클리포드 원환면

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실수 좌표를 사용한 정의
- 2.2. 복소수 좌표를 사용한 정의
3. 성질
- 3.1. 일반화된 클리포드 원환면
4. 수학에서의 응용
5. 한국과의 관련성
참조

1. 개요

클리포드 원환면은 4차원 공간에 존재하는 특별한 형태의 원환면으로, 실수 좌표 또는 복소수 좌표를 사용하여 정의할 수 있다. 이 원환면은 3차원 구면의 부분 다양체이며, 평평한 기하학적 구조를 가지고 있어 유클리드 평면과 유사하다. 클리포드 원환면은 심플렉틱 기하학, 최소 곡면 이론 등 수학 분야에서 중요한 역할을 하며, 일반화된 형태로 고차원 공간에서도 정의될 수 있다.

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클리포드 원환면
개요
클리포드 원환면의 3차원 투영
유형	4차원 기하학적 대상
정의
수식	두 원 }} 및 }}의 곱
설명	에 내장된 표준 원환면과 달리 }}와 }}의 곱은 }}×}}=에 놓여 있음. }}와 }}는 에 있는 원을 나타냄
좌표	(cos(a), sin(a), cos(b), sin(b))로 매개변수화 가능. 여기서 a와 b는 [0, 2π] 범위의 실수임
상세 정보
평탄성	평탄함
곡률	0 (가우스 곡률)
설명	에 내장된 일반적인 원환면과 달리, 클리포드 원환면은 평탄함. 즉, 가우스 곡률이 0임citation needed]
분할	3차원 공간 분할
분할 영역	두 개의 동일한 단단한 원환체
교차점	평면과의 교차점:
추가 정보
관련 개념	}}와 }} 반지름이 }}}}인 3-구 에 내장됨 는 로 생각할 수 있으며, 클리포드 원환면은 에서 의 호프 올뭉치의 이미지임

2. 정의

'''R'''²의 단위원 ''S''¹은 각도 좌표로 매개변수화할 수 있다.

: ''S''¹ = { ( cosθ, sinθ ) | 0 ≤ θ < 2π }.

'''R'''²의 다른 복사본에서 ''S''¹의 또 다른 복사본을 가져온다.

: ''S''¹ = { ( cosφ, sinφ ) | 0 ≤ φ < 2π }.

그러면 클리포드 원환면은

: 1/√2''S''¹ × 1/√2 ''S''¹ = { 1/√2 ( cosθ, sinθ, cosφ, sinφ ) | 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ φ < 2π }.

''S''¹의 각 복사본은 '''R'''²의 포함된 부분 다양체이므로 클리포드 원환면은 '''R'''²×'''R'''²='''R'''⁴에서 포함된 원환면이다.

'''R'''⁴가 좌표 (''x''₁, ''y''₁, ''x''₂, ''y''₂)로 주어지면 클리포드 원환면은 다음 방정식의 해집합으로 주어진다:

: ''x''₁² + ''y''₁² = 1/2 = ''x''₂² + ''y''₂².

이는 '''R'''⁴에서 클리포드 원환면이 3차원 단위 구면 ''S''³의 부분 다양체임을 보여준다.

2. 1. 실수 좌표를 사용한 정의

\R^4

공간에서 클리포드 원환면은 각 좌표 평면에 반지름

\frac{1}{\sqrt{2}}

인 두 단위 원을 곱하여 정의할 수 있다. 즉,

x_1^2 + y_1^2 = \frac{1}{2} = x_2^2 + y_2^2

와 같은 방정식으로 표현된다.

이는

\R^4

에서 클리포드 원환면이 단위 3-구

S^3

의 부분 다양체임을 보여준다. 또한, 클리포드 원환면은

S^3

에서 최소 곡면이다.

2. 2. 복소수 좌표를 사용한 정의

\C^2

공간에서 클리포드 원환면은 각 복소 평면에 반지름

\frac{1}{\sqrt{2}}

인 두 단위원(unit circle)을 곱하여 정의할 수 있다.^[2]

:

S^1 = \left\{ e^{i\theta} \mid 0 \leq \theta < 2\pi \right\}

:

S^1 = \left\{ e^{i\varphi} \mid 0 \leq \varphi < 2\pi \right\}.

따라서 클리포드 원환면은 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{1}{\sqrt{2}}S^1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}S^1 = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( e^{i\theta}, e^{i\varphi} \right) \, | \, 0 \leq \theta < 2\pi, 0 \leq \varphi < 2\pi \right\}.

이는

\C^2

의 단위 구

S^3

에 포함된 부분 다양체이다.

\C^2

가 좌표

(z_1, z_2)

로 주어지면, 클리포드 원환면은 다음과 같은 방정식으로 정의된다.

:

\left| z_1 \right|^2 = \frac{1}{2} = \left| z_2 \right|^2.

클리포드 원환면의 모든 점에서

\C^2

의 원점까지의 거리는 다음과 같다.

:

\sqrt{ \frac{1}{2}\left| e^{i\theta} \right|^2 + \frac{1}{2}\left| e^{i\varphi} \right|^2} = 1.

