초선택 규칙

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1. 개요
2. 정의
3. 초선택 규칙과 대칭성
- 3.1. 자발 대칭 깨짐
- 3.2. 공변성
4. 초선택 규칙과 혼합 상태
- 4.1. 선택 규칙과의 비교
5. 예시
6. 역사
참조

1. 개요

초선택 규칙은 양자역학에서 두 양자 상태가 특정 관측 가능량에 대해 서로 겹치지 않아, 한 상태에서 다른 상태로 전이될 수 없는 현상을 의미한다. 이 규칙은 힐베르트 공간의 두 상태 간의 관계를 정의하며, 해밀토니안이나 파동 함수 붕괴와 같은 상황에서도 두 상태가 섞이지 않게 한다. 초선택 규칙이 존재하는 상태들은 '초선택 구역'으로 묶이며, 이 구역들은 상태 공간을 구성하는 요소가 된다. 이 개념은 대칭성과 밀접한 관련이 있으며, 자발 대칭 깨짐, 위상수학적 불변량, 힉스 메커니즘, 카이랄 쿼크 응축 등 다양한 물리적 현상에서 나타난다. 초선택 규칙은 아서 와이트먼, 유진 위그너, 잔카를로 위크에 의해 1952년에 처음 제안되었다.

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초선택 규칙
일반 정보
개념	양자역학의 초선택 규칙
정의	특정 상태의 중첩이 허용되지 않음을 명시하는 규칙
관련 개념	초선택 전하
상세 내용
설명	물리적인 조작으로 구별할 수 없는 상태들의 집합을 정의
예시	전하 바리온 수 페르미온 수
중요성	양자역학적 중첩이 모든 물리적 상태에 적용될 수 없음을 나타냄
참고 문헌	Bartlett, S. D., Rudolph, T., & Spekkens, R. W. (2007). Reference frames, superselection rules, and quantum information. Reviews of Modern Physics, 79(2), 555–606. Giulini, D. (2007). Superselection Rules. arXiv:0710.1516 [quant-ph].
추가 설명	초선택 규칙은 물리적 관측 가능량으로 구별할 수 없는 상태들의 집합을 규정하며, 이러한 상태들 사이의 양자 중첩은 허용되지 않음.

2. 정의

양자역학에서 상태 공간인 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 를 생각하자. 여기서, 두 상태 $|\phi\rangle,|\psi\rangle\in\mathcal H$ 가 다음 조건을 만족한다고 하자. 모든 관측가능량 $O$ 에 대하여,

: $\langle\phi|O|\psi\rangle=0$ .

이와 같은 경우, $|\phi\rangle$ 와 $|\psi\rangle$ 사이에 '''초선택 규칙'''이 존재한다고 한다.

서로 간에 초선택 규칙이 존재하지 않는 상태들이 이루는 부분공간을 '''초선택 구역'''(superselection sector^영어)이라고 한다. 상태 공간 $\mathcal H$ 는 초선택 구역 부분공간들의 직합으로 나타낼 수 있다. 즉, 초선택 구역들을 $\mathcal H_i$ 라고 쓰면,

: $\mathcal H=\bigoplus_i\mathcal H_i$

의 꼴이다.

만약 ''A''가 단위적 *-대수이고 ''O''가 관측값에 해당하는 자기 수반 원소를 가진 단위적 *-부분 대수라고 가정하자. ''O''의 유니타리 표현은 ''O''의 기약 유니타리 표현의 직합으로 분해될 수 있다. 이 분해에서 각 동형 성분을 ''초선택 구역''이라고 부른다. 관측값은 초선택 구역을 보존한다.

2. 1. 초선택 규칙과 전이

두 상태 사이에 초선택 규칙이 존재할 경우, 한 상태에서 다른 상태로 절대 전이할 수 없다. 해밀토니언

H

는 항상 관측가능량이므로,

\langle\phi|H|\psi\rangle=0

이기 때문에 시간 진행에 따라서

|\psi\rangle

는

|\phi\rangle

와 섞일 수 없다. 또한, 관측가능량을 측정하여 파동 함수 붕괴를 일으킬 경우에도

|\psi\rangle

는

|\phi\rangle

와 절대 섞일 수 없다. 따라서,

|\psi\rangle

와

|\phi\rangle

의 중첩은 무의미하다. 다시 말하면, 초선택 규칙이 존재하는 두 상태들의 중첩은 두 상태들을 포함하는 통계역학적 앙상블(밀도 행렬)과 실험적으로 구별할 수 없고, 양자 얽힘 따위의 효과를 관찰할 수 없다.

