폴리아몬드

3. 종류 및 개수

폴리아몬드는 정삼각형 여러 개를 이어 붙여 만든 평면도형이다. 기본적인 조합 문제는 주어진 개수의 정삼각형으로 만들 수 있는 서로 다른 폴리아몬드가 몇 가지인지 묻는 것이다. 폴리오미노와 마찬가지로, 폴리아몬드는 자유형, 일면형, 고정형으로 분류할 수 있다. 자유 폴리아몬드는 평행이동, 회전, 반사에 대해 모두 같은 모양으로 취급하며, 일면 폴리아몬드는 반사된 모양을 다른 모양으로 취급한다.

''n'' = 1, 2, 3, ...일 때, 자유 ''n''-아몬드의 개수는 다음과 같다.

: 1, 1, 1, 3, 4, 12, 24, 66, 160, ...

일부 저자는 다이아몬드 (60° 각도의 마름모)를 프랑스 과자와 비슷한 모양을 따서 ''칼리송''이라고도 부른다.^[2][3]

3. 1. 폴리아몬드의 종류

3. 2. 폴리아몬드의 개수 세기

일부 저자는 다이아몬드 (60° 각도의 마름모)를 비슷한 모양의 프랑스 과자를 따라 ''칼리송''이라고도 부른다.^[2][3]

이름	형태의 수	형태
모나이아몬드	1
다이아몬드	1
트라이아몬드	1
테트라아몬드	3
펜타이아몬드	4
헥사이아몬드	12

4. 대칭

폴리아몬드는 거울 대칭, 2-회전 대칭, 3-회전 대칭, 6-회전 대칭이 가능하며, 각각은 거울 대칭과 결합될 수 있다.

거울 대칭 유무에 따른 2-회전 대칭은 각각 최소 2개 및 4개의 삼각형을 필요로 한다. 거울 대칭 유무에 따른 6-회전 대칭은 각각 최소 6개 및 18개의 삼각형을 필요로 한다. 비대칭은 최소 5개의 삼각형을 필요로 한다. 거울 대칭이 없는 3-회전 대칭은 최소 7개의 삼각형을 필요로 한다.

거울 대칭만 있는 경우, 대칭축이 격자에 맞춰져 있는지 또는 30° 회전되어 있는지 구별할 수 있다(각각 최소 4개 및 3개의 삼각형이 필요함). 3-회전 대칭의 경우도 마찬가지이며, 거울 대칭과 결합된 경우(각각 최소 18개 및 1개의 삼각형이 필요함)도 마찬가지이다.

5. 테셀레이션

8차 이하의 모든 폴리아몬드는 평면을 타일링할 수 있으며, V-헵타이아몬드는 예외이다.

6. 폴리헥스와의 관계

7. 대중문화

1차부터 6차까지의 폴리아몬드 22개는 보드 게임 블로커스 트리곤에서 게임 말로 사용된다. 플레이어들은 게임 규칙에 따라 가능한 한 많은 폴리아몬드로 평면을 채워야 한다.^[1] 블로커스・트라이곤은 폴리아몬드-헥사몬드 22개 조각을 판에 놓는 보드 게임이다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 A000577 https://oeis.org/A00[...] The OEIS Foundation Inc. 2021-07-09
_[2] 서적 A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century https://books.google[...] 2015-12-31
_[3] 학술지 The Problem of the Calissons http://jstor.org/sta[...]
_[4] 웹사이트 All of the polyiamonds of order eight or less, with the exception of one of the heptiamonds will tessellate the plane. The exception is the V-shaped heptiamond. Gardner (6th book p.248) posed the problem of identifying this heptiamond and reproduced an impossibilty proof of Gregory. However, in combination with other heptiamonds or other polyiamonds, tesselations using this V-shaped heptiamond can be achieved. http://www.mathpuzzl[...]