지연미분방정식

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1. 개요

지연미분방정식은 미분방정식의 한 종류로, 시간에 따른 변화율이 현재 시점뿐만 아니라 과거 시점의 값에도 의존하는 방정식을 의미한다. 이러한 방정식은 연속 지연, 이산 지연, 팬터그래프 방정식 등 다양한 형태로 표현되며, 수학, 공학, 생물학 등 여러 분야에서 응용된다. 지연미분방정식은 단계적 방법과 같은 해법을 통해 풀이되며, 특성 방정식을 사용하여 해의 특성을 분석할 수 있다.

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오일러 방법은 레온하르트 오일러가 제시한 미분 방정식의 해를 구하는 수치 해석 방법으로, 초기값을 이용하여 시간 간격을 나누어 해를 계산하며, 테일러 급수를 활용하여 공식을 유도하고, 간단한 알고리즘 덕분에 과거에 널리 사용되었고 현재에도 수치 해석의 기본 원리를 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

지연미분방정식
개요
유형	미분 방정식
분야	수학, 물리학, 공학
관련 항목	상미분 방정식, 편미분 방정식, 차분 방정식
정의
정의	미분 방정식에서 미분 항의 값이 특정 시점의 함수 값뿐만 아니라 이전 시점의 함수 값에도 의존하는 경우
설명	과거의 상태가 현재의 변화율에 영향을 미치는 시스템을 모델링하는 데 사용됨
예시
예시 방정식	y'(t) = f(t, y(t), y(t - τ)) (τ > 0)
설명	τ는 지연(delay) 또는 시간 지연(time lag)을 나타냄
응용
응용 분야	생물학 (전염병 모델, 인구 역학) 경제학 (주식 시장 모델) 공학 (제어 시스템) 물리학 (광학)
종류
종류	Retarded DDEs (지연된 지연 미분 방정식) Neutral DDEs (중립 지연 미분 방정식) Advanced DDEs (진보된 지연 미분 방정식)
해법
해석적 해	일반적으로 구하기 어려움
수치적 해	Euler method (오일러 방법) Runge-Kutta methods (룽게-쿠타 방법) 기타 특수 방법
참고 문헌
참고 서적	"Theory and Applications of Differential Equations with Deviating Arguments" by R.D. Driver "Delay Differential Equations: With Applications" by Y. Kuang
같이 보기
관련 항목	상미분 방정식 편미분 방정식 차분 방정식

2. 지연미분방정식의 예

지연미분방정식에는 다음과 같은 예들이 있다.

이산 선형 지연

::

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=A_0x(t)+A_1x(t-\tau_1)+\dotsb+A_mx(t-\tau_m)

:단,

A_0,\dotsc,A_m\in \mathbb{R}^{n\times n}

.

팬터그래프 방정식

::

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t) = ax(t) + bx(\lambda t),

: 이때 ''a'', ''b'', λ는 상수이고 0 < λ < 1이다. 이 방정식과 좀 더 일반화된 형태는 기차의 팬터그래프에서 이름을 따왔다.^[3]^[4]

연속 지연

::

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f\left(t,x(t),\int_{-\infty}^0x(t+\tau)\,{\rm d}\mu(\tau)\right)

이산 지연

::

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau_1),\dotsc,x(t-\tau_m))

(단,

\tau_1>\dotsb>\tau_m\geq 0

).

2. 1. 연속 지연

Continuous delay^영어는 시간에 따른 연속적인 지연을 포함하는 지연미분방정식의 형태이다.

::

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f\left(t,x(t),\int_{-\infty}^0x(t+\tau)\,{\rm d}\mu(\tau)\right)

2. 2. 이산 지연

이산 지연(Discrete delay)은 특정 시점에서의 지연을 포함하는 지연미분방정식의 한 형태이다.

:

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau_1),\dotsc,x(t-\tau_m))

(

\tau_1>\dotsb>\tau_m\geq 0

).

2. 3. 이산 선형 지연

:

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=A_0x(t)+A_1x(t-\tau_1)+\dotsb+A_mx(t-\tau_m)

:단,

A_0,\dotsc,A_m\in \mathbb{R}^{n\times n}

.

