피카르의 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 피카르의 정리
- 2.1. 피카르의 대정리
  - 2.1.1. 메로모픽 함수에 대한 대정리
- 2.2. 피카르의 소정리
3. 증명
- 3.1. 피카르의 소정리 증명
- 3.2. 피카르의 대정리 증명
4. 예
5. 역사
6. 관련 연구
참조

1. 개요

피카르의 정리는 복소해석학의 중요한 정리로, '피카르의 소정리'와 '피카르의 대정리'로 나뉜다. 소정리는 상수 함수가 아닌 전해석 함수는 모든 복소 평면이거나, 한 점이 빠진 복소 평면을 상으로 갖는다는 것을, 대정리는 해석적 함수가 본질적 특이점을 가지는 경우, 그 특이점의 모든 천공된 근방에서 최대 하나의 예외를 제외하고 모든 복소값을 무한히 많이 취한다는 것을 의미한다. 소정리는 대정리의 따름 정리이며, 두 정리 모두 '단일 예외'가 존재할 수 있다. 피카르의 정리는 리우빌 정리와 카소라티-바이어슈트라스 정리를 강화한 것으로, 에밀 피카르의 이름을 따서 명명되었다. 메로모픽 함수에도 적용되는 대 피카르 정리와 관련 연구가 진행되고 있다.

더 읽어볼만한 페이지

복소해석학 정리 - 리만 사상 정리
리만 사상 정리는 복소해석학에서 단일 연결 열린 진부분집합 사이의 각도를 보존하는 정칙함수, 즉 등각 사상의 존재를 보장하는 중요한 정리이다.
복소해석학 정리 - 리만-로흐 정리
리만-로흐 정리는 콤팩트 리만 곡면에서 인자의 차수, 유리형 함수 공간의 차원, 곡면의 종수 사이의 관계를 나타내는 정리로서, 유리형 함수를 구성하는 문제에 대한 해답을 제시하며 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

피카르의 정리
수학적 정의
유형	정리
분야	복소해석학
이름	피카르의 정리
피카르 대정리
내용	임의의 해석 함수 f에 대해, 그 정의역에서 진성 특이점을 갖는 경우, 그 점의 임의의 근방에서 f는 (유한한) 값을 단 하나만 제외하고 모든 값을 무한히 많이 취한다.
피카르 소정리
내용	정수 함수가 상수 함수가 아니라면, 그 함수는 복소 평면 전체에서 값을 하나 이상 취한다.

2. 피카르의 정리

피카르의 정리는 크게 '피카르의 대정리'와 '피카르의 소정리' 두 가지로 나뉜다.

리만 곡면 $\Sigma$ 및 점 $z_0\in\Sigma$ 가 주어졌다고 하고, 정칙 함수

: $f\colon\Sigma\setminus\{z_0\}\to\widehat{\mathbb C}$

가 $z_0$ 에서 본질적 특이점을 갖는다고 하자. '''피카르의 대정리'''에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점 $w_1,w_2\in\widehat{\mathbb C}$ 이 존재한다.

임의의 근방 $U\ni z_0$ 및 임의의 $w\in\widehat{\mathbb C}\setminus\{w_1,w_2\}$ 에 대하여, $w=f(z_1)=f(z_2)=f(z_3)=\cdots$ 인 $z_1,z_2,z_3,\dots\in U$ 가 존재한다.

'''피카르의 소정리'''에 따르면, 만약

f\colon\mathbb C\to\mathbb C

가 정칙 함수라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.

$f(\mathbb C)=\mathbb C$
$\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\mathbb C\setminus\{w_0\}$
$\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\{w_0\}$

이는 리우빌 정리를 강화한 것이다.

피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다.

\Sigma=\widehat{\mathbb C}

이며

z_0=\widehat\infty

라고 하고, 함수

f\colon\widehat{\mathbb C}\setminus\{\widehat\infty\}\to\mathbb C

가 무한대에서 어떤 성질을 갖는지에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 분류할 수 있다.

