초입자

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 입자
- 2.2. 초입자
참조

1. 개요

초입자는 초공간에서 움직이는 입자로, 일반적인 입자와 달리 추가적인 운동 방정식을 따른다. 초입자의 운동은 라그랑지언을 통해 기술되며, 이 라그랑지언은 두 개의 운동 방정식과 관련된 라그랑주 승수를 포함한다. 초입자의 운동 방정식은 초공간 좌표와 운동량, 그리고 초운동량 사이의 관계를 나타내며, 게이지 고정을 통해 간소화될 수 있다.

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초입자
일반 정보
표준 모형의 기본 입자들
분류	페르미온
이론적 배경	양자장론
상호작용	중력, 전자기력, 약력, 강력
반입자	반초입자
상세 정보
스핀	1/2, 3/2
전하	정수 배 (쿼크 제외)
질량	0 또는 양수
구성	더 작은 입자로 구성되지 않음 (현재까지)
예시
예시	쿼크 렙톤 게이지 보손 힉스 보손 초입자 (가설)

2. 정의

'''초입자'''는 초공간이라고 불리는 확장된 시공간 개념 속에서 움직이는 이론적인 입자이다. 일반적인 입자가 시공간 좌표 $x^m$ 으로 위치를 나타내는 것과 달리, 초입자는 여기에 스피너 좌표 $\theta^\mu$ 를 추가하여 $x^M=(x^m, \theta^\mu)$ 와 같이 초공간 $\mathbb R^{D|D'}$ 상의 좌표로 기술된다. 여기서 $m$ 은 일반적인 공간 또는 시공간 벡터 지수를, $\mu$ 는 스피너 지수를 나타낸다.

초입자의 운동은 다음과 같은 두 가지 기본적인 운동 방정식으로 결정된다.

: $\eta^{ab}p_a p_b = 0$

: $p_a\gamma^a d = 0$

여기서 $p_A = (p_a, d_\alpha)$ 는 초입자의 일반화 운동량이며, $p_a$ 는 일반적인 운동량, $d_\alpha$ 는 스피너 좌표 $\theta$ 에 대응하는 소위 '초운동량'이다. 첫 번째 방정식은 질량이 없는 일반 상대론적 입자의 운동량-에너지 관계와 유사하지만, 두 번째 방정식은 초입자 고유의 특징을 나타내는 중요한 제약 조건이다. 이 식에는 감마 행렬( $\gamma^a$ )이 포함되어 운동량과 초운동량을 연결한다.

이러한 초입자의 동역학은 라그랑지언을 통해 보다 체계적으로 기술될 수 있다. 초입자의 라그랑지언은 일반적으로 다음과 같은 형태로 주어진다.

: $L = \int \mathrm dt\,\left(\dot x^M e_M{}^A\,$

\frac12\lambda \eta^{ab}p_ap_b
\mathrm i\lambda' (p_a\gamma^a) d

\right)

이 라그랑지언에는 초입자의 좌표

x^M

, 일반화 운동량

p_A

, 그리고 초필바인

e_M{}^A

등이 포함된다. 또한,

\lambda

와

\lambda'

는 각각 두 운동 방정식을 제약 조건으로 도입하기 위한 라그랑주 승수이다. 이 라그랑지언으로부터 오일러-라그랑주 방정식을 유도하면 앞서 제시된 초입자의 운동 방정식을 얻을 수 있다.

2. 1. 입자

질량이 없는 비초대칭 입자는 시공간 좌표

x^m \in \mathbb R^D

와 운동량

p_a

를 사용하여 기술할 수 있다. 이 입자는

\eta^{ab}p_a p^b = 0

이라는 운동 방정식을 만족한다. 이러한 시스템은 세계선 위의 라그랑지언을 통해 분석할 수 있으며, 이 과정에서 필바인

e_m{}^a

과 게이지 장 역할을 하는

\lambda

와 같은 개념들이 도입된다. 라그랑지언과 오일러-라그랑주 방정식을 통해 입자의 동역학을 구체적으로 유도할 수 있다.

