusp)은

z=i\infty

를 말하며,

c_0=0

인 모듈러 형식을 '''첨점 형식'''(cusp form)이라고 한다.^[2] 즉, 첨점 형식은 푸리에 급수에서 상수항이 0인 모듈러 형식이다.

모듈러 형식은 주기 함수이므로, 주기 1을 가지며 푸리에 급수 전개를 갖는다. 모듈러 형식의 ''q''-전개는 첨점에서의 로랑 급수, 또는 놈(nome)의 제곱

q = \exp(2\pi iz)

의 로랑 급수로 표현되는 푸리에 급수이다.^[17] ''q''-전개는 다음과 같이 표현된다.

:

f(z)=\sum_{n=-m}^\infty c_n \exp(2\pi inz) = \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n.

여기서 계수

c_n

은

f

의 푸리에 계수이며, 정수

m

은

f

의

i\infty

에서의 극의 차수이다. 만약 모듈러 형식

f

가 정형(entire)이고

q=0

에서 사라지는 경우 (즉,

c_0 = 0

),

f

는 첨점 형식이 된다.

c_n \ne 0

인 최소의

n

은

i\infty

에서의

f

의 영점의 차수이다.

3. 모듈러 형식의 예시

모듈러 형식은 복소수 집합에서 정의되는 함수로, 특정 조건을 만족하는 주기 격자 집합에서 함수로도 생각할 수 있다.

모듈러 형식의 예시는 다음과 같다:

아이젠슈타인 급수: 주어진 주기 격자에 대해 정의되는 모듈러 형식이다.
세타 함수: 푸아송 덧셈 공식을 이용하여 정의되는 모듈러 형식로 짝수 유니모듈러 격자의 세타 함수가 그 예시이다.
데데킨트 에타 함수를 이용한 모듈러 판별식: 데데킨트 에타 함수를 이용하여 정의되는 모듈러 판별식은 가중치 12의 모듈러 형식이다.

이 외에도 다양한 모듈러 형식이 존재하며, 헤케 연산자 이론을 통해 모듈러 형식과 수론 사이의 중요한 연결고리를 찾을 수 있다.

3. 1. 아이젠슈타인 급수

아이젠슈타인 급수는 주어진 주기 격자에 대해 정의되는 모듈러 형식의 한 예이다.

각 짝수 정수 $k > 2$에 대해, 격자 $\Lambda$의 모든 0이 아닌 벡터 $\lambda$에 대한 $\lambda^{-k}$의 합으로 $G_k(\Lambda)$를 정의한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:

G_k(\Lambda) = \sum_{0 \neq \lambda \in \Lambda} \lambda^{-k}.

이때, $G_k$는 가중치 $k$의 모듈러 형식이 된다. $\Lambda = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau$에 대해, 아이젠슈타인 급수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

G_k(\Lambda) = G_k(\tau) = \sum_{(0,0) \neq (m,n) \in \mathbb{Z}^2} \frac{1}{(m + n\tau)^k}.

또한, 다음 항등식들이 성립한다.

:

\begin{align}G_k\left(-\frac{1}{\tau}\right) &= \tau^k G_k(\tau), \\G_k(\tau + 1) &= G_k(\tau).\end{align}

여기서 $k > 2$ 조건은 급수의 수렴을 보장하기 위해 필요하다. 만약 $k$가 홀수라면, $\lambda^{-k}$와 $(-\lambda)^{-k}$ 항들이 서로 상쇄되어 급수는 0이 된다.

3. 2. 세타 함수

푸아송 덧셈 공식에 의해, 짝수 유니모듈러 격자의 세타 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z}

이는 무게 n/2의 모듈 형식이다. 여기서 L은 행렬의 열을 형성하는 n개의 벡터에 의해 생성된 격자로, 행렬식은 1이며, L의 각 벡터의 길이의 제곱이 짝수 정수라는 조건을 만족한다.

짝수 유니모듈러 격자를 구성하는 것은 쉽지 않지만, 다음과 같은 방법이 있다. n을 8로 나누어 떨어지는 정수로 하고, 2v가 정수 좌표를 가지는 Rⁿ의 모든 벡터 v를 고려한다 (모두 짝수이거나 모두 홀수). 그리고 v의 좌표 합이 짝수인 격자 L_n을 구성한다. n = 8일 때, 이것은 E₈이라고 불리는 근계의 근에 의해 생성된 격자이다.