2. 4. 팬터그래프 방정식

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t) = ax(t) + bx(\lambda t)

이때 ''a'', ''b'', λ는 상수이고 0 < λ < 1이다. 이 방정식과 좀 더 일반화된 형태는 기차의 팬터그래프에서 이름을 따왔다.^[3]^[4]

3. 지연미분방정식의 해법

지연미분방정식은 주로 "단계적 방법"이라는 원리를 사용하여 단계별로 풀린다. 이 방법은 초기 조건이 주어졌을 때, 각 구간별로 초깃값 문제를 해결하여 해를 구하는 방식이다.

3. 1. 단계적 방법

지연미분방정식은 주로 "단계적 방법"이라는 원리를 사용하여 단계별로 풀린다. 예를 들어, 단일 지연을 가진 다음 지연미분방정식을 생각해 보자.

:

\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t),x(t-\tau))

주어진 초기 조건

\phi\colon [-\tau,0]\to \R^n

이 주어졌을 때, 구간

[0,\tau]

에서의 해는 불균일 초깃값 문제의 해인

\psi(t)

로 주어진다.

:

\frac{d}{dt}\psi(t)=f(\psi(t),\phi(t-\tau)),

:

\psi(0)=\phi(0)

이는 이전 구간의 해를 불균일 항으로 사용하여 연속적인 구간에 대해 계속될 수 있다. 실제로, 초깃값 문제는 종종 수치적으로 풀린다.

예를 들어

f(x(t),x(t-\tau))=ax(t-\tau)

이고

\phi(t)=1

이라고 가정하자. 그러면 초기값 문제는 적분을 통해 풀 수 있다.

:

x(t)=x(0)+ \int_{s=0}^t \frac{d}{dt}x(s) \,ds =1+a\int_{s=0}^t \phi(s-\tau)\,ds,

즉,

x(t)=at+1

이며, 초기 조건은

x(0)=\phi(0)=1

로 주어진다. 마찬가지로, 구간

t\in[\tau,2\tau]

에 대해 적분하고 초기 조건을 맞추면 다음과 같다.

:

\begin{align}x(t) & = x(\tau) + \int_{s=\tau}^t \frac{d}{dt}x(s) \,ds \\& = (a\tau+1) + a\int_{s=\tau}^t \left(a(s-\tau)+1 \right) ds \\& = (a\tau+1)+a\int_{s=0}^{t-\tau} \left(as+1\right) ds,\end{align}

즉,

x(t)=(a\tau+1)+a(t-\tau)\left(\frac{1}{2}{a(t-\tau)} + 1\right).

3. 2. 예시

지연미분방정식은 주로 "단계적 방법"이라는 원리를 사용하여 단계별로 풀린다. 예를 들어, 단일 지연을 가진 지연미분방정식을 생각해 볼 수 있다.

:

\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t),x(t-\tau))

주어진 초기 조건

\phi\colon [-\tau,0]\to \R^n

이 주어졌을 때, 구간

[0,\tau]

에서의 해는 불균일 초깃값 문제의 해인

\psi(t)

로 주어진다.

:

\frac{d}{dt}\psi(t)=f(\psi(t),\phi(t-\tau)),

:

\psi(0)=\phi(0)

이다. 이는 이전 구간의 해를 불균일 항으로 사용하여 연속적인 구간에 대해 계속될 수 있다. 실제로, 초깃값 문제는 종종 수치적으로 풀린다.

다음과 같이 가정한다.

f(x(t),x(t-\tau))=ax(t-\tau)

이고

\phi(t)=1

이다. 그러면 초기값 문제는 적분을 통해 풀 수 있다.

:

x(t)=x(0)+ \int_{s=0}^t \frac{d}{dt}x(s) \,ds =1+a\int_{s=0}^t \phi(s-\tau)\,ds,

즉,

x(t)=at+1

이며, 초기 조건은

x(0)=\phi(0)=1

로 주어진다. 마찬가지로, 구간

t\in[\tau,2\tau]

에 대해 적분하고 초기 조건을 맞추면 다음과 같다.

