평활화
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1. 개요
평활화는 함수 형태 없이 데이터를 "평활화된" 값으로 제공하는 방식으로, 곡선 맞춤과 구분된다. 선형 평활기는 관측값의 선형 변환을 통해 평활화된 값을 계산하며, 이동 평균, 지수 평활화, 칼만 필터, 커널 평활기, 국소 회귀, 사비츠키-골레이 필터, 평활 스플라인 등 다양한 알고리즘이 존재한다. 이러한 알고리즘들은 시계열 데이터의 추세 파악, 이미지 처리, 컴퓨터 비전, 데이터 시각화 등 다양한 분야에서 활용된다.
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평활화 | |
---|---|
개요 | |
분야 | 통계학, 신호 처리, 이미지 처리 |
목적 | 데이터의 노이즈 제거, 추세 파악, 결측값 보간 |
기법 | 평균 필터링, 가중 평균 필터링, 중앙값 필터링, 스플라인 보간, Savitzky–Golay 필터 |
정의 | |
설명 | 평활화(Smoothing)는 데이터 집합에서 노이즈나 다른 불필요한 변동을 제거하여 더 부드러운 형태의 데이터를 얻는 기법이다. 통계학, 신호 처리, 이미지 처리 등 다양한 분야에서 활용되며, 데이터의 추세를 파악하거나 결측값을 보간하는 데 사용된다. |
평활화 기법 | |
평균 필터링 | 주어진 데이터 포인트 주변의 값들의 평균을 사용하여 각 포인트를 대체한다. 간단하지만 데이터의 날카로운 변화를 부드럽게 만드는 효과가 있다. |
가중 평균 필터링 | 평균 필터링과 유사하지만, 각 데이터 포인트에 다른 가중치를 부여하여 평균을 계산한다. 중앙값에 더 높은 가중치를 부여하는 등의 방법으로 데이터의 특징을 더 잘 보존할 수 있다. |
중앙값 필터링 | 주어진 데이터 포인트 주변의 값들의 중앙값을 사용하여 각 포인트를 대체한다. 이상치(outlier)의 영향을 줄이는 데 효과적이다. |
스플라인 보간 | 데이터 포인트들을 부드러운 곡선으로 연결하는 방법이다. 데이터의 전반적인 형태를 유지하면서 노이즈를 제거하는 데 유용하다. |
Savitzky–Golay 필터 | 주어진 데이터 포인트 주변의 값들에 대해 최소 제곱법을 사용하여 다항식을 적합시키고, 그 다항식 값을 사용하여 각 포인트를 대체한다. 데이터의 특징을 보존하면서 노이즈를 제거하는 데 효과적이다. |
활용 | |
통계학 | 시계열 데이터의 추세 분석, 회귀 분석 등 |
신호 처리 | 음성 신호 처리, 오디오 신호 처리, 통신 신호 처리 등 |
이미지 처리 | 이미지 노이즈 제거, 이미지 선명화 등 |
2. 평활화와 곡선 맞춤
평활화는 곡선 맞춤과 관련이 있지만, 몇 가지 중요한 차이점이 있다.
- 곡선 맞춤은 결과에 대한 명시적인 함수 형태를 사용하는 경우가 많지만, 평활화는 함수 형태 없이 "평활화된" 값을 직접 결과로 얻는다.
- 평활화는 데이터 값에 정확히 일치하는 것보다는 값의 비교적 느린 변화에 대한 전반적인 경향을 파악하는 데 중점을 둔다. 반면 곡선 맞춤은 최대한 데이터에 가깝게 맞는 함수를 찾는 데 집중한다.
- 평활화 방법은 평활화 정도를 조절하는 튜닝 매개변수를 갖는 경우가 많다. 반면 곡선 맞춤은 '최상의' 적합성을 얻기 위해 함수의 모든 매개변수를 조정한다.
2. 1. 선형 평활기
평활화된 값이 관측값의 선형 변환으로 표현될 수 있는 경우, 평활화 연산을 선형 평활기라고 부른다. 변환을 나타내는 행렬은 평활 행렬 또는 햇 행렬이라고 한다.이러한 행렬 변환을 적용하는 연산을 컨볼루션이라고 한다. 따라서 행렬은 컨볼루션 행렬 또는 컨볼루션 커널이라고도 불린다. 단순한 일련의 데이터 포인트(다차원 이미지 대신)의 경우, 컨볼루션 커널은 1차원 벡터이다.
3. 평활화 알고리즘
이미지 처리 및 컴퓨터 비전에서 평활화 아이디어는 스케일 공간 표현에 사용된다. 가장 간단한 평활화 알고리즘은 "직사각형" 또는 "가중치가 없는 이동 평균 평활화"이며, 신호의 각 지점을 "m"개의 인접한 지점의 평균으로 대체한다. 여기서 "m"은 "평활 폭"이라고 하는 양의 정수이며, 일반적으로 홀수이다. ''삼각 평활화''는 가중 평활화 기능을 구현한다는 점을 제외하고 ''직사각형 평활화''와 유사하다.[2]
이 외에도 다양한 평활화 알고리즘들이 존재하며, 각각의 장단점과 활용 분야가 다르다. 일부 알고리즘들은 하위 섹션에서 보다 자세히 다루고 있다.