큰 시스템은 종종 초선택 구역을 가진다. 고체에서, 격자 대칭이 아닌 서로 다른 회전과 평행 이동은 초선택 구역을 정의한다. 일반적으로 초선택 규칙은 국소적 변동을 통해 절대 변할 수 없는 양이다. 자석의 자화와 같은 질서 매개변수 외에도, 감김수와 같은 위상적 양도 있다. 끈이 원형 와이어 주위에 감겨 있을 경우, 끈이 감기는 총 횟수는 국소적 변동 하에서 절대 변하지 않는다. 이것은 일반적인 보존 법칙이다. 와이어가 무한한 선일 경우, 진공이 시스템 전체에서 일관된 감김수 변동을 갖지 않는 조건 하에서, 보존 법칙은 초선택 규칙이 된다. 즉, 감김이 풀릴 확률은 0이다.

양자 변동, 위상 형식 경로 적분의 서로 다른 구성에서 발생하는 중첩, 그리고 볼츠만 형식 경로 적분에서 발생하는 통계적 변동이 있다. 이 두 경로 적분 모두 효과적으로 무한한 시스템에서 큰 변화가 발생하려면 변동 간의 일어날 것 같지 않은 공모가 필요하다는 특징을 갖는다. 따라서 통계 역학적 및 양자 역학적 초선택 규칙이 모두 존재한다.

초선택 규칙을 특징짓는 연산자

\hat{J}

의 서로 다른 고유값에 속하는 (즉,

\hat{J}

가 관측 가능량이라면, 이에 대응하는 물리량

J

의 값이 다른) 두 양자 상태

|\psi \rangle

와

|\psi' \rangle

는, 임의의 관측 가능량

\hat{A}

(초선택 규칙에 의해

\hat{J}

와 가환)에 대해,

\langle\psi|\hat{A}|\psi' \rangle =0

을 만족한다.

두 상태

|\psi \rangle

와

|\psi' \rangle

가 임의의 관측 가능량에 대해

\langle\psi|\hat{A}|\psi' \rangle =0

을 만족할 때, 이 두 상태는 '''초선택 규칙에 의해 분리되어 있다'''고 말한다. 초선택 규칙에 의해 분리된 상태의 중첩은 혼합 상태처럼 행동한다. 이에 반해, 해밀토니안 연산자

\hat{H}

에 대해

\langle\psi|\hat{H}|\psi' \rangle =0

을 만족하는 두 상태는 '''선택 규칙에 의해 분리되어 있다'''고 말한다.

2. 2. 초선택 규칙과 중첩

양자역학에서 '''초선택 규칙'''은 특정 조건에서 두 상태 간의 전이가 불가능하며, 그 결과 두 상태의 중첩이 무의미해지는 현상을 말한다. 이러한 경우, 두 상태는 서로 섞일 수 없으며, 양자 얽힘과 같은 효과도 관찰할 수 없다.

두 상태 사이에 초선택 규칙이 존재하면, 한 상태에서 다른 상태로 절대 전이할 수 없다. 해밀토니언은 항상 관측가능량이므로, 시간 진행에 따라 두 상태는 섞일 수 없다. 또한, 관측에 의한 파동 함수 붕괴가 일어나도 마찬가지다.

초선택 규칙이 존재하지 않는 상태들이 이루는 부분공간을 '''초선택 구역'''이라고 한다. 전체 힐베르트 공간은 이러한 초선택 구역들의 직합으로 나타낼 수 있다.

큰 물리적 시스템에서는 종종 초선택 구역이 나타난다. 예를 들어, 자석의 자화 방향이나 끈이 감긴 횟수와 같은 질서 매개변수나 위상적 양은 국소적 변동으로 변하지 않아 초선택 규칙을 따른다.

초선택 규칙은 양자 변동과 통계적 변동 모두에서 나타날 수 있다. 이는 무한한 시스템에서 큰 변화가 발생하려면 변동 간의 공모가 필요하기 때문이다.

진공이 대칭 하에서 불변인 이론에서, 보존된 전하는 초선택 구역을 유도한다. 예를 들어, 전기 전하는 보존되지만, 초전도체나 힉스 위상에서는 초선택 구역을 정의하지 않는다.

초선택 규칙을 특징짓는 연산자의 서로 다른 고유값에 속하는 두 양자 상태는, 임의의 관측 가능량에 대해

\langle\psi|\hat{A}|\psi' \rangle =0

을 만족한다. 이는 연산자가 관측 가능량과 가환이기 때문이다.

이러한 두 상태의 중첩은 간섭 항이 사라지므로, 양자 간섭 효과를 관측할 수 없다. 즉, 중첩 상태는 고전 확률적인 혼합 상태처럼 행동한다. 따라서 초선택 규칙은 "서로 다른 고유값에 속하는 고유 상태의 중첩이 혼합 상태로 행동하는 것"으로 정의할 수 있다.

