최대 원리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 조화 함수에 대한 최대 원리
- 2.2. 호프 최대 원리
3. 고전적인 예
- 3.1. 약최대 원리 (Weak Maximum Principle)
- 3.2. 강최대 원리 (Strong Maximum Principle)
4. 직관적 설명
- 4.1. 강최대 원리가 적용되지 않는 경우
5. 선형 타원형 PDE에 대한 고전적 최대 원리
- 5.1. 약최대 원리
- 5.2. 강최대 원리
6. 연구 논문
7. 교과서
참조

1. 개요

최대 원리는 연결된 열린 집합에서 정의된 조화 함수, 열등 조화 함수, 또는 특정 미분 부등식을 만족하는 함수가 특정 조건을 만족할 경우 최댓값을 가질 수 없다는 원리이다. 조화 함수는 최대 원리가 적용되는 고전적인 예시이며, 약최대 원리와 강최대 원리로 구분된다. 강최대 원리는 호프 보조 정리를 기반으로 하며, 편미분 방정식의 해의 성질을 분석하는 데 중요한 도구로 사용된다. 이 원리는 칼라비, 정, 야우, 기다스, 니, 니렌버그, 해밀턴, 호프, 오모리, 크라이켄베르크 등의 연구를 통해 발전되었으며, 카파렐리, 에반스, 프리드먼, 길바르그, 트루딩거, 라디젠스카야, 리버만, 모레이, 프로터, 로카펠러, 스몰러 등의 교과서에서 다루어진다.

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최대 원리
개요
분야	수학, 복소해석학, 편미분 방정식
관련 개념	최대 모듈러스 원리, 평균값 속성, 조화 함수
편미분 방정식에서의 최대 원리
유형	강한 최대 원리 약한 최대 원리
적용 분야	열 방정식 라플라스 방정식 포아송 방정식
복소해석학에서의 최대 모듈러스 원리
설명	홀로모픽 함수의 절대값은 영역 내부에서 최대값을 가질 수 없다.
관련 정리	슈바르츠 보조정리

2. 정의

연결 열린집합 $D\subset\mathbb R^n$ 위의 조화 함수 $f\colon D\to\mathbb R$ 가 극대점을 갖는 경우, 즉 다음 성질을 만족시키는 점 $x_0\in D$ 및 근방 $N\ni x_0$ 이 존재하여

: $\sup_Nf\le f(x_0)$

를 만족하면, $f$ 는 상수 함수이다.

2. 1. 조화 함수에 대한 최대 원리

조화 함수는 강최대 원리가 적용되는 고전적인 예이다. 정식으로 말하면, ''f''가 조화 함수이면, 그 정의역 내부에서 ''f''가 극대값을 가지지 않는다. 즉, ''f''는 상수 함수이거나, 또는 그 정의역 내부의 임의의 점

x_0\,

에 대해, 그 점에서의 ''f''의 값보다 더 큰 값을 ''f''가 가지는, 그 점에 임의로 가까운 점이 존재한다^[4]。

''f''를 유클리드 공간 '''R'''^''n'' 내의 어떤 연결열린부분 집합 ''D''상에서 정의되는 조화 함수라고 하자.

x_0\,

가, 그 어떤 근방에 포함되는 모든 ''x''에 대해

:

f(x_0)\ge f(x) \,

가 성립하는 ''D'' 내의 점이라면, 함수 ''f''는 ''D''상에서 상수이다.

"최댓값"을 "최솟값"으로, "더 큰"을 "더 작은"으로 바꾸면, 조화 함수에 대한 "최소 원리"(minimum principle)를 마찬가지로 얻을 수 있다.

더 일반적인 열등 조화 함수에 대해서도, 최댓값 원리가 성립한다. 한편, 우등 조화 함수는, 최소 원리를 만족한다^[5]。

2. 2. 호프 최대 원리

연결 열린집합

D\subset\mathbb R^n

위의

C^2

함수

f\colon D\to\mathbb R

가 다음과 같은 꼴의 미분 부등식을 만족시킨다고 하자.

