초타원

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 수학적 특성
- 2.1. 매개변수 방정식
- 2.2. 넓이와 둘레
3. 일반화
4. 역사
5. 한국에서의 활용
6. 같이 보기
참조

1. 개요

초타원은 수학에서 사용되는 폐곡선으로, 방정식 |x/a|^n + |y/b|^n = 1을 만족하는 점들의 집합으로 정의된다. 여기서 a와 b는 각 축의 반지름, n은 모양을 결정하는 양의 실수이다. n의 값에 따라 초타원의 형태가 달라지며, 타원, 마름모, 별 모양 등 다양한 형태를 가질 수 있다. 초타원은 고차원으로 확장되어 초타원체와 같은 도형을 만들 수 있으며, 컴퓨터 그래픽스, 건축 디자인 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 수학적 특성

초타원은 다음 방정식을 만족하는 점들의 집합으로 정의되는 폐곡선이다.

: $\left| \frac{x}{a} \right|^n + \left| \frac{y}{b} \right|^n = 1,$

여기서 $a$ 와 $b$ 는 각 축의 반지름이고, $n$ 은 모양을 결정하는 양의 실수이다. 이 곡선은 직사각형 $-a \le x \le +a$ 와 $-b \le y \le +b$ 안에 포함된다.

$n$ 의 값에 따라 초타원의 형태는 다음과 같이 달라진다.

$0 < n < 1$	초타원은 오목한 면을 가진 네 팔 모양의 별처럼 보인다. 특히 $n=1/2$ 인 경우, 네 개의 호 각각은 포물선의 일부이다. 아스트로이드는 $a=b$ , $n=2/3$ 인 특수한 경우이다.
$n = 1$	곡선은 꼭짓점이 ( $\pm a,0$ )과 ( $0,\pm b$ )인 마름모이다.
$1< n < 2$	곡선은 같은 꼭짓점을 가지지만 볼록한 면을 가진 마름모처럼 보인다. 곡률은 극한점에 접근할수록 극한 없이 증가한다.
$n=2$	곡선은 일반적인 타원이다 (특히 $a=b$ 인 경우 원이다).
$n>2$	곡선은 표면적으로 둥근 모서리가 있는 직사각형처럼 보인다. 곡률은 점 ( $\pm a,0$ )과 ( $0,\pm b$ )에서 0이다.

$n<2$ 이면 '''하이포타원''', $n>2$ 이면 '''하이퍼타원'''이라고도 불린다. $n\geq1$ 이고 $a=b$ 일 때, 초타원은 $\R^2$ 에서 $n$ -노름의 구의 경계이다. 초타원의 극점은 ( $\pm a,0$ )과 ( $0,\pm b$ )이고, 네 개의 "모서리"는 ( $\pm s_{a}$ , $\pm s_{b}$ )이며, 여기서 $s = 2^{-1/n}$ 이다 (때로는 "초성"이라고 불린다^[4]).

양의 유리수 $p/q$ (기약 분수)일 때, 초타원의 각 사분면은 차수가 $p/q$ 인 대수 곡선이다.^[5] 특히, $a=b=1$ 이고 ''n''이 짝수 정수일 때는 차수가 ''n''인 페르마 곡선이다.

초타원은 다음과 같은 매개 변수 방정식으로 표현될 수 있다.

: $\begin{align}x\left(t\right) &= {\left|\cos t\right|}^{\frac{2}{n}} \cdot a \sgn(\cos t) \\y\left(t\right) &= {\left|\sin t\right|}^{\frac{2}{n}} \cdot b \sgn(\sin t)\end{align}$

여기서 $\sgn(w)$ 는 부호 함수이고, $t$ 는 $0\le t < 2\pi$ 범위의 값을 가진다.

2. 1. 매개변수 방정식

2. 2. 넓이와 둘레

초타원 내부의 넓이는 감마 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathrm{Area} = 4 a b \frac{\left(\Gamma \left(1+\tfrac{1}{n}\right)\right)^2}{\Gamma \left(1+\tfrac{2}{n}\right)} ,

또는 베타 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathrm{Area} = \frac{4 a b}{n} \Beta\!\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}+1\right) .