두 상태가 임의의 관측 가능량에 대해

\langle\psi|\hat{A}|\psi' \rangle =0

을 만족하면, 이 두 상태는 '''초선택 규칙에 의해 분리되어 있다'''고 한다. 반면, 해밀토니안 연산자에 대해

\langle\psi|\hat{H}|\psi' \rangle =0

을 만족하는 두 상태는 '''선택 규칙에 의해 분리되어 있다'''고 한다.

2. 3. 초선택 구역

양자역학에서 상태 공간인 힐베르트 공간

\mathcal H

는 초선택 구역(superselection sector^영어)이라고 하는 부분공간들의 직합으로 나타낼 수 있다. 초선택 구역은 서로 간에 초선택 규칙이 존재하지 않는 상태들이 이루는 부분공간이다.

:

\mathcal H=\bigoplus_i\mathcal H_i

여기서

\mathcal H_i

는 각각의 초선택 구역을 나타낸다.

만약 ''A''가 단위적 *-대수이고 ''O''가 관측값에 해당하는 자기 수반 원소를 가진 단위적 *-부분 대수라고 가정하면, ''O''의 유니타리 표현은 ''O''의 기약 유니타리 표현의 직합으로 분해될 수 있다. 이 분해에서 각 동형 성분을 ''초선택 구역''이라고 부른다. 관측값은 초선택 구역을 보존한다.

무한한 자유도를 가진 큰 물리적 시스템은 충분한 에너지를 가지고 있더라도 항상 모든 가능한 상태를 방문하지는 않는다. 예를 들어, 자석이 특정 방향으로 자화되면 각 스핀은 어떤 온도에서도 변동하지만, 순 자화는 절대 변하지 않는다. 이는 무한히 많은 스핀들이 모두 같은 방식으로 함께 변동할 가능성이 무한히 희박하기 때문이다.

큰 시스템은 종종 초선택 구역을 가진다. 고체에서 격자 대칭이 아닌 서로 다른 회전과 평행 이동은 초선택 구역을 정의한다. 일반적으로 초선택 규칙은 국소적 변동을 통해 절대 변할 수 없는 양이다. 자석의 자화와 같은 질서 매개변수 외에도, 감김수와 같은 위상적 양도 초선택 규칙의 예시이다.

진공이 대칭 하에서 불변인 이론에서, 보존된 전하는 전하가 보존될 경우 초선택 구역을 이끈다. 전기 전하는 우리 우주에서 보존되지만, 초전도체가 공간을 채우거나 힉스 위상에서는 더 이상 초선택 구역을 정의하지 않는다. 이 경우, 진공의 초선택 구역은 힉스 장의 방향에 의해 표시된다.

2차원 이징 모형에서 낮은 온도에서는 두 개의 뚜렷한 순수한 상태가 존재하는데, 하나는 평균 스핀이 위를 향하고 다른 하나는 평균 스핀이 아래를 향하는 정렬된 상이다. 높은 온도에서는 평균 스핀이 0인 순수한 상태가 하나만 존재하는 비정렬된 상이다. 상전이 온도 이하에서 무한 이징 모형은 대부분 플러스 또는 대부분 마이너스 구성 중 하나에 있을 수 있으며, 온도를 변화시킴으로써 시스템은 새로운 초선택 규칙, 즉 평균 스핀을 획득한다.

만약 통계장 또는 양자장이 세 개의 실수 값을 갖는 스칼라장

\phi_1,\phi_2,\phi_3

을 가지고, 에너지 또는 작용이 이들 성분을 서로 회전시키는 것에 대해 대칭인 조합에만 의존한다면, 두 개의 위상이 있다. t가 클 때는 평균

\phi

를 0으로 이동시키려는 경향이 있고, t가 크고 음수일 경우 이차 포텐셜은

\phi

를 밀어내지만 사차 포텐셜은 무한대가 되는 것을 막는다. t가 더 음수 값으로 이동함에 따라, 장은 가리킬 방향을 선택해야 하고, 일단 이것을 하면 마음을 바꿀 수 없다. 정렬된 위상에서는 여전히 약간의 대칭성이 남아 있다. 무질서한 위상에서 초선택 부문은 주어진 구성이 전체적으로 변환되는 SO(3)의 표현으로 설명된다. 정렬된 영역에는 위상적 전하를 가질 수 있는 장 구성이 있으며, 이는 두 번째 호모토피 군

\pi_2(SO(3)/SO(2))=\mathbb{Z}

의 원소로 표시된다.

