콤팩트-열린집합 위상

3. 성질

• $\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$가 한 점만을 포함하는 유일한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 집합으로서 $C(\backslash \{\backslash bullet\backslash \},X)\backslash cong\; X$이며, 이 공간 위의 콤팩트-열린집합 위상은 $X$ 고유의 위상과 일치한다.^[9]
• $X$가 이산 공간이면, $C(X,\; Y)$는 $Y$의 |X|개 곱공간과 같고, 콤팩트-열린 위상은 곱 위상과 일치한다.^[9]
• $Y$가 콜모고로프 공간(T₀ 공간)/T1 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이라면, $C(X,Y)$도 마찬가지로 콜모고로프 공간/T1 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이다.^[9]
• $Y$가 거리 공간 (또는 더 일반적으로, 균등 공간)이면, 콤팩트-열린 위상은 콤팩트 수렴 위상과 같다.^[6] 즉, $Y$가 거리 공간이면, 수열 $\backslash \{\backslash thinsp\; f\_n\; \backslash thinsp\backslash \}$이 콤팩트-열린 위상에서 $\backslash thinsp\; f\; \backslash thinsp$로 수렴하는 것은 모든 $X$의 콤팩트 부분 집합 $K$에 대해 $\backslash \{\backslash thinsp\; f\_n\; \backslash thinsp\backslash \}$이 $K$에서 $\backslash thinsp\; f\; \backslash thinsp$로 균등하게 수렴하는 것과 동치이다.
• $X$가 콤팩트이고 $(Y,d)$가 거리 공간이라면, $C(X,Y)$ 위의 콤팩트-열린집합 위상은 균등 수렴 위상과 같다.^[9] 이 위상은 다음과 같은 거리 함수로부터 주어진다.

• 정의역 $X$가 국소 콤팩트일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상은 $(f,x)\; \backslash mapsto\; f(x)$가 연속이 되는 가장 약한 위상으로 특징지어진다.^[8]
• 공역이 거리 공간일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상이 정하는 수렴 개념은 콤팩트 수렴으로 특징지어진다.
• $X$가 국소 콤팩트이면 국소 균등 수렴 개념과 일치한다.
• $X$가 콤팩트이면 균등 수렴과 일치한다.
• $X,\; Z$를 위상 공간, $Y$를 국소 콤팩트 위상 공간으로 할 때, 사상 $C(X,Y)\; \backslash times\; C(Y,Z)\; \backslash to\; C(X,Z),\backslash ;(f,g)\backslash mapsto\; g\backslash circ\; f$는 콤팩트-열린 위상에 관해 연속이다.
• $X,\; Y$를 위상 공간으로 할 때, $Y$가 하우스도르프(resp. 정칙) 공간이면 $C(X,\; Y)$는 하우스도르프(resp. 정칙)이다.
• $X$를 콤팩트 하우스도르프 공간으로 하고, $X$에서 자기 자신으로의 동상사상 전체의 집합을 $H(X)$라고 하면, 사상 $H(X)\; \backslash to\; H(X),\backslash ;f\backslash mapsto\; f^\{-1\}$는 콤팩트-열린 위상에 관해 연속이다. 사상의 합성도 앞서 언급한 바와 같이 연속이므로, $H(X)$는 함수 합성에 관해 위상군을 이룬다.

3. 1. 기본 성질

• $\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$가 한 점만을 포함하는 유일한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 집합으로서 $C(\backslash \{\backslash bullet\backslash \},X)\backslash cong\; X$이며, 이 공간 위의 콤팩트-열린집합 위상은 $X$ 고유의 위상과 일치한다.^[9]
• $X$가 이산 공간이면, $C(X,\; Y)$는 $Y$의 |X|개 곱공간과 같고, 콤팩트-열린 위상은 곱 위상과 일치한다.^[9]
• $Y$가 콜모고로프 공간(T₀ 공간)/T1 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이라면, $C(X,Y)$도 마찬가지로 콜모고로프 공간/T1 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이다.^[9]
• $Y$가 거리 공간 (또는 더 일반적으로, 균등 공간)이면, 콤팩트-열린 위상은 콤팩트 수렴 위상과 같다.^[6] 즉, $Y$가 거리 공간이면, 수열 $\backslash \{\backslash thinsp\; f\_n\; \backslash thinsp\backslash \}$이 콤팩트-열린 위상에서 $\backslash thinsp\; f\; \backslash thinsp$로 수렴하는 것은 모든 $X$의 콤팩트 부분 집합 $K$에 대해 $\backslash \{\backslash thinsp\; f\_n\; \backslash thinsp\backslash \}$이 $K$에서 $\backslash thinsp\; f\; \backslash thinsp$로 균등하게 수렴하는 것과 동치이다.
• $X$가 콤팩트이고 $(Y,d)$가 거리 공간이라면, $C(X,Y)$ 위의 콤팩트-열린집합 위상은 균등 수렴 위상과 같다.^[9] 이 위상은 다음과 같은 거리 함수로부터 주어진다.