가중치 8의 모듈 형식은 스칼라 곱셈까지 하나밖에 없기 때문에

:

\vartheta_{L_8\times L_8}(z) = \vartheta_{L_{16}}(z),

가 성립한다. L₈ × L₈와 L₁₆ 격자가 유사하지 않더라도, 이 식이 성립한다. 존 밀너는 R¹⁶을 이 두 격자로 나눈 16차원 원환체가 등스펙트럼이지만 등거리가 아닌 콤팩트 리만 다양체의 예시임을 보였다. (북소리의 모양 듣기 참조).

이 예시는 모듈 형식과 정수의 이차 형식 표현 및 분할 함수와 같은 고전적인 수론 문제 사이의 연결에 대한 힌트를 제공한다.

3. 3. 데데킨트 에타 함수

Dedekindsche η-Funktion|데데킨트 에타 함수^de는 다음과 같이 정의된다.

:

\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n), \qquad q = e^{2\pi i z}.

여기서 ''q''는 노메의 제곱이다. 그러면 모듈러 판별식 는 가중치 12의 모듈 형식이다.^[8] 리치 격자가 24차원을 가지는 것과 관련하여 24라는 숫자가 나타난다. 라마누잔은 를 q에 대한 거듭제곱 급수로 전개했을 때, 소수 에 대한 계수의 절댓값이 라는 추측을 제기했다. 이 추측은 아이클러, 시무라, 쿠가, 이하라, 들리뉴의 연구를 통해 증명되었으며, 특히 들리뉴가 바일 추측을 증명함으로써 라마누잔 추측이 함의됨이 밝혀졌다.^[9]

3. 4. 모듈러 판별식 Δ

데데킨트 에타 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n), \qquad q = e^{2\pi i z}.

여기서 ''q''는 노메의 제곱이다. 그러면 모듈러 판별식 는 (2π)¹²''η''(''z'')²⁴로 정의되는데, 이는 가중치 12의 모듈 형식이다. 여기서 24라는 숫자는 리치 격자가 24차원을 갖는다는 사실과 관련이 있다. 라마누잔은 를 q에 대한 거듭제곱 급수로 전개했을 때, 소수 에 대한 의 계수의 절댓값이 라고 추측했다. 이 추측은 아이클러, 시무라, 쿠가, 이하라, 들리뉴의 연구를 통해 증명되었으며, 특히 들리뉴가 바일 추측을 증명함으로써 라마누잔 추측이 자동적으로 증명되는 결과로 이어졌다.

4. 모듈러 형식의 공간

모듈러 형식의 공간은 크게 세 가지로 분류할 수 있다.

$A_k$ : 무게 $k$ 의 (극점을 가질 수 있는) 모듈러 형식들의 복소수 벡터 공간이다.
$A = \bigoplus_k A_k$ 는 곱셈에 대해 등급 체를 이룬다.
$A_0$ 는 j-불변량에 대한 복소 유리 함수체로, $A_0 = \mathbb C(j)$ 이다.
$k \ne 1$ 일 때, 모든 $A_k$ 는 $A_0$ 에 대한 1차원 벡터 공간이며, $A_k = \operatorname{Span}_{A_0} \{(g_3/g_2)^{k/2}\}$ 이다.
$A = \mathbb C(g_2, g_3) = \operatorname{Quot}(M)$ 이며, 이는 환 $M$ 의 분수체이다.

4. 1. 벡터 공간 구조

M_k

는 무게

k

의 모듈러 형식들의 복소수 벡터 공간이다.

M=\bigoplus_kM_k

는 등급환을 이룬다. 환으로서,

M\cong\mathbb C[g_2,g_3]

이다. 여기서

g_2,g_3

는 모듈러 불변량이며, 아이젠슈타인 열의 처음 두 원소이다. 따라서 다음과 같다.