2. 1. 1. 운동 방정식

우선, 질량이 없는 비초대칭 입자는 다음과 같이 묘사된다. 그 좌표가

x^m \in \mathbb R^D

라고 하자. 그렇다면, 운동 방정식은 다음과 같다.

:

\eta^{ab}p_a p^b = 0

이에 따라서, 세계선 위의 라그랑지언

L

은 다음과 같이 적을 수 있다.

:

L = \int \mathrm dt\,\dot x^m e_m{}^a(x)p_a - \frac12\lambda \eta^{ab}p_ap_b

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$t\in\mathbb R$ 는 세계선의 임의의 좌표이며, 윗점( $\dot{}$ )은 $\partial /\partial t$ 를 뜻한다. 즉, $t$ 에 대한 미분을 나타낸다.
$\eta_{ab}$ 는 상수 계량 텐서이다. (예: 민코프스키 계량 텐서)
$\lambda\colon \mathbb R\to\mathbb R^+$ 는 세계선의 1×1 필바인이며, 이는 세계선 미분 동형 사상 게이지 대칭의 게이지 장이다. 또한 이는 운동 방정식 $p^2 = 0$ 의 라그랑주 승수 역할을 한다.
$e_m{}^a$ 는 시공간의 필바인이다. 즉, $\eta_{ab}e_m{}^ae_n{}^b = g_{mn}$ 가 시공간의 계량 텐서이다.
$x^m$ 는 입자의 위치이며, $p_a$ 는 입자의 운동량이다. 이들은 라그랑지언에서 서로 독립된 장으로 취급한다.

이제, 변수

\lambda

,

x

,

p

각각에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

$\lambda$ : $p^2 = 0$ (여기서 $p^2 = \eta^{ab}p_a p_b$ 이다.)
$x$ : $(\partial/\partial t)e_m{}^a p_a = \dot x^m p_a \partial e_m{}^a / \partial x$
$p$ : $\dot x^m e_m{}^a(x) = \lambda \eta^{ab} p_b$

특히,

\lambda

의 값은 운동 방정식으로 결정되지 않는다. 이는

\lambda

가 게이지 자유도를 나타내기 때문이며, 게이지 고정을 통해 임의의 값(예를 들어

\lambda = 1

)으로 설정할 수 있다.

\lambda = 1

로 게이지 고정을 하고,

p

의 운동 방정식을 사용하여

p

를

x

에 대한 표현으로 나타내면 다음과 같다.

:

p_a = \eta_{ab} \dot x^m e_m{}^b

이를 원래의 라그랑지언에 대입하여

p

를 소거하면, 작용은 다음과 같이 간단해진다.

:

L = \int \mathrm dt \,\dot x^m e_m{}^a \eta_{ab} e_n{}^b \dot x^n = \int \mathrm dt g_{mn} \dot x^m \dot x^n

이는 질량 없는 입자의 측지선 방정식에 해당하는 작용이다.

2. 1. 2. 라그랑지언

우선, 무질량 비초대칭 입자는 좌표

x^m \in \mathbb R^D

를 사용하여 다음과 같이 기술할 수 있다. 이 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.

:

\eta^{ab}p_a p^b = 0

이에 따라, 세계선 위의 라그랑지언은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

L = \int \mathrm dt\,\dot x^m e_m{}^a(x)p_a - \frac12\lambda \eta^{ab}p_ap_b

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$t\in\mathbb R$ 는 세계선의 임의의 좌표이며, 윗점( $\dot{}$ )은 $\partial /\partial t$ 를 뜻한다.
$\eta_{ab}$ 는 상수 계량 텐서이다.
$\lambda\colon \mathbb R\to\mathbb R^+$ 는 세계선의 1×1 필바인이며, 이는 세계선 미분 동형 사상 게이지 대칭의 게이지 장이다. 또한, 이는 운동 방정식 $p^2 = 0$ 의 라그랑주 승수 역할을 한다.
$e_m{}^a$ 는 시공간의 필바인이다. 즉, $\eta_{ab}e_m{}^ae_n{}^b = g_{mn}$ 는 시공간의 계량 텐서이다.
$x^m$ 는 입자의 위치이며, $p_a$ 는 입자의 운동량이다. 이들은 서로 독립된 장으로 취급한다.