:

\begin{align}x(t) &= x(\tau) + \int_{s=\tau}^t \frac{d}{dt}x(s) \,ds \\&= (a\tau+1) + a\int_{s=\tau}^t \left(a(s-\tau)+1 \right) ds \\&= (a\tau+1)+a\int_{s=0}^{t-\tau} \left(as+1\right) ds,\end{align}

즉,

x(t)=(a\tau+1)+a(t-\tau)\left(\frac{1}{2}{a(t-\tau)} + 1\right).

4. 상미분방정식으로의 축소

어떤 경우에는 미분 방정식을 지연 미분 방정식과 유사한 형식으로 나타낼 수 있다. 이러한 예시들은 특정 형태의 지연 미분 방정식을 상미분방정식 시스템으로 변환하여 해석할 수 있음을 보여준다.^[1]

4. 1. 예시 1

어떤 경우에는 미분 방정식을 지연 미분 방정식과 유사한 형식으로 나타낼 수 있다.

'''예시 1''' 다음 방정식을 고려해 보자.

::

\frac{d}{dt}x(t)=f\left(t,x(t),\int_{-\infty}^0x(t+\tau)e^{\lambda\tau}\,d\tau\right).

::

y(t)=\int_{-\infty}^0 x(t+\tau)e^{\lambda\tau}\,d\tau

를 도입하여 다음 ODE 시스템을 얻는다.

::

\frac{d}{dt}x(t)=f(t,x,y),\quad \frac{d}{dt}y(t)=x-\lambda y.

4. 2. 예시 2

다음 방정식을 고려해 보자.^[1]

:

\frac{d}{dt}x(t)=f\left(t,x(t),\int_{-\infty}^0 x(t+\tau)\cos(\alpha\tau+\beta)\,d\tau\right)

이는 다음과 같은 상미분방정식 시스템으로 표현할 수 있다.^[1]

:

\frac{d}{dt}x(t)=f(t,x,y),\quad \frac{d}{dt}y(t)=\cos(\beta)x+\alpha z,\quad \frac{d}{dt}z(t)=\sin(\beta) x-\alpha y,

여기서^[1]

:

y=\int_{-\infty}^0x(t+\tau)\cos(\alpha\tau+\beta)\, d\tau,\quad z=\int_{-\infty}^0x(t+\tau)\sin(\alpha\tau+\beta)\,d\tau.

5. 특성 방정식

상미분방정식과 마찬가지로, 선형 지연 미분 방정식(DDE)의 많은 특성은 특성 방정식을 사용하여 특징을 파악하고 분석할 수 있다.^[5] 특성 방정식의 근 ''λ''는 특성 근 또는 고유값이라고 불리며, 해 집합은 종종 스펙트럼이라고 한다. 특성 방정식에 지수 함수가 있기 때문에, DDE는 ODE와 달리 무한히 많은 고유값을 가지며, 이로 인해 스펙트럼 분석이 더 복잡해진다. 그러나 스펙트럼은 분석에 활용할 수 있는 몇 가지 속성을 가지고 있다. 예를 들어, 무한히 많은 고유값이 있지만, 복소 평면의 모든 수직 스트립에 있는 고유값은 유한하다.^[6]

이 특성 방정식은 비선형 고유값 문제이며 스펙트럼을 수치적으로 계산하는 데는 많은 방법이 있다.^[7]^[8]

5. 1. 특성 방정식의 형태

상미분방정식과 마찬가지로, 선형 지연 미분 방정식(DDE)의 많은 특성은 특성 방정식을 사용하여 특징을 파악하고 분석할 수 있다.^[5] 이산 지연을 갖는 선형 DDE와 관련된 특성 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{d}{dt}x(t) = A_0x(t) + A_1x(t-\tau_1) + \dots + A_mx(t-\tau_m)

위 식은 다음과 같은 지수 다항식으로 주어진다.

:

\det(-\lambda I+A_0+A_1e^{-\tau_1\lambda}+\dotsb+A_me^{-\tau_m\lambda})=0.