:

\dim_{\mathbb C}M_k=\begin{cases}\lfloor k/12\rfloor&k\equiv2\pmod{12}\\\lfloor k/12\rfloor+1&k\not\equiv2\pmod{12}\end{cases}

S_k\subset M_k

는 무게

k

의 첨점 형식들의 복소수 벡터 공간이다.

S=\bigoplus_kS_k

는

M

의 주 아이디얼을 이룬다. 구체적으로,

\Delta=g_2^3-27g_3^2=(2\pi)^{12}\eta^{24}

가 모듈러 판별식이고 (

\eta

는 데데킨트 에타 함수),

S=\Delta M

이다. 따라서 다음과 같다.

:

\dim_{\mathbb C} S_k=\begin{cases}\lfloor k/12\rfloor-1&k\ne2,\;k\equiv2\pmod{12}\\\lfloor k/12\rfloor&k=2\text{ or }k\not\equiv2\pmod{12}\end{cases}

무게 k의 모듈러 형식과 첨점 형식의 '''C'''-벡터 공간을 각각 M_k(Γ)와 S_k(Γ)로 나타낸다.^[15]

리만 곡면의 이론을

\Gamma \backslash H

^*에 적용하면, 모듈러 형식과 모듈러 함수에 대한 더 깊은 정보를 얻을 수 있다. 예를 들어, 공간 M_k(Γ)와 S_k(Γ)는 유한 차원이며, 이 차원은 리만-로흐 정리 덕분에 '''H'''에 작용하는 Γ-작용의 기하학적 언어로 다음과 같이 계산할 수 있다.^[15]

:

\dim_{\mathbf C} M_k(SL(2,\mathbf Z)) =\left \{ \begin{array}{ll} \lfloor k/12 \rfloor & k \equiv 2 \pmod{12} \\\lfloor k/12 \rfloor + 1 & \text{else}\end{array} \right.

여기서,

\lfloor - \rfloor

는 바닥 함수를 나타낸다.

4. 2. 차원 공식

리만-로흐 정리를 통해 모듈러 형식 공간의 차원 공식을 계산할 수 있다.^[10] 예를 들어, SL(2, Z)에 대한 무게

k

(짝수)인 모듈러 형식의 공간의 차원은 다음과 같다.

:

\dim_\mathbf{C} M_k\left(\text{SL}(2, \mathbf{Z})\right) = \begin{cases}\left\lfloor k/12 \right\rfloor     & k \equiv 2 \pmod{12} \\\left\lfloor k/12 \right\rfloor + 1 & \text{otherwise}\end{cases}

여기서

\lfloor \cdot \rfloor

는 바닥 함수를 나타낸다.

4. 3. 등급환 구조

Modular form^영어의 곱셈은 등급환 구조를 가지며, 이는 모듈러 형식의 환을 이루는 중요한 요소이다.

:

M_k

는 무게

k

의 (

\widehat\infty

이외의 극점을 갖지 않는) 모듈러 형식들의 복소수 벡터 공간이다.

M=\bigoplus_kM_k

는 등급환을 이룬다. 환으로서,

M\cong\mathbb C[g_2,g_3]

이다. 여기서

g_2,g_3

는 모듈러 불변량이며, 아이젠슈타인 열의 처음 두 원소이다.

따라서, 모듈러 형식의 차원은 다음과 같이 주어진다.

:

\dim_{\mathbb C}M_k=\begin{cases}\lfloor k/12\rfloor&k\equiv2\pmod{12}\\\lfloor k/12\rfloor+1&k\not\equiv2\pmod{12}\end{cases}

SL(2, Z)의 부분군

\Gamma

에 대해, 모듈러 형식의 환은

\Gamma

의 모듈러 형식에 의해 생성된 등급환이다. 다시 말해,

M_k(\Gamma)

가 가중치

k

의 모듈러 형식의 벡터 공간인 경우,

\Gamma

의 모듈러 형식의 환은 등급환

M(\Gamma) = \bigoplus_{k > 0} M_k(\Gamma)

이다.