^[6]

초타원의 둘레는 타원과 마찬가지로 닫힌 형식 해를 기본 함수만 사용하여 나타낼 수 없다.^[7] 초타원의 둘레는 무한 합을 사용하여 표현하거나,^[7] 수치 적분을 통해 근사값을 구할 수 있다.

기호 회귀를 통해 둘레의 닫힌 형식 근사를 구할 수도 있다. 예를 들어 2차원 평면의 원점을 중심으로 하는 초타원에서, 첫 번째 사분면(

x>0

,

y>0

)의 호가

(1, 0)

에서

(0, h)

까지 늘어난 경우(

h \geq 1

), 해당 사분면 내 초타원의 호의 길이는

h

와

n

의 함수로 근사할 수 있다.^[8] 이 근사는 모든

n

값에 대해 ±0.2% 이내의 정확도를 가지며, 초타원의 총 둘레를 추정하는 데 사용될 수 있다.

3. 일반화

이러한 도형의 일반화에는 여러 가지 방법이 있을 수 있다. 고차원에서의 초타원의 일반화는 초타원의 기본적인 수학적 구조를 유지하면서 이를 다양한 상황과 응용 분야에 적용한다.

=== 고차원 확장 ===

초타원은 3차원 이상의 고차원으로 확장될 수 있다.^[10] 초타원의 고차원 일반화는 초타원의 기본적인 수학적 구조를 유지하면서 다양한 맥락과 응용 분야에 적용될 수 있도록 한다.^[10]

초타원체는 초타원을 3차원으로 확장하여 타원체와 둥근 모서리를 가진 직육면체 사이에서 변화하는 모양을 만든다. 초타원체는 다음 방정식을 만족하는 모든 점 $(x, y, z)$의 집합으로 정의된다.^[6]

:$|\frac{x}{a}|^n + |\frac{y}{b}|^n + |\frac{z}{c}|^n = 1,$

여기서 $a, b$ 및 $c$는 초타원체의 반축이라고 하며, $n$은 모양을 정의하는 양의 매개변수이다.^[6]

초타원체는 타원체의 $d$차원 아날로그(그리고 확장된 초타원체)이다. 다음 방정식을 만족하는 모든 점 $(x_1, x_2, \ldots, x_d)$의 집합으로 정의된다.^[11]

:$|\frac{x_1}{a_1}|^n + |\frac{x_2}{a_2}|^n + \ldots + |\frac{x_d}{a_d}|^n = 1,$

여기서 $a_1, a_2, \ldots, a_d$는 초타원체의 반축이라고 하며, $n$은 모양을 정의하는 양의 매개변수이다.^[11]

=== 지수 변화 ===

방정식의 각 항에 서로 다른 지수를 사용하여 형태 형성에 더 많은 유연성을 부여할 수 있다.

2차원인 경우 방정식은 $\left|\frac{x}{a}\right|^m\!\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1;m,n>0,$이며, 여기서 $m$은 $n$과 같거나 다르다. $m=n$이면, 라메의 초타원이 된다. $m\neq n$이면, 곡선은 더 유연한 동작을 가지며, 일부 실험 정보를 설명하는 데 더 적합할 수 있다.

3차원인 경우, 세 개의 서로 다른 양의 거듭제곱 $m$, $n$ 및 $p$를 방정식 $\left|\frac{x}{a}\right|^m\!\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! + \left|\frac{z}{c}\right|^p\! = 1$에 사용할 수 있다. $m=n=p$이면, 초타원체가 얻어진다. 둘 이상의 지수가 서로 다르면, 초타원체보다 실제 구조 데이터를 표현하는 데 더 유연성을 가질 수 있는 입체가 얻어진다. $m=n=2.2$, $p=2.4$이고 반지름이 $a=b=1$, $c=0.5$인 3차원 초타원체는 중국 국가 대극원의 구조를 나타낸다.

일반적인 $N$차원인 경우, 방정식은 $\left|\frac{x_1}{a_1}\right|^{N_1}\!\! + \left|\frac{x_2}{a_2}\right|^{N_2}\! +\ldots+ \left|\frac{x_N}{a_N}\right|^{N_N}\! = 1$이며, 여기서 일반적으로, $n_1,n_2,\ldots, n_N$은 서로 다를 수 있다. $n_1=n_2=\ldots= n_N=n$일 경우에만 초타원체가 된다.