3. 초선택 규칙과 대칭성

자발적으로 깨지지 않는 전반적 대칭(global symmetry^영어)이 존재하면, 이에 대응하는 보존되는 전하가 있고, 서로 다른 전하를 가진 상태들 사이에는 초선택 규칙이 존재한다. 그러나 자발 대칭 깨짐이 일어나는 경우에는 초선택 규칙이 없다. 예를 들어, 초전도체에서는 양자전기역학의 게이지 대칭이 자발적으로 깨지므로 (BCS 이론), 서로 다른 총 전하를 가진 상태에도 초선택 규칙이 존재하지 않는다. 이는 초전도성 때문에 다량의 전하가 "쉽게" 생길 수 있기 때문이다.^[3]

페르미온을 포함하는 이론에서는 총 스핀이 정수인 상태와 반정수인 상태 사이에 초선택 규칙이 존재한다.^[3]

이론에 위상수학적 불변량이 존재하는 경우, 이에 따른 위상수학적 구역(topological sector^영어)들 사이에는 초선택 규칙이 존재한다. 간단한 예로, 둘레가 $L=2\pi r$ 인 원 위에 입자가 존재하고, 원 속에 자기 선속이 존재한다고 하자.^[4] 이 경우, 입자의 파동 함수에 $\psi(x+L)=\exp(i\theta)\psi(x)$ 와 같은 경계 조건을 부여할 수 있다. 이 경우 서로 다른 $\theta$ 값의 경계 조건을 만족하는 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다. 이는 아로노프-봄 효과에 해당한다.

양자 색역학과 같이, 진공각(vacuum angle^영어)이 존재하는 경우, 서로 다른 진공각을 갖는 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다.

이론이 상전이를 겪는 경우, 대칭이 깨진 상에서 보통 초선택 규칙이 존재한다. 예를 들어, 2차원 이상에서의 이징 모형의 경우 낮은 온도에서는 평균 스핀이 양수인 상태들과 평균 스핀이 음수인 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다. 물론, 상전이 온도보다 더 높은 온도에서는 이러한 초선택 규칙이 존재하지 않는다.

대칭성은 종종 초선택 부문으로 이어진다(이것이 유일한 경우는 아니지만).

3. 1. 자발 대칭 깨짐

자발적으로 깨지지 않는 전반적 대칭(global symmetry^영어)이 존재할 경우, 이에 대응하는 보존되는 전하가 존재한다. 이때, 서로 다른 전하를 가진 상태들 사이에는 초선택 규칙이 존재한다. 다만, 자발 대칭 깨짐이 일어나는 경우에는 이에 따른 초선택 규칙이 없다. 예를 들어, 초전도체 속에서는 양자전기역학의 게이지 대칭이 자발적으로 깨지므로 (BCS 이론), 서로 다른 총 전하를 가진 상태에도 초선택 규칙이 존재하지 않는다. 이는 초전도성에 인하여, 다량의 전하가 "쉽게" 생길 수 있기 때문이다.^[3]

무한한 자유도를 가진 큰 물리적 시스템은 충분한 에너지를 가지고 있더라도 항상 모든 가능한 상태를 방문하지는 않는다. 자석이 특정 방향으로 자화되면 각 스핀은 어떤 온도에서도 변동하지만, 순 자화는 절대 변하지 않는다. 그 이유는, 무한히 많은 각기 다른 위치에 있는 모든 무한히 많은 스핀이 모두 같은 방식으로 함께 변동할 가능성이 무한히 희박하기 때문이다.

큰 시스템은 종종 초선택 구역을 가진다. 일반적으로 초선택 규칙은 국소적 변동을 통해 절대 변할 수 없는 양이다. 양자 변동, 위상 형식 경로 적분의 서로 다른 구성에서 발생하는 중첩, 그리고 볼츠만 형식 경로 적분에서 발생하는 통계적 변동이 있다. 이 두 경로 적분 모두 효과적으로 무한한 시스템에서 큰 변화가 발생하려면 변동 간의 일어날 것 같지 않은 공모가 필요하다는 특징을 갖는다. 따라서 통계 역학적 및 양자 역학적 초선택 규칙이 모두 존재한다.

진공이 대칭 하에서 불변인 이론에서, 보존된 전하는 전하가 보존될 경우 초선택 구역을 이끈다. 전기 전하는 우리 우주에서 보존되므로, 처음에는 사소한 예처럼 보일 수 있다. 그러나 초전도체가 공간을 채우거나, 동등하게는 힉스 위상에서, 전기 전하는 여전히 전역적으로 보존되지만 더 이상 초선택 구역을 정의하지 않는다. 초전도체의 출렁거림은 매우 적은 비용으로 전하를 임의의 부피로 가져올 수 있다. 이 경우, 진공의 초선택 구역은 힉스 장의 방향에 의해 표시된다. 서로 다른 힉스 방향은 정확한 대칭에 의해 관련되므로, 모두 정확히 동일하다. 이것은 대칭 깨짐 방향과 보존된 전하 사이의 깊은 관계를 시사한다.

이론이 상전이를 겪는 경우, 대칭이 깨진 상에서 보통 초선택 규칙이 존재한다. 예를 들어, 2차원 이상에서의 이징 모형의 경우 낮은 온도에서는 평균 스핀이 양수인 상태들과 평균 스핀이 음수인 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다. 물론, 상전이 온도보다 더 높은 온도에서는 이러한 초선택 규칙이 존재하지 않는다.

