푸비니의 미분 정리
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1. 개요
푸비니의 미분 정리는 닫힌 구간에서 정의된 단조 증가 함수의 급수가 점별수렴할 때, 거의 모든 점에서 급수의 미분값이 개별 함수의 미분값의 합과 같다는 정리이다. 이 정리는 르베그 미분가능성 정리와 지배 수렴 정리를 이용하여 증명할 수 있다. 모든 k에 대해 증가 함수라는 가정이 없다면, 동일한 결론을 얻기 위해 급수의 균등 수렴과 같은 더 엄격한 조건이 필요하다. 이탈리아 수학자 귀도 푸비니가 증명했다.
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| 푸비니의 미분 정리 | |
|---|---|
| 미분 정리 개요 | |
| 분야 | 실해석학 |
| 주제 | 적분과 미분의 관계 |
| 이름 붙여짐 | 귀도 푸비니 |
| 내용 | |
| 설명 | 적분 부호 아래에서 미분하는 방법에 대한 정리이다. |
| 중요성 | 매개변수에 따라 달라지는 적분의 미분 가능성을 결정하는 데 유용하다. |
| 공식 명칭 | |
| 영어 | Fubini's theorem on differentiation |
| 한국어 | 푸비니의 미분 정리 |
2. 정의
닫힌 구간 [a, b] 상에서 정의된 단조 증가함수의 급수 가 로 점별수렴하면, 거의 모든 점에서 이 성립한다.[3] 이 정리는 르베그 미분가능성 정리와 지배 수렴 정리를 이용하여 증명할 수 있다.[4]
구간 I ⊆ ℝ에서 모든 자연수 ''k''에 대해 fk: I → ℝ가 증가 함수이고, s(x) := Σ fk(x)가 모든 x ∈ I에 대해 존재한다면, 거의 모든 x ∈ I에 대해 미분값이 존재하며 s'(x) = Σ fk'(x)가 성립한다.[1]
만약 모든 ''k''에 대해 ''fk''가 증가 함수라는 가정이 없다면, 동일한 결론을 얻기 위해 모든 n에 대해 Σ fk'(x)의 ''I''에서의 균등 수렴과 같은 더 엄격한 조건이 필요하다.[2]
2. 1. 푸비니의 미분 정리
닫힌 구간 [a, b] 상에서 정의된 단조 증가 함수의 급수 Σ fk(x)가 s(x)로 점별수렴하면, 거의 모든 점에서 s'(x) = Σ fk'(x)가 성립한다.[3] 이 정리는 르베그 미분가능성 정리와 지배 수렴 정리를 이용하여 증명할 수 있다.[4]구간 I ⊆ ℝ에서 모든 자연수 ''k''에 대해 fk: I → ℝ가 증가 함수이고, s(x) := Σ fk(x)가 모든 x ∈ I에 대해 존재한다면, 거의 모든 x ∈ I에 대해 미분값이 존재하며 s'(x) = Σ fk'(x)가 성립한다.[1]
만약 모든 ''k''에 대해 ''fk''가 증가 함수라는 가정이 없다면, 동일한 결론을 얻기 위해 모든 n에 대해 Σ fk'(x)의 ''I''에서의 균등 수렴과 같은 더 엄격한 조건이 필요하다.[2]
2. 2. 추가 설명
일반적으로, 모든 k에 대해 fk가 증가 함수라는 가정이 없을 경우, 모든 n에 대해 Σ fk'(x)의 I에서의 균등 수렴과 같은 더 엄격한 조건이 필요하다.[2]3. 역사
4. 증명
참조
[1]
서적
Lebesgue Integration on Euclidean Space
Jones and Bartlett publishers
[2]
서적
Principles of Mathematical Analysis
McGraw-Hill
[3]
서적
실해석
서울대학교출판부
[4]
서적
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