이제,

(\lambda,x,p)

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각 다음과 같다.

$\lambda$ 에 대한 방정식: $p^2 = 0$
$x$ 에 대한 방정식: $(\partial/\partial t)e_m{}^a p_a = \dot x^m p_a \partial e_m{}^a / \partial x$
$p$ 에 대한 방정식: $\dot x^m e_m{}^a(x) = \lambda \eta^{ab} p_b$

특히,

\lambda

의 값은 운동 방정식으로 결정되지 않는다. 이는 게이지 변환을 통해 임의의 값으로 고정할 수 있는 게이지 자유도를 의미하며, 예를 들어

\lambda = 1

로 게이지 고정을 할 수 있다. 이 게이지 고정을 적용하고,

p

의 운동 방정식을 사용하여

p

를

x

에 대한 표현으로 대체하면 다음과 같다.

:

p_a = \eta_{ab} \dot x^m e_m{}^b

이를 원래 라그랑지언에 대입하면 작용은 다음과 같이 간단해진다.

:

L = \int \mathrm dt \,\dot x^m e_m{}^a \eta_{ab} e_n{}^b \dot x^n = \int \mathrm dt g_{mn} \dot x^m \dot x^n

2. 1. 3. 게이지 고정

우선, 무질량 비초대칭 입자는 좌표

x^m \in \mathbb R^D

를 가지며, 그 운동 방정식은 다음과 같다.

:

\eta^{ab}p_a p^b = 0

이에 따라, 세계선 위의 라그랑지언은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

L = \int \mathrm dt\,\dot x^m e_m{}^a(x)p_a - \frac12\lambda \eta^{ab}p_ap_b

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$t\in\mathbb R$ : 세계선의 임의의 좌표이며, 윗점( $\dot{}$ )은 $\partial /\partial t$ 를 뜻한다.
$\eta_{ab}$ : 상수 계량 텐서이다.
$\lambda\colon \mathbb R\to\mathbb R^+$ : 세계선의 1×1 필바인이며, 세계선 미분 동형 사상 게이지 대칭의 게이지 장이다. 또한, 운동 방정식 $p^2 = 0$ 의 라그랑주 승수 역할을 한다.
$e_m{}^a$ : 시공간의 필바인이다. 즉, $\eta_{ab}e_m{}^ae_n{}^b = g_{mn}$ 는 시공간의 계량 텐서이다.
$x^m$ : 입자의 위치이다.
$p_a$ : 입자의 운동량이다. 위치 $x^m$ 와 운동량 $p_a$ 는 서로 독립된 장으로 취급한다.

이제,

(\lambda,x,p)

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각 다음과 같다.

$\lambda$ 에 대한 방정식: $p^2 = 0$
$x$ 에 대한 방정식: $(\partial/\partial t)e_m{}^a p_a = \dot x^m p_a \partial e_m{}^a / \partial x$
$p$ 에 대한 방정식: $\dot x^m e_m{}^a(x) = \lambda \eta^{ab} p_b$

특히,

\lambda

의 값은 운동 방정식으로 결정되지 않는다. 이는

\lambda

가 게이지 자유도를 나타내기 때문이며, 게이지 변환을 통해 임의의 값으로 고정할 수 있다. 예를 들어,

\lambda = 1

로 게이지 고정을 할 수 있다. 이 게이지 고정을 적용하고,

p

의 운동 방정식을 사용하여

p

를

x

에 대한 표현으로 나타내면 다음과 같다.

:

p_a = \eta_{ab} \dot x^m e_m{}^b

이 식을 원래 라그랑지언에 대입하면 작용은 다음과 같이 단순화된다.