:

A^{ij}(x)\nabla_i\nabla_jf(x)+b^i(x)\nabla_if(x)\ge0

여기서

A

는 국소적으로 균등 양의 정부호인 대칭 행렬이며,

A

와

b

의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약

u

가

x\in D

에서 최댓값을 갖는다면,

u

는 상수 함수이다. 이를 '''호프 최대 원리'''(Hopf maximum principle^영어)라고 한다.

3. 고전적인 예

조화 함수는 강최대 원리가 적용되는 대표적인 예이다.^[4] 유클리드 공간 '''R'''^''n'' 내의 어떤 연결열린부분 집합 ''D''에서 정의된 조화 함수 ''f''가 근방에 포함되는 모든 ''x''에 대해 $f(x_0)\ge f(x) \,$ 를 만족하는 ''D'' 내의 점 $x_0\,$ 를 가지면, ''f''는 ''D''에서 상수 함수이다.

"최댓값"을 "최솟값"으로, "더 큰"을 "더 작은"으로 바꾸면, 조화 함수에 대한 "최소 원리"(minimum principle)를 얻을 수 있다.

열등 조화 함수는 최댓값 원리를 만족시키고, 우등 조화 함수는 최소 원리를 만족시킨다.^[5]

3. 1. 약최대 원리 (Weak Maximum Principle)

연결 열린집합

D\subset\mathbb R^n

위의 조화 함수

f\colon D\to\mathbb R

가 극대점을 갖는다고 하자. 즉, 다음 성질을 만족시키는 점

x_0\in D

및 근방

N\ni x_0

이 존재한다고 하자.

:

\sup_Nf\le f(x_0)

그렇다면

f

는 상수 함수이다.

조화 함수의 약최대 원리는 단순 계산으로 증명할 수 있다. 증명의 핵심은 조화 함수의 정의로부터, ''f''의 라플라시안이 0이라는 사실이다. 만약

x_0\,

가 ''f''(''x'')의 비퇴화적인 임계점이라면, 안장점이 존재한다. 실제로, 그렇지 않다면 ''f''의 2계 미분 합이 0이 되지 않기 때문이다. 이것은 증명으로서 완전하지 않고,

x_0\,

가 퇴화점인 경우도 남아있지만, 본질적인 증명의 아이디어이다.

3. 2. 강최대 원리 (Strong Maximum Principle)

조화 함수는 강최대 원리가 적용되는 고전적인 예이다. 정식으로 말하면, ''f''가 조화 함수이면, 그 정의역 내부에서 ''f''가 극대값을 가지지 않는다. 즉, ''f''는 상수 함수이거나, 또는 그 정의역 내부의 임의의 점

x_0\,

에 대해, 그 점에서의 ''f''의 값보다 더 큰 값을 ''f''가 가지는, 그 점에 임의로 가까운 점이 존재한다^[4]。

''f''를 유클리드 공간 '''R'''^''n'' 내의 어떤 연결열린부분 집합 ''D''상에서 정의되는 조화 함수라고 하자.

x_0\,

가, 그 어떤 근방에 포함되는 모든 ''x''에 대해

:

f(x_0)\ge f(x) \,

가 성립하는 ''D'' 내의 점이라면, 함수 ''f''는 ''D''상에서 상수이다.

"강 최대 원리"는 호프 보조 정리에 의하며, 이는 또한 더욱 복잡하다.