만약 $f$ 가 무한대에서 정칙 함수라면, 리우빌 정리에 따라 $f$ 는 상수 함수이다.
만약 $f$ 가 무한대에서 극점을 갖는다면, $f$ 는 다항식이다. 이 경우 대수학의 기본정리에 따라 $f(\mathbb C)=\mathbb C$ 이다.
만약 $f$ 가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라 $f(\mathbb C)=\widehat{\mathbb C}\setminus\{w_1,w_2\}$ 의 꼴이며, $f(\mathbb C)\subset\mathbb C$ 이므로 $w_2=\widehat\infty$ 로 놓을 수 있다.

2. 1. 피카르의 대정리

피카르의 대정리는 복소해석학의 정리로, 고립된 본질적 특이점 근방에서 함수가 취하는 값에 대한 정보를 제공한다. 이 정리에 따르면, 정칙 함수

f

가 점

w

에서 본질적 특이점을 가지면,

w

의 모든 천공된 근방(punctured neighborhood)에서

f(z)

는 최대 하나의 예외를 제외하고 모든 가능한 복소수 값을 무한히 많이 취한다.^[1]

이는

f

의 범위가 복소 평면에서 조밀함을 보장하는 카소라티-바이어슈트라스 정리를 상당히 강화한 것이다.

예를 들어, 함수

f(z) = e^{\frac{1}{z}}

는

z = 0

에서 본질적 특이점을 갖지만, 0은 값으로 취하지 않는다.^[1]

피카르의 대정리는 메로모픽 함수에도 적용되는 더 일반적인 형태로 확장될 수 있다.

2. 1. 1. 메로모픽 함수에 대한 대정리

메로모픽 함수에 대한 대 피카르 정리는 다음과 같다.^[1]

> '''대 피카르 정리 (메로모픽 버전):''' ''M''이 리만 곡면이고, ''w''가 ''M'' 위의 점이며, '''P'''¹('''C''') = '''C''' ∪ {∞}가 리만 구를 나타내고, ''f'' : ''M''\{''w''} → '''P'''¹('''C''')가 ''w''에서 본질적 특이점을 갖는 정칙 함수라면, ''w''를 포함하는 ''M''의 모든 열린 부분 집합에서 함수 ''f''(''z'')는 '''P'''¹('''C''')의 모든 점(최대 두 개의 점 제외)을 무한히 많이 갖는다.
예시: 함수 ''f''(''z'') = 1/(1 − ''e''^1/''z'')는 ''z'' = 0에서 본질적 특이점을 가지는 메로모픽 함수이다. 이 함수는 원점이 삭제된 복소 평면('''C*''' = '''C''' - {0})에서 정의되며, 0의 모든 근방에서 값 ∞를 무한히 많이 갖는다. 하지만 0 또는 1의 값은 갖지 않는다.^[1]

이 일반화를 통해, 정함수는 다항식이거나 무한대에서 본질적 특이점을 갖기 때문에 ''소 피카르 정리''는 ''대 피카르 정리''에서 도출된다. 소 피카르 정리와 마찬가지로, (최대 두 개의) 갖지 않는 점들은 함수의 공백 값이다.^[1]

2. 2. 피카르의 소정리

정칙 함수

f\colon\mathbb C\to\mathbb C

에 대하여, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다. 즉, 상수 함수가 아닌 전해석 함수는 모든 복소 평면이거나, 한 점이 빠진 복소 평면을 상으로 갖는다. 피카르의 소정리는 리우빌 정리를 강화한 것이다. 피카르의 소정리는 피카르의 대정리에서 도출된다.

$f(\mathbb C)=\mathbb C$
$\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\mathbb C\setminus\{w_0\}$
$\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\{w_0\}$

만약 함수

f: \mathbb{C} \to\mathbb{C}

가 전해석적이고 상수 함수가 아니라면,

f(z)

가 취하는 값들의 집합은 전체 복소 평면이거나 평면에서 단일 점을 뺀 것이다.^[1]

이 정리는 전체 상수 함수가 아닌 함수의 이미지가 무계여야 함을 명시하는 리우빌 정리를 상당히 강화한 것이다.^[1]

f

의 값이 단일 점을 누락하는 경우, 이 점은 함수의 공백 값이라고 한다.^[1]

"단일 예외"는 정리에 필요하며, e^z는 0이 아닌 전체 상수 함수라는 예시로 설명된다.^[1]

피카르의 소정리는 대정리의 따름 정리이며, 상수 이외의 전해석 함수의 치역이 기껏해야 유일한 점을 제외한 복소 평면 전체로 확장됨을 주장한다. 다시 말해, 복소 평면에서 두 점 이상을 결여하는 치역을 갖는 전해석 함수는 상수로 제한됨을 주장한다. 피카르의 정리는 카조라티-바이어슈트라스 정리나 리우빌 정리를 강화한 것이다.