=== 관련 도형 ===

수퍼쿼드릭스는 초타원체를 특별한 경우로 포함하는 도형의 한 종류이다. 컴퓨터 그래픽스와 기하학적 모델링에서 복잡하고 매끄러운 모양을, 쉽게 조절 가능한 매개변수를 사용하여 생성하는 데 사용된다.^[13] 초구 역시 기하학적 모양을 더 높은 차원으로 확장한다는 개념을 공유한다. 이러한 관련 도형들은 수퍼타원체의 기본 원리를 보여주는 다재다능함과 광범위한 적용 가능성을 보여준다.

3. 1. 고차원 확장

초타원은 3차원 이상의 고차원으로 확장될 수 있다.^[10] 초타원의 고차원 일반화는 초타원의 기본적인 수학적 구조를 유지하면서 다양한 맥락과 응용 분야에 적용될 수 있도록 한다.^[10]

초타원체는 초타원을 3차원으로 확장하여 타원체와 둥근 모서리를 가진 직육면체 사이에서 변화하는 모양을 만든다. 초타원체는 다음 방정식을 만족하는 모든 점 $(x, y, z)$의 집합으로 정의된다.^[6]

:$|\frac{x}{a}|^n + |\frac{y}{b}|^n + |\frac{z}{c}|^n = 1,$

여기서 $a, b$ 및 $c$는 초타원체의 반축이라고 하며, $n$은 모양을 정의하는 양의 매개변수이다.^[6]

초타원체는 타원체의 $d$차원 아날로그(그리고 확장된 초타원체)이다. 다음 방정식을 만족하는 모든 점 $(x_1, x_2, \ldots, x_d)$의 집합으로 정의된다.^[11]

:$|\frac{x_1}{a_1}|^n + |\frac{x_2}{a_2}|^n + \ldots + |\frac{x_d}{a_d}|^n = 1,$

여기서 $a_1, a_2, \ldots, a_d$는 초타원체의 반축이라고 하며, $n$은 모양을 정의하는 양의 매개변수이다.^[11]

3. 2. 지수 변화

방정식의 각 항에 서로 다른 지수를 사용하여 형태 형성에 더 많은 유연성을 부여할 수 있다.

2차원인 경우 방정식은 $\left|\frac{x}{a}\right|^m\!\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1;m,n>0,$이며, 여기서 $m$은 $n$과 같거나 다르다. $m=n$이면, 라메의 초타원이 된다. $m\neq n$이면, 곡선은 더 유연한 동작을 가지며, 일부 실험 정보를 설명하는 데 더 적합할 수 있다.

3차원인 경우, 세 개의 서로 다른 양의 거듭제곱 $m$, $n$ 및 $p$를 방정식 $\left|\frac{x}{a}\right|^m\!\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! + \left|\frac{z}{c}\right|^p\! = 1$에 사용할 수 있다. $m=n=p$이면, 초타원체가 얻어진다. 둘 이상의 지수가 서로 다르면, 초타원체보다 실제 구조 데이터를 표현하는 데 더 유연성을 가질 수 있는 입체가 얻어진다. $m=n=2.2$, $p=2.4$이고 반지름이 $a=b=1$, $c=0.5$인 3차원 초타원체는 중국 국가 대극원의 구조를 나타낸다.

일반적인 $N$차원인 경우, 방정식은 $\left|\frac{x_1}{a_1}\right|^{N_1}\!\! + \left|\frac{x_2}{a_2}\right|^{N_2}\! +\ldots+ \left|\frac{x_N}{a_N}\right|^{N_N}\! = 1$이며, 여기서 일반적으로, $n_1,n_2,\ldots, n_N$은 서로 다를 수 있다. $n_1=n_2=\ldots= n_N=n$일 경우에만 초타원체가 된다.

