평행화 가능 다양체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 연산
5. 예
6. 관련 개념
참조

1. 개요

평행화 가능 다양체는 매끄러운 다양체 M에 대해, 접다발 또는 공변접다발의 동형 사상이 존재하는 경우를 의미한다. 평행화 가능 다양체는 리만 곡률이 0인 리만 계량을 가질 수 있으며, 항상 가향 다양체이다. 평행화 가능 다양체의 분리합집합과 곱공간은 평행화 가능하며, 열린집합 중 부분 다양체인 것은 평행화 가능하다. 예시로는 원, 리 군, 3차원 가향 다양체 등이 있으며, 초구의 경우 0, 1, 3, 7차원만 평행화 가능하다. 관련 개념으로는 π-다양체, 틀 다양체가 있다.

더 읽어볼만한 페이지

미분기하학 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

평행화 가능 다양체
정의
정의	미분기하학에서, 다양체 M이 평행화 가능하다는 것은 그 접다발이 자명하다는 것을 의미한다. 즉, M의 접다발이 유클리드 공간의 곱 M × R^n과 다발 동형이라는 것이다. 동등하게, M 상에 n개의 벡터장 X1, ..., Xn이 존재하여, 각 점 p에서 X1(p), ..., Xn(p)이 TpM의 기저를 형성한다. 여기서 n은 M의 차원이다.
성질
성질	n차원 매끄러운 다양체 M에 대해, 다음 조건들은 동치이다. M은 평행화 가능하다. M의 접다발은 자명하다. M 상에 n개의 벡터장 X1, ..., Xn이 존재하여, 각 점 p에서 X1(p), ..., Xn(p)이 TpM의 기저를 형성한다. M의 프레임 다발은 축약 가능하다. M의 탄젠트 사상은 호모토피 동치이다. M의 스틸-휘트니 특성류는 모두 0이다.
예시
예시	원 S1은 평행화 가능하다. 3차원 유클리드 공간 R^3은 평행화 가능하다. n차원 유클리드 공간 R^n은 평행화 가능하다. 구 S^n은 n = 1, 3, 7인 경우에만 평행화 가능하다. 원환면은 평행화 가능하다. 리 군은 평행화 가능하다. 평행화 가능한 다양체의 곱공간은 평행화 가능하다.

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 매끄러운 다양체를 '''평행화 가능 다양체'''라고 한다.

벡터 다발의 동형 사상 $\mathrm TM \to M \times \mathbb R^{\dim M}$ 이 존재한다.
벡터 다발의 동형 사상 $\mathrm T^*M \to M \times \mathbb R^{\dim M}$ 이 존재한다.
어떤 $\dim M$ 개의 (매끄러운) 벡터장 $X_1,\dotsc,X_{\dim M} \in \Gamma^\infty (\mathrm TM)$ 에 대하여, 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $X_1(x),\dotsc,X_{\dim M}(x)$ 는 접공간 $\mathrm T_xM$ 의 기저를 이룬다.
어떤 $\dim M$ 개의 (매끄러운) 1차 미분 형식 $\alpha_1,\dotsc,\alpha_{\dim M} \in \Omega^1(M)$ 에 대하여, 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $\alpha_1(x),\dotsc,\alpha_{\dim M}(x)$ 는 공변접공간 $\mathrm T^*_xM$ 의 기저를 이룬다.

3. 성질

평행화 가능 다양체는 항상 리만 곡률이 0인 리만 계량을 줄 수 있다. 즉, 접다발의 기저를 잡아, 이를 필바인으로 삼으면 이는 평탄한 리만 계량을 정의한다.^[4]

모든 평행화 가능 다양체는 가향 다양체이다.^[4] 관련된 개념으로 '''π-다양체'''가 있다. 매끄러운 다양체가 고차원 유클리드 공간에 내장될 때 법선 다발이 자명하면 π-다양체라고 한다. 특히, 모든 평행화 가능 다양체는 π-다양체이다.^[4]

4. 연산

임의의 수의 평행화 가능 다양체의 분리합집합은 평행화 가능 다양체이다. 유한 개의 수의 평행화 가능 다양체의 곱공간은 평행화 가능 다양체이다.

평행화 가능 다양체의 열린집합 가운데 부분 다양체인 것은 평행화 가능 다양체이다. (그러나 평행화 가능 다양체의 닫힌집합은 평행화 가능 다양체가 아닐 수 있다.)

5. 예

$n = 1$ 인 예로는 원이 있다. 반시계 방향을 가리키는 단위 접선 벡터장이라고 할 수 있는 ''V''₁을 취할 수 있다. 토러스의 차원 $n$ 도 평행화 가능하며, 이를 원의 데카르트 곱으로 표현하면 알 수 있다. 예를 들어 $n = 2$ 를 취하고, 각 점에서 두 개의 접선 방향을 알 수 있도록 그래프 용지의 정사각형에서 반대쪽 가장자리를 접착하여 토러스를 구성한다.

모든 리 군 ''G''는 평행화 가능하며, 항등원에서의 접선 공간의 기저는 ''G''에 대한 ''G''의 이동 군의 작용에 의해 이동될 수 있다(모든 이동은 미분동형사상이므로 이러한 이동은 ''G''의 점들의 접선 공간 간에 선형 동형사상을 유도한다).

