푸앵카레 군

3. 성질

''d''차원 민코프스키 공간에서 푸앵카레 군의 차원은 다음과 같다.

:$\backslash dim\backslash operatorname\{ISO\}(1,d-1)=d+\backslash frac\{d(d-1)\}2=d(d+1)/2$

특히, 4차원 푸앵카레 변환은 10차원의 리 군을 이룬다.

푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 $(\backslash Lambda^\backslash mu\_\backslash nu,a^\backslash mu)$은 사차원 벡터 $x^\backslash mu$에 다음과 같이 작용한다.

:$x^\backslash mu\; \backslash mapsto\; x^\{\text{'}\backslash mu\}\; =\; \{\backslash Lambda^\backslash mu\}\_\backslash nu\; x^\backslash nu\; +\; a^\backslash mu$

여기서 $\backslash Lambda^\backslash mu\_\backslash nu$는 임의의 로런츠 변환이고, $a^\backslash mu$는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환(translation^영어)의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 '''푸앵카레 대칭성'''을 지닌다고 한다.

푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적

:$x^\backslash mu\; x\_\backslash mu\; =\; x^\backslash mu\; x^\backslash nu\; \backslash eta\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; (ct)^2\; -\; x^2\; -\; y^2\; -\; z^2$

을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(Euclidean group^영어, 유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.

푸앵카레 변환 가운데 $a^\backslash mu=0$인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군을 '''로런츠 군'''(Lorentz group^영어, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 '''로런츠 대칭성'''(Lorentz symmetry^영어)이라고 한다.

앞의 변환 $x^\backslash mu\; \backslash to\; x^\{\text{'}\backslash mu\}\; =\; \{\backslash Lambda^\backslash mu\}\_\backslash nu\; x^\backslash nu\; +\; a^\backslash mu$의 연산자를 $(\backslash Lambda,a)$라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.

• $(\backslash Lambda,a)(M,b)\; =\; (\backslash Lambda\; M,\; \backslash Lambda\; b\; +\; a)$
• $(\backslash Lambda,a)^\{-1\}\; =\; (\backslash Lambda^\{-1\},\; -\backslash Lambda^\{-1\}a)$
• $[(\backslash Lambda,a)(M,b)](N,c)\; =\; (\backslash Lambda,a)[(M,b)(N,c)]$

4. 푸앵카레 대칭

푸앵카레 대칭은 특수 상대성 이론의 완전한 대칭이다. 여기에는 다음이 포함된다.

• 시간 및 공간에서의 ''병진''(변위) (기호 '''P'''): 시공간 병진의 아벨 리 군을 형성한다.
• 공간에서의 ''회전''(기호 '''J'''): 3차원 회전의 비 아벨 리 군을 형성한다.
• 균일하게 움직이는 두 물체를 연결하는 ''부스트''(기호 '''K''').

5. 푸앵카레 대수

푸앵카레 대수는 푸앵카레 군의 리 대수이다. 이는 로렌츠 군의 리 대수의 리 대수 확장이다. 더 구체적으로, 로렌츠 부분군의 proper ($\backslash det\backslash Lambda\; =\; 1$) , orthochronous ($\{\backslash Lambda^0\}\_0\; \backslash geq\; 1$) 부분 (그것의 항등 요소) $\backslash mathrm\{SO\}(1,\; 3)\_+^\backslash uparrow$는 항등 요소에 연결되어 있으며, 따라서 이 리 대수의 지수 $\backslash exp\backslash left(ia\_\backslash mu\; P^\backslash mu\backslash right)\backslash exp\backslash left(\backslash frac\{i\}\{2\}\backslash omega\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; M^\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash right)$에 의해 제공된다.^[7][8]

성분 형태로, 푸앵카레 대수는 다음과 같은 교환 관계를 갖는다:

:$\backslash begin\{align\}[]$

[P_\mu, P_\nu] &= 0\, \\

\frac{1}{i}~[M_{\mu\nu}, P_\rho] &= \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\, \\

\frac{1}{i}~[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] &= \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\, ,

\end{align}

여기서 $P$는 병진의 생성자이고, $M$은 로렌츠 변환의 생성자이며, $\backslash eta$는 $(+,-,-,-)$ 민코프스키 메트릭이다 (부호 규칙 참조).

6. 푸앵카레 변환

푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적

:$x^\backslash mu\; x\_\backslash mu\; =\; x^\backslash mu\; x^\backslash nu\; \backslash eta\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; (ct)^2\; -\; x^2\; -\; y^2\; -\; z^2$

을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.^[1]

일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환(translation^영어)의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 '''푸앵카레 대칭성'''을 지닌다고 한다.^[1]

$a^\backslash mu=0$인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군을 '''로런츠 군'''(Lorentz group^영어, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 '''로런츠 대칭성'''(Lorentz symmetry^영어)이라고 한다.^[1]

이러한 변환에는 총 10개의 자유도가 존재한다. 이는 시간 또는 공간을 통한 이동(4개의 자유도, 차원당 1개), 평면을 통한 반사(3개의 자유도, 이 평면의 방향에 대한 자유), 또는 세 개의 공간 방향 중 임의의 방향으로의 "부스트"(3개의 자유도)로 생각할 수 있다.^[1]

6. 1. 좌표 변환

6. 2. 생성자

7. 다른 차원

위의 정의는 임의의 차원으로 간단하게 일반화될 수 있다. ''d''차원 푸앵카레 군은 다음과 같은 반직접곱으로 유사하게 정의된다.

:$\backslash operatorname\{IO\}(1,\; d\; -\; 1)\; :=\; \backslash mathbf\{R\}^\{1,\; d-1\}\; \backslash rtimes\; \backslash operatorname\{O\}(1,\; d\; -\; 1)$

유사한 곱셈은 다음과 같다.

:$(\backslash alpha,\; f)\; \backslash cdot\; (\backslash beta,\; g)\; =\; (\backslash alpha\; +\; f\; \backslash cdot\; \backslash beta,\backslash ;\; f\; \backslash cdot\; g)$.^[6]

리 대수는 지수 µ와 ν가 이제 0에서 ''d'' − 1 사이의 값을 갖는 형태로 유지된다.

8. 역사

헤르만 민코프스키가 1908년에 도입하였다.^[10][11] 앙리 푸앵카레는 푸앵카레 군에 대해 직접적으로 논하지는 않았으나, 1905년에 로런츠 군이 군을 이룬다는 사실을 보였다.^[12] 푸앵카레 군은 그의 이름을 따 명명되었다.

참조

_[1] 논문 Sur la dynamique de l'électron 1905-12-14
_[2] 논문 Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern
_[3] 논문 Raum und Zeit
_[4] 웹사이트 Survey of Symmetry and Conservation Laws: More Poincare http://frankwilczek.[...] 2021-02-14
_[5] 간행물 On the six components of optical angular momentum https://iopscience.i[...] 2011-06-01
_[6] 서적 BMS Particles in Three Dimensions https://books.google[...] Springer 2017-08-01
_[7] 서적 General Principles of Quantum Field Theory https://books.google[...] Springer
_[8] 서적 Relativistic Quantum Physics: From Advanced Quantum Mechanics to Introductory Quantum Field Theory https://books.google[...] Cambridge University Press
_[9] 웹사이트 Topics: Poincaré Group http://www.phy.olemi[...] 2021-07-18
_[10] 저널 Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern
_[11] 저널 Raum und Zeit
_[12] 저널 Sur la dynamique de l’électron