3. 3. 관련 도형

수퍼쿼드릭스는 초타원체를 특별한 경우로 포함하는 도형의 한 종류이다. 컴퓨터 그래픽스와 기하학적 모델링에서 복잡하고 매끄러운 모양을, 쉽게 조절 가능한 매개변수를 사용하여 생성하는 데 사용된다.^[13] 초구 역시 기하학적 모양을 더 높은 차원으로 확장한다는 개념을 공유한다. 이러한 관련 도형들은 수퍼타원체의 기본 원리를 보여주는 다재다능함과 광범위한 적용 가능성을 보여준다.

4. 역사

가브리엘 라메는 타원 방정식을 일반화하여 초타원 방정식을 연구했다.^[15]

헤르만 자프는 1952년에 출판된 서체 멜리오르의 'o'와 같은 글자에 초타원을 사용했다. 30년 후, 도널드 크누스는 컴퓨터 모던 서체 계열에 진짜 타원과 초타원(둘 다 3차 스플라인으로 근사됨) 중에서 선택할 수 있는 기능을 구축했다.

덴마크의 시인이자 과학자인 피트 헤인은 초타원을 스톡홀름 세르겔 광장의 로터리 디자인에 적용하면서 널리 알려지게 되었다. 1959년 스웨덴 스톡홀름의 도시 계획자들은 도시 광장 세르겔 광장의 로터리 디자인 공모전을 발표했고, 피트 헤인의 제안은 n = 2.5, a/b = 6/5인 초타원을 기반으로 한 디자인이었다.^[15] 세르겔 광장은 1967년에 완공되었다. 피트 헤인은 침대, 접시, 테이블 등 다른 인공물에도 초타원을 사용했으며,^[16] 수퍼에그를 만들어 신기한 장난감으로 판매했다.

1968년 파리에서 베트남 전쟁 협상 테이블 모양으로 초타원이 제안되었다.^[15] 1968년 아스테카 올림픽 스타디움의 모양으로 초타원이 사용되었다. 뉴욕 시의 세계 무역 센터 2층은 큰 초타원 모양의 돌출된 발코니로 구성되었다.

왈도 R. 토블러는 1973년에 자오선이 초타원의 호인 토블러 쌍곡선 투영법을 개발했다.^[17]

뉴스 회사 더 로컬의 로고는 세르겔 광장의 비율과 일치하는 기울어진 초타원으로 구성된다. 세 개의 연결된 초타원이 피츠버그 스틸러스의 로고에 사용된다.

iOS 앱 아이콘 디자인에 초타원 곡선이 사용되었다.^[18]

5. 한국에서의 활용

6. 같이 보기

참조

_[1] 논문 Capturing spiral radial growth of conifers using the superellipse to model tree-ring geometric shape 2015-10-15
_[2] 논문 Superquadrics and Angle-Preserving Transformations https://ieeexplore.i[...] 1981
_[3] 서적 2022 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) 2022
_[4] 서적 The METAFONTbook
_[5] 웹사이트 Astroid http://xahlee.info/S[...] 2023-03-14
_[6] 웹사이트 Ellipsoids in Higher Dimensions https://analyticphys[...] 2024-06-19
_[7] 웹사이트 Superellipse (Lame curve) https://fractional-c[...] 2023-11-09
_[8] 웹사이트 AeroSandbox https://github.com/p[...] GitHub 2023-11-09
_[9] 서적 Differential Calculus https://archive.org/[...] MacMillan and Co.
_[10] 서적 Intelligent Robots and Computer Vision VI SPIE 1988-02-19
_[11] 논문 Generalization of the super ellipsoid concept and its application in mechanics https://www.scienced[...] 2016-11-01
_[12] 논문 Discrete element simulation of super-ellipse systems https://doi.org/10.1[...] 2021-04-17
_[13] 웹사이트 SuperQuadrics - Applications https://www.cs.mcgil[...] 2024-06-18
_[14] 논문 Fundamentals of Interactive Computer Graphics http://dx.doi.org/10[...] 1984
_[15] 서적 Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American Vintage Press
_[16] 뉴스 The Superellipse https://www.bbc.co.u[...] BBC 2003-06-27
_[17] 간행물 The hyperelliptical and other new pseudocylindrical equal area map projections
_[18] 웹사이트 The iOS Design Guidelines http://iosdesign.ivo[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com