아로노프-봄 효과

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 실험적 검증
3. 이론적 배경
4. 수학적 해석
5. 의의 및 영향
6. 응용
7. 기타 효과
- 7.1. 중력 아로노프-봄 효과
- 7.2. 비가환 아로노프-봄 효과
참조

1. 개요

아로노프-봄 효과는 전자기장이 없는 영역을 통과하는 전자가 전자기 퍼텐셜의 영향을 받아 파동 함수의 위상이 변화하는 현상이다. 1959년 야키르 아로노프와 데이비드 봄에 의해 이론적으로 예측되었으며, 1980년대에 여러 실험을 통해 그 존재가 실증되었다. 이 효과는 전자기 포텐셜의 물리성을 보여주며, 국소성 원리와 양자 비국소성을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 아로노프-봄 효과는 나노 링, 광자 컴퓨터 등 다양한 분야에 응용될 수 있으며, 중력 및 비가환 아로노프-봄 효과와 같은 관련 효과도 연구되고 있다.

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아로노프-봄 효과
개요
이름	아하로노프-봄 효과
분야	양자역학
유형	전자기학
설명	전자기장이 0인 영역에서도 전자기 퍼텐셜이 양자 역학적 현상에 영향을 미치는 효과
상세 내용
발견자	야키르 아하로노프 데이비드 봄
발견 연도	1959년
관련 개념	전자기 퍼텐셜 양자 간섭 게이지 이론
실험적 검증	전자 간섭 실험을 통해 확인
중요성	전자기 퍼텐셜의 물리적 중요성 강조, 고전 전자기학과 양자 역학의 차이점 부각
응용 분야	양자 컴퓨팅, 위상 절연체 연구 등
역사적 맥락
초기 아이디어	베르너 에렌베르크와 레이먼드 엘리엇 시데이가 1949년에 유사한 아이디어를 제시
아하로노프와 봄의 기여	전자기 퍼텐셜의 중요성을 명확히 하고, 실험적 검증 가능성을 제시
논쟁	효과의 존재와 해석에 대한 초기 논쟁 존재
이론적 설명
파동 함수	대전 입자의 파동 함수는 전자기 퍼텐셜에 의해 변화
위상 변화	전자기 퍼텐셜이 존재하는 영역을 통과하는 입자의 파동 함수는 위상 변화를 겪음
간섭 패턴	위상 변화는 간섭 패턴에 영향을 미치며, 전자기장이 0인 영역에서도 관찰 가능
실험적 증거
솔레노이드 실험	솔레노이드 외부의 전자기장은 0이지만, 내부의 자기장은 존재
간섭 무늬 변화	솔레노이드 주위를 통과하는 전자의 간섭 무늬 변화를 통해 효과 확인
다양한 실험	다양한 시스템에서 아하로노프-봄 효과 관찰
다양한 효과
자기 아하로노프-봄 효과	자기 퍼텐셜에 의한 효과
전기 아하로노프-봄 효과	전기 퍼텐셜에 의한 효과
스핀 아하로노프-봄 효과	입자의 스핀과 전자기장의 상호 작용에 의한 효과
참고 문헌
주요 논문	Aharonov, Y; Bohm, D (1959). "Significance of electromagnetic potentials in quantum theory". Physical Review. 115 (3): 485–491. doi:10.1103/PhysRev.115.485.
추가 자료	Batelaan, H.; Tonomura, A. (Sep 2009). "The Aharonov–Bohm effects: Variations on a Subtle Theme". Physics Today. 62 (9): 38–43. doi:10.1063/1.3226854. Sjöqvist, E (2014). "Locality and topology in the molecular Aharonov–Bohm effect". Physical Review Letters. 89 (21): 210401. doi:10.1103/PhysRevLett.89.210401. PMID 12443394. Ehrenberg, W; Siday, RE (1949). "The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics". Proceedings of the Physical Society B. 62 (1): 8–21. doi:10.1088/0370-1301/62/1/303.

2. 역사

1986년 외촌 아키라가 전자선 홀로그래피 방식을 사용하여 아로노프-봄 효과의 존재를 실증하기 전까지, 그 존재에 대해 회의적인 의견도 있었다.^[55]

같은 전자원에서 나온 전자가 다른 경로를 통해 갈 때 벡터 퍼텐셜의 영향을 받아 파동함수의 위상이 달라진다. 퍼텐셜이 없을 때 나타나던 물결무늬 모양은 퍼텐셜이 증가함에 따라 위상차의 변화로 나타나고, 이는 원의 물결무늬 모양 위치 변화로 이어진다. 자기장을 더 강하게 걸어줄수록 간섭 무늬가 한쪽 방향으로 이동하며, 자기장의 변화에 대해 전기 저항 또는 전기전도도가 진동하는 형태로 변하는데, 이를 '''아로노프-봄 진동'''이라 한다.

1985년 웹(Webb)은 0.01K에서 지름 800nm 금속 링에서 자기저항이 자기장의 변화에 따라 진동함을 관측했다. 푸리에 변환 결과 주기가 $h/e$ 와 $h/2e$ 에서 피크가 나타났다.^[60] 1998년 오데나르덴(Oudenaarden)은 터널 정션이 있는 금속 링을 이용하여 자기적 및 전기적 아로노프-봄 효과를 측정했다.^[61] 1999년 바흐톨트(Bachtold)는 탄소 나노튜브에서 아로노프-봄 진동을 측정했다.^[62]

2. 1. 실험적 검증

아로노프-봄 효과는 초기에는 실험적으로 검증하기 어려웠으나, 1986년 외촌 아키라가 전자선 홀로그래피 방식을 사용하여 그 존재를 실증하였다.^[55]

실험이 어려웠던 이유는 자기장이나 전기장이 완전히 없는 조건을 만들기 어려웠기 때문이다. 이전 실험에서는 유한한 길이의 코일을 사용했는데, 코일 끝에서 자기장이 새어 나오는 영향(누설 자속)을 무시할 수 없었다. 코일을 도넛 모양(링 모양)으로 만들면 자기장이 새어 나오지 않지만, 전자선의 파장 요구 조건으로 인해 매우 미세하게 만들어야 했다.