3. 증명

피카르의 소정리와 대정리는 다양한 방법으로 증명될 수 있다.
피카르의 대정리 증명 (귀류법)함수 ''f''가 점 ''w'' 주변 반지름 ''r''의 천공 원판에서 해석적이고, ''f''가 두 값 ''z''₀과 ''z''₁을 생략한다고 가정한다. 일반성을 잃지 않고 ''z''₀ = 0, ''z''₁ = 1, ''w'' = 0, 그리고 ''r'' = 1이라고 가정할 수 있다.

함수 ''F''(''z'') = ''f''(''e''^−''z'')는 오른쪽 반평면 Re(''z'') > 0에서 해석적이다. 오른쪽 반평면이 단일 연결되어 있기 때문에, 피카르의 소정리 증명과 유사하게, 오른쪽 반평면에서 정의된 해석 함수 ''G''와 ''H''가 존재하여 ''F''(''z'') = ''e''^{2π''iG''(''z'')}이고 ''G''(''z'') = cos(''H''(''z''))이다. 란다우의 정리와 소 피카르 정리 증명에서 ''H''의 범위에 대한 관찰에 의해, |''H''′(''w'')| ≤ ''C'' / Re(''w'')를 만족하는 상수 ''C'' > 0이 존재한다. 따라서 모든 실수 ''x'' ≥ 2 및 0 ≤ ''y'' ≤ 2π에 대해,

::: $|H(x+iy)|=\left|H(2+iy)+\int_2^xH'(t+iy)\,\mathrm{d}t\right|\le|H(2+iy)|+\int_2^x\frac{C}{t}\,\mathrm{d}t\le A\log x,$

여기서 ''A'' > 0은 상수이다. 따라서 |''G''(''x'' + ''iy'')| ≤ ''x''^''A''이다.

다음으로, 오른쪽 반평면에서 ''F''(''z'' + 2π''i'') = ''F''(''z'')임을 관찰하면, 이는 ''G''(''z'' + 2π''i'') − ''G''(''z'')가 항상 정수임을 의미한다. ''G''가 연속적이고 그 영역이 연결 공간이므로, 차이 ''G''(''z'' + 2π''i'') − ''G''(''z'') = ''k''는 상수이다. 즉, 함수 ''G''(''z'') − ''kz'' / (2π''i'')는 주기 2π''i''를 가진다. 따라서 0 주변 반지름 ''e''⁻²의 천공 원판에서 정의된 해석 함수 ''g''가 존재하여 ''G''(''z'') − ''kz'' / (2π''i'') = ''g''(''e''^−''z'')이다.

위에 있는 ''G''에 대한 경계를 사용하여, 모든 실수 ''x'' ≥ 2 및 0 ≤ ''y'' ≤ 2π에 대해,

:: $\left|G(x+iy)-\frac{k(x+iy)}{2\pi i}\right|\le x^A+\frac$

{2\pi}(x+2\pi)\le C'x^{A'}

가 성립하며, 여기서 ''A''′ > ''A''이고 ''C''′ > 0은 상수이다. 주기성 때문에, 이 경계는 실제로 모든 ''y''에 대해 성립한다. 따라서 0 < |''z''| < ''e''⁻²에 대해 |''g''(''z'')| ≤ ''C''′(−log|''z''|)^''A''′의 경계를 갖는다. 리만의 제거 가능한 특이점에 대한 정리에 의해, ''g''는 0 주변 반지름 ''e''⁻²의 열린 원판에서 해석 함수로 확장된다.

따라서 ''G''(''z'') − ''kz'' / (2π''i'')는 Re(''z'') ≥ 3인 반평면에서 유계이다. 따라서 ''F''(''z'')''e''^−''kz''는 Re(''z'') ≥ 3인 반평면에서 유계이며, ''f''(''z'')''z''^''k''는 0 주변 반지름 ''e''⁻³의 천공 원판에서 유계이다. 리만의 제거 가능한 특이점에 대한 정리에 의해, ''f''(''z'')''z''^''k''는 0 주변 반지름 ''e''⁻³의 열린 원판에서 해석 함수로 확장된다. 그러므로 ''f''는 0에서 본질적 특이점을 갖지 않는다.