4. 직관적 설명

최대 원리의 핵심은 미분 방정식의 "타원성"(고윳값의 양수성)에 따라 해의 방향별 2차 도함수가 균형을 이룬다는 것이다. 가상 최대 지점에서 모든 방향별 2차 도함수는 0 이하이며, 이 "균형"은 모든 방향별 2차 도함수가 0이 되도록 요구한다.^[1]

좀 더 자세히 설명하면, 스펙트럼 정리에 의해 행렬 의 모든 고윳값은 실수이고, 고유 벡터로 구성된 정규 직교 기저가 존재한다. 고윳값을 , 해당 고유 벡터를 (는 1부터 까지)라고 하면, 점 에서의 미분 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1]

: $\sum_{i=1}^n \lambda_i \left. \frac{d^2}{dt^2}\right|_{t=0}\big(u(x+tv_i)\big)=0.$

여기서 각 고윳값이 양수이면, 위 방정식은 해의 방향별 2차 도함수의 균형을 나타낸다. 즉, 어떤 방향의 2차 도함수가 음수이면 다른 방향의 2차 도함수는 양수여야 한다. 만약 가 최대화되는 지점이 있다면, 그 지점에서 모든 방향의 2차 도함수는 0 이하가 되고, 결국 모든 방향의 2차 도함수가 0이 된다.^[1]

이러한 추론은 아래와 같은 더 일반적인 편미분 방정식에도 적용된다. 추가된 항은 가상의 최대 지점에서 0이 되기 때문이다.

: $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i \, \partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}=0,$

또한, 아래와 같은 조건에서도 적용 가능하다.

: $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i \, \partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0,$

4. 1. 강최대 원리가 적용되지 않는 경우

Hopf maximum principle^영어에 따르면, 특정 미분 부등식을 만족하는 함수가 최댓값을 가지면 상수 함수가 된다. 그러나 이러한 추론은 모든 경우에 적용되는 것은 아니다.

다음과 같은 편미분 방정식을 고려해 보자.

:

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\leq 0,

이 경우, 가상의 함수

u

의 최댓값 지점에서 평가된 "균형" 조건은 음수가 아닌 양의 가중 평균이 음수가 아니라는 것을 의미한다. 이는 자명하게 참이므로, 이로부터 어떤 결론도 도출할 수 없다.

예를 들어, 다음 식을 보자.

:

\frac{\partial^2}{\partial x^2}\big({-x}^2-y^2\big)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\big({-x}^2-y^2\big)\leq 0,

함수

-x^2-y^2

는 원점을 포함하는 모든 열린 영역에서 최댓값을 갖지만, 상수 함수는 아니다. 따라서 이 경우에는 강최대 원리가 적용되지 않는다.

5. 선형 타원형 PDE에 대한 고전적 최대 원리

연결 열린집합 $D\subset\mathbb R^n$ 위의 $C^2$ 함수 $f\colon D\to\mathbb R$ 가 다음과 같은 꼴의 미분 부등식을 만족시킨다고 하자.

: $A^{ij}(x)\nabla_i\nabla_jf(x)+b^i(x)\nabla_if(x)\ge0$

여기서 $A$ 는 국소적으로 균등 양의 정부호인 대칭 행렬이며, $A$ 와 $b$ 의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약 $u$ 가 $x\in D$ 에서 최댓값을 갖는다면, $u$ 는 상수 함수이다. 이를 '''호프 최대 원리'''(Hopf maximum principle^영어)라고 한다.

5. 1. 약최대 원리

연결 열린집합

D\subset\mathbb R^n

위의

C^2

함수

f\colon D\to\mathbb R

가 미분 부등식

A^{ij}(x)\nabla_i\nabla_jf(x)+b^i(x)\nabla_if(x)\ge0

을 만족시킨다고 하자. 여기서

A

는 국소적으로 균등 양의 정부호인 대칭 행렬이며,

A

와

b

의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약

u

가

x\in D

에서 최댓값을 갖는다면,

u

는 상수 함수이다. 이를 '''호프 최대 원리'''(Hopf maximum principle^영어)라고 한다.

유클리드 공간의 열린 부분 집합 위의 매끄러운 함수

u:M\to\mathbb{R}

가 점 에서 최댓값을 가지면, 다음이 자동 성립한다.

