ARCH 모형

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1. 개요
2. 분산 불균일성
3. ARCH 모형
4. GARCH 모형
- 4.1. GARCH 모형의 추정 및 검정
5. GARCH 모형의 확장
6. 다변량 GARCH 모형
참조

1. 개요

ARCH 모형은 시계열 데이터의 변동성 군집 현상을 설명하기 위해 개발된 통계적 모형이다. 주식 수익률과 같이 변동성이 시간에 따라 변하는 현상을 모델링하며, 과거 오차항의 제곱을 사용하여 조건부 변동성을 나타낸다. ARCH 모형을 일반화한 GARCH 모형은 오차 분산에 자기 회귀 이동 평균 모형을 적용하여 변동성 모델링의 유연성을 높였다. GARCH 모형은 다양한 확장 형태로 발전하여 비대칭 효과, 레버리지 효과 등을 반영하며, 다변량 GARCH 모형은 여러 시계열 데이터 간의 상관관계를 고려한다.

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ARCH 모형
모델 정보
유형	시계열 모델
개발자	로버트 F. 엥글(1982)
확장	팀 볼러슬레프(1986)
설명
설명	자기 회귀 조건부 이분산 모델(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model)은 시계열 데이터에서 변동성 군집을 모델링하는 데 사용되는 통계 모델이다.
특징	시간에 따라 변하는 변동성을 포착할 수 있다. 금융 시계열 데이터 분석에 유용하다.
관련 모델	GARCH 모델 EGARCH 모델 TARCH 모델

2. 분산 불균일성

주식 수익률을 프로트하면, 어떤 시기(경기가 안정적으로 확대되는 시기 등)에는 변동의 정도가 평균적으로 작고, 다른 시기(불황 직전 등)에는 변동성이 평균적으로 커지는 경향이 관찰된다. 이러한 변동성이 시기에 따라 다른 수준을 나타내는 것을 '''변동성 군집'''(volatility clustering|볼러틸리티 클러스터링^영어), 또는 '''분산 불균일성'''(heteroscedasticity|헤테로스케대스티서티^영어)이라고 부른다. 분산 불균일성은 금융 시계열 데이터를 비롯하여 폭넓게 나타나는 현상이다.

3. ARCH 모형

ARCH(q) 모형은 시계열 데이터의 조건부 변동성이 과거 q 시점까지의 오차항(평균으로부터의 괴리)의 제곱에 의존하는 형태로 모델링한다. 시간 t에서의 시계열 데이터 $y_{t}$ 의 조건부 기댓값을 $\mu_{t}$ 라고 할 때, 오차항 $u_t = y_{t} - \mu_{t}$ 는 다음과 같이 분해될 수 있다.

: $~\epsilon_t=\sigma_t z_t ~$

여기서 $z_t$ 는 확률적 부분, $\sigma_t$ 는 시간 의존적 표준 편차를 나타낸다. $z_t$ 는 백색 잡음 과정이다.

ARCH(q) 모형에서 조건부 변동성 $\sigma_t$ 는 다음 식으로 결정된다.

: $\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q u_{t-q}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} u_{t-i}^2$

즉, q기 전까지의 평균으로부터의 괴리 부분 $u_{t-i}$ 의 제곱이 조건부 변동성에 영향을 미친다.

ARCH 모델은 영어로 Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model이며, 한국에서는 자기 회귀 조건부 이분산성 모델이라고 번역된다. 여기서 조건부(Conditional) 변동성 $\sigma_{t}$ 가 분산 이질성(Heteroscedasticity)을 나타낸다.

ARCH 모형은 로버트 엥글(Robert F. Engle)이 1982년에 제안했으며, 그는 이 공로로 2003년 노벨 경제학상을 수상했다. 잔차 $\epsilon_t$ 가 시간 가변 이분산성을 나타내는지 테스트하는 방법은 라그랑주 승수 검정을 사용한다.

4. GARCH 모형

오차 분산에 대해 자기 회귀 이동 평균 모형(ARMA) 모형을 가정하면, 이 모형은 일반화된 자기 회귀 조건부 이분산성(GARCH) 모형이 된다.^[2]

GARCH(''p'', ''q'') 모형 (여기서 ''p''는 GARCH 항 $~\sigma^2$ 의 차수이고 ''q''는 ARCH 항 $~\epsilon^2$ 의 차수이다)은 다음과 같이 주어진다.