- 이동 평균
- 지수 평활화
- 칼만 필터
- 커널 평활기
- 국소 회귀
- 사비츠키-골레이 필터
- 평활 스플라인
3. 1. 이동 평균 (Moving Average)
이동 평균은 시계열 데이터에서 장기적인 추세를 파악하는 데 유용한 방법으로,[3] 전체 데이터 집합의 서로 다른 하위 집합의 일련의 평균을 계산하여 데이터 포인트를 분석한다. 이 방법은 단기 변동을 완화하고 장기 추세를 강조하는 데 효과적이다.[3]가장 간단한 평활화 알고리즘은 "직사각형" 또는 "가중치가 없는 이동 평균 평활화"이다. 이 방법은 신호의 각 지점을 "m"개의 인접한 지점의 평균으로 대체한다. 여기서 "m"은 "평활 폭"이라고 하는 양의 정수이며, 일반적으로 홀수이다.[2]
3. 1. 1. 가중 이동 평균 (Weighted Moving Average)
가중 이동 평균(Weighted Moving Average, WMA)은 이동 평균의 한 종류로, 최근 데이터에 더 큰 가중치를 부여하여 변화에 더 민감하게 반응한다. 일반적인 이동 평균은 모든 데이터에 동일한 가중치를 부여하지만, 가중 이동 평균은 최근 데이터일수록 더 큰 영향을 주도록 설계되었다. 이러한 특성 덕분에 가중 이동 평균은 시계열 데이터 분석에서 추세를 파악하거나 미래 값을 예측하는 데 유용하게 사용된다.3. 2. 지수 평활화 (Exponential Smoothing)
지수 평활화는 시계열 데이터의 불규칙성(무작위 변동)을 줄여 데이터의 실제 기본 동작을 더 명확하게 보여준다.[3] 또한, 시계열의 미래 값을 예측하는 데 효과적이다.[3]3. 3. 칼만 필터 (Kalman Filter)
칼만 필터는 통계적 노이즈 및 기타 부정확성을 포함하는, 시간에 따라 관찰된 일련의 측정값을 사용하며, 각 시간 프레임에 대한 변수의 결합 확률 분포를 추정한다.[2] 단일 측정값만을 기반으로 하는 것보다 알 수 없는 변수를 더 정확하게 추정하는 경향이 있다.3. 4. 커널 평활기 (Kernel Smoother)
커널 평활기는 관측된 인접 데이터의 가중 평균으로 실수 값을 갖는 함수를 추정하는 데 사용된다.[2] 예측 변수의 차원이 낮을 때(''p'' < 3), 예를 들어 데이터 시각화에 가장 적합하다. 추정된 함수는 부드럽고 부드러움의 정도는 단일 매개변수로 설정된다.3. 5. 국소 회귀 (Local Regression, LOESS, LOWESS)
이동 평균 및 다항 회귀의 일반화이다. 데이터의 국소적인 부분에 단순 모델을 맞추어 데이터의 변화를 점별로 설명하는 함수를 구축한다. 이 방법의 주요 장점 중 하나는 데이터 분석가가 전역 함수 형태를 지정할 필요 없이 데이터의 부분에만 모델을 맞추면 된다는 것이다.[2] 계산량이 많다는 단점이 있다. 로에스(LOESS)는 최소 자승 회귀가 개발되던 시대에는 실제로 사용하기 어려웠을 것이다.3. 6. 사비츠키-골레이 필터 (Savitzky-Golay Filter)
데이터 세그먼트에 대한 다항식의 최소 자승 피팅을 기반으로 한다.3. 7. 평활 스플라인 (Smoothing Spline)
평활 스플라인은 데이터에 부드러운 곡선을 맞추는 방법이다.[2]3. 8. 기타 알고리즘
다음은 특정 평활화 및 필터 유형과 해당 용도, 장단점이다.알고리즘 | 개요 및 용도 | 장점 | 단점 |
---|---|---|---|
가법 평활화 | 범주형 데이터를 평활화하는 데 사용된다. | ||
버터워스 필터 | 체비쇼프 I형/II형 필터 또는 타원 필터보다 느린 롤오프를 보인다. | ||
체비쇼프 필터 | 버터워스 필터보다 더 가파른 롤오프와 더 많은 통과대역 리플(I형) 또는 저지대역 리플(II형)을 가진다. | ||
디지털 필터 | 해당 신호의 특정 측면을 줄이거나 향상시키기 위해 표본 추출된, 이산 시간 신호에 사용된다. | ||
타원 필터 | |||
지수 평활화 | |||
칼만 필터 | 단일 측정값만을 기반으로 하는 것보다 알 수 없는 변수의 추정이 더 정확한 경향이 있다. | ||
커널 평활기 | 추정된 함수는 부드럽고 부드러움의 정도는 단일 매개변수로 설정된다. | ||
콜모고로프-주르벤코 필터 | |||
라플라시안 평활화 | 다각형 메쉬를 평활화하는 알고리즘이다.[4][5] | ||
국소 회귀 (로에스 또는 로우에스) | 이동 평균 및 다항 회귀의 일반화이다. | ||
로우 패스 필터 | |||
이동 평균 | |||
라머–더글라스–페커 알고리즘 | 디시메이션은 선분으로 구성된 곡선을 더 적은 점으로 비슷한 곡선으로 변환한다. | ||
사비츠키-골레이 평활 필터 | |||
평활 스플라인 | |||
스트레치 그리드 방식 |
참조
[1]
서적
Smoothing Methods in Statistics
https://www.springer[...]
Springer
[2]
웹사이트
Smoothing
http://terpconnect.u[...]
2012-01
[3]
간행물
Time series
http://www.stats.gla[...]
STEPS Statistics Glossary
[4]
논문
Laplacian-isoparametric grid generation scheme
https://cedb.asce.or[...]
[5]
서적
Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Geometry Processing
ACM
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