:

L = \int \mathrm dt \,\dot x^m e_m{}^a \eta_{ab} e_n{}^b \dot x^n = \int \mathrm dt g_{mn} \dot x^m \dot x^n

이는 측지선 방정식에 해당하는 잘 알려진 작용이다.

2. 2. 초입자

'''초입자'''는 초공간이라고 불리는 특별한 공간 속에서 움직이는 입자를 가리킨다. 일반적인 공간 좌표(

x^m

) 외에 스피너라는 수학적 대상을 이용한 좌표(

\theta^\mu

)를 함께 사용하여 초입자의 위치를

x^M=(x^m, \theta^\mu)

와 같이 나타낸다.

초입자의 움직임은 두 개의 기본적인 운동 방정식으로 설명된다. 하나는 일반적인 상대론적 입자에서도 나타날 수 있는 방정식(

\eta^{ab}p_a p_b = 0

)이지만, 다른 하나(

p_a\gamma^a d = 0

)는 초입자만이 가지는 고유한 특징을 나타낸다. 여기서

p_a

는 일반적인 운동량에 해당하고,

d_\alpha

는 스피너 좌표에 대응하는 초운동량이라는 물리량이다. 이 둘을 합쳐

p_A = (p_a, d_\alpha)

를 초입자의 일반화 운동량이라고 부른다.

이러한 초입자의 동역학은 라그랑주 역학의 틀을 사용하여 보다 체계적으로 기술될 수 있다. 적절한 라그랑지언을 정의하고 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 앞서 언급한 운동 방정식들을 유도할 수 있으며, 운동량과 초운동량이 초공간 좌표와 어떻게 관련되는지 구체적으로 파악할 수 있다. 이 과정에서는 초필바인이나 게이지 고정과 같은 개념들이 중요한 역할을 한다.

2. 2. 1. 운동 방정식

'''초입자'''는 초공간 위를 움직이는 입자로 생각할 수 있다. 초공간의 좌표 x^M은 일반적인 공간 좌표 x^m과 스피너 좌표 θ^μ를 함께 사용하여 (x^m, θ^μ)와 같이 나타낸다.

초입자의 움직임은 다음 두 가지 운동 방정식으로 기술된다.

첫 번째 방정식: η^abp_ap_b = 0
두 번째 방정식: p_aγ^ad = 0

여기서 p_A = (p_a, d_α)는 초입자의 일반화 운동량이다. p_a는 일반적인 운동량에 해당하고, d_α는 초공간의 스피너 좌표 θ에 대응하는 운동량으로 '초운동량'이라고 불린다.

첫 번째 방정식(η^abp_ap_b = 0)은 특수 상대성 이론에서 질량이 0인 입자가 만족하는 에너지-운동량 관계식과 유사하며, 일반적인 상대론적 입자에서도 나타날 수 있다.

하지만 두 번째 방정식(p_aγ^ad = 0)은 초입자만이 가지는 고유한 특징을 나타내는 중요한 식이다. 이 식은 일반 운동량 p_a와 초운동량 d_α 사이의 관계를 규정하며, 초입자의 동역학을 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

이 운동 방정식들은 라그랑주 역학의 틀 안에서도 유도될 수 있다. 특정 라그랑지언을 정의하고 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 위의 두 운동 방정식을 얻을 수 있으며, 이를 통해 운동량 p_a와 초운동량 d_α가 초공간 좌표 (x^m, θ^μ)와 어떻게 관련되는지 구체적으로 파악할 수 있다.

계산의 편의를 위해 특정 게이지 조건(λ=1, λ'=0 게이지)을 선택하면 운동 방정식이 더 간단한 형태로 표현되기도 한다. 이 경우, 운동량은 p_a = ẋ^me_ma (여기서 e_ma는 필바인의 성분이고 ẋ^m은 x^m의 시간 미분)로 주어지고, 스피너 좌표의 시간 변화율(θ̇)은 0이 된다.