특성 방정식의 근 ''λ''는 특성 근 또는 고유값이라고 불리며, 해 집합은 종종 스펙트럼이라고 한다. 특성 방정식에 지수 함수가 있기 때문에, DDE는 ODE와 달리 무한히 많은 고유값을 가지며, 이로 인해 스펙트럼 분석이 더 복잡해진다. 그러나 스펙트럼은 분석에 활용할 수 있는 몇 가지 속성을 가지고 있다. 예를 들어, 무한히 많은 고유값이 있지만, 복소 평면의 모든 수직 스트립에 있는 고유값은 유한하다.^[6]

이 특성 방정식은 비선형 고유값 문제이며 스펙트럼을 수치적으로 계산하는 데는 많은 방법이 있다.^[7]^[8] 몇 가지 특수한 상황에서는 특성 방정식을 명시적으로 풀 수 있다. 예를 들어, 다음 DDE를 고려해 보자.

:

\frac{d}{dt}x(t)=-x(t-1).

특성 방정식은 다음과 같다.

:

-\lambda-e^{-\lambda}=0.

복소수 ''λ''에 대한 이 방정식에는 무한히 많은 해가 있다. 이 해는 다음과 같이 주어진다.

:

\lambda=W_k(-1),

여기서 ''W''_''k''는 램버트 W 함수의 ''k''번째 분기이므로,

:

x(t)=x(0)\, e^{W_k(-1)\cdot t}.

5. 2. 고유값의 특징

상미분방정식과 마찬가지로, 선형 지연 미분 방정식(DDE)의 많은 특성은 특성 방정식을 사용하여 특징을 파악하고 분석할 수 있다.^[5] 이산 지연을 갖는 선형 DDE와 관련된 특성 방정식

:

\frac{d}{dt}x(t) = A_0x(t) + A_1x(t-\tau_1) + \dots + A_mx(t-\tau_m)

은 다음과 같은 지수 다항식으로 주어진다.

:

\det(-\lambda I+A_0+A_1e^{-\tau_1\lambda}+\dotsb+A_me^{-\tau_m\lambda})=0.

특성 방정식의 근 ''λ''는 특성 근 또는 고유값이라고 불리며, 해 집합은 종종 스펙트럼이라고 한다. 특성 방정식에 지수 함수가 있기 때문에, DDE는 ODE와 달리 무한히 많은 고유값을 가지며, 이로 인해 스펙트럼 분석이 더 복잡해진다. 그러나 스펙트럼은 분석에 활용할 수 있는 몇 가지 속성을 가지고 있다. 예를 들어, 무한히 많은 고유값이 있지만, 복소 평면의 모든 수직 스트립에 있는 고유값은 유한하다.^[6]

이 특성 방정식은 비선형 고유값 문제이며 스펙트럼을 수치적으로 계산하는 데는 많은 방법이 있다.^[7]^[8] 몇 가지 특수한 상황에서는 특성 방정식을 명시적으로 풀 수 있다. 예를 들어, 다음 DDE를 고려해 보자.

:

\frac{d}{dt}x(t)=-x(t-1).

특성 방정식은 다음과 같다.

:

-\lambda-e^{-\lambda}=0.

복소수 ''λ''에 대한 이 방정식에는 무한히 많은 해가 있다. 이 해는 다음과 같이 주어진다.

:

\lambda=W_k(-1),

여기서 ''W''_''k''는 램버트 W 함수의 ''k''번째 분기이므로,

:

x(t)=x(0)\, e^{W_k(-1)\cdot t}.

5. 3. 특성 방정식의 해

상미분방정식과 마찬가지로, 선형 지연 미분 방정식(DDE)의 많은 특성은 특성 방정식을 사용하여 특징을 파악하고 분석할 수 있다.^[5] 이산 지연을 갖는 선형 DDE와 관련된 특성 방정식

:''d''/''dt''x(''t'') = A₀x(''t'') + A₁x(''t''-τ₁) + … + A_mx(''t''-τ_m)

은 다음과 같은 지수 다항식으로 주어진다.

:det(-λI + A₀ + A₁e^-τ₁λ + … + A_me^-τ_mλ) = 0.