SL(2, Z)의 합동 부분군의 모듈러 형식의 환은 피에르 들리뉴와 마이클 라포포트의 결과에 의해 유한하게 생성된다. 이러한 모듈러 형식의 환은 가중치 6 이하에서 생성되며, 합동 부분군이 0이 아닌 홀수 가중치 모듈러 형식을 가지는 경우 관계는 가중치 12 이하에서 생성되고, 0이 아닌 홀수 가중치 모듈러 형식이 없는 경우에는 해당 경계가 각각 5와 10이다.^[12]

5. 모듈러 함수

모듈러 함수는 모듈러 군에 대해 불변이지만, 상반평면에서 정칙이라는 조건은 없는 함수이다. 대신, 모듈러 함수는 유리형이다. 즉, 고립된 점들의 집합의 여집합에서 정칙이며, 이 점들은 함수의 극점이다.

함수 ''f'' : '''H''' → '''C'''는 다음 속성을 만족하면 모듈러 함수라고 한다.

''f''는 열린 상반 평면 ''H''에서 메로모르픽이다.
정수 행렬 $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 가 모듈러 군에 속하는 모든 행렬에 대해, $f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = f(z)$ 이다.
''f''는 주기 함수이므로, 푸리에 급수를 가지며, 세 번째 조건은 이 급수가 다음 형식이라는 것이다.

::

f(z) = \sum_{n=-m}^\infty a_n e^{2i\pi nz}.

이는

q=\exp(2\pi i z)

(nome의 제곱)으로 표현되는 경우가 많으며 다음과 같다.

::

f(z)=\sum_{n=-m}^\infty a_n q^n.

이것은 또한 ''f''의 ''q''-전개 (q-전개 원리)라고도 한다. 계수

a_n

은 ''f''의 푸리에 계수라고 하며, 숫자 ''m''은 i∞에서 ''f''의 극의 차수라고 한다. 이 조건은 "첨점에서 메로모르픽"이라고 하며, 유한 개의 음수 ''n'' 계수만 0이 아니므로, ''q''-전개는 아래로 제한되어 ''q'' = 0에서 메로모르픽임을 보장한다.^[5]

모듈러 함수의 정의를 표현하는 또 다른 방법은 타원 곡선을 사용하는 것이다. 모든 격자 Λ는 '''C''' 위의 '''C'''/Λ 타원 곡선을 결정한다. 두 격자는 어떤 0이 아닌 복소수를 곱함으로써 하나가 다른 하나로부터 얻어지는 경우에만 동형인 타원 곡선을 결정한다. 따라서, 모듈러 함수는 타원 곡선의 동형류 집합에 대한 메로모르픽 함수로 간주될 수도 있다. 예를 들어, 타원 곡선의 j-불변량 ''j''(''z'')는 모든 타원 곡선 집합에 대한 함수로 간주될 때 모듈러 함수이다.

임의의 모듈러 함수가 클라인의 절대 불변량 j(τ)의 유리 함수로 표시되며, 또한 j(τ)의 유리 함수가 모듈러 함수가 됨을 알 수 있다.^[16]

6. 모듈러 곡선

$G\subset\Gamma$ 에 대한 모듈러 형식은 $G\backslash\mathbb H$ 위의 선다발의 단면으로 볼 수 있다. $G\setminus\mathbb H$ 는 콤팩트하지 않은 리만 곡면이며, 여기에 첨점들을 더해 콤팩트 리만 곡면 $(G\setminus\mathbb H)^*$ 을 만들 수 있다. 이를 $G$ 에 대응하는 '''모듈러 곡선'''(modular curve^영어) $X(G)$ 라고 한다.^[4]

모듈러 형식은 모듈러 곡선(모듈러 다양체)에서 선다발의 단면으로 해석할 수 있다. $\Gamma \subset \text{SL}_2(\mathbb{Z})$ 에 대해 레벨 $\Gamma$ 와 가중치 $k$ 의 모듈러 형식은 다음과 같이 정의될 수 있다.

: $f \in H^0(X_\Gamma,\omega^{\otimes k}) = M_k(\Gamma)$

여기서 $\omega$ 는 모듈러 곡선에 대한 표준 선다발이다.

: $X_\Gamma = \Gamma \backslash (\mathcal{H} \cup \mathbb{P}^1(\mathbb{Q}))$

이러한 모듈러 형식 공간의 차원은 리만-로크 정리를 사용하여 계산할 수 있다.^[4] $\Gamma = \text{SL}_2(\mathbb{Z})$ 에 대한 고전적인 모듈러 형식은 타원 곡선의 모듈라이 스택에 대한 선다발의 단면이다.