\C^2

의 원점에서 거리 1만큼 떨어진 모든 점의 집합은

S^3

이므로, 클리포드 원환면은

S^3

안에 존재한다. 클리포드 원환면은

S^3

를 합동인 두 개의 솔리드 토러스로 나눈다.^[2]

직교군

O(4)

는 직교 변환에 의해

\R^4

에 작용하며, "표준" 클리포드 원환면을 강체 회전을 통해 다른 동등한 원환면으로 이동할 수 있다. 이들은 모두 "클리포드 토리"라고 불린다. 6차원 군

O(4)

는

S^3

안에 있는 이러한 모든 클리포드 토리의 공간에서 추이적으로 작용한다. 이 작용에는 2차원 안정화 부분군이 존재하므로, 실제로 클리포드 토리는 4차원 공간에 존재한다.^[2]

3. 성질

클리포드 원환면은 평평한 기하학적 구조를 가진다. 즉, 국소적으로 유클리드 평면과 동일하다. 표준 회전 원환면과 달리 늘어나지 않고 평면으로 평평해질 수 있다. 모든 점은 왜곡 없이 평면의 일부로 펼칠 수 있는 주변을 가지고 있으며, 이는 회전체의 표준 원환면과는 다르다.

클리포드 원환면은 3차원 구면을 합동인 솔리드 원환면 2개로 나눈다. 스테레오그래픽 투영에서 클리포드 원환면은 표준 회전 원환면으로 나타난다. 3-구면을 동일하게 나눈다는 사실은 투영된 원환면의 내부가 외부와 같다는 것을 의미한다.

3. 1. 일반화된 클리포드 원환면

4차원 이상의 공간에서도 클리포드 원환면을 유사하게 정의할 수 있다. 2''n''차원 공간에서 ''n''개의 원을 곱하여 정의한다.

짝수 차원 유클리드 공간

\R^{2n}=\C^n

에서 임의의 단위 구면

S^{2n-1}

은 복소 좌표로 다음과 같이 표현된다.

:

S^{2n-1} = \left\{(z_1, \ldots, z_n) \in \mathbf{C}^n : |z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2 = 1\right\}.

r_1^2+\cdots+r_n^2=1

을 만족하는 음이 아닌 실수

r_1,\dots,r_n

에 대해 일반화된 클리포드 원환면은 다음과 같이 정의된다.

:

T_{r_1,\ldots,r_n} = \left\{(z_1, \ldots, z_n) \in \mathbf{C}^n : |z_k| = r_k,~1 \leqslant k \leqslant n\right\}.

이러한 일반화된 클리포드 원환면은 모두 서로소이다. 각각의 원환면

T_{r_1,\dots,r_n}

의 합집합은 단위

(2n-1)

-구면

S^{2n-1}

이다. (단, 반지름 중 적어도 하나는

r_k=0

인 경우를 포함한다.)

4. 수학에서의 응용

심플렉틱 기하학에서 클리포드 원환면은 표준 심플렉틱 구조를 가진 C²/'''C'''²^영어의 매입된 라그랑지안 부분다양체의 한 예시를 제공한다.^[3] 물론, C/'''C'''^영어에서 매입된 원의 곱은 C²/'''C'''²^영어의 라그랑지안 원환면을 제공하므로, 이것들은 클리포드 원환면일 필요는 없다.

Lawson의 추측은 3-구에서 최소 매입된 모든 원환면은 둥근 메트릭을 가지며 클리포드 원환면이어야 한다고 주장한다. 이 추측의 증명은 2013년에 사이먼 브렌들에 의해 발표되었다.^[3]

클리포드 원환면과 등각 변환 하에서의 그들의 이미지는 윌모어 작용소의 전역적 최소화 대상이다.

4. 1. 심플렉틱 기하학

심플렉틱 기하학에서 클리포드 원환면은 표준 심플렉틱 구조를 가진

\C^2

에 포함된 라그랑지안 부분 다양체의 예시이다.^[3] 물론,

\C

에 포함된 원의 모든 곱은

\C^2

의 라그랑주 원환면을 제공하므로, 이들이 반드시 클리포드 원환면일 필요는 없다.

로우슨 추측은 둥근 계량을 가진 3구에 극소적으로 포함된 모든 원환면이 클리포드 원환면여야 한다고 주장했는데, 이는 2012년 사이먼 브렌들에 의해 증명되었다.^[3]

클리포드 원환면과 등각 변환 하에서의 그들의 이미지는 윌모어 작용소의 전역적 최소화 대상이다.

4. 2. 최소 곡면 이론

심플렉틱 기하학에서 클리포드 원환면은 표준 심플렉틱 구조를 가진

\C^2

에 포함된 라그랑지안 부분 다양체의 한 예시를 제공한다.^[3] Lawson의 추측에 따르면, 3차원 구에 최소 매립된 모든 원환면은 둥근 메트릭을 가지며 클리포드 원환면이어야 한다.^[3] 이 추측은 2012년 사이먼 브렌들에 의해 증명되었다.^[3] 클리포드 원환면과 등각 변환 하에서의 그들의 이미지는 윌모어 작용소의 전역적 최소화 대상이다.

4. 3. 등각 기하학

심플렉틱 기하학에서 클리포드 원환면은 표준 심플렉틱 구조를 가진

\C^2

에 포함된 라그랑지안 부분 다양체의 한 예시를 제공한다.^[3] 클리포드 원환면과 등각 변환 하에서의 그들의 이미지는 윌모어 작용소의 전역적 최소화 대상이다.^[3]

5. 한국과의 관련성

참조

_[1] 논문 Flat tori in three-dimensional space and convex integration 2012-04
_[2] 논문 The 12th problem http://www.austms.or[...] 2005-09
_[3] 논문 Embedded minimal tori in {{math|''S''³}} and the Lawson conjecture
_[4] 논문 Flat tori in three-dimensional space and convex integration 2012-04
_[5] 저널 The 12th problem http://www.austms.or[...] 2005-09

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