$(du)(p)=0$
$(\nabla^2 u)(p)\leq 0,$ (행렬 부등식)

만약

u

가 편미분 방정식의 해라면,

u

의 일계 및 이계 도함수에 대한 위 조건들이 이 대수적 관계와 모순을 유도할 수 있다. 이것이 최대 원리의 본질이다.

예를 들어,

u

가 미분 방정식

\Delta u=|du|^2+2,

의 해라면, 도메인의 어떤 점에서도

\Delta u\leq 0

이고

du=0

일 수 없다. 따라서

u

가 최댓값을 가질 수 없다.

M

이 경계를 가지며

M

과 그 경계가 콤팩트하고,

u

가 경계까지 연속적으로 확장될 수 있다고 가정하면, 조화 함수

u

의 최댓값은

\partial M

에서 얻어진다. 이것이 조화 함수의 '''약최대 원리'''이다.

5. 2. 강최대 원리

연결 열린집합

D\subset\mathbb R^n

위의

C^2

함수

f\colon D\to\mathbb R

가 다음과 같은 꼴의 미분 부등식을 만족시킨다고 하자.

:

A^{ij}(x)\nabla_i\nabla_jf(x)+b^i(x)\nabla_if(x)\ge0

여기서

A

는 국소적으로 균등 양의 정부호인 대칭 행렬이며,

A

와

b

의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약

u

가

x\in D

에서 최댓값을 갖는다면,

u

는 상수 함수이다. 이를 '''호프 최대 원리'''(Hopf maximum principle^영어)라고 한다.^[1]

이는 더 일반적인 편미분 방정식에도 적용 가능하다. 예를 들어, 다음 조건에서도 동일하게 적용된다.

:

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i \, \partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0,

이 조건에서 가상의 최대 지점에서 엄격한 부등식(

\geq

대신

>

)이 있으면 모순이 발생하기 때문이다.^[1]

최대 원리의 핵심은 각 고유값이 양수인 경우(이는 미분 방정식의 "타원성"과 관련됨), 방향별 2차 도함수의 균형을 이룬다는 것이다. 특히, 방향별 2차 도함수 중 하나가 음수이면 다른 하나는 양수여야 한다.

u

가 최대화되는 지점에서는 모든 방향별 2차 도함수가 0 이하이며, "균형"은 모든 방향별 2차 도함수가 0이 되도록 한다.^[1]

이러한 추론은 강한 최대 원리의 무한소 공식으로 표현될 수 있으며,

a

의 연속성 등의 추가적인 가정 하에,

u

가

M

의 한 지점에서 최대화되면

u

는 상수여야 함을 의미한다.^[1]

5. 2. 1. 증명 개요

연결 열린집합

D\subset\mathbb R^n

위의

C^2

함수

f\colon D\to\mathbb R

가 미분 부등식

A^{ij}(x)\nabla_i\nabla_jf(x)+b^i(x)\nabla_if(x)\ge0

을 만족시킨다고 가정한다. 여기서

A

는 국소적으로 균등 양의 정부호인 대칭 행렬이며,

A

와

b

의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약

u

가

x\in D

에서 최댓값을 갖는다면,

u

는 상수 함수이다.

이러한 호프 최대 원리의 증명 개요는 다음과 같다.

1. 보조 함수 도입: 약최대 원리를 적용하기 위해, 주어진 미분 부등식을 만족하고 특정 경계 조건을 충족하는 적절한 보조 함수

h

를 도입한다.

2. 콤팩트 집합 설정: 최대 원리를 적용할 콤팩트 집합

\Omega

를 설정한다. 이 집합은 공집합이 아닌 내부를 가지며, 경계에서 최댓값 조건을 만족해야 한다.

3. 약최대 원리 적용: 함수

u+h-C

에 약최대 원리를 적용한다. (

C

는

u

의 최댓값) 약최대 원리에 의해

u+h-C \le 0

on

\Omega

이 성립한다.