모듈러 형식은 타원 곡선의 모듈리 공간에서 선 다발의 단면으로, 이 기하학적 방향에서 유용하게 접근할 수도 있다.

'''C'''의 격자 Λ는 '''C''' 위의 타원 곡선 '''C'''/Λ를 결정한다. 위에서 격자의 집합 위의 함수로 간주할 수 있음을 설명했지만, 마찬가지로 타원 곡선의 집합 위의 함수로도 간주할 수 있다. 이와 같이, 모듈러 형식은 모듈러 곡선 위의 선다발의 절단으로 생각할 수 있다. 예를 들어, 타원 곡선의 j-불변량은 모듈러 곡선의 유리 함수체의 생성원이다.

선다발의 절단으로서의 해석은 다음과 같이 설명할 수 있다. 벡터 공간 V에 대해 사영 공간 P(V) 위의 함수를 생각한다. V 위의 함수 F로 V의 원소 v ≠ 0의 성분의 다항식이며, 등식 F(cv) = F(v)를 0이 아닌 임의의 스칼라 c에 대해 만족하는 것을 생각하면, 그러한 것은 상수 함수밖에 존재하지 않는다. 조건을 완화하여 다항식 대신 분모를 붙여 유리 함수를 생각하면, F로서 같은 차수의 두 개의 동차 다항식의 비로 할 수 있다. 또는 F는 다항식인 채로 두고, 상수 c에 관한 조건을 F(cv) = c^kF(v)로 완화하면, 그러한 함수는 k차 동차 다항식이다. 동차 다항식의 전체는 실제로는 P(V) 위의 함수가 아니므로, P(V)의 함수가 기술하는 기하학적인 내용을, 정말로 동차 다항식이 기술할 수 있는지 생각하는 것은 자연스럽다. 이것은 대수 기하학에서 층 (이 경우에는 선다발)의 절단을 생각하는 것에 상당한다. 이것은 모듈러 형식에 대한 상황과 정확히 대응하는 이야기이다.

7. 일반화

고전적인 모듈러 형식은 여러 방법으로 일반화할 수 있다.

마스 파동 형식은 모듈러 변환을 따르는 해석적 조화함수이다.
가짜 모듈러 형식(mock modular form^영어)은 스리니바사 라마누잔이 발견한 개념으로, 마스 파동 형식의 정칙 부분이다.
힐베르트 모듈러 형식(Hilbert modular form^영어)은 상반 평면의 곱 위에 정의된 복소 다변수 함수이다.
지겔 모듈러 형식은 고전적인 모듈러 형식이 타원곡선(1차 아벨 다양체)과 관련되는 것과 달리, 고차원 아벨 다양체와 관련되어 더 큰 심플렉틱 군에 관련된 함수들이다.
야코비 형식은 모듈러 형식과 타원 함수의 개념을 혼합한 것이다. 예시로는 야코비 세타 함수와 종수 2의 지겔 모듈러 형식의 푸리에 계수가 있다.
보형 형식(오토모르프 형식)은 모듈러 형식의 개념을 일반적인 리 군으로 확장한 것이다.

마스 형식은 라플라스 연산자의 실해석적 고유 함수이지만, 정칙일 필요는 없다.

힐베르트 모듈러 형식은 총실 대수체의 원소를 갖는 2 × 2 행렬에 대한 모듈러 관계를 만족하는 여러 개의 복소 변수를 가진 함수이다.

오토모픽 인자는

\varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k

형태의 함수로, 모듈러 형식을 정의하는 모듈러 관계를 일반화하는 데 사용된다. 여기서 함수

\varepsilon(a,b,c,d)

는 모듈러 형식의 네벤타이푸스라고 불린다. 데데킨트 에타 함수와 같이 가중치 1/2의 모듈러 폼은 보형 인자를 허용함으로써 이론에 포함될 수 있다.

7. 1. 준위(레벨)를 갖는 모듈러 형식

모듈러 군의 지표를 갖는 부분군

G\subset\Gamma

에 대한 모듈러 형식을 정의할 수 있다.