2. 2. 2. 라그랑지언

초입자의 운동을 설명하는 라그랑지언은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

L = \int \mathrm dt\,\left(\dot x^M e_M{}^A\,

\frac12\lambda \eta^{ab}p_ap_b
\mathrm i\lambda' (p_a\gamma^a) d = 0

\right)

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$t\in\mathbb R$ 는 세계선의 좌표이며, 시간에 대한 미분은 윗점( $\dot A = \partial A/\partial t$ )으로 표기한다.
$x^M=(x^m, \theta^\mu)$ 는 초공간 $\mathbb R^{D|D'}$ 에서 초입자의 좌표이다. $m$ 은 공간 벡터 지수, $\mu$ 는 스피너 지수이다.
$p_A = (p_a, d_\alpha)$ 는 각각 $x^m$ 과 $\theta$ 에 대한 일반화 운동량이다.
$\lambda$ (스칼라)와 $\lambda'$ (스피너)는 초입자의 운동 방정식인 $\eta^{ab}p_a p_b = 0$ 과 $p_a\gamma^a d = 0$ 에 대한 라그랑주 승수이다. 이들은 게이지 변환의 게이지 장 역할을 하기도 한다.
$e_M{}^A$ 는 시공간 초필바인의 성분으로, 다음과 같이 주어진다.

::

e_M{}^A(x,\theta) =\begin{pmatrix}e_m{}^a(x) & 0 \\

\mathrm i\gamma^a\theta & \delta^\alpha_\mu

\end{pmatrix}

이 라그랑지언에 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 원래의 운동 방정식을 얻을 수 있다. 라그랑주 승수

\lambda

와

\lambda'

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각 다음과 같다.

:

p^2 = 0

:

p_a\gamma^a d = 0

이는 초입자가 만족해야 하는 제약 조건과 동일하다. 또한, 일반화 운동량

p_A

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:

(\dot x^m e_m{}^a(x) - \mathrm i \dot\theta \gamma^a\theta) = \lambda \eta^{ab} p_b + \mathrm i \lambda' \gamma^a d

:

\dot\theta^\beta = \mathrm i p_a \lambda'_{\alpha} \gamma^{a\alpha\beta}

이 방정식들은 운동량

p_a

와 초운동량

d_\alpha

를 초공간 좌표

(x^m, \theta^\mu)

와 그 시간 미분으로부터 결정한다.

특정한 게이지인

\lambda = 1

,

\lambda' = 0

을 선택하면, 운동량과 스피너 좌표의 시간 변화는 다음과 같이 간단해진다.

:

p_a = \dot x^m e_{ma}

:

\dot\theta = 0

2. 2. 3. 초필바인

시공간 초필바인의 성분은 다음과 같이 정의된다.

:

e_M{}^A(x,\theta) =\begin{pmatrix}e_m{}^a(x) & 0 \\

\mathrm i\gamma^a\theta & \delta^\alpha_\mu

\end{pmatrix}

초입자의 운동을 기술하기 위해 다음과 같은 라그랑지언을 고려할 수 있다. 이 라그랑지언은 초입자의 운동 방정식을 제약 조건으로 포함한다.

:

L = \int \mathrm dt\,\left(\dot x^M e_M{}^A\,

\frac12\lambda \eta^{ab}p_ap_b
\mathrm i\lambda' (p_a\gamma^a) d

\right)

여기서 사용된 기호들의 의미는 다음과 같다.

$t\in\mathbb R$ : 세계선의 좌표. 시간에 대한 미분은 윗점( $\dot A$ )으로 표시한다.
$x\colon \mathbb R\to \mathbb R^{D|D'}$ : 초입자의 초공간 속 좌표.
$\lambda \colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $\lambda' \colon \mathbb R \to \mathbb R^{D'}$ : 두 운동 방정식에 대한 라그랑주 승수. $\lambda$ 는 스칼라이고, $\lambda'$ 은 스피너이다. 이들은 게이지 변환의 게이지 장 역할을 하며, 특정 게이지 ( $\lambda = 1$ , $\lambda' = 0$ )를 선택할 수 있다.
$e_M{}^A$ : 위에서 정의한 시공간 초필바인 성분.
$p_A = (p_a, d_\alpha)$ : 일반화 운동량. $p_a$ 는 운동량, $d_\alpha$ 는 초운동량에 해당한다.