외촌 아키라는 미세한 도넛 모양의 자석을 초전도체(니오브)로 둘러싸고, 마이스너 효과를 이용하여 자석의 자기장이 도넛 외부로 새어 나오는 것을 완전히 막았다. 이 상태에서 전자선을 도넛 모양 부분의 구멍 안쪽과 바깥쪽으로 통과시키고, 전자선 홀로그래피를 사용하여 간섭 무늬 형태로 위상차를 관측했다. 관측 결과, 두 경우 사이에

\pi

(반파장)만큼의 위상 차이가 존재했고,^[56] 자기장이 완전히 없는 상태에서 전자선이 전자기 포텐셜(벡터 퍼텐셜)의 영향을 받고 있다는 것이 실증되었다.

외촌 아키라의 실험 이후, 링 모양의 도체나 탄소 나노 튜브 속에서 운동하는 전자에게도 아로노프-봄 효과가 발생하는 것이 관측되었다. 1985년에는 Webb이 0.01K에서 지름 800nm 금속 링에서 자기저항이 자기장의 변화에 따라 진동함을 관측하였다.^[60] 1998년에는 Oudenaarden이 터널 정션(tunnel junction)이 있는 금속 링을 이용하여 자기적인 것과 함께 전기적인 아로노프-봄 효과를 측정하였고,^[61] 1999년에는 Bachtold가 탄소 나노튜브에서 아로노프-봄 진동을 측정한 결과를 발표하였다.^[62]

3. 이론적 배경

18세기와 19세기 물리학은 힘을 강조하는 뉴턴 역학이 지배적이었다. 전자기 현상은 전하, 전류, 자석 사이의 힘을 측정하는 실험들을 통해 설명되었다. 이후 전하, 전류, 자석이 힘 장의 국소적 원천으로 작용하고, 이 힘 장은 로렌츠 힘 법칙을 통해 다른 전하와 전류에 국소적으로 작용한다는 설명이 제시되었다. 이 틀에서 전기장은 비회전적이었고, 자기장은 발산이 없다는 특성이 있었다. 따라서 정전기장은 스칼라 전위의 기울기로, 정상 자기장은 벡터 전위의 회전으로 표현될 수 있었다. 전위는 완전히 동적인 경우에도 일반화되었지만, 모든 물리적 효과는 전위의 미분인 장으로 설명될 수 있었기 때문에, 전위는 물리적 효과에 의해 고유하게 결정되지 않았다.

아로노프-봄 효과는 고전 전자기학을 게이지 이론으로 재구성하면서 나타나는 세 가지 문제와 관련이 있어 개념적으로 중요하다. 양자역학 이전에는 물리적 결과가 없는 수학적 재구성이라고 주장할 수 있었지만, 아로노프-봄 사고 실험과 그 실험적 실현은 이러한 문제들이 단순한 철학적인 문제가 아니었음을 보여준다.

세 가지 문제는 다음과 같다:

# 전위가 "물리적"인지 아니면 힘 장을 계산하기 위한 편리한 도구일 뿐인지

# 작용 정상 작용의 원리가 근본적인지

# 국소성 원리

이러한 이유로, 아로노프-봄 효과는 ''뉴 사이언티스트'' 잡지에서 "양자 세계의 7대 불가사의" 중 하나로 선정되었다.^[9]

청-닝 양은 아로노프-봄 효과를 게이지 원리의 유일한 직접적인 실험적 증거로 간주했다. 자기 4-전위 $(\phi, \mathbf A)$ 가 물리를 과도하게 설명하는데, 게이지 변환 후에도 모든 관찰 가능한 현상은 변하지 않기 때문이다. 반대로, 맥스웰 장은 아로노프-봄 효과를 예측하지 않으므로 물리를 제대로 설명하지 못한다. 또한, 게이지 원리에 의해 예측된 바와 같이, 게이지 변환 하에서 불변하는 양은 정확히 물리적으로 관찰 가능한 현상이다.^[10]^[11]

아로노프-봄 효과는 국소적인 '''E'''장과 '''B'''장이 전자기장에 대한 모든 정보를 담고 있지 않으며, 대신 전자기 사중 포텐셜(Φ, '''A''')을 사용해야 함을 보여준다. 스토크스 정리에 의해, 효과의 크기는 전자기장만으로, 또는 사중 포텐셜만으로 계산할 수 있다. 그러나 전자기장만 사용할 경우, 효과는 시험 입자가 제외된 영역의 장 값에 의존한다. 반대로, 사중 포텐셜만 사용할 경우, 효과는 시험 입자가 허용된 영역의 포텐셜에만 의존한다. 따라서, 국소성 원리를 포기하거나, 전자기 사중 포텐셜이 전기장과 자기장이 제공할 수 있는 것보다 더 완전한 전자기학적 설명을 제공한다는 것을 받아들여야 한다. 아로노프-봄 효과는 양자 역학적이며, 양자 비국소성을 특징으로 한다.^[12]

고전 전자기학에서는 두 설명이 동등했다. 그러나 양자 이론에서는 전자기 포텐셜 ''Φ''와 '''A'''가 더 근본적인 것으로 간주된다.^[17] 그럼에도 불구하고, 모든 관측 가능한 효과는 결국 전자기장 '''E'''와 '''B'''로 표현될 수 있다. 이는 전자기장을 사중 포텐셜로부터 계산할 수 있지만, 게이지 자유도 때문에 그 반대는 성립하지 않기 때문에 흥미롭다.

아로노프-봄 효과는 양자역학 연구에서 이론적으로 제시된 현상이며, 고전적인 전자기학에서는 나타나지 않는다. 이는 전자기론의 기본 방정식인 맥스웰 방정식이 전자기 포텐셜에 대한 게이지 변환에 대해 불변이며, 동일한 전자기장을 제공하는 전자기 포텐셜을 선택하는 데 임의성이 있다는 것을 보여준다.

양자역학에서 슈뢰딩거 방정식이 고전론의 요구를 충족시키도록 하기 위해, 게이지 변환된 전자기 포텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식이 원래의 전자기 포텐셜에 대한 방정식과 일치하려면, 전자기 포텐셜에 대한 변환만으로는 불충분하며, 파동 함수의 위상 부분도 또한 변환되어야 한다. 그러나 게이지 변환에 대한 파동 함수의 위상 변화는 변환되는 파동 함수 전체에 걸쳐 영향을 미치며, 확률 밀도나 그 흐름 밀도를 기술하는 데 있어서, 파동 함수의 위상 자체는 영향을 미치지 않는다.