그러므로 함수 ''f''가 0에서 본질적 특이점을 갖는다면, 0 주변의 열린 원판에서 ''f''의 범위는 최대 하나의 값을 생략한다. ''f''가 어떤 값을 유한 번만 취한다면, 0 주변의 충분히 작은 열린 원판에서 ''f''는 그 값을 생략한다. 따라서 ''f''(''z'')는 최대 하나의 값을 제외하고, 가능한 모든 복소수 값을 무한히 많이 취한다.

최댓값 원리와 루셰 정리 등을 이용한 증명^[1]도 가능하다.

다른 증명^[1]은 귀류법을 사용한다.

|z-z_0|<\delta

에서

f(z)\neq\{a,b\}

이면

|z|<1

에서

:

F(z)=\frac{f\left(\tfrac{z-z_0}{\delta}\right)-a}{b-a}\neq\{0,1\}

이다.

M=\sup_

{2}v+u_1\right)-H\left(u_1\right)\right)

로 둔다.

J(v)

는

|v|<1

에서 정칙이며,

J(v)-w

가 근을 갖지 않는

|w|<\frac{4}{(1-|t|)G'(t)}

가 존재한다.

이를 미분하면

:

J'(v)=(1-|u_1|)H'\left(\frac{1-|u_1|}{2}v+u_1\right)

가 된다.

|J'(0)|=|H_1(u_1)|=1

이다.

|J'(v)|

의 최댓값은, 최댓값 원리에 의해

:

\sup_{|v|<1}|J'(v)|\le\sup_

{2}}(1-|u|)|H'(u)|\le(1-|u_1|)\frac{2}{1+|u_1|}\le2

이다.

\left|J'(v)-1\right|\le3

이므로, 슈바르츠 보조정리에 의해

|J'(v)-1|\le{3v}

이며, 적분하면

:

|J(v)-v|\le{\frac{3}{2}|v|^2}

가 된다. 임의의

|w|<\tfrac{1}{7}

에 대해

:

\begin{align}&J_1(v)=J(v)-w\\&J_2(v)=v-w\\\end{align}

로 두면

|v|=\tfrac{1}{3}

위에서

|J_1(v)-J_2(v)|=|J(v)-v|\le\tfrac{1}{6}<|J_2(v)|

이므로, 루셰 정리에 의해

J_1(v)

와

J_2(v)

는

|v|<\tfrac{1}{3}

안에 같은 수의 근을 가지지만,

J_2(v)

가 근을 가지므로

J_1(v)

도 근을 가져야 한다. 이를 위해서는

:

\left|\frac{4}{(1-|t|)G'(t)}\right|\ge\frac{1}{7}

이어야 한다.

|t|<\tfrac{1}{57}

이라고 하면

|G'(t)|\le\tfrac{57}{2}

가 되고,

|F_1(0)|=|F(z_2)|<\tfrac{1}{2}

에 의해

|G(0)|<\tfrac{1}{2}

이므로

:

|G(t)|\le|G(0)|+\left[\frac{57}{2}t\right]_{0}^{\frac{1}{57}}<1

:

|F_1(t)|=\left|e^{2{\pi}\sinh^2{G(t)}}\right|<{e^{2{\pi}e^2}}

가 되어

:

\sup_

|F(z)|\le\sup_{|x|\le\tfrac{1}{59}}|F_1(x)|

가 되지만

:

z_1\in\{z\in\mathbb{C}:\;|z_2|<|z|

이고

:

\sup_{|z|=e^{-60\pi}}|F(z)|=M<|F(z_1)|

이므로, 최댓값 원리에 의해

:

\sup_

|F(z)|\ge

>e^{15\pi}

이어야 한다. 따라서 역의 가정은 모순을 내포한다.

3. 1. 피카르의 소정리 증명

f\colon\mathbb C\to\mathbb C

가 두 개의 값

z_0

와

z_1

을 생략하는 전해석 함수라고 가정하면, 일반성을 잃지 않고

z_0=0

과

z_1=1

이라고 가정할 수 있다.

