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공적분

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목차

1. 개요

공적분은 여러 시계열 변수들이 개별적으로 불안정하더라도 이들의 선형 결합이 안정적인 관계를 가질 때를 의미하며, 이러한 관계를 분석하는 통계적 방법이다. 1926년 우드니 율에 의해 처음 개념이 도입되었으며, 1980년대 클라이브 그레인저와 폴 뉴볼드는 허구적 회귀 문제의 위험성을 제기하며 공적분 개념의 중요성을 강조했다. 공적분 관계는 두 시계열 간의 장기적인 균형 관계를 나타낼 수 있으며, 엥글-그레인저 2단계 검정, 요한센 검정, 필립스-울리아리스 공적분 검정 등의 다양한 검정 방법을 통해 분석한다. 공적분 기법은 다중 공적분으로 확장되어 두 개 이상의 변수 및 서로 다른 차수로 적분된 변수에도 적용될 수 있으며, 시계열의 구조적 변화를 고려한 검정 방법과 베이지안 추론 기법도 존재한다.

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공적분
개요
통계적 속성시계열 데이터 모음의 통계적 속성
대상X1
X2
...
Xk
설명선형 결합 aX + bY + cZ
명칭
영어Cointegration
한자共和分
한국어공적분
관련 개념
영어Order of integration (적분 차수)

2. 역사

1926년 우드니 율이 허구적 회귀 문제라는 개념을 처음으로 도입하여 분석하였다.[24] 1980년대 이전에는 경제학자들이 주로 불안정적인 시계열 자료를 이용하여 선형 회귀 모형을 추정하였으나, 클라이브 그레인저와 폴 뉴볼드가 이 경우 허구적 회귀 문제를 야기할 수 있다는 것을 보였다.[25] 클라이브 그레인저와 로버트 엥글의 1987년 논문에서 공적분 벡터를 통한 접근으로 공적분이라는 개념을 공식화하였다.[26]

3. 허구적 회귀 문제

시계열 자료가 불안정적인 경우, 두 시계열 변수 사이에 아무런 관계가 없더라도 산점도에서 볼 때는 상관관계가 있는 것처럼 나타날 수 있다. 이는 실제로는 상관관계가 없는 변수들 사이에서도 유의미한 상관관계가 있는 것처럼 보이게 하여, 통계적 분석 결과를 왜곡하고 잘못된 결론으로 이어질 수 있다. 이러한 현상을 '''허구적 회귀'''(spurious regression)라고 한다.[27]

아무런 관계가 없는 확률보행 과정 시계열과 산점도의 모양


예를 들어, 오른쪽 그림의 두 시계열은 서로 아무런 관련성 없이 AR(1) 확률보행 과정을 통해 생성되었으나, 산점도를 보면 양의 상관관계가 있는 것처럼 보인다.

:

\begin{matrix}

X_t &=& X_{t-1} + u_t. & u_t \sim N(0,10^2) \\

Y_t &=& Y_{t-1} + v_t. & v_t \sim N(0,10^2)

\end{matrix}

이처럼 두 시계열이 서로 아무런 관련성이 없는데도 회귀 모형을 추정하면 유의미한 관계가 있는 것처럼 나타나는 것을 허구적 회귀라고 한다. 확률보행 과정을 따르는 시계열 또는 적분된 시계열의 수준을 분석하는 경우에는 두 시계열이 아무런 관계가 없음에도 불구하고 통계적으로 유의하다는 결론을 낼 확률이 상당히 높게 나타나는 문제가 발생한다.[25]

1926년 유들리 율은 허위 회귀, 즉 무의미한 회귀의 개념을 처음으로 도입하고 분석했다.[2]

1980년대 이전에는 많은 경제학자들이 비정상 시계열 데이터에 선형 회귀를 사용했는데, 노벨 경제학상 수상자인 클라이브 그레인저와 폴 뉴볼드는 표준 추세 제거 기술이 여전히 비정상적인 데이터를 생성할 수 있으므로 이는 허위 상관관계를 생성할 수 있는 위험한 접근 방식임을 보여주었다.[3][4]

단위근을 갖는 두 변수 간의 관계에 대한 가설을 검증할 때는 공적분의 존재 가능성을 고려해야 한다.[3]

예를 들어, 피지의 소비 시계열을 아프가니스탄의 GNP와 회귀하면 높은 결정 계수 관계를 나타낼 수 있는데, 이는 허위 상관관계이다.