$y_t=x'_t b +\epsilon_t$

$\epsilon_t| \psi_{t-1} \sim\mathcal{N}(0, \sigma^2_t)$

$\sigma_t^2=\omega + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q \epsilon_{t-q}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \cdots + \beta_p\sigma_{t-p}^2 = \omega + \sum_{i=1}^q \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^p \beta_i \sigma_{t-i}^2$

1986년 로버트 엥글의 제자 Tim Bollerslev|팀 볼러스레브^영어가 ARCH 모형을 일반화한 '''GARCH 모형''' (Generalized ARCH model, GARCH model^영어)을 제안했다.^[18] GARCH 모형에서 조건부 변동성 $\sigma_t$ 는 p기 전까지의 조건부 변동성과 q기 전까지의 평균으로부터의 괴리 부분의 제곱에 의해 결정된다. GARCH 모형은 ARCH 모형에 비해 더 적은 수의 파라미터로 장기 기억 변동성을 설명할 수 있다는 장점이 있다.

4. 1. GARCH 모형의 추정 및 검정

GARCH(''p'', ''q'') 모형의 차수 ''p''와 ''q''는 AIC, BIC 등의 정보량 기준을 사용하여 결정할 수 있다. 잔차

\epsilon_t

가 시간 가변 이분산성을 나타내는지 테스트하는 방법으로 엥글의 라그랑주 승수 검정을 사용할 수 있다.^[2] 화이트 검정은 계량 경제 모형에서 이분산성을 검정하는 데 사용될 수 있다. Ljung-Box 검정은 제곱 잔차

\epsilon^2_t

의 자기상관을 검정하여 ARCH/GARCH 효과의 유무를 판단하는 데 사용될 수 있다.

5. GARCH 모형의 확장

GARCH 모형은 오차 분산에 자기 회귀 이동 평균(ARMA) 모형을 적용하여 확장되었다.^[2] 이 경우, GARCH(''p'', ''q'') 모형은 다음과 같이 표현된다.

: $y_t=x'_t b +\epsilon_t$

: $\epsilon_t| \psi_{t-1} \sim\mathcal{N}(0, \sigma^2_t)$

: $\sigma_t^2=\omega + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q \epsilon_{t-q}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \cdots + \beta_p\sigma_{t-p}^2 = \omega + \sum_{i=1}^q \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^p \beta_i \sigma_{t-i}^2$

여기서 ''p''는 GARCH 항 $~\sigma^2$ 의 차수이고, ''q''는 ARCH 항 $~\epsilon^2$ 의 차수이다.

이분산성 검정에는 화이트 검정이 유용하며, 시계열 데이터의 경우 ARCH 및 GARCH 오차를 검정한다.

지수 가중 이동 평균 모형(EWMA)은 GARCH 모델링의 대안으로, 최근 관측치에 더 큰 가중치를 부여하는 장점이 있지만, 임의의 감쇠 인자로 인해 주관성이 개입될 수 있다.

GARCH 모형은 다음과 같이 다양하게 확장되었다.

통합 GARCH (IGARCH): 지속성 매개변수의 합이 1이 되도록 제한하여 GARCH 과정에 단위근을 도입한다.^[9]
GARCH-M: 평균 방정식에 이분산성 항을 추가한다.
QGARCH: 양과 음의 충격에 대한 비대칭적 효과를 모델링한다.
GJR-GARCH: ARCH 과정의 비대칭성을 모델링한다.
TGARCH: 조건부 분산 대신 조건부 표준 편차를 사용한다.
fGARCH: APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH 등 다양한 모형을 포괄한다.
COGARCH: 이산 시간 GARCH(1,1) 과정을 연속 시간으로 일반화했다.
ZD-GARCH: 1차 GARCH 모형에서 드리프트 항을 0으로 설정한다.
Spatial GARCH: 시간적 GARCH 모형을 공간적으로 확장했다.

5. 1. EGARCH 모형

대니얼 B. 넬슨(Daniel B. Nelson)이 1991년에 제안한 지수 일반화 자기 회귀 조건부 이분산 모형(Exponential GARCH, EGARCH(p,q) 모형)에서 변동성은 다음과 같이 결정된다.^[19]

:

\log \sigma_{t}^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\beta_{i}\log\sigma_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q\Big(\alpha_{i}\varepsilon_{t-i} + \gamma_{i}\Big(|\varepsilon_{t-i}| - E[|\varepsilon_{t-i}|]\Big)\Big)

EGARCH 모형에서는 일반적인 GARCH 모형과 달리,

u_{t-i}

가 아닌

\sigma_{t-i}

로 나눈

\varepsilon_{t-i}

가 변동성에 영향을 미친다. 조건부 분산의 로그에 대해 모델링이 이루어지기 때문에, 일반적인 GARCH 모형에 비해 비음수성과 정상성을 위한 제약이 완화된다는 장점이 있다.