게이지 변환에 의해 나타나는 게이지 함수는, 게이지 변환에 의해 얻어진 새로운 전자기 포텐셜의 내용을 포함하고 있다. 특히, 자기장이 없는 계를 생각하면, 자기장은 벡터 포텐셜의 회전에 의해 주어지므로, 이 경우에는 벡터 포텐셜은 게이지 함수의 기울기에 의해 주어진다. 따라서, 자기장이 없는 계에서 게이지 함수는 벡터 포텐셜의 선적분으로 표시된다. 여기서, 서로 다른 경로를 통과하는 입자에 대한 파동 함수를 생각하면, 게이지 함수는 이러한 경로에 의존하므로, 처음에 각각의 파동 함수의 위상이 일치한다고 가정하면, 각각의 파동 함수 사이에는 경로상의 벡터 포텐셜에 의존하는 '''위상차'''가 발생하게 된다. 중첩의 원리에 의해, 계 전체의 파동 함수는 각각의 경로를 통과하는 파동 함수의 더하기로 표시되므로, 경로가 겹치는 곳에서는 파동 함수의 간섭이 발생한다.

3. 1. 벡터 포텐셜에 의한 효과

전자가 서로 다른 경로로 지나가도록 하고, 중앙에 솔레노이드가 있어 입자가 자기장이 0 (

\nabla \times A = 0

)이지만 벡터 포텐셜

A

는 0이 아닌 곳을 지나간다고 하자. (벡터 포텐셜

A

는 편의상 시간에 따라 바뀌지 않는다고 가정한다.) 이 계의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.^[60]^[61]^[62]^[63]

:

\left[ \frac1{2m} (\frac\hbar i\nabla - qA)^2 + V\right] \Psi = i \hbar {\partial \Psi \over \partial t}

이 때 위상만 다른 파동 함수는 물리 법칙에 영향을 주지 않으므로, 파동 함수를 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있다.

:

\Psi = e^{(-ig)} \Psi \prime

:

g(r) \equiv {q \over \hbar} \int_0^r A(s) ds

위의 파동 함수

\Psi

를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면

:

{\hbar^2 \over 2m} \Psi \prime + V \Psi \prime = i \hbar {\partial \Psi \prime \over \partial t}

으로 쓸 수 있으므로 결국 벡터 포텐셜은 파동 함수의 위상(phase)을 변화시키는 역할을 한다는 것을 알 수 있다. 즉, 자기장이 0이어도 벡터 포텐셜이 파동 함수의 위상을 변화시키므로 서로 다른 경로를 지나는 전자의 위상차를 다음과 같이 구할 수 있다.

:

g = {q \over \hbar} \oint A ds = { q \Phi \over 2 \pi \hbar} \oint \left( {1 \over r} \right) (r d \phi) = \pm {q \Phi \over 2 \hbar}

여기서

\Phi

는 자기 선속이고 부호는 전자의 운동방향과 벡터 포텐셜의 방향에 의하여 결정된다. 전자 빔의 위상은 그 경로의 자속다발의 양에 비례하므로 그 위상차는 다음과 같다.

:위상차 =

{q \Phi \over \hbar}

위상차는 측정할 수 있으므로, 이는 장이 0인 지점에서도 벡터 퍼텐셜이 측정가능한 양에 영향을 미치는 것을 보일 수 있다. 이러한 관점에서 보면, 물리적인 본질은 퍼텐셜이고, 장은 퍼텐셜들의 미분에 의해 유도된 값이라고 할 수 있다.

3. 2. 스칼라 포텐셜에 의한 효과

슈뢰딩거 방정식에서 에너지

E

를 가진 고유 함수의 위상은

e^{-iEt/\hbar}

로 표현된다. 그러나 에너지는 전하

q

를 가진 입자의 정전기적 포텐셜

V

에 의존한다. 특히, 일정한 포텐셜

V

(전기장 0)을 가진 영역의 경우, 전기 포텐셜 에너지

qV

는 단순히

E

에 더해져 위상 변화를 일으킨다.^[35]

:

\Delta\varphi = -\frac{qVt}{\hbar} ,

여기서 ''t''는 포텐셜에서 소요된 시간이다.

이와 같은 스칼라 포텐셜의 차이에 의한 파동 함수의 위상 변화는 전기장이 없는 영역에서도 발생한다. 초기 이론적 제안에서는 전하가 두 경로를 따라 전도 실린더를 통과하는 실험을 제시했지만, 이는 실현하기 어려웠다. 대신 링 형상에서 링의 두 반쪽의 포텐셜 차이를 이용하는 실험이 제안되었고, 1998년에 실험적으로 관찰되었다.^[35] 그러나 이 실험은 전하가 전기장을 통과하는 설정에서 관찰된 것이고, 원래 제안된 전기장이 없는 상황에서의 시간 의존적 전기 아로노프-봄 효과는 아직 실험적으로 검증되지 않았다.^[35]

3. 3. 게이지 이론과의 관계

아로노프-봄 효과는 맥스웰의 고전 전자기학을 게이지 이론으로 재구성하면서 나타나는 세 가지 문제와 관련이 있어 개념적으로 중요하다. 양자역학이 등장하기 전에는 물리적 결과가 없는 수학적 재구성이라고 주장할 수 있었지만, 아로노프-봄 사고 실험과 그 실험적 실현은 그 문제들이 단순한 철학적인 문제가 아니었음을 보여준다.^[9]

세 가지 문제는 다음과 같다.