4. 모순 유도:

h

를 적절히 선택하여

-\frac{u(x)-u(x_0)}

\geq \frac{h(x)-h(x_0)}

식의 우변이 양수가 되도록 만든다. 이는

x_0

가

u

의 최대점이라는 사실에 모순되므로,

u

는 상수 함수여야 한다.

핵심은 콤팩트 부분 집합(구형 환)을 설정하고, 보조 함수

h

를 도입하여 약최대 원리를 적용하는 것이다.

5. 2. 2. 증명

연결 열린집합

D\subset\mathbb R^n

위의

C^2

함수

f\colon D\to\mathbb R

가 특정 미분 부등식을 만족하고,

x\in D

에서 최댓값을 가지면,

u

는 상수 함수라는 '''호프 최대 원리'''(Hopf maximum principle^영어)의 증명은 다음과 같다.

유클리드 공간의 열린 부분 집합

M

에서 정의된 두 번 미분 가능한 함수

u:M\to\mathbb{R}

가 최댓값

C

를 가지며, 다음 부등식을 만족한다고 가정한다.

:

a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0.

이때, 다음 조건을 만족하는 함수와 집합이 존재한다고 가정한다.

공집합이 아닌 내부를 가진 $M$ 의 콤팩트 부분 집합 $\Omega$ 가 존재하여, $\Omega$ 의 내부에 있는 모든 $x$ 에 대해 $u(x) < C$ 이고, $\Omega$ 의 경계에 $x_0$ 가 존재하여 $u(x_0) = C$ 이다.
$\Omega$ 의 내부에 대해 두 번 미분 가능하며, 다음 부등식을 만족하는 연속 함수 $h:\Omega\to\mathbb{R}$ 가 존재한다.

::

a_{ij}\frac{\partial^2h}{\partial x^i\,\partial x^j}+b_i\frac{\partial h}{\partial x^i}\geq 0.

:

\Omega

의 경계에서

u+h \leq C

이고,

h(x_0) = 0

이다.

그러면

L(u+h-C) \geq 0

on

\Omega

이며,

\Omega

의 경계에서

u+h-C \leq 0

이다. 약한 최대 원리에 따르면,

u+h-C \leq 0

on

\Omega

이다. 이는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

-\frac{u(x)-u(x_0)}

\geq \frac{h(x)-h(x_0)}

이는

\Omega

의 모든

x

에 대해 성립한다. 만약 우변이 명백히 양의 값을 갖도록

h

를 선택할 수 있다면, 이는

x_0

가

M

에서

u

의 최대점이라는 사실에 모순된다.

이러한 모순을 유도하기 위해 구체적인 구형 환

\Omega

와 보조 함수

h

를 정의한다.

1. 구형 환 $\Omega$ 정의: 중심

x_c

는 닫힌 집합

u^{-1}(C)

에 닫힌 집합

\partial M

보다 더 가깝게 선택하고, 외부 반지름

R

은 이 중심에서

u^{-1}(C)

까지의 거리로 선택한다.

x_0

을 이 거리를 실현하는

u^{-1}(C)

의 한 점이라고 한다. 내부 반지름

\rho

는 임의로 설정한다.

2. 보조 함수 $h$ 정의::

h(x)=\varepsilon\Big(e^{-\alpha|x-x_{\text{c}}|^2}-e^{-\alpha R^2}\Big).

\Omega

의 경계는 두 개의 구로 구성된다.

외부 구: $h=0$ 이고, $R$ 의 선택으로 인해 $u \leq C$ 이므로, $u+h-C \leq 0$ 이 성립한다. 또한, $h(x_0)=0$ 도 만족한다.
내부 구: $u < C$ 이며, $u$ 의 연속성과 내부 구의 콤팩트성으로 인해 $\delta > 0$ 를 선택하여 $u+\delta < C$ 를 만들 수 있다. $h$ 는 이 내부 구에서 상수이므로, $\varepsilon > 0$ 를 선택하여 $u+h \leq C$ 를 만들 수 있다.