넬슨 & 차오(Nelson & Cao, 1991)가 제안한 GARCH 모형의 또 다른 형태는 다음과 같다.

:

\log\sigma_{t}^2=\omega+\sum_{k=1}^{q}\beta_{k}g(Z_{t-k})+\sum_{k=1}^{p}\alpha_{k}\log\sigma_{t-k}^{2}

여기서

g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda(|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))

,

\sigma_{t}^{2}

는 조건부 분산이며,

\omega

,

\beta

,

\alpha

,

\theta

및

\lambda

는 계수이다.

Z_{t}

는 표준 정규 변수이거나 일반화 오차 분포에서 나올 수 있다.

g(Z_{t})

에 대한 공식은

Z_{t}

의 부호와 크기가 변동성에 미치는 별도의 영향을 허용한다. 이는 특히 자산 가격 결정 맥락에서 유용하다.^[10]^[11]

\log\sigma_{t}^{2}

는 음수가 될 수 있으므로, 매개변수에 대한 부호 제약 조건은 없다.

5. 2. GJR-GARCH 모형

GJR-GARCH 모형은 음의 수익률이 변동성에 미치는 영향이 양의 수익률보다 더 크다는 레버리지 효과를 반영하는 모형이다. 1993년 로렌스 R. 글로스턴(Lawrence R. Glosten), 라비 자가나탄(Ravi Jagannathan), 데이비드 E. 런클(David E. Runkle)이 제안했다.^[20]

GJR-GARCH 모형에서 변동성은 다음과 같이 결정된다.^[20]

:

\sigma_{t}^2 = \omega + \alpha u_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 + \gamma u_{t-1}^2I_{t-1}

여기서

I_{t-1}

는

u_{t-1}

가 음수이면 1, 양수이면 0을 취하는 변수이다. 이 모형은 주가 수익률 등이 하락 국면에서 변동성이 더 증가하는 레버리지 효과를 포착하기 위해 사용된다.

5. 3. Heston-Nandi GARCH 모형

Steven L. Heston|스티븐 L. 헤스턴^영어과 사이카트 난디가 2000년에 제안한 Heston-Nandi GARCH(p,q) 모형에서 변동성은 다음과 같이 결정된다.^[21]

:

\sigma_{t}^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\beta_{i} \sigma_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q\alpha_{i}\Big(\varepsilon_{t-i} - \gamma_{i}\sigma_{t-i}\Big)^2

Heston-Nandi GARCH 모형은 EGARCH 모형처럼

u_{t-i}

가 아닌

\varepsilon_{t-i}

가 변동성에 영향을 미치게 한다. 또한 GJR GARCH 모형과 같이 레버리지 효과를 포착할 수 있다. Heston-Nandi GARCH 모형은 파생 상품의 옵션과 친화성이 높아 이 모형을 따르는 주식 옵션에 대해 무차익 가격이 도출되어 있다. 그러나 Heston-Nandi GARCH 모형은 과적합을 일으키기 쉽다는 단점이 있다.

5. 4. 기타 GARCH 모형

NAGARCH (Nonlinear Asymmetric GARCH): 비선형 비대칭 GARCH 모형이다.

IGARCH (Integrated GARCH): 통합 GARCH 모형이다. 지속성 매개변수의 합이 1이 되어 GARCH 과정에 단위근을 도입한다.^[9] 이 조건은 다음과 같다.

:

\sum^p_{i=1} ~\beta_{i} +\sum_{i=1}^q~\alpha_{i} = 1

.