# 전위가 "물리적"인지 아니면 힘장을 계산하기 위한 편리한 도구일 뿐인지

# 작용 정상 작용의 원리가 근본적인지

# 국소성 원리

이러한 이유로, 아로노프-봄 효과는 ''뉴 사이언티스트'' 잡지에서 "양자 세계의 7대 불가사의" 중 하나로 선정되었다.^[9]

청-닝 양은 아로노프-봄 효과를 게이지 원리의 유일한 직접적인 실험적 증거로 간주했다. 자기 4-전위

(\phi, \mathbf A)

가 물리를 과도하게 설명하는데, 게이지 변환 후에도 모든 관찰 가능한 현상은 변하지 않기 때문이다. 반대로, 맥스웰 장은 아로노프-봄 효과를 예측하지 않으므로 물리를 제대로 설명하지 못한다. 또한, 게이지 원리에 의해 예측된 바와 같이, 게이지 변환 하에서 불변하는 양은 정확히 물리적으로 관찰 가능한 현상이다.^[10]^[11]

아로노프-봄 효과는 역학에 대한 라그랑지 접근법이 에너지에 기반하며, 이는 뉴턴 접근법인 힘에 기반한 것과 단순한 계산 보조 수단이 아님을 보여준다. 따라서 아로노프-봄 효과는 힘이 물리학을 공식화하는 불완전한 방식이며, 대신 포텐셜 에너지를 사용해야 한다는 관점을 입증한다. 리처드 파인만은 전자기장을 관점에서 전자기학을 배웠다고 불평했고, 더 근본적인 전자기 포텐셜의 관점에서 생각하도록 배웠으면 좋았을 것이라고 말하였다.^[16] 파인만의 역학에 대한 경로 적분 관점에서, 포텐셜장은 전자 파동 함수의 위상을 직접적으로 변화시키며, 이러한 위상 변화가 측정 가능한 양으로 이어진다.

아로노프-봄 효과는 국소적인 '''E'''장과 '''B'''장이 전자기장에 대한 모든 정보를 담고 있지 않으며, 대신 전자기 사중 포텐셜(Φ, '''A''')을 사용해야 함을 보여준다. 스토크스 정리에 의해, 아로노프-봄 효과의 크기는 전자기장만 사용하여 계산하거나, 사중 포텐셜만 사용하여 계산할 수 있다. 그러나 전자기장만 사용할 경우, 효과는 시험 입자가 제외된 영역의 장 값에 의존한다. 반대로, 사중 포텐셜만 사용할 경우, 효과는 시험 입자가 허용된 영역의 포텐셜에만 의존한다. 따라서, 국소성 원리를 포기하거나, 전자기 사중 포텐셜이 전기장과 자기장이 제공할 수 있는 것보다 더 완전한 전자기학적 설명을 제공한다는 것을 받아들여야 한다. 아로노프-봄 효과는 양자 역학적이다; 양자 역학은 양자 비국소성을 특징으로 하는 것으로 잘 알려져 있으며, Vaidman은 이것이 단지 다른 형태의 비국소적인 양자 효과라고 주장했다.^[12]

고전 전자기학에서 두 설명은 동등했다. 그러나 양자 이론이 추가되면서, 전자기 포텐셜 ''Φ''와 '''A'''가 더 근본적인 것으로 간주된다.^[17] 그럼에도 불구하고, 모든 관측 가능한 효과는 결국 전자기장 '''E'''와 '''B'''의 관점에서 표현될 수 있다. 이는 전자기장을 사중 포텐셜로부터 계산할 수 있지만, 게이지 자유도 때문에 그 반대는 성립하지 않기 때문에 흥미롭다.

자기 아로노프-봄 효과는 게이지 고정에 대한 전자기 포텐셜의 게이지 선택에 관해 양자 물리학이 불변해야 한다는 요구 사항의 결과로 볼 수 있으며, 여기서 자기 벡터 포텐셜

\mathbf{A}

는 그 일부를 형성한다.

전자기 이론은^[18] 전기 전하

q

를 가진 입자가 자기장

\mathbf{B}

가 0이지만

\mathbf{A}

가 0이 아닌 영역에서 어떤 경로

P

를 따라 이동할 때, SI 단위로 제공되는 위상 변화

\varphi

를 획득함을 의미한다.

:

\varphi = \frac{q}{\hbar} \int_P \mathbf{A} \cdot d\mathbf{x},

따라서 시작점과 끝점이 같지만 서로 다른 두 경로를 따라 이동하는 입자는 경로 사이의 영역을 통과하는 자기 선속

\Phi_B

에 의해 결정되는 위상차

\Delta \varphi

를 얻게 되며 (스토크스 정리 및

\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}

를 통해) 다음과 같이 제공된다.

:

\Delta\varphi = \frac{q \, \Phi_B}{\hbar}.

양자 역학에서 동일한 입자는 다양한 경로를 통해 두 점 사이를 이동할 수 있다. 따라서 이 위상차는 이중 슬릿 실험의 슬릿 사이에 솔레노이드를 배치하여 관찰할 수 있다. 이상적인 솔레노이드(무한히 길고 완벽하게 균일한 전류 분포)는 자기장

\mathbf{B}

를 둘러싸지만, 원통 외부에는 자기장을 생성하지 않으므로 외부를 통과하는 전하 입자는 자기장

\mathbf{B}

를 경험하지 않는다. 그러나 솔레노이드 외부에 갇힌 선속이 있는 (컬이 없는) 벡터 포텐셜

\mathbf{A}

가 있으므로, 솔레노이드 전류가 켜져 있는지 꺼져 있는지에 따라 한 슬릿 또는 다른 슬릿을 통과하는 입자의 상대 위상이 변경된다. 이는 관찰 평면에서 간섭 무늬의 관찰 가능한 이동에 해당한다.