4. 공적분 관계

여러 시계열 변수가 있을 때, 각 변수가 불안정적이더라도 이들의 선형 결합이 안정적일 수 있다. 이러한 경우를 공적분 관계라고 한다.[27][28][29] 공적분 벡터는 이러한 선형 결합을 나타내는 계수 벡터를 의미한다.[26] 예를 들어, y_t \sim \operatorname{I}(1), x_t \sim \operatorname{I}(1)이고 y_t - \beta x_t \sim \operatorname{I}(0)이 될 때 두 시계열의 공적분 벡터는 \mathbf{a} = \begin {bmatrix} 1 & -\beta \end {bmatrix}가 된다.[30]

만약 둘 이상의 시계열이 개별적으로 적분되었지만 (시계열적 의미에서) 이들의 일부 선형 결합이 더 낮은 적분 차수를 갖는다면, 해당 시계열은 공적분되었다고 한다. 흔한 예시는 개별 시계열이 1차 적분이지만 이들의 정상적 선형 결합을 형성하기 위해 (공적분) 계수 벡터가 존재하는 경우이다.

예를 들어, 주가 지수와 그 선물 거래에서의 가격은 시간 경과에 따라 변동하며, 각각 대체로 랜덤 워크를 따른다. 선물 가격과 현물 가격 사이에 통계적으로 유의미한 관계가 존재한다는 가설을 검정하는 것은 이 두 시계열의 공적분된 조합이 존재하는지에 대한 검정을 통해 이루어진다.

공적분 관계는 취객과 그의 개 사이의 목줄에 비유하여 설명하기도 한다.[31]

5. 공적분 검정

공적분 관계를 검정하는 방법은 여러 가지가 있다. 주로 사용되는 세 가지 방법은 다음과 같다.


  • 엥글-그레인저 2단계 검정: 두 시계열 간의 공적분 관계를 검정하는 기본적인 방법이다.
  • 요한센 검정: 여러 시계열 간의 공적분 관계를 동시에 검정할 수 있으며, 여러 개의 공적분 관계를 식별할 수 있다는 장점이 있다.[7][8][32][33]
  • 필립스-울리아리스 공적분 검정: 추정된 공적분 잔차에 적용된 잔차 기반 단위근 검정을 사용한다.

5. 1. 엥글-그레인저 2단계 검정

엥글-그레인저 2단계 검정은 두 시계열 간의 공적분 관계를 검정하는 가장 기본적인 방법이다.
1단계:먼저, 최소제곱법을 사용하여 회귀분석을 실시하고 잔차(\hat{u}_t)를 구한다. 두 시계열 x_t와 y_t가 모두 적분 차수 ''d''=1을 가지고 있고 공적분되어 있다면, 이들의 선형 결합은 안정적이어야 한다. 즉, 다음 식에서 u_t는 안정적이다.[6]

:y_t - \beta x_t = u_t \,
2단계:1단계에서 구한 잔차 \hat{u}_t의 안정성을 검정한다. 확대된 디키-풀러 검정 또는 필립스-페론 검정을 사용하는데, 이때 \beta를 추정해야 하므로 이 검정들의 임계값은 비표준적이며, 독립 변수가 많을수록 절대값이 증가한다.[6] 잔차의 차분 \Delta \hat{u}_t을 설명변수로, 1기 전의 잔차 \hat{u}_{t-1}을 포함하여 추정하는 방식으로 검정을 시행한다.

만약 잔차가 안정적이라면, 즉 u_t에 대한 검정에서 공적분 부재의 귀무 가설을 기각할 수 있다면 두 시계열 x_t와 y_t는 공적분 관계가 있다고 판단한다. 이 경우, 2단계 회귀를 수행하여 오차 수정 모형을 추정할 수 있다. 2단계 회귀는 \Delta y_t를 지연된 독립 변수, \Delta x_t 및 1단계에서 얻은 지연된 잔차 \hat{u}_{t-1}에 회귀하는 것이다. 2단계 회귀식은 다음과 같다.

:\Delta y_t = \Delta x_t b + \alpha u_{t-1} + \varepsilon_t

만약 변수들이 공적분되지 않는다면, \alpha=0이고 다음의 차분 모형을 추정한다.

:\Delta y_t = \Delta x_t b + \varepsilon_t

5. 2. 요한센 검정

요한센 검정은 여러 시계열 간의 공적분 관계를 동시에 검정할 수 있는 방법이다.[32][33] 엥글-그레인저 검정과 달리 여러 개의 공적분 관계를 식별할 수 있다는 장점이 있다.[7][8] 그러나 이 검정은 점근적 성질을 가지고 있어 대표본에서 적합하며, 표본 크기가 작을 경우 검정 결과의 신뢰성이 떨어질 수 있다.[19][20] 따라서 표본이 작은 경우에는 자기 회귀 분산 지체 모형(ARDL)을 사용하는 것이 좋다.