2차원 이징 모형에서, 낮은 온도에서는 두 개의 뚜렷한 순수한 상태가 존재하는데, 하나는 평균 스핀이 위를 향하고 다른 하나는 평균 스핀이 아래를 향한다. 이것이 정렬된 상이다. 높은 온도에서는 평균 스핀이 0인 순수한 상태가 하나만 존재한다. 이것이 비정렬된 상이다. 두 상태 사이의 상전이에서, 스핀 위와 스핀 아래 사이의 대칭성이 깨진다.

상전이 온도 이하에서, 무한 이징 모형은 대부분 플러스 또는 대부분 마이너스 구성 중 하나에 있을 수 있다. 대부분 플러스 상에서 시작하면, 모든 스핀을 뒤집어도 동일한 에너지를 갖게 되지만, 대부분 마이너스 상에는 도달하지 않는다. 온도를 변화시킴으로써, 시스템은 새로운 초선택 규칙, 즉 평균 스핀을 획득했다. 대부분 마이너스와 대부분 플러스, 두 개의 초선택 구역이 있다. 다른 초선택 구역도 있는데, 예를 들어 평면의 왼쪽 절반이 대부분 플러스이고 오른쪽 절반이 대부분 마이너스인 상태가 있다.

새로운 초선택 규칙이 나타나면, 시스템은 자발적으로 정렬된다. 임계 온도 이상에서는, 이징 모형이 비정렬된다. 이론적으로 모든 상태를 방문할 수 있다. 전이점 이하에서는, 시스템이 두 가지 가능성 중 하나를 무작위로 선택하고 마음을 바꾸지 않는다. 모든 유한 시스템의 경우, 초선택은 불완전하다. 유한 격자 위의 이징 모형은 결국, 0이 아닌 온도에서 대부분 플러스에서 대부분 마이너스로 변동하지만, 매우 오랜 시간이 걸린다. 소요 시간은 상관 길이로 측정한 시스템 크기에 대해 지수적으로 작으므로, 실제적으로는 상관 길이보다 몇 배 더 큰 시스템에서도 뒤집기가 절대 일어나지 않는다.

만약 통계장 또는 양자장이 세 개의 실수 값을 갖는 스칼라장

\phi_1,\phi_2,\phi_3

을 가지고, 에너지 또는 작용이 이들 성분을 서로 회전시키는 것에 대해 대칭인 조합에만 의존한다면, 가장 낮은 차원의 기여는(합규약):

:

|\nabla \phi_i|^2 + t \phi_i^2 + \lambda (\phi_i^2)^2\,

이며, 양자장 맥락에서 작용을 정의하거나 통계적 맥락에서 자유 에너지를 정의한다. 두 개의 위상이 있다. t가 클 때, 포텐셜은 평균

\phi

를 0으로 이동시키려는 경향이 있다. t가 크고 음수일 경우, 이차 포텐셜은

\phi

를 밀어내지만, 사차 포텐셜은 무한대가 되는 것을 막는다. 만약 이것이 양자 경로 적분에서 수행된다면, 이것은 양자 위상 전이이며, 고전적 분배 함수에서는 고전적 위상 전이이다.

따라서 t가 두 맥락에서 더 음수 값으로 이동함에 따라, 장은 가리킬 방향을 선택해야 한다. 일단 이것을 하면, 마음을 바꿀 수 없다. 시스템은 ''정렬''되었다. 정렬된 위상에서는 여전히 약간의 대칭성이 남아 있다. 즉, 깨짐의 축을 중심으로 회전한다. 장은

\phi

공간에서 단위 구의 모든 점으로 표시된 방향을 가리킬 수 있으며, 이는 완전 대칭군 SO(3)에서 깨지지 않은 SO(2) 부분군의 코셋 공간이다.

무질서한 위상에서, 초선택 부문은 주어진 구성이 전체적으로 변환되는 SO(3)의 표현으로 설명된다. SO(3)이 깨지지 않았기 때문에, 다른 표현은 서로 혼합되지 않을 것이다. 국소적 변동은 결코 무한대에서 비자명한 SO(3) 구성을 가져오지 않을 것이다. 국소적 구성은 표현에 의해 완전히 정의된다.

질량 간격 또는 상관 길이가 있으며, 이는 비자명한 SO(3) 변환을 갖는 구성과 회전 불변 진공을 구분한다. 이는 질량 간격이 사라지고 상관 길이가 무한대가 되는 t의 임계점까지 참이다. 사라지는 간격은 SO(3)장의 변동이 응축되려고 한다는 신호이다.