G

에 대한 무게

k\in\mathbb Z

의 '''모듈러 형식'''은 다음 조건을 만족시키는 함수

f

이다.

(모듈러 변환) 모든 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in G$ 에 대하여, $f((az+b)/(cz+d))=(cz+d)^kf(z)$ 이다.
(정칙성) $f(z)$ 는 $\mathbb H$ 에서 정칙함수며, 또한 '''첨점''' $z\to i\infty$ 에서 정칙함수다. 즉, $f(z)$ 는 다음과 같은 푸리에 급수로 쓸 수 있다. $f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nq^n$ ( $q=\exp(2\pi iz)$ ).

특히,

G

가 Γ₀(''N'')인 경우에는, 이 군에 대한 모듈러 형식을 '''준위'''(level|레벨^영어) ''N''의 모듈러 형식이라고 한다.^[14]

양의 정수 ''N''에 대해 합동 부분군 Γ₀(''N'')은 다음과 같이 정의된다.

:

\Gamma_0(N) = \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) :c \equiv 0 \pmod{N} \right\}

''k''를 양의 정수라고 할 때, '''가중치''' ''k''의, '''레벨''' level|레벨^영어 ''N'' (또는 레벨 군 Γ₀(''N''))을 갖는 '''모듈러 형식'''은 상반 평면상에서 정칙인 함수 ''f''이며, 임의의

:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)

와 상반 평면상의 임의의 점 ''z''에 대해

:

f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)

를 만족하고, 첨점에서 ''f''가 유리형인 것을 말한다. 여기서 "첨점에서 유리형"이란, 허축의 양의 부분에 따른 ''z'' → ''i'' ∞가 되는 극한에서 모듈러 형식이 유리형임을 말한다.^[14]

무게 ''k''의

G

에 대한 모듈 형식은 '''H'''상의 함수로,

G

의 모든 행렬에 대해 위의 함수 방정식을 만족하고, '''H'''와

G

의 모든 첨점에서 정칙 함수이다. 다시 말해, 모든 첨점에서 0이 되는 모듈 형식은

G

에 대한 첨점 형식이라고 한다. 무게 ''k''의 모듈 형식과 첨점 형식의 '''C'''-벡터 공간은 각각

M_k(G)

와

S_k(G)

로 표기한다. 유사하게,

G

\'''H'''^∗ 상의 유리형 함수는

G

에 대한 모듈 함수라고 한다.

G

= Γ₀(''N'')인 경우, 이러한 형식과 함수는 ''수준'' ''N''의 모듈/첨점 형식 및 함수라고도 한다.

7. 2. 반정수 가중치를 갖는 모듈러 형식

Dedekind eta function와 같은 함수는 보형 인자를 허용하면 가중치 1/2의 모듈러 형식이 된다. 보형 인자는

\varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k

형태의 함수로, 모듈러 폼을 정의하는 모듈러 관계를 일반화하는 데 사용된다.

:

f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k f(z).

이때, 함수

\varepsilon(a,b,c,d)

는 모듈러 형식의 네벤타이푸스라고 불린다.

7. 3. 마스 형식

마스 파동 형식은 모듈러 변환을 따르는 해석적 조화함수이다. 마스 형식은 라플라스 연산자의 실해석적 고유 함수이지만, 정칙일 필요는 없다. 특정 약한 마스 파동 함수의 정칙 부분은 기본적으로 스리니바사 라마누잔의 모의 세타 함수(모크 테타 함수)로 밝혀졌다. ''SL''₂('''Z''')의 부분군이 아닌 군을 고려할 수도 있다.

7. 4. 힐베르트 모듈러 형식

Hilbert modular form|힐베르트 모듈러 형식^영어은 모두 상반 평면에 속하는 ''n''개의 복소 변수를 갖는 함수로, 총실 대수체를 성분으로 갖는 2 × 2 행렬에 대해 모듈러 관계식을 만족하는 것이다.