5. 3. 필립스-울리아리스 공적분 검정

피터 C. B. 필립스와 샘 울리아리스(1990)는 추정된 공적분 잔차에 적용된 잔차 기반 단위근 검정이 공적분 없음의 귀무 가설 하에서 일반적인 디키-풀러 분포를 따르지 않는다는 것을 보였다.[9][21] 귀무 가설 하에서의 허위 회귀 현상 때문에, 이러한 검정의 분포는 (1) 결정적 추세 항의 수와 (2) 공적분 검정을 받는 변수의 수에 따라 달라지는 점근적 분포를 갖는다. 이러한 분포는 필립스-울리아리스 분포로 알려져 있으며 임계값이 표로 정리되어 있다. 유한 표본의 경우, 이러한 점근적 임계값을 사용하는 것보다 시뮬레이션으로 임계값을 생성하는 것이 더 나은 대안이다.

6. 다중 공적분

다중 공적분은 공적분 기법을 둘 이상의 변수로 확장하며, 때로는 서로 다른 차수로 적분된 변수에도 적용한다.[1] 실제 공적분 관계는 두 개의 I(1)|아이(1)영어 시계열에 자주 사용되지만, 더 일반적으로 적용 가능하며, 더 높은 차수의 적분 변수에도 사용할 수 있다(상관된 가속 또는 기타 2차 차분 효과를 감지하기 위해).[1]

7. 시계열의 구조적 변화

공적분 검정은 연구 기간 동안 공적분 벡터가 일정하다고 가정한다. 실제로는 기술 발전, 경제 위기, 사람들의 선호와 행동 변화, 정책 또는 정권 변화, 조직 또는 제도적 발전 등의 이유로 기본 변수들 간의 장기적인 관계가 변동될 수 있다. 특히 표본 기간이 긴 경우에 이러한 현상이 발생할 가능성이 높다.[10][11][22][23] 이러한 문제를 고려하기 위해, 알 수 없는 구조적 변화가 한 번 있는 공적분 검정과 알 수 없는 변화가 두 번 있는 공적분 검정이 도입되었다.

8. 베이지안 추론

다수의 베이즈 방법이 공적분 관계의 수와 공적분 선형 결합의 사후 분포를 계산하기 위해 제안되었다.[12]

참조

[1] 논문 Trends and random walks in macroeconomic time series
[2] 논문 Why do we sometimes get nonsense-correlations between time series? - A study in sampling and the nature of time series
[3] 논문 Spurious Regressions in Econometrics
[4] 논문 Some Properties of Time Series Data and Their Use in Econometric Model Specification
[5] 논문 Co-integration and error correction: Representation, estimation and testing http://pe.cemi.rssi.[...]
[6] URL https://www.econ.que[...] 2024-02
[7] 웹사이트 ARDL Models - Part II - Bounds Tests http://davegiles.blo[...] 2014-08-04
[8] 논문 Bounds testing approaches to the analysis of level relationships 2001
[9] 논문 Asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration http://cowles.yale.e[...] 2019-12-14
[10] 논문 Residual-based tests for cointegration in models with regime shifts https://www.econ.que[...]
[11] 논문 Tests for cointegration with two unknown regime shifts with an application to financial market integration https://ideas.repec.[...]
[12] 서적 Handbook of Econometrics Vol.1 Econometric Theory https://strathprints[...] Palgrave Macmillan 2006-01-01
[13] 논문 Trends and random walks in macroeconmic time series
[14] 문서 つまり、[[単位根]]過程。
[15] 논문 Some Properties of Time Series Data and Their Use in Econometric Model Specification
[16] 논문 Spurious Regressions in Econometrics
[17] 논문 The Misleading Value of Measured Correlation
[18] 논문 Co-integration and error correction: Representation, estimation and testing
[19] 웹사이트 ARDL Models - Part II - Bounds Tests https://davegiles.bl[...] 2014-08-04
[20] 논문 Bounds testing approaches to the analysis of level relationships 2001
[21] 논문 Asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration
[22] 논문 Residual-based tests for cointegration in models with regime shifts
[23] 논문 Tests for cointegration with two unknown regime shifts with an application to financial market integration https://ideas.repec.[...]
[24] 논문
[25] 논문
[26] 논문
[27] 서적
[28] 웹인용 https://www.nobelpri[...] 2022-04-10
[29] 논문
[30] 서적
[31] 논문
[32] 웹인용 ARDL Models - Part II - Bounds Tests http://davegiles.blo[...] 2014-08-04
[33] 논문 Bounds testing approaches to the analysis of level relationships 2001
[34] 논문 Asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration http://cowles.yale.e[...] 2022-06-11


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