TGARCH (Threshold GARCH): 임계값 GARCH 모형이다. 조건부 분산 대신 조건부 표준 편차에 대한 다음 수식을 사용한다.^[12]

:

~\sigma_t = K + ~\delta ~\sigma_{t-1} + ~\alpha_1^{+} ~\epsilon_{t-1}^{+} + ~\alpha_1^{-} ~\epsilon_{t-1}^{-}

:여기서

~\epsilon_{t-1}^{+} = ~\epsilon_{t-1}

이고

~\epsilon_{t-1} > 0

이면

~\epsilon_{t-1}^{+} = 0

이고

~\epsilon_{t-1} \le 0

이다. 마찬가지로,

~\epsilon_{t-1}^{-} = ~\epsilon_{t-1}

이고

~\epsilon_{t-1} \le 0

이면

~\epsilon_{t-1}^{-} = 0

이고

~\epsilon_{t-1} > 0

이다.

fGARCH (Family GARCH): Hentschel의 fGARCH 모형은 APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH 등 다양한 GARCH 모형을 포괄한다.^[12]

COGARCH (Continuous-time GARCH): 연속 시간 GARCH 모형이다. 클라우디아 클뤼펠베르크, 알렉산더 린드너, 로스 말러가 2004년에 제안했다. 이산 시간 GARCH(1,1) 모형을 연속 시간으로 일반화한 것이다.

ZD-GARCH (Zero-Drift GARCH): 0-Drift GARCH 모형이다. 1차 GARCH 모형에서 드리프트 항 $~\omega= 0$ 을 사용한다.^[14]

:

~\sigma_t^2 = ~\alpha_{1} ~\epsilon_{t-1}^2 + ~\beta_{1} ~\sigma_{t-1}^2.

:ZD-GARCH 모형은

~\alpha_{1} + ~\beta_{1}= 1

을 요구하지 않으므로, "RiskMetrics"의 지수 가중 이동 평균 (EWMA) 모형을 포함한다.

Spatial GARCH: 공간 GARCH 모형이다. Otto, Schmid 및 Garthoff(2018)가 제안했으며, 시간적 GARCH 모형의 공간적 등가물로 간주된다.^[15] 공간 모델은 다음과 같다. $~\epsilon(s_i) = ~\sigma(s_i) z(s_i)$ 이고

:

~\sigma(s_i)^2 = ~\alpha_i + \sum_{v=1}^{n} \rho w_{iv} \epsilon(s_v)^2,

:여기서

~s_i

는

i

번째 공간 위치를 나타내고

~w_{iv}

는 공간 가중치 행렬의

iv

번째 항목을 나타내며

w_{ii}=0

for

~i = 1, ..., n

이다. 공간 가중치 행렬은 어떤 위치가 인접한 것으로 간주되는지 정의한다.

6. 다변량 GARCH 모형

다변량 GARCH 모형은 여러 시계열 데이터 간의 상관관계를 고려하여 변동성을 모델링한다. BEKK 모형^[22], CCC-GARCH 모형^[23], DCC-GARCH 모형^[24] 등이 있다.

참조

_[1] 논문 Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation
_[2] 논문 Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity
_[3] 서적 Introductory Econometrics for Finance Cambridge University Press 2014
_[4] 논문 Non-linear GARCH models for highly persistent volatility https://edoc.hu-berl[...] 2005-07
_[5] 서적 Volatility and Time Series Econometrics: Essays in Honor of Robert Engle Oxford University Press 2017-10-27
_[6] 논문 Measuring and testing the impact of news on volatility http://www.finance.m[...]
_[7] 논문 Analysis Of The Exchange Rate And Pricing Foreign Currency Options On The Croatian Market: The Ngarch Model As An Alternative To The Black Scholes Model http://www.ijf.hr/en[...]
_[8] 논문 A Class of Nonlinear Arch Models 1992
_[9] 논문 IGARCH models and structural breaks http://www.tandfonli[...] 2003-10
_[10] 논문 Estimating EGARCH-M Models: Science or Art
_[11] 논문 Day-Of-The-Whieek Effect In Us Biotechnology Stocks—Do Policy Changes And Economic Cycles Matter?
_[12] 논문 All in the family Nesting symmetric and asymmetric GARCH models
_[13] 논문 A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: stationarity and second-order behaviour http://nbn-resolving[...]
_[14] 논문 The ZD-GARCH model: A new way to study heteroscedasticity https://mpra.ub.uni-[...]
_[15] 논문 Generalised spatial and spatiotemporal autoregressive conditional heteroscedasticity
_[16] 논문 Gaussian process-mixture conditional heteroscedasticity
_[17] 문서 Engle
_[18] 문서 Bollerslev
_[19] 문서 Nelson
_[20] 문서 Glosten, Jagannathan and Runkle
_[21] 문서 Heston and Nandi
_[22] 문서 Engle and Kroner
_[23] 문서 Bollerslev
_[24] 문서 Engle
_[25] 논문 Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity https://archive.org/[...]

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