동일한 위상 효과는 자기 선속 양자가 초전도 루프에서 양자화되어야 하는 요구 사항의 원인이 된다. 이 양자화는 초전도 파동 함수가 단일 값을 가져야 하기 때문에 발생한다. 닫힌 루프 주위의 위상차

\Delta \varphi

는

2\pi

의 정수 배수여야 하며 (전자 쿠퍼 쌍의 경우 전하

q=2e

), 따라서 선속은

h/2e

의 배수여야 한다. 초전도 선속 양자는 실제로 아로노프와 봄 이전에 F. 런던에 의해 1948년에 현상학적 모델을 사용하여 예측되었다.^[19]

최초의 실험적 확인 주장은 1960년 로버트 G. 챔버스에 의해 이루어졌으며,^[20]^[21] 얇은 철 수염에 의해 생성된 자기장을 사용한 전자 간섭계에서 이루어졌으며, 다른 초기 연구는 올라리우와 포페스쿠(1984)에 요약되어 있다.^[22] 그러나 후속 저자들은 전자가 자기장으로부터 완전히 차폐되지 않았을 수 있다는 이유로 이러한 초기 결과 중 일부의 타당성에 의문을 제기했다.^[23]^[24]^[25]^[26]^[27] 명확한 아로노프-봄 효과가 전자 경로에서 자기장을 완전히 배제하여 관찰된 초기 실험은 1986년 토노무라 등이 수행했다.^[28]^[29] 이 효과의 범위와 적용은 계속 확장되고 있다. 웹 등(1985)^[30]은 일반적인, 초전도성이 아닌 금속 링에서 아로노프-봄 진동을 입증했다. 이에 대한 논의는 슈바르츠쉴드(1986)^[31] 및 임리와 웹(1989)을 참조.^[32] 바흐톨트 등(1999)^[33]은 탄소 나노튜브에서 이 효과를 감지했다. 이에 대한 논의는 콩 등(2004)을 참조.^[34]

아로노프-봄 효과는 양자역학 연구에서 이론적으로 제시된 현상이며, 고전적인 전자기학이 성립하는 범위 내에서는 아로노프-봄 효과가 나타나지 않는다. 이는 전자기론의 기본 방정식인 맥스웰 방정식이 전자기 포텐셜에 대한 게이지 변환에 대해 불변이며, 동일한 전자기장을 제공하는 전자기 포텐셜을 선택하는 데 임의성이 있다는 것을 단적으로 보여준다.

양자역학에서 슈뢰딩거 방정식이 고전론의 요구를 충족시키도록 하기 위해, 게이지 변환된 전자기 포텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식이 원래의 전자기 포텐셜에 대한 방정식과 일치하려면, 전자기 포텐셜에 대한 변환만으로는 불충분하며, 파동 함수의 위상 부분도 또한 변환되어야 한다. 그러나 게이지 변환에 대한 파동 함수의 위상 변화는 변환되는 파동 함수 전체에 걸쳐 영향을 미치며, 확률 밀도나 그 흐름 밀도를 기술하는 데 있어서, 파동 함수의 위상 자체는 영향을 미치지 않는다.

게이지 변환에 의해 나타나는 게이지 함수는, 게이지 변환에 의해 얻어진 새로운 전자기 포텐셜의 내용을 포함하고 있다. 특히, 자기장이 없는 계를 생각하면, 자기장은 벡터 포텐셜의 회전에 의해 주어지므로, 이 경우에는 벡터 포텐셜은 게이지 함수의 기울기에 의해 주어진다. 따라서, 자기장이 없는 계에서 게이지 함수는 벡터 포텐셜의 선적분으로 표시된다. 여기서, 서로 다른 경로를 통과하는 입자에 대한 파동 함수를 생각하면, 게이지 함수는 이러한 경로에 의존하므로, 처음에 각각의 파동 함수의 위상이 일치한다고 가정하면, 각각의 파동 함수 사이에는 경로상의 벡터 포텐셜에 의존하는 '''위상차'''가 발생하게 된다. 중첩의 원리에 의해, 계 전체의 파동 함수는 각각의 경로를 통과하는 파동 함수의 더하기로 표시되므로, 경로가 겹치는 곳에서는 파동 함수의 간섭이 발생한다. 이것은 실제로 관측될 수 있으며, 양자역학에 특유한 현상이다. 이러한 현상을 '''아로노프-봄 효과'''라고 부른다.

전자가 서로 다른 경로로 지나가도록 하고, 중앙에 솔레노이드가 있어 입자가 자기장이 0 (

\nabla \times A = 0

)이지만 벡터 퍼텐셜

A

는 0이 아닌 곳을 지나간다고 하자. (벡터 퍼텐셜

A

는 편의상 시간에 따라 바뀌지 않는다고 가정) 이 계의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

:

\left[ \frac1{2m} (\frac\hbar i\nabla - qA)^2 + V\right] \Psi = i \hbar {\partial \Psi \over \partial t}

이 때 위상만 다른 파동 함수는 물리 법칙에 영향을 주지 않으므로, 파동 함수를 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있다.

:

\Psi = e^{(-ig)} \Psi \prime

:

g(r) \equiv {q \over \hbar} \int_0^r A(s) ds

위의 파동 함수

\Psi

를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면

:

{\hbar^2 \over 2m} \Psi \prime + V \Psi \prime = i \hbar {\partial \Psi \prime \over \partial t}

으로 쓸 수 있으므로 결국 벡터 퍼텐셜은 파동 함수의 위상(phase)을 변화시키는 역할을 한다는 것을 알 수 있다. 자기장이 0이어도 벡터퍼텐셜이 파동 함수의 위상을 변화시키므로 서로 다른 경로를 지나는 전자의 위상차를 다음과 같이 구할 수 있다.

:

g = {q \over \hbar} \oint A ds = { q \Phi \over 2 \pi \hbar} \oint \left( {1 \over r} \right) (r d \phi) = \pm {q \Phi \over 2 \hbar}

여기서

\Phi

는 자기 선속이고 부호는 전자의 운동방향과 벡터 퍼텐셜의 방향에 의하여 결정된다. 즉 전자 빔의 위상은 그 경로의 자속다발의 양에 비례하므로 그 위상차는

:위상차 =

{q \Phi \over \hbar}

이고 위상차는 측정할 수 있으므로, 이는 장이 0인 지점에서도 벡터 퍼텐셜이 측정가능한 양에 영향을 미치는 것을 보일 수 있다. 이러한 관점에서 보면, 물리적인 본질은 퍼텐셜이고, 장은 퍼텐셜들의 미분에 의해 유도된 값이라고 할 수 있다.

자기 벡터 퍼텐셜이 파동함수의 위상에 영향을 미칠 수 있는 것처럼, 전기 스칼라 퍼텐셜 또한 같은 효과를 줄 수 있다. 전자가 전기장은 0이지만 전기적인 퍼텐셜이 변하는 두 경로를 운동하는 경우 고전역학적으로는 전자의 운동에 아무런 영향을 줄 수 없지만 양자역학적으로는 아로노프-봄 효과에 의한 간섭현상이 일어나 위상 변화가 일어난다고 예측할 수 있다.