특성 방정식의 근 ''λ''는 특성 근 또는 고유값이라고 불리며, 해 집합은 종종 스펙트럼이라고 한다. 특성 방정식에 지수 함수가 있기 때문에, DDE는 ODE와 달리 무한히 많은 고유값을 가지며, 이로 인해 스펙트럼 분석이 더 복잡해진다. 그러나 스펙트럼은 분석에 활용할 수 있는 몇 가지 속성을 가지고 있다. 예를 들어, 무한히 많은 고유값이 있지만, 복소 평면의 모든 수직 스트립에 있는 고유값은 유한하다.^[6]

이 특성 방정식은 비선형 고유값 문제이며 스펙트럼을 수치적으로 계산하는 데는 많은 방법이 있다.^[7]^[8] 몇 가지 특수한 상황에서는 특성 방정식을 명시적으로 풀 수 있다. 예를 들어, 다음 DDE를 고려해 보자.

:''d''/''dt''x(''t'') = -x(''t''-1).

특성 방정식은 다음과 같다.

:-λ - e^-λ = 0.

복소수 ''λ''에 대한 이 방정식에는 무한히 많은 해가 있다. 이 해는 다음과 같이 주어진다.

:λ = W_k(-1),

여기서 ''W''_''k''는 램버트 W 함수의 ''k''번째 분기이므로,

:x(''t'') = x(0)e^W_k(-1)·t.

6. 추가 예시

다음 지연 미분 방정식(DDE)은^[9]:

:d^영어/dt^영어u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).

실수|실수^한국어에서 다음과 같은 해를 갖는다^[10]:

: u(t)={ F(t+1), |t|<1 0, |t|≥1 여기서 F(t)는 파비우스 함수이다.

7. 응용 분야

지연미분방정식은 다음과 같은 다양한 분야에서 응용된다.

7. 1. 당뇨병 역학

당뇨병의 확산 및 진행 과정을 모형화하는 데 지연미분방정식을 사용할 수 있다.^[11]

7. 2. 역학

지연미분방정식은 기계 시스템, 제어 시스템 등 다양한 역학^[12]^[13] 시스템에서 활용될 수 있다.

7. 3. 개체군 동태

개체군 동태는 생물 개체군의 성장, 번식, 상호작용 등을 연구하는 분야이며, 이를 모델링하는 데 지연미분방정식이 사용될 수 있다.^[14]^[15]

7. 4. 고전 전자기학

고전 전자기학에서 발생하는 시간 지연 현상을 모델링하는 데 지연미분방정식이 사용될 수 있다.^[16]

참조

_[1] 논문 Time Delay Systems: An overview of some recent advances and open problems
_[2] 서적 Proceedings of the 2010 American Control Conference https://resolver.cal[...] 2010
_[3] 논문 The pantograph equation in quantum calculus http://scholarsmine.[...] 2017-01-01
_[4] 논문 The dynamics of a current collection system for an electric locomotive https://royalsociety[...] 1971-05-04
_[5] 서적 Stability and Stabilization of Time-Delay Systems https://epubs.siam.o[...] Society for Industrial and Applied Mathematics
_[6] 서적 Stability and Stabilization of Time-Delay Systems https://epubs.siam.o[...] Society for Industrial and Applied Mathematics
_[7] 서적 Stability and Stabilization of Time-Delay Systems https://epubs.siam.o[...] Society for Industrial and Applied Mathematics
_[8] arXiv Analysis and controller-design of time-delay systems using TDS-CONTROL. A tutorial and manual 2023-04-29
_[9] arXiv Arithmetic of the Fabius function
_[10] 웹사이트 A288163 - Oeis https://oeis.org/A28[...]
_[11] 논문 Mathematical models and software tools for the glucose-insulin regulatory system and diabetes: an overview http://www.sciencedi[...] 2006-03-01
_[12] 논문 Mathematical Model for the Epidemiology of Tuberculosis, with Estimates of the Reproductive Number and Infection-Delay Function https://academic.oup[...] 1998-02-15
_[13] 논문 Construction of Lyapunov functionals for delay differential equations in virology and epidemiology http://www.sciencedi[...] 2012-08-01
_[14] 서적 Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics https://link.springe[...] Kluwer Academic Publishers
_[15] 서적 Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics https://www.scienced[...] Academic Press
_[16] 논문 On an electrodynamic origin of quantum fluctuations https://doi.org/10.1[...] 2020-09-01

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