\mathbb{C}

가 단일 연결되어 있고

f

의 범위가

0

을 생략하므로, ''f''는 해석적 로그를 갖는다.

f(z)=e^{2\pi ig(z)}

가 되도록 하는 전해석 함수

g

를 생각해보자. 그러면

g

의 범위는 모든 정수를 생략한다. 근의 공식을 사용하여,

g(z)=\cos(h(z))

가 되도록 하는 전해석 함수 ''

h

''가 존재한다. 그러면

h

의 범위는

2\pi n \pm i \cosh^{-1}(m)

형태의 모든 복소수를 생략하는데, 여기서

n

은 정수이고

m

은 음이 아닌 정수이다.

란다우의 정리에 따르면,

h'(w) \ne 0

이면 모든

{R > 0}

에 대해

h

의 범위는 반지름이

|h'(w)| R/72

인 원반을 포함한다. 그러나 위에서 보았듯이, 충분히 큰 원반은 ''h''의 범위가 생략하는 숫자를 적어도 하나 이상 포함한다. 따라서 모든

w

에 대해

h'(w)=0

이다. 미적분학의 기본 정리에 의해,

h

는 상수이므로

f

는 상수이다.

3. 2. 피카르의 대정리 증명

귀류법을 사용하여 증명한다. 함수 ''f''가 점 ''w'' 주변 반지름 ''r''의 천공 원판에서 해석적이고, ''f''가 두 값 ''z''₀과 ''z''₁을 생략한다고 가정한다. 일반성을 잃지 않고 ''z''₀ = 0, ''z''₁ = 1, ''w'' = 0, 그리고 ''r'' = 1이라고 가정할 수 있다.

함수 ''F''(''z'') = ''f''(''e''^−''z'')는 오른쪽 반평면 Re(''z'') > 0에서 해석적이다. 오른쪽 반평면이 단일 연결되어 있기 때문에, 소 피카르 정리의 증명과 유사하게, 오른쪽 반평면에서 정의된 해석 함수 ''G''와 ''H''가 존재하여 ''F''(''z'') = ''e''^{2π''iG''(''z'')}이고 ''G''(''z'') = cos(''H''(''z''))이다. 란다우의 정리와 소 피카르 정리 증명에서 ''H''의 범위에 대한 관찰에 의해, |''H''′(''w'')| ≤ ''C'' / Re(''w'')를 만족하는 상수 ''C'' > 0이 존재한다. 따라서 모든 실수 ''x'' ≥ 2 및 0 ≤ ''y'' ≤ 2π에 대해,

:::

|H(x+iy)|=\left|H(2+iy)+\int_2^xH'(t+iy)\,\mathrm{d}t\right|\le|H(2+iy)|+\int_2^x\frac{C}{t}\,\mathrm{d}t\le A\log x,

여기서 ''A'' > 0은 상수이다. 따라서 |''G''(''x'' + ''iy'')| ≤ ''x''^''A''이다.

다음으로, 오른쪽 반평면에서 ''F''(''z'' + 2π''i'') = ''F''(''z'')임을 관찰하면, 이는 ''G''(''z'' + 2π''i'') − ''G''(''z'')가 항상 정수임을 의미한다. ''G''가 연속적이고 그 영역이 연결 공간이므로, 차이 ''G''(''z'' + 2π''i'') − ''G''(''z'') = ''k''는 상수이다. 즉, 함수 ''G''(''z'') − ''kz'' / (2π''i'')는 주기 2π''i''를 가진다. 따라서 0 주변 반지름 ''e''⁻²의 천공 원판에서 정의된 해석 함수 ''g''가 존재하여 ''G''(''z'') − ''kz'' / (2π''i'') = ''g''(''e''^−''z'')이다.

위에 있는 ''G''에 대한 경계를 사용하여, 모든 실수 ''x'' ≥ 2 및 0 ≤ ''y'' ≤ 2π에 대해,

::

\left|G(x+iy)-\frac{k(x+iy)}{2\pi i}\right|\le x^A+\frac

{2\pi}(x+2\pi)\le C'x^{A'}

가 성립하며, 여기서 ''A''′ > ''A''이고 ''C''′ > 0은 상수이다. 주기성 때문에, 이 경계는 실제로 모든 ''y''에 대해 성립한다. 따라서 0 < |''z''| < ''e''⁻²에 대해 |''g''(''z'')| ≤ ''C''′(−log|''z''|)^''A''′의 경계를 갖는다. 리만의 제거 가능한 특이점에 대한 정리에 의해, ''g''는 0 주변 반지름 ''e''⁻²의 열린 원판에서 해석 함수로 확장된다.