슈뢰딩거 방정식에서는 에너지는

e^{-iEt \over \hbar}

로 나타낼 수 있다. 여기서 에너지는 스칼라 퍼텐셜 V와 전하 q에 의해 결정되므로, V를 상수라 하면 전기장은 V의 미분이므로 0이 되고, 위상차는 다음과 같다.

:

\Delta \phi = - {qVt \over \hbar}

4. 수학적 해석

미분기하학의 언어로, 아로노프-봄 효과는 다음과 같이 설명할 수 있다. 파동 함수는 복소 선다발의 단면으로, 전자기 포텐셜은 U(1)-접속으로 해석된다. 아로노프-봄 효과는 접속의 곡률이 0인 (즉, 평탄) 영역에서도 모노드로미가 발생할 수 있음을 보여준다. 이는 0 곡률 (즉, 무장) 영역에 완전히 포함된 위상적으로 비자명한 경로를 따라 평행 이동된 단면이 위상을 얻게 되어, 공변 상수 단면을 전체 무장 영역에서 정의할 수 없다는 것을 의미한다.^[54]

선다발의 자명화를 고려하면, 0이 아닌 단면에서 U(1)-접속은 전자기 사차원 포텐셜 ''A''에 해당하는 1-형식으로 주어지며, $\nabla = d + i A\,$ 이다. 여기서 ''d''는 외미분을 의미하고, 민코프스키 공간에서 정의된다. 모노드로미는 평탄 접속의 홀로노미이다. 평탄하든 평탄하지 않든 접속의 홀로노미는 닫힌 루프 $\gamma$ 주위에서 $e^{i \int_\gamma A}$ 이다. 평탄 접속의 경우, 벡터 포텐셜을 소거하는 (파동 함수와 접속에 작용하는) 게이지 변환을 모든 단일 연결 무장 영역에서 찾을 수 있다. 그러나 모노드로미가 비자명한 경우, 전체 외부 영역에 대한 그러한 게이지 변환은 없다. 스토크스 정리의 결과로, 홀로노미는 루프 $\gamma$ 를 경계 짓는 표면 $\sigma$ 를 통과하는 자기 선속에 의해 결정되지만, 이러한 표면은 $\sigma$ 가 비자명한 장 영역을 통과하는 경우에만 존재한다.

: $e^{i \int_{\partial \sigma} A} = e^{i \int_{\sigma} dA} = e^{i\int_\sigma F}$

평탄 접속의 모노드로미는 무장 영역에서 루프의 위상학적 유형에만 의존한다 (사실 루프의 호몰로지 클래스에 의존한다).

5. 의의 및 영향

아로노프-봄 효과는 전자기 포텐셜이 단순한 수학적 도구가 아닌 물리적 실체임을 보여준다는 점에서 중요한 의미를 갖는다. 고전 전자기학에서는 전자기장만이 물리적 의미를 갖는다고 생각했지만, 양자역학에서는 전자기 포텐셜이 더 근본적인 역할을 한다는 것이다.^[17]

청-닝 양은 아로노프-봄 효과를 게이지 원리의 유일한 직접적인 실험적 증거로 간주했다.^[10]^[11] 고전적으로는 전자기장만이 물리적이며, 전자기 포텐셜은 수학적인 구성물일 뿐이라고 생각했지만, 양자 이론에서는 전자기 포텐셜 ''Φ''와 '''A'''가 더 근본적인 것으로 여겨진다.

아로노프-봄 효과는 힘을 강조하는 뉴턴 역학 대신 포텐셜 에너지를 사용하는 라그랑지 역학이 물리학을 더 잘 설명한다는 것을 보여준다. 리처드 파인만은 전자기장을 통해 전자기학을 배웠지만, 전자기 포텐셜의 관점에서 배웠으면 더 좋았을 것이라고 말했다.^[16] 파인만의 경로 적분 관점에서, 포텐셜장은 전자 파동 함수의 위상을 직접 변화시키고, 이러한 위상 변화는 측정 가능한 결과로 이어진다.

아로노프-봄 효과는 국소성 원리에 대한 의문을 제기한다. 전자기장이 0인 영역에서도 전자기 포텐셜의 영향이 나타나기 때문이다. 이는 전자기적 효과가 국소적이지 않을 수 있음을 시사한다.

결국, 아로노프-봄 효과는 국소성 원리를 유지하려면 전자기 사중 포텐셜이 전기장과 자기장보다 더 완전한 전자기학적 설명을 제공한다는 것을 받아들여야 함을 보여준다. 또는, 양자역학의 양자 비국소성을 인정해야 한다.

5. 1. 전자기 포텐셜의 물리성

아로노프-봄 효과는 전자기 포텐셜이 단순한 수학적 도구가 아닌 물리적 실체임을 보여준다. 고전 전자기학에서는 전자기장만이 물리적 의미를 가지는 것으로 여겨졌지만, 양자역학에서는 전자기 포텐셜이 더 근본적인 역할을 한다.

청-닝 양은 아로노프-봄 효과를 게이지 원리의 유일한 직접적인 실험적 증거로 간주했다.^[10]^[11] 고전적으로는 오직 전자기장만이 물리적이며, 전자기 포텐셜은 순전히 수학적인 구성물일 뿐이며, 게이지 자유도 때문에 주어진 전자기장에 대해 유일하지 않다고 주장할 수 있었다. 그러나 양자 이론이 추가되면서, 전자기 포텐셜 ''Φ''와 '''A'''가 더 근본적인 것으로 간주된다.^[17]

그럼에도 불구하고, 모든 관측 가능한 효과는 결국 전자기장 '''E'''와 '''B'''의 관점에서 표현될 수 있다. 이는 전자기장을 사중 포텐셜로부터 계산할 수 있지만, 게이지 자유도 때문에 그 반대는 성립하지 않기 때문에 흥미롭다. 자기 아로노프-봄 효과는 게이지 고정에 대한 전자기 포텐셜의 게이지 선택에 관해 양자 물리학이 불변해야 한다는 요구 사항의 결과로 볼 수 있으며, 여기서 자기 벡터 포텐셜

\mathbf{A}

는 그 일부를 형성한다.