고전적인 문제는 어떤 구 ''S''^''n''이 평행화 가능한지 결정하는 것이었다. 0차원 경우 ''S''⁰은 자명하게 평행화 가능하다. ''S''¹인 경우는 원으로 이미 설명했다. 털 뭉치 정리는 ''S''²가 평행화 가능하지 않음을 보여준다. 그러나 ''S''³은 SU(2)인 리 군이므로 평행화 가능하다. 다른 평행화 가능한 구는 ''S''⁷뿐이며, 이는 1958년에 프리드리히 히르체브루흐, 미셸 케르베르, 라울 보트와 존 밀너의 독립적인 연구를 통해 증명되었다. 평행화 가능한 구는 실수, 복소수, 사원수, 팔원수의 노름 나눗셈 대수에서 단위 노름의 원소에 정확히 해당하며, 이를 통해 각각에 대한 평행화를 구성할 수 있다. 다른 구가 평행화 가능하지 않다는 것을 증명하는 것은 더 어렵고, 대수적 위상수학이 필요하다.

평행화 가능한 다양체의 곱은 평행화 가능하다.

모든 가향 닫힌 3차원 다양체는 평행화 가능하다.^[3]

5. 1. 리 군

모든 리 군은 평행화 가능 다양체이다. 항등원에서의 접선 공간의 기저는 ''G''에 대한 ''G''의 이동 군의 작용에 의해 이동될 수 있다 (모든 이동은 미분동형사상이므로 이러한 이동은 ''G''의 점들의 접선 공간 간에 선형 동형사상을 유도한다). 구체적으로, 공변접다발의

n

개의 단면들은 마우러-카르탕 형식에 의하여 주어진다. 특히, 원환면은 리 군

\operatorname U(1)^n

의 구조를 가지므로, 항상 평행화 가능 다양체이다.

n = 1

인 예로는 원이 있다. 반시계 방향을 가리키는 단위 접선 벡터장이라고 할 수 있는 ''V''₁을 취할 수 있다. 토러스의 차원

n

도 평행화 가능하며, 이를 원의 데카르트 곱으로 표현하면 알 수 있다.

5. 2. 초구

초구

\mathbb S^n

가운데, 평행화 가능 다양체인 것은

n \in \{0, 1, 3, 7\}

인 것 밖에 없다. 평행화 가능한 구는 실수, 복소수, 사원수, 팔원수의 노름 나눗셈 대수에서 단위 노름의 원소에 정확히 해당하며, 이를 통해 각각에 대한 평행화를 구성할 수 있다.

\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H, \mathbb O \}

가 주어졌다고 하자 (실수체, 복소수체, 사원수 대수, 팔원수 대수). 이 경우,

:

\mathbb S^{\dim_{\mathbb R}\mathbb K-1} = \mathbb S(\mathbb K) =  \{x\in \mathbb K\colon |x|=1\}

로 여길 수 있다. 이 초구의

x=1

에서의 접공간은

:

\mathrm T_1\mathbb S(\mathbb K) = \operatorname{Im}\mathbb K = \{x\in \mathbb K\colon \bar x = -x\}

이며, 임의의

x

에서의 접공간은

:

\mathrm T_x\mathbb S(\mathbb K) = x (\operatorname{Im}\mathbb K)= (\operatorname{Im}\mathbb K)\bar x

의 꼴이다.

n = 1

인 예로는 원이 있다. 털 뭉치 정리는 ''S''²가 평행화 가능하지 않음을 보여준다. ''S''³은 SU(2)인 리 군이므로 평행화 가능하다. ''S''⁷은 1958년에 프리드리히 히르체브루흐, 미셸 케르베르, 라울 보트와 존 밀너의 독립적인 연구를 통해 평행화 가능하다는 것이 증명되었다. 다른 구가 평행화 가능하지 않다는 것을 증명하는 것은 더 어렵고, 대수적 위상수학이 필요하다.

5. 3. 낮은 차원의 다양체

모든 0차원 또는 1차원 매끄러운 다양체는 평행화 가능 다양체이다.^[3] 1차원의 예로는 원이 있으며, 반시계 방향을 가리키는 단위 접선 벡터장 ''V''₁을 취할 수 있다. 토러스의 차원

n

도 평행화 가능하며, 이는 원의 데카르트 곱으로 표현하면 알 수 있다.^[3]

2차원 연결 콤팩트 매끄러운 다양체 가운데 평행화 가능 다양체인 것은 원환면

\mathbb S^1 \times \mathbb S^1

밖에 없다.^[3] 리만 곡률이 0인 리만 계량을 줄 수 있으므로, 가우스-보네 정리에 따라서 그 종수가 1(원환면)이다.

모든 가향 3차원 매끄러운 다양체는 평행화 가능 다양체이다.^[3]

6. 관련 개념

'''π-다양체'''는 매끄러운 다양체 $M$ 이 고차원 유클리드 공간에 내장될 때 법선 다발이 자명하면 성립한다.^[4] 모든 평행화 가능 다양체는 π-다양체이다.^[4]

'''틀 다양체'''(혹은 '''장착 다양체''')는 주어진 법선 다발의 자명화를 가진 내장된 다양체에 가장 일반적으로 적용되며, 주어진 접다발의 안정적 자명화를 가진 추상적(즉, 내장되지 않은) 다양체에도 적용된다. 모든 평행화 가능 다양체는 가향이다.

참조

_[1] 서적 Tensor Analysis on Manifolds Macmillan
_[2] 서적 Characteristic Classes Princeton University Press
_[3] 간행물 Framing 3-manifolds with bare hands https://www.ems-ph.o[...] 2019-07-23
_[4] 서적 Differentiable manifolds which are homotopy spheres https://www.maths.ed[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com