따라서 ''G''(''z'') − ''kz'' / (2π''i'')는 Re(''z'') ≥ 3인 반평면에서 유계이다. 따라서 ''F''(''z'')''e''^−''kz''는 Re(''z'') ≥ 3인 반평면에서 유계이며, ''f''(''z'')''z''^''k''는 0 주변 반지름 ''e''⁻³의 천공 원판에서 유계이다. 리만의 제거 가능한 특이점에 대한 정리에 의해, ''f''(''z'')''z''^''k''는 0 주변 반지름 ''e''⁻³의 열린 원판에서 해석 함수로 확장된다. 그러므로 ''f''는 0에서 본질적 특이점을 갖지 않는다.

그러므로 함수 ''f''가 0에서 본질적 특이점을 갖는다면, 0 주변의 열린 원판에서 ''f''의 범위는 최대 하나의 값을 생략한다. ''f''가 어떤 값을 유한 번만 취한다면, 0 주변의 충분히 작은 열린 원판에서 ''f''는 그 값을 생략한다. 따라서 ''f''(''z'')는 최대 하나의 값을 제외하고, 가능한 모든 복소수 값을 무한히 많이 취한다.

최댓값 원리와 루셰 정리 등을 이용하여 모순을 이끌어내는 증명도 가능하다.

4. 예

함수 $z\mapsto\exp(1/z)$ 는 $z=0$ 에서 본질적 특이점을 갖는다. 피카르의 대정리에 따르면, 이 함수는 0과 $\widehat\infty$ 를 제외한 모든 값을 특이점 근방에서 무한히 많이 취한다.

위 예시에 뫼비우스 변환을 적용하면, $\{w_1,w_2\}$ 가 임의의 값을 갖는 다른 예시를 구성할 수 있다.

메로모픽 함수 ''f''(''z'') = 1/(1 − ''e''^1/''z'')는 '''C*''' = '''C''' - {0}에서 정의되며, ''z'' = 0에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 함수는 0의 모든 근방에서 ∞ 값을 무한히 많이 갖지만, 0 또는 1은 취하지 않는다.^[1]

진성 특이점을 갖는 함수의 또 다른 예로 $f(z)=e^\left(\frac{1}{z}\right)$ 를 들 수 있다. 임의의 $v\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 에 대해, $z=\frac{1}{\log\left(v\right)+2{\pi}in},\quad{n\ge\frac{1}{2\pi\delta}+1}$ 라고 하면 $\left|z\right|<\delta$ 에서 $f(z)=v$ 가 된다. 피카르의 대정리는 진성 특이점을 갖는 다른 함수도 이와 유사하게 행동한다고 주장한다.

5. 역사

에밀 피카르의 이름을 땄다. 피카르의 원래 증명은 모듈러 람다 함수(일반적으로 $\lambda$ 로 표시)의 성질에 기초했는데, 현대 용어를 사용하면 단위 원반에 의해 두 번 천공된 평면의 정칙 보편 피복을 수행한다. 이후 쇼트키 정리 등 피카르 정리의 정량적인 버전을 포함한 다양한 증명이 발견되었다.

6. 관련 연구

단위 원판 '''D''' \ {0}에 구멍이 뚫린 '''C'''의 열린 연결 부분 집합 {''U''₁, ..., ''U_n''}이 있고, 각 ''U_j''에 d''f''_''j'' = d''f_k''가 각 교차점 ''U''_''j'' ∩ ''U''_''k''''에서 성립하도록 주입 함수인 정칙 함수 ''f_j''가 있다고 가정할 때, 이 미분들은 '''D'''에서 메로모픽 함수 1-미분 형식으로 합쳐진다는 추측이 "대 피카르 정리"와 관련이 있다.

이 미분들은 '''D''' \ {0}에서 정칙 1-형식 ''g'' d''z''로 합쳐지는 것이 명백하며, 0에서의 ''g''의 잉여(복소 해석)가 0인 특수한 경우, 이 추측은 "대 피카르 정리"에서 도출된다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com