정렬된 영역에는 위상적 전하를 가질 수 있는 장 구성이 있다. 이것들은 두 번째 호모토피 군

\pi_2(SO(3)/SO(2))=\mathbb{Z}

의 원소로 표시된다. 이 각각은 기원에서 멀리 떨어진 곳에서 권선 구성인 다른 장 구성을 설명한다. 이러한 개별 구성은 각각 무한대의 에너지를 가지지만, 두 상태 간의 에너지 차이가 유한한 초선택 부문을 표시한다. 또한, 전이가 아래에서 접근함에 따라 반대 위상적 전하를 가진 권선 구성 쌍이 풍부하게 생성될 수 있다.

권선 수가 0이어서 장이 모든 곳에서 같은 방향을 가리키면, 깨지지 않은 SO(2) 전하의 다른 값으로 각각 표시되는 추가적인 무한대의 초선택 부문이 있다. 정렬된 상태에서는, 비영 정수로 표시된 초선택 부문에 대해 질량 간격이 존재한다. 왜냐하면 위상적 솔리톤은 질량이 크고, 심지어 무한히 크기 때문이다. 그러나 0으로 표시된 모든 초선택 부문에는 질량 간격이 없는데, 그 이유는 응축 방향의 변동을 설명하는 질량이 없는 골드스톤 보존이 있기 때문이다.

만약 장 값이 '''Z'''₂ 반사(모든

\phi

장의 부호를 뒤집는 것에 해당)에 따라 식별된다면, 초선택 부문은 음이 아닌 정수(위상적 전하의 절대값)로 표시된다.

O(3) 전하는 무질서한 위상에서만 의미가 있고, 정렬된 위상에서는 전혀 의미가 없다. 이는 대칭이 깨질 때, 대칭군에 불변하지 않는 전하를 띤 응축이 있기 때문이다. 반대로, 위상적 전하는 정렬된 위상에서만 의미가 있고, 무질서한 위상에서는 전혀 의미가 없는데, 이는 어떤 손짓으로 무질서한 위상에 있는 "위상적 응축"이 있어서 장을 점마다 무작위화하기 때문이다. 무작위화는 많은 응축된 위상적 권선 경계를 가로지르는 것으로 생각할 수 있다.

어떤 전하가 의미 있는가에 대한 질문 자체는 위상에 따라 매우 많이 달라진다. 무질서한 측면에서 위상 전이에 접근하면, 전하 입자의 질량이 0에 접근한다. 정렬된 측면에서 접근하면, 위상적 솔리톤의 변동과 관련된 질량 간격이 0에 접근한다.

3. 2. 공변성

대칭성은 종종 초선택 부문으로 이어진다(이것이 유일한 경우는 아니지만). 그룹 ''G''가 ''A''에 작용하고, ''H''가 ''A''와 ''G''의 유니타리 표현이며, 모든 ''g'' in ''G'', ''a'' in ''A'', ''ψ'' in ''H''에 대해 다음과 같은 의미에서 공변성을 가진다고 가정하자.

: g(a ⋅ ψ) = (ga) ⋅ (gψ)

''O''가 ''G''에 대한 ''A''의 불변 부분 대수라고 가정하자(모든 관측 가능량은 ''G''에 대해 불변이지만, ''G''에 대해 불변인 모든 자기 수반 연산자가 반드시 관측 가능량인 것은 아니다). ''H''는 초선택 부문으로 분해되며, 각각은 ''G''의 기약 표현과 ''O''의 표현의 텐서 곱이다.

이는 ''H''가 ''G''의 확장 또는 커버 ''K''의 표현일 뿐이라고 가정하여 일반화할 수 있다. (예를 들어, ''G''는 로렌츠 군일 수 있고, ''K''는 해당 스핀 이중 피복일 수 있다.) 또는 ''G''를 리 대수, 리 초대수 또는 호프 대수로 대체할 수 있다.

4. 초선택 규칙과 혼합 상태

초선택 규칙에 의해 분리된 상태의 중첩은 혼합 상태처럼 행동한다. 이는 초선택 규칙을 특징짓는 연산자의 서로 다른 고윳값에 속하는 두 양자 상태의 중첩에서, 양자 간섭 효과를 관측할 수 없기 때문이다. 즉, 중첩 상태는 고전 확률적으로 각각의 상태 중 하나인 것처럼 행동한다.

4. 1. 선택 규칙과의 비교

초선택 규칙을 특징짓는 연산자

\hat{J}

의 서로 다른 고유값에 속하는 두 양자 상태

|\psi \rangle

와

|\psi' \rangle

는, 임의의 관측 가능량

\hat{A}

(초선택 규칙에 의해

\hat{J}

와 가환)에 대해

\langle\psi|\hat{A}|\psi' \rangle =0

을 만족한다.

|\psi \rangle

와

|\psi' \rangle

에서의

J

의 값을 각각

j

와

j'

라고 할 때,

:

j\langle\psi|\hat{A}|\psi' \rangle = \langle\psi|\hat{J}\hat{A}|\psi' \rangle = \langle\psi|\hat{A}\hat{J}|\psi' \rangle =j'\langle\psi|\hat{A}|\psi' \rangle

이기 때문이다.