바이드만은 아로노프-봄 효과가 전자기장을 생성하는 소스 전하에 대해 완전한 양자 역학적 처리를 제공하는 한 포텐셜을 사용하지 않고 설명될 수 있음을 보여줌으로써 이러한 해석에 이의를 제기했다.^[12] 이 관점에 따르면, 양자 역학에서의 포텐셜은 고전적으로 그랬던 것처럼 물리적(또는 비물리적)이다. 아로노프, 코헨, 로얼리히는 이 효과가 국소 게이지 포텐셜 또는 비국소 게이지 불변장으로 인해 발생할 수 있다고 응답했다.^[13]

2017년 Physical Review A 저널에 게재된 두 편의 논문은 이 시스템에 대한 양자 역학적 해법을 제시했다. 그들의 분석에 따르면 위상 변화는 전자의 작용에 대한 솔레노이드의 벡터 포텐셜, 또는 솔레노이드에 작용하는 전자의 벡터 포텐셜, 또는 양자화된 벡터 포텐셜에 작용하는 전자 및 솔레노이드 전류에 의해 생성되는 것으로 볼 수 있다.^[14]^[15]

아로노프-봄 효과는 역학에 대한 라그랑지 접근법이 에너지에 기반하며, 이는 뉴턴 접근법인 힘에 기반한 것과 단순한 계산 보조 수단이 아님을 보여준다. 따라서 아로노프-봄 효과는 힘이 물리학을 공식화하는 불완전한 방식이며, 대신 포텐셜 에너지를 사용해야 한다는 관점을 입증한다. 리처드 파인만은 전자기장을 관점에서 전자기학을 배웠다고 불평했고, 더 근본적인 전자기 포텐셜의 관점에서 생각하도록 배웠으면 좋았을 것이라고 말하였다.^[16] 파인만의 역학에 대한 경로 적분 관점에서, 포텐셜장은 전자 파동 함수의 위상을 직접적으로 변화시키며, 이러한 위상 변화가 측정 가능한 양으로 이어진다.

5. 2. 국소성 원리

전자기학에서 국소성 원리는 멀리 떨어진 물체가 다른 물체에 즉각적으로 영향을 줄 수 없다는 원리이다. 즉, 어떤 물리적 효과가 발생하려면 그 원인이 되는 대상이 공간적으로 인접해 있어야 한다는 것이다. 18세기와 19세기 물리학에서는 힘을 강조하는 뉴턴 역학이 지배적이었고, 전자기 현상은 전하, 전류, 자석 사이의 힘을 측정하는 실험을 통해 설명되었다. 이후 전하, 전류, 자석이 힘 장의 국소적 원천으로 작용하고, 이 힘 장이 로렌츠 힘 법칙을 통해 다른 전하와 전류에 국소적으로 작용한다는 설명이 나타났다.

그러나 아로노프-봄 효과는 이러한 국소성 원리에 대한 의문을 제기한다. 아로노프-봄 효과에서는 전자기장이 0인 영역에서도 전자기 포텐셜의 영향이 나타난다. 이는 전자기적 효과가 국소적이지 않을 수 있음을 시사한다. 스토크스 정리에 따르면, 아로노프-봄 효과의 크기는 전자기장만으로 계산하거나, 전자기 사중 포텐셜만으로 계산할 수 있다. 전자기장만 사용하면 효과는 시험 입자가 제외된 영역의 장 값에 의존하고, 사중 포텐셜만 사용하면 효과는 시험 입자가 허용된 영역의 포텐셜에만 의존한다.

따라서 국소성 원리를 유지하려면 전자기 사중 포텐셜이 전기장과 자기장보다 더 완전한 전자기학적 설명을 제공한다는 것을 받아들여야 한다. 청닝 양은 아로노프-봄 효과를 게이지 원리의 유일한 직접적인 실험적 증거로 간주하기도 했다.^[10]^[11]

5. 3. 양자 비국소성

아로노프-봄 효과는 국소성 원리를 포기하거나, 전자기 사중 포텐셜이 전기장과 자기장이 제공하는 것보다 더 완전한 전자기학적 설명을 제공한다는 것을 받아들여야 함을 보여준다. 반면에, 아로노프-봄 효과는 양자역학적이다. 양자 역학은 양자 비국소성(초광속 통신은 허용하지 않지만)을 특징으로 하는 것으로 잘 알려져 있다.^[12]

고전 전자기학에서는 두 설명이 동등했지만, 양자 이론이 추가되면서, 전자기 포텐셜 ''Φ''와 '''A'''가 더 근본적인 것으로 간주된다.^[17] 그럼에도 불구하고, 모든 관측 가능한 효과는 결국 전자기장 '''E'''와 '''B'''의 관점에서 표현될 수 있다. 이는 전자기장을 사중 포텐셜로부터 계산할 수 있지만, 게이지 자유도 때문에 그 반대는 성립하지 않기 때문에 흥미롭다.

양자역학에서 슈뢰딩거 방정식이 고전론의 요구를 충족시키도록 하기 위해, 게이지 변환된 전자기 포텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식이 원래의 전자기 포텐셜에 대한 방정식과 일치하려면, 전자기 포텐셜에 대한 변환만으로는 불충분하며, 파동 함수의 위상 부분도 또한 변환되어야 한다.

게이지 변환에 의해 나타나는 게이지 함수는, 게이지 변환에 의해 얻어진 새로운 전자기 포텐셜의 내용을 포함하고 있다. 서로 다른 경로를 통과하는 입자에 대한 파동 함수를 생각하면, 게이지 함수는 이러한 경로에 의존하므로, 처음에 각각의 파동 함수의 위상이 일치한다고 가정하면, 각각의 파동 함수 사이에는 경로상의 벡터 포텐셜에 의존하는 '''위상차'''가 발생하게 된다. 중첩의 원리에 의해, 계 전체의 파동 함수는 각각의 경로를 통과하는 파동 함수의 더하기로 표시되므로, 경로가 겹치는 곳에서는 파동 함수의 간섭이 발생한다. 이것은 실제로 관측될 수 있으며, 양자역학에 특유한 현상이다.