• 정의역 $X$가 국소 콤팩트일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상은 $(f,x)\; \backslash mapsto\; f(x)$가 연속이 되는 가장 약한 위상으로 특징지어진다.^[8]
• 공역이 거리 공간일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상이 정하는 수렴 개념은 콤팩트 수렴으로 특징지어진다.
• $X$가 국소 콤팩트이면 국소 균등 수렴 개념과 일치한다.
• $X$가 콤팩트이면 균등 수렴과 일치한다.
• $X,\; Z$를 위상 공간, $Y$를 국소 콤팩트 위상 공간으로 할 때, 사상 $C(X,Y)\; \backslash times\; C(Y,Z)\; \backslash to\; C(X,Z),\backslash ;(f,g)\backslash mapsto\; g\backslash circ\; f$는 콤팩트-열린 위상에 관해 연속이다.
• $X,\; Y$를 위상 공간으로 할 때, $Y$가 하우스도르프(resp. 정칙) 공간이면 $C(X,\; Y)$는 하우스도르프(resp. 정칙)이다.
• $X$를 콤팩트 하우스도르프 공간으로 하고, $X$에서 자기 자신으로의 동상사상 전체의 집합을 $H(X)$라고 하면, 사상 $H(X)\; \backslash to\; H(X),\backslash ;f\backslash mapsto\; f^\{-1\}$는 콤팩트-열린 위상에 관해 연속이다. 사상의 합성도 앞서 언급한 바와 같이 연속이므로, $H(X)$는 함수 합성에 관해 위상군을 이룬다.

3. 2. 수렴성

3. 3. 함수 공간의 성질

3. 4. 거리화 가능성

4. 아스콜리-아르첼라 정리의 확장

아스콜리-아르첼라 정리를 일반화하여 다음을 보일 수 있다.

''X''가 콤팩트 하우스도르프 공간이고, ''Y''가 거리 공간일 때, ''C''(''X'', ''Y'')의 부분 집합 ''H''가 콤팩트-열린집합 위상에 대해 콤팩트일 필요충분 조건은 ''H''가 다음 세 조건을 모두 만족하는 것이다.

• ''H''는 ''C''(''X'', ''Y'')의 닫힌 집합이다.
• ('''동등 연속성''') 임의의 ''x'' ∈ ''X''와 임의의 ''ε'' > 0에 대해, 어떤 ''δ'' > 0가 존재하여 모든 ''f'' ∈ ''H''와 모든 ''y'' ∈ ''Y''에 대해 ''d''(''x'', ''y'') < ''δ''이면 ''d''(''f''(''x''), ''f''(''y'')) < ''ε''이다.
• ('''점별 상대 콤팩트성''') 임의의 ''x'' ∈ ''X''에 대해 {f(x) | f∈H}는 ''Y''에서 상대 콤팩트이다.

5. 응용

콤팩트-열린집합 위상은 루프 공간, 경로 공간 등의 위상을 정의하는 데 사용된다.^[7] 예를 들어, $x\_0$에서의 $X$의 루프 공간은 $\backslash Omega(X,x\_0)\; =\; \backslash \{\; f:\; I\; \backslash to\; X\; :\; f(0)\; =\; f(1)\; =\; x\_0\; \backslash \}$와 같이 정의할 수 있다. 또한, 공간 $C(\backslash Sigma\; X,\; Y)\; \backslash cong\; C(X,\; \backslash Omega\; Y)$ 사이에 호모토피 동치가 존재한다.^[7]

이러한 위상 공간 $C(X,Y)$는 호모토피 이론에서 호모토피 사상 집합의 위상 공간 모델을 구성하는 데 유용하게 사용된다. $\backslash pi(X,Y)\; =\; \backslash \{[f]:\; X\; \backslash to\; Y\; |\; f\; \backslash text\{\; is\; a\; homotopy\; class\}\; \backslash \}$는 $C(X,Y)$의 경로 성분 집합과 동형 사상이 존재하므로, $\backslash pi(X,Y)\; \backslash to\; C(I,\; C(X,\; Y))/\backslash sim$ (여기서 $\backslash sim$는 호모토피 동치)와 같이 나타낼 수 있다.

6. 프레셰 미분 가능 함수

X와 Y를 같은 체 위에 정의된 바나흐 공간이라고 하고, C^m(U, Y)를 열린 부분 집합 U ⊆ X에서 Y로의 모든 m-연속 프레셰 미분 가능 함수들의 집합이라고 하자. 콤팩트-열린 위상은 세미노름에 의해 유도된 시작 위상이다.

:$p\_\{K\}(f)\; =\; \backslash sup\; \backslash left\backslash \{\; \backslash left\backslash |\; D^j\; f(x)\; \backslash right\backslash |\; \backslash \; :\; \backslash \; x\; \backslash in\; K,\; 0\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; m\; \backslash right\backslash \}$

여기서 D⁰f(x) = f(x)이며, 각 콤팩트 부분 집합 K ⊆ U에 대해 정의된다.

참조

_[1] 논문 On topologies for function spaces https://www.ams.org/[...] 1945
_[2] 서적 General topology Springer-Verlag 1975
_[3] 논문 Classifying Spaces and Infinite Symmetric Products 1969
_[4] 웹사이트 A Concise Course in Algebraic Topology http://www.math.uchi[...]
_[5] 웹사이트 Compactly Generated Spaces http://neil-strickla[...] 2012-01-14
_[6] 논문 Spaces of Mappings on Topological Products with Applications to Homotopy Theory https://www.ams.org/[...] 1952
_[7] 서적 Homotopical Topology
_[8] 문서 こちらのステートメントは ''X'' が局所コンパクトハウスドルフでなくとも成り立つ。
_[9] 서적