따라서,

\Omega

의 전체 경계에서

u+h \leq C

이 성립한다.

3. $h$ 의 미분 계산::

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2h}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial h}{\partial x^i}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha|x-x_{\text{c}}|^2}\left(4\alpha\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}(x)\big(x^i-x_{\text{c}}^i\big)\big(x^j-x_{\text{c}}^j\big)-2\sum_{i=1}^n a_{ii}-2 \sum_{i=1}^n b_i\big(x^i-x_{\text{c}}^i\big)\right).

이 식의 우변이 음수가 아니도록 보장하는 조건이 존재한다.

4. 모순 유도: 환의 내부를 향하는 반경 선을 따라

x_0

에서

h

의 방향 도함수가 엄격하게 양수임을 알 수 있다. 이는

x_0

가 열린 집합

M

에서

u

의 최대점이라는 가정에 모순된다. 즉,

x_0

에서의

u

의 방향 도함수가 0이 아니어야 한다.

5. 2. 3. 정리의 명제

연결 열린집합

D\subset\mathbb R^n

위의

C^2

함수

f\colon D\to\mathbb R

가 다음 꼴의 미분 부등식을 만족시킨다고 하자.

:

A^{ij}(x)\nabla_i\nabla_jf(x)+b^i(x)\nabla_if(x)\ge0

여기서

A

는 국소적으로 균등 양의 정부호인 대칭 행렬이며,

A

와

b

의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약

u

가

x\in D

에서 최댓값을 갖는다면,

u

는 상수 함수이다. 이를 '''호프 최대 원리'''(Hopf maximum principle^영어)라고 한다.

최대 원리의 본질은 각 고유값이 양수이면(이는 미분 방정식의 "타원성"과 관련) 방향별 2차 도함수의 균형을 이룬다는 것이다. 특히, 방향별 2차 도함수 중 하나가 음수이면 다른 하나는 양수여야 한다.

u

가 최대화되는 지점에서 모든 방향별 2차 도함수는 0 이하이며, "균형"은 모든 방향별 2차 도함수가 0이 되도록 한다.

이러한 추론은 강한 최대 원리의 무한소 공식으로 주장될 수 있으며,

a

의 연속성 등의 추가적인 가정 하에

u

가

M

의 한 지점에서 최대화되면

u

가 상수여야 함을 의미한다.

이는 더 일반적인 편미분 방정식에도 적용된다.

:

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i \, \partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}=0,

추가된 항은 가상의 최대 지점에서 자동적으로 0이기 때문이다. 또한, 다음 조건에서도 영향을 받지 않는다.

:

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i \, \partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0,

이 조건에서 가상의 최대 지점에서 엄격한 부등식(

\geq

대신

>

)이 있으면 모순이 발생한다.

다음은 호프(Hopf, 1927)의 원래 명제를 따른, 모레이(Morrey)와 스몰러(Smoller)의 책에 나오는 정리이다.

귈바르그(Gilbarg)와 트루딩거(Trudinger)의 정리는 다음과 같다.

{\lambda}와

\textstyle\frac

{\lambda}가 에서 유계 함수라고 가정하자. 만약 가 에서 다음을 만족하는 상수 함수가 아닌 함수라면,

:

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0

는 에서 최댓값을 갖지 않는다.}}

이러한 명제는 일반적인 2차 선형 타원형 방정식으로 확장하기는 어렵다. 1차원 경우에서, 상미분 방정식

y'' + 2y = 0

는 내부에 최댓값을 갖는 정현파 해를 갖는다. 이는 고차원 경우로 확장되며, "고유 함수" 방정식

Δu + cu = 0

의 해는 내부에 최댓값을 갖는다.