이 라그랑지언에 대해 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 초입자의 운동을 결정하는 식들을 얻을 수 있다.

\lambda

와

\lambda'

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 원래의 운동 방정식과 같다.

:

p^2 = 0

:

p_a\gamma^a d = 0

일반화 운동량

p_A

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:

(\dot x^m e_m{}^a(x) - \mathrm i \dot\theta \gamma^a\theta) = \lambda \eta^{ab} p_b + \mathrm i \lambda' \gamma^a d

:

\dot\theta^\beta = \mathrm i p_a \lambda'_{\alpha} \gamma^{a\alpha\beta}

이 식들은 운동량

p_a

와 초운동량

d_\alpha

가 초공간 좌표

(x^m, \theta^\mu)

와 어떻게 관련되는지를 보여준다.

만약

\lambda = 1

,

\lambda' = 0

인 특정 게이지를 선택하면, 운동량과 좌표의 관계는 다음과 같이 간단해진다.

:

p_a = \dot x^m e_{ma}

:

\dot\theta = 0

2. 2. 4. 게이지 고정

초입자의 운동을 기술하는 라그랑지언에는 두 개의 운동 방정식 제약 조건을 반영하기 위한 라그랑주 승수

\lambda

(스칼라)와

\lambda'

(스피너)가 포함된다.

:

L = \int \mathrm dt\,\left(\dot x^M e_M{}^A\,

\frac12\lambda \eta^{ab}p_ap_b
\mathrm i\lambda' (p_a\gamma^a) d = 0

\right)

이 라그랑주 승수들은 게이지 변환에서 게이지 장과 유사한 역할을 수행한다.

\lambda

와

\lambda'

에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 계산하면, 초입자의 기본 운동 방정식인

p^2 = 0

과

p_a\gamma^a d = 0

을 얻을 수 있다.

또한, 일반화 운동량

p_A = (p_a, d_\alpha)

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:

(\dot x^m e_m{}^a(x) - \mathrm i \dot\theta \gamma^a\theta) = \lambda \eta^{ab} p_b + \mathrm i \lambda' \gamma^a d

:

\dot\theta^\beta = \mathrm i p_a \lambda'_{\alpha} \gamma^{a\alpha\beta}

이 식들은 운동량

p_a

와 초운동량

d_\alpha

가 초공간 좌표

(x^m, \theta^\mu)

및 그 시간에 대한 미분과 어떻게 관련되는지를 보여준다.

라그랑주 승수

\lambda

,

\lambda'

가 게이지 장처럼 작용하므로, 게이지 변환을 통해 이들의 값을 특정 값으로 고정할 수 있다. 이를 게이지 고정이라고 하며, 계산을 단순화하는 데 사용된다. 예를 들어,

\lambda = 1

,

\lambda' = 0

으로 게이지를 선택하는 것이 가능하다.

이 특정 게이지 고정을 적용하면, 운동량과 스피너 좌표에 대한 방정식은 다음과 같이 매우 간단해진다.

:

p_a = \dot x^m e_{ma}

:

\dot\theta = 0

이 결과는 선택된 게이지에서 운동량

p_a

가 일반적인 상대성 이론에서처럼 속도

\dot x^m

와 필바인

e_{ma}

의 곱으로 주어지며, 스피너 좌표

\theta

는 시간에 따라 변하지 않는 상수임을 의미한다. 이러한 게이지 고정은 초입자 이론의 분석과 계산을 더 쉽게 만들어주는 중요한 기법이다.

참조

_[1] 논문 Quantum superspace 1981
_[2] 논문 Classical superstring mechanics 1985-01-13

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