이 두 중첩 상태

|\Psi \rangle = c_1|\psi \rangle+ c_2 |\psi' \rangle

에서 관측 가능량

\hat{A}

의 기대값은 간섭 항이 사라지므로

:

\langle\Psi|\hat{A}|\Psi \rangle = |c_1|^2\langle\psi|\hat{A}|\psi \rangle + |c_2|^2\langle\psi'|\hat{A}|\psi' \rangle

가 된다. 임의의 관측 가능량

\hat{A}

에 대해 이것이 성립하므로, 중첩에 의한 양자 간섭 효과를 관측할 수 없다. 그런 의미에서

|\Psi\rangle

는 고전 확률적으로

|\psi \rangle

와

|\psi' \rangle

중 하나인 상태, 즉 혼합 상태처럼 행동한다.

두 상태

|\psi \rangle

와

|\psi' \rangle

가 임의의 관측 가능량에 대해

\langle\psi|\hat{A}|\psi' \rangle =0

을 만족할 때, 이 두 상태는 '''초선택 규칙에 의해 분리되어 있다'''고 말한다. 이에 반해, 해밀토니안 연산자

\hat{H}

에 대해

\langle\psi|\hat{H}|\psi' \rangle =0

을 만족하는 두 상태는 '''선택 규칙에 의해 분리되어 있다'''고 말한다.

5. 예시

자발적으로 깨지지 않는 전반적 대칭(global symmetry^영어)이 존재하면, 이에 대응하는 보존되는 전하가 존재한다. 이때, 서로 다른 전하를 가진 상태들 사이에는 초선택 규칙이 존재한다.

다만, 자발 대칭 깨짐이 일어나는 경우에는 이에 따른 초선택 규칙이 없다. 예를 들어, 초전도체 속에서는 양자전기역학의 게이지 대칭이 자발적으로 깨지므로, 서로 다른 총 전하를 가진 상태에도 초선택 규칙이 존재하지 않는다. 이는 초전도성 때문에 다량의 전하가 쉽게 생성될 수 있기 때문이다.

5. 1. 정수 스핀과 반정수 스핀

페르미온을 포함하는 이론에서는 총 스핀이 정수인 상태와 총 스핀이 반정수인 상태 사이에 초선택 규칙이 존재한다.^[3]

5. 2. 위상수학적 불변량

이론에 위상수학적 불변량이 존재하는 경우, 이에 따른 위상수학적 구역(topological sector^영어)들 사이에는 초선택 규칙이 존재한다.^[3]

간단한 예로, 둘레가

L=2\pi r

인 원 위에 입자가 존재하고, 원 속에 자기 선속이 존재한다고 하자.^[4] 이 경우, 입자의 파동 함수에

\psi(x+L)=\exp(i\theta)\psi(x)

와 같은 경계 조건을 부여할 수 있다. 이 경우 서로 다른

\theta

값의 경계 조건을 만족하는 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다. 이는 아로노프-봄 효과에 해당한다.

양자 색역학과 같이, 진공각(vacuum angle^영어)이 존재하는 경우, 서로 다른 진공각을 갖는 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다.

5. 3. 진공각

양자 색역학과 같이, 진공각(vacuum angle^영어)이 존재하는 경우, 서로 다른 진공각을 갖는 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다.^[3]

5. 4. 상전이

이론이 상전이를 겪는 경우, 대칭이 깨진 상에서 보통 초선택 규칙이 존재한다.^[3]

예를 들어, 2차원 이상에서의 이징 모형의 경우 낮은 온도에서는 평균 스핀이 양수인 상태들과 평균 스핀이 음수인 상태들 사이에 초선택 규칙이 존재한다. 물론, 상전이 온도보다 더 높은 온도에서는 이러한 초선택 규칙이 존재하지 않는다.^[3]

무한한 자유도를 가진 큰 물리적 시스템은 충분한 에너지를 가지고 있더라도 항상 모든 가능한 상태를 방문하지는 않는다. 자석이 특정 방향으로 자화되면 각 스핀은 어떤 온도에서도 변동하지만, 순 자화는 절대 변하지 않는다. 그 이유는, 무한히 많은 각기 다른 위치에 있는 모든 무한히 많은 스핀이 모두 같은 방식으로 함께 변동할 가능성이 무한히 희박하기 때문이다.

2차원 이징 모형에서, 낮은 온도에서는 두 개의 뚜렷한 순수한 상태가 존재하는데, 하나는 평균 스핀이 위를 향하고 다른 하나는 평균 스핀이 아래를 향한다. 이것이 정렬된 상이다. 높은 온도에서는 평균 스핀이 0인 순수한 상태가 하나만 존재한다. 이것이 비정렬된 상이다. 두 상태 사이의 상전이에서, 스핀 위와 스핀 아래 사이의 대칭성이 깨진다.