6. 연구 논문

저자	논문 제목 및 출판 정보
칼라비(E. Calabi)	E. 호프의 최대 원리의 확장과 리만 기하학에의 응용. Duke Math. J. 25 (1958), 45–56.
정(S.Y. Cheng), 야우(S.T. Yau)	리만 다양체 위의 미분 방정식과 그 기하학적 응용. Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), no. 3, 333–354.
기다스(B. Gidas), 니(W.-M. Ni), 니렌버그(L. Nirenberg)	최대 원리를 통한 대칭성과 관련된 성질. Comm. Math. Phys. 68 (1979), no. 3, 209–243.
기다스(B. Gidas), 니(W.-M. Ni), 니렌버그(L. Nirenberg)	Rⁿ\|Rn\|알엔^영어에서 비선형 타원형 방정식의 양의 해의 대칭성. 수학적 분석과 응용, 파트 A, pp. 369–402, Adv. in Math. Suppl. Stud., 7a, Academic Press, New York-London, 1981.
해밀턴(R. S. Hamilton)	양의 곡률 연산자를 갖는 4-다양체. J. Differential Geom. 24 (1986), no. 2, 153–179.
E. 호프(E. Hopf)	타원형 유형의 2차 편미분 방정식의 해에 대한 기본적인 고찰. Sitber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 19 (1927), 147-152.
호프(E. Hopf)	2차 선형 타원형 미분 방정식에 대한 고찰. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 791–793.
니렌버그(L. Nirenberg)	포물선 방정식에 대한 강한 최대 원리. Comm. Pure Appl. Math. 6 (1953), 167–177.
오모리(H. Omori)	리만 다양체의 등거리적 침전. J. Math. Soc. Jpn. 19 (1967), 205–214.
야우(S.-T. Yau)	완전한 리만 다양체 위의 조화 함수. Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), 201–228.
크레이버그(H. J. A.)	경제 과정에서의 최적 제어의 최대 원리에 관하여, 1969 (Trondheim, NTH, Sosialøkonomisk institutt)

7. 교과서

저자	제목	출판사	출판년도	ISBN
루이스 A. 카파렐리 (Luis A. Caffarelli), 사비에르 카브레 (Xavier Cabre)	완전 비선형 타원형 방정식	American Mathematical Society	1995	0-8218-0437-5
로렌스 C. 에반스 (Lawrence C. Evans)	편미분 방정식	American Mathematical Society	2010	978-0-8218-4974-3
아브너 프리드만 (Avner Friedman)	포물선형 편미분 방정식	Prentice-Hall, Inc.	1964
데이비드 길바그 (David Gilbarg), 닐 S. 트루딩거 (Neil S. Trudinger)	2차 타원형 편미분 방정식	Springer-Verlag	2001	3-540-41160-7
올가 라디젠스카야 (O. A. Ladyženskaja), V. A. 솔로니코프 (V. A. Solonnikov), 니나 우랄체바 (N. N. Uralʹceva)	포물선형 선형 및 준선형 방정식	American Mathematical Society	1968
올가 라디젠스카야, 니나 우랄체바	선형 및 준선형 타원형 방정식	Academic Press	1968
게리 M. 리버만 (Gary M. Lieberman)	2차 포물선형 미분 방정식	World Scientific Publishing Co., Inc.	1996	981-02-2883-X
찰스 B. 모레이 주니어 (Charles B. Morrey, Jr.)	변분법의 다중 적분	Springer-Verlag	2008	978-3-540-69915-6
머레이 H. 프로터 (Murray H. Protter), 한스 F. 바인버거 (Hans F. Weinberger)	미분 방정식의 최대 원리	Springer-Verlag	1984	0-387-96068-6
R. T. 로카펠라 (R. T. Rockafellar)	볼록 해석	Princeton University Press	1970
조엘 스몰러 (Joel Smoller)	충격파 및 반응-확산 방정식	Springer-Verlag	1994	0-387-94259-9

참조

_[1] 서적 Maximum principles in differential equations Springer 1984
_[2] 서적 Chapter 32 of Rockafellar 1970
_[3] 서적 32章を参照 1970
_[4] 서적
_[5] 서적

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