7. 5. 지겔 모듈러 형식

지겔 모듈러 형식은 더 큰 심플렉틱 군에 관련된 함수들이다. 고전적인 모듈러 형식은 타원곡선(1차 아벨 다양체)의 모듈라이 공간 위의 선다발의 단면인데, 지겔 모듈러 형식은 고차원 아벨 다양체의 모듈러스 공간 위의 선다발의 단면이다. 이 모듈러스 공간은 고차 심플렉틱 군에 대한 몫공간이다. 고전적인 모듈러 폼이 SL(2, '''R''')과 연관되는 방식과 동일하게 더 큰 심플렉틱 군과 연관된다.^[1] 즉, (어떤 경우에는 이러한 점을 강조하기 위해 ''타원 모듈러 폼''이라고 불리는) 고전적 모듈러 폼이 타원 곡선과 관련된 것과 같은 방식으로 아벨 다양체와 관련된다.^[1]

7. 6. 야코비 형식

야코비 형식은 모듈러 형식과 타원 함수를 혼합한 것이다. 야코비 세타 함수와 종수 2의 지겔 모듈러 형식의 푸리에 계수가 그 예시인데, 이는 매우 고전적이다. 하지만 야코비 형식이 통상의 모듈러 형식론과 매우 유사한 산술 이론을 갖는다는 사실이 발견된 것은 비교적 최근의 일이다.

7. 7. 보형 형식

보형 형식은 모듈러 형식의 개념을 일반적인 리 군에 대하여 일반화한 것이다. 오토모르프 형식이라고도 한다.

8. 역사와 한국 수학계의 기여

모듈러 형식 이론은 다음 네 시기에 걸쳐 발전했다.

19세기 초 타원 함수 이론과 관련하여
19세기 말 펠릭스 클라인 등이 (한 변수에 대한) 자기형 형식 개념을 이해하게 되면서
1925년경부터 에리히 헤케에 의해
1960년대, 특히 정수론의 필요성과 모듈러성 정리의 공식화가 모듈러 형식이 깊이 연관되어 있음을 분명히 하면서

타니야마와 시무라는 특정 모듈러 형식과 타원 곡선 간의 1대 1 대응을 확인했다. 로버트 랭글랜즈는 이 아이디어를 바탕으로 그의 광범위한 랭글랜즈 프로그램을 구축했으며, 이는 수학에서 가장 광범위하고 중요한 연구 프로그램 중 하나가 되었다.

1994년 앤드루 와일스는 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위해 모듈러 형식을 사용했다. 2001년에는 모든 타원 곡선이 유리수에서 모듈러임이 증명되었다. 2013년에는 타원 곡선이 실수 이차 체에서 모듈러임이 증명되었다. 2023년에는 타원 곡선이 유리수와 −5까지의 정수의 제곱근을 결합하여 형성된 체를 포함하여 허수 이차 체의 약 절반에서 모듈러임이 증명되었다.^[1]

체계적인 용어로서의 "모듈러 형식"은 헤케에 의한 것이다.

9. 응용

모듈러 형식은 타원 함수 이론, 펠릭스 클라인 등의 자기형 형식 개념, 에리히 헤케의 연구, 모듈러성 정리와 관련하여 발전해 왔다.

앤드루 와일스는 1994년 모듈러 형식을 이용하여 페르마의 마지막 정리를 증명하였다.^[1] 이후 유리수(2001년), 실수 이차 체(2013년), 허수 이차 체의 약 절반(2023년)에서 모든 타원 곡선이 모듈러임을 증명하였다.^[1]

존 밀너는 '''R'''¹⁶을 격자 L₈ × L₈과 L₁₆으로 나눈 16차원 토러스가 등 스펙트럼이지만 등장이 아닌 콤팩트 리만 다양체의 예시임을 보였다.

리만-로흐 정리를 통해 공간 M_k(Γ)와 S_k(Γ)의 차원을 계산할 수 있다.^[15]

데데킨트 에타 함수 같은 함수는 모듈러 형식의 보형 인자를 통해 가중치 1/2의 모듈러 형식으로 이론에 포함 가능하다. 라마누잔 추측은 피에르 들리뉴가 베유 추측 연구 결과로 해결했다.

9. 1. 정수론

모듈러 형식 이론은 타원 함수 이론, 펠릭스 클라인 등의 자기형 형식 개념, 에리히 헤케의 연구, 그리고 모듈러성 정리와의 연관성을 통해 발전해왔다. 특히, 타니야마와 시무라는 모듈러 형식과 타원곡선 사이의 관계를 확인했고, 로버트 랭글랜즈는 이를 바탕으로 랭글랜즈 프로그램을 구축했다.