상전이 온도 이하에서, 무한 이징 모형은 대부분 플러스 또는 대부분 마이너스 구성 중 하나에 있을 수 있다. 대부분 플러스 상에서 시작하면, 모든 스핀을 뒤집어도 동일한 에너지를 갖게 되지만, 대부분 마이너스 상에는 도달하지 않는다. 온도를 변화시킴으로써, 시스템은 새로운 초선택 규칙, 즉 평균 스핀을 획득했다. 대부분 마이너스와 대부분 플러스, 두 개의 초선택 구역이 있다.

다른 초선택 구역도 있는데, 예를 들어 평면의 왼쪽 절반이 대부분 플러스이고 오른쪽 절반이 대부분 마이너스인 상태가 있다.

새로운 초선택 규칙이 나타나면, 시스템은 자발적으로 정렬된다. 임계 온도 이상에서는, 이징 모형이 비정렬된다. 이론적으로 모든 상태를 방문할 수 있다. 전이점 이하에서는, 시스템이 두 가지 가능성 중 하나를 무작위로 선택하고 마음을 바꾸지 않는다.

모든 유한 시스템의 경우, 초선택은 불완전하다. 유한 격자 위의 이징 모형은 결국, 0이 아닌 온도에서 대부분 플러스에서 대부분 마이너스로 변동하지만, 매우 오랜 시간이 걸린다. 소요 시간은 상관 길이로 측정한 시스템 크기에 대해 지수적으로 작으므로, 실제적으로는 상관 길이보다 몇 배 더 큰 시스템에서도 뒤집기가 절대 일어나지 않는다.

5. 5. 힉스 메커니즘

입자물리학의 표준 모형에서 전약 상호작용 부분의 저에너지 모형은 힉스 이중항에 의해 U(1)으로 깨진 SU(2)와 U(1)이다. 구성을 결정하는 유일한 초선택 규칙은 총 전하량이다. 만약 모노폴이 있다면, 모노폴 전하가 포함되어야 한다.

힉스 t 매개변수가 진공 기댓값을 얻지 않도록 변경되면, 우주는 깨지지 않은 SU(2)와 U(1) 게이지 대칭 아래에 놓이게 된다. 만약 SU(2)가 무한히 약한 결합을 가져, 엄청난 거리에서만 가두어지게 된다면, SU(2) 그룹과 U(1) 전하의 표현 모두 초선택 규칙이 된다. 하지만 SU(2)가 0이 아닌 결합을 갖는다면, 비자명 표현의 모든 상태의 질량이 무한하므로 초선택 영역은 무한한 질량으로 분리된다.

온도를 변경하여, 힉스 변동은 유한한 온도에서 기댓값을 0으로 만들 수 있다. 이 온도 이상에서는 SU(2)와 U(1) 양자수가 초선택 영역을 설명한다. 상전이 이하에서는, 오직 전하만이 초선택 영역을 정의한다.

5. 6. 카이랄 쿼크 응축

쿼크의 질량이 0인 카이랄 극한에서 QCD의 전역적인 향 대칭을 생각할 수 있다. 이는 위 쿼크와 아래 쿼크가 작지만 0이 아닌 질량을 갖는, 우리가 사는 우주와 정확히 일치하지는 않지만, 아이소스핀이 보존되는 한 매우 좋은 근사이다.

어떤 온도, 즉 대칭성 회복 온도 이하에서는 상이 정렬된다. 카이랄 응축이 형성되고, 작은 질량의 파이온이 생성된다. SU(N_f) 전하, 아이소스핀 및 하이퍼전하, 그리고 SU(3)이 의미를 갖는다. QCD 온도 이상에는 SU(N_f)×SU(N_f) 및 색 SU(3) 전하가 의미를 갖는 무질서한 상이 존재한다.

QCD의 비가둠 온도가 카이랄 응축이 녹는 온도와 같은지는 아직 밝혀지지 않았다.

6. 역사

초선택 규칙의 개념은 아서 와이트먼, 유진 위그너와 잔카를로 위크(Gian-Carlo Wick^it)가 1952년에 도입하였다.^[3]^[4] 위크와 와이트먼, 위그너는 총 스핀이 정수인 상태들과 총 스핀이 반정수인 상태들 사이에 초선택 규칙이 있다는 사실을 증명하였고, 또 서로 다른 총 전하량을 가진 상태들 사이에도 초선택 규칙이 있다고 제안하였다.

참조

_[1] 논문 Reference frames, superselection rules, and quantum information 2007-04
_[2] arXiv Superselection Rules
_[3] 저널 Physical Review 1952-10
_[4] 저널 A short introduction to the quantum formalism[s] 2012

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