6. 응용

electron source^영어에서 나온 전자가 다른 경로를 통해 갈 때 벡터 퍼텐셜의 영향을 받아 파동함수의 위상이 동일하지 않게 된다. 자기장의 변화에 대하여 전기 저항 또는 전기전도도가 진동하는 형태로 변하는데, 이러한 효과를 '''아로노프-봄 진동'''(Aharonov–Bohm oscillation^영어)이라 한다.

1985년 웹(Webb)은 10에서 지름 800nm의 금속 링에서 자기저항(magnetoresistance)이 자기장의 변화에 따라 진동함을 관측하였다. 이를 푸리에 변환한 결과 주기가 $h/e$ 와 $h/2e$ 에서 피크가 나타남을 보였다.^[60] 1998년 오데나르덴(Oudenaarden)은 터널 정션(tunnel junction)이 있는 금속 링을 이용하여 자기적인 것과 함께 전기적인 아로노프-봄 효과를 측정하였다.^[61] 1999년 바흐톨트(Bachtold)는 탄소 나노튜브에서 아로노프-봄 진동을 측정한 결과를 발표하였고,^[62] 2007년에는 네데르(Neder)가 아로노프-봄 효과를 이용하여 자기 선속을 조절하면 파동의 상대적 위상을 조절할 수 있기 때문에 보강 간섭과 상쇄 간섭이 나타나는 지점을 결정할 수 있는 연구를 발표하였다.^[63]

나노 링은 양자점을 만들려다 우연히 만들어졌으며,^[48] 엑시톤과 아로노프-봄 효과와 관련된 흥미로운 광학적 특성을 가지고 있다.^[48] 이러한 링을 빛 커패시터 또는 버퍼로 사용하는 것은 광자 컴퓨터 및 통신 기술을 포함한다. 중간 크기의 링에서 기하학적 위상에 대한 분석 및 측정은 현재 진행 중이다.^[49]^[50]^[51] 심지어 이들이 일종의 느린 유리를 만드는 데 사용될 수 있다는 제안도 있다.^[52]

2012년에 보고된 일부 실험^[53]에서 77,000 이상에서 둘레가 최대 85μm인 CDW(charge density wave, 전하 밀도파) 링을 통과하는 자기 선속에 대한 전하 밀도파 전류에서 지배적인 주기 ''h''/2''e''의 아로노프-봄 진동을 보여준다. 이러한 거동은 초전도 양자 간섭 장치(SQUID)의 거동과 유사하다.

1986년, 외무라 아키라는 전자선 홀로그래피 방식을 사용하여 아로노프-봄 효과의 존재를 실증하였다.^[55] 그동안 실험이 어려웠던 원인 중 하나는 자기장이나 전기장이 완전히 존재하지 않는 조건을 만족시키는 것이 어려웠기 때문이다. 외무라의 검증 실험에서는 매우 미세한 도넛 모양의 자석(도넛 내에 자기장이 존재)을 초전도체(니오브)로 둘러싸고, 초전도 전이 온도 이하로 유지했다. 마이스너 효과에 의해 해당 자석의 자기장은 도넛 외부로 새어 나오는 것을 완전히 막을 수 있었다. 관측 결과, 두 경우 사이에 $\pi$ (반파장)만큼의 위상 차이가 존재했고,^[56] 자기장이 완전히 없는 상태에서 전자선이 전자기 포텐셜(이 경우에는 벡터 포텐셜)의 영향을 받고 있다는 것이 실증되었다.

외무라의 실험 이후, 전자선뿐만 아니라 링 모양의 도체나 탄소 나노 튜브 속에서 운동하는 전자에게도 아로노프-보옴 효과가 발생하는 것이 관측되었다.

7. 기타 효과

이론적으로 중력 퍼텐셜로 인한 아로노프-봄 위상 변이를 관찰하는 것도 가능하며, 2012년의 실험 설계를 기반으로 2022년 초에 이를 관찰하기 위한 실험이 수행되었다.^[36]^[37]^[38]^[39]^[40] 여러 다른 테스트가 제안되었다.^[41]^[42]^[43]^[44]

우 타이춘과 양전닝은 1975년 비가환 아로노프-봄 효과를 공식화했으며,^[45] 2019년에는 전자 파동 함수 대신 빛 파동을 이용한 시스템에서 이 효과가 실험적으로 보고되었다.^[46]^[47]

7. 1. 중력 아로노프-봄 효과

이론적으로 중력 퍼텐셜로 인한 아로노프-봄 위상 변이를 관찰하는 것도 가능하며, 2022년 초^[36]^[37]^[38] 2012년의 실험 설계를 기반으로 이를 관찰하기 위한 실험이 수행되었다.^[39]^[40] 이 실험에서, 중첩 상태의 초저온 루비듐 원자가 진공관 내부에서 수직으로 발사되었고 레이저로 분할되어 한 부분은 다른 부분보다 더 높이 올라간 후 다시 합쳐졌다. 챔버 외부 상단에는 축 대칭 질량이 위치하여 중력 퍼텐셜을 변화시켰다. 따라서 더 높이 올라가는 부분은 더 큰 변화를 경험해야 했으며, 이는 파동 묶음이 재결합될 때 간섭 패턴으로 나타나 측정 가능한 위상 변이를 초래했다. 연구팀은 측정 결과와 예측 간의 일치에 대한 증거를 발견했다. 여러 다른 테스트가 제안되었다.^[41]^[42]^[43]^[44]

7. 2. 비가환 아로노프-봄 효과

우 타이춘과 양전닝은 1975년 비가환 아로노프-봄 효과를 공식화했으며,^[45] 2019년에는 전자 파동 함수 대신 빛 파동을 이용한 시스템에서 이 효과가 실험적으로 보고되었다. 이 효과는 두 가지 다른 방식으로 생성되었는데, 하나는 강한 자기장 내의 결정을 빛이 통과하도록 하는 것이고, 다른 하나는 시간에 따라 변화하는 전기 신호를 사용하여 빛을 변조하는 것이었다. 두 경우 모두 시간의 정방향과 역방향으로 진행하는 경우에 따라 간섭 패턴을 통해 위상 변화가 관찰되었다.^[46]^[47]

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