1994년 앤드루 와일스는 모듈러 형식을 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명했다.^[1] 2001년에는 유리수에서, 2013년에는 실수 이차 체에서, 2023년에는 허수 이차 체의 약 절반에서 모든 타원 곡선이 모듈러임이 증명되었다.^[1]

짝수 k > 2에 대해 아이젠슈타인 급수라고 불리는 무게 ''k''의 모듈러 형식은 다음과 같이 정의된다.

:

E_k(\Lambda) = \sum_{\lambda\in\Lambda-0}\lambda^{-k}

'''R'''^''n''의 '''짝수 유니모듈러 격자''' L은 행렬식이 1이고, 원소의 길이 제곱이 모두 짝수인 격자이다. 푸아송 합 공식에 의해, 세타 함수는 무게 n/2의 모듈러 형식이 된다.

:

\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z}

존 밀너는 '''R'''¹⁶을 격자 L₈ × L₈과 L₁₆으로 나눈 16차원 토러스가 등 스펙트럼이지만 등장이 아닌 콤팩트 리만 다양체의 예시임을 보였다.

리만-로흐 정리를 이용하면, 공간 M_k(Γ)와 S_k(Γ)의 차원을 계산할 수 있다.^[15]

:

\dim_{\mathbf C} M_k(SL(2,\mathbf Z)) =\left \{ \begin{array}{ll} \lfloor k/12 \rfloor & k \equiv 2 \pmod{12} \\\lfloor k/12 \rfloor + 1 & \text{else}\end{array} \right.

모듈러 함수는 함수체를 구성하며, 레벨 N (N ≥ 1)의 모듈러 함수의 체는 함수 j (z)와 j (Nz)에 의해 생성된다.^[16]

데데킨트 에타 함수와 같은 함수는 모듈러 형식의 보형 인자를 통해 가중치 1/2의 모듈러 형식으로 이론에 포함될 수 있다. 라마누잔 추측은 피에르 들리뉴에 의해 베유 추측 연구 결과로 해결되었다.

헤케 연산자 이론은 모듈러 형식과 수론, 그리고 표현론과의 중요한 연결고리를 제공한다.

9. 2. 표현론

헤케 연산자 이론은 모듈러 형식과 수론을 개념적으로 연결하며, 표현론과도 관련이 있다.^[2]

9. 3. 랭글랜즈 프로그램

로버트 랭글랜즈는 타원 곡선과 모듈러 형식 간의 관계에 대한 아이디어를 바탕으로 광범위한 랭글랜즈 프로그램을 구축했으며, 이는 수학에서 가장 광범위하고 중요한 연구 프로그램 중 하나가 되었다.^[1]

참조

_[1] 뉴스 Elliptic Curves Yield Their Secrets in a New Number System https://www.quantama[...] 2023-07
_[2] 웹사이트 Cohomology of Automorphic Bundles http://www-users.mat[...]
_[3] 웹사이트 DLMF: §23.15 Definitions ‣ Modular Functions ‣ Chapter 23 Weierstrass Elliptic and Modular Functions https://dlmf.nist.go[...] 2023-07-07
_[4] 웹사이트 Modular Functions and Modular Forms https://www.jmilne.o[...]
_[5] 문서
_[6] 서적 Elliptic functions Springer-Verlag
_[7] 간행물 Modular units https://books.google[...] Springer-Verlag
_[8] 문서
_[9] 간행물 Lectures on modular forms Princeton University Press
_[10] 간행물 Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions Iwanami Shoten
_[11] 간행물 Modular Functions and Modular Forms https://www.jmilne.o[...]
_[12] 웹사이트 Atkin-Lehner Theory of $\Gamma_1(N)$ -Modular Forms https://andreeamocan[...]
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 간행물 Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions Iwanami Shoten
_[16] 간행물 Modular Functions and Modular Forms http://www.jmilne.or[...]
_[17] 웹사이트 Elliptic and Modular Functions http://www.msri.org/[...]

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