리만 사상 정리

3. 역사

1851년 베른하르트 리만은 박사 학위 논문에서 리만 사상 정리를 처음 제시하고, 경계가 조각마다 매끄럽다는 가정 아래 디리클레 원리를 사용하여 증명하였다.^[43] 그러나 카를 바이어슈트라스가 디리클레 원리가 일반적으로 성립하지 않는다는 것을 발견했고, 이후 다비트 힐베르트가 리만이 사용한 가정 하에서는 디리클레 원리가 유효함을 증명했다.^[2] 라르스 아흘포스는 리만의 원래 공식에 대해 "현대적 방법을 사용하더라도 증명을 시도조차 불가능하게 만드는 용어로 공식화되었다"고 평가했다.^[2]

1900년 윌리엄 포그 오스굿은 그린 함수를 이용하여 이 정리의 첫 엄밀한 증명을 제시했다.^[3] 1912년 콘스탄티노스 카라테오도리는 퍼텐셜 이론을 사용하지 않고 함수론적 방법만을 이용한 또 다른 증명을 제시했다.^[4] 이 증명은 몽텔의 정규족 개념을 사용했으며, 이후 교과서의 표준적인 증명 방법이 되었다.^[5] 1913년 카라테오도리는 리만 사상을 경계의 동형사상으로 확장하는 문제(카라테오도리 정리)를 해결했다.^[6]

파울 코베는 1914년에 리만 곡면을 사용하지 않는 더 간단한 증명을 제시했다. 1922년 페예르 리포트와 프리지스 리에스는 극값 문제를 이용하여 이전보다 훨씬 짧은 증명을 발표했고, 이 증명은 알렉산더 오스트로브스키와 카라테오도리에 의해 더욱 간소화되었다.^[7]

4. 중요성

리만 사상 정리는 복소 평면의 기하학적 구조와 정칙 함수의 성질 사이의 깊은 관계를 드러낸다.^[8][9] 평면의 단순 연결 열린 집합은 매우 복잡한 형태를 가질 수 있으며, 그 경계는 무한한 길이의 어디에도 미분가능하지 않은 프랙탈 곡선이 될 수 있다. 코흐 곡선이 그러한 예시이다.^[8] 하지만 리만 사상 정리에 의해 항상 단위 원판과 등각 동형임을 알 수 있다.^[8][9] 이는 직관에 반하는 것처럼 보일 수 있지만, 복소해석학의 강력함을 보여주는 예시이다.

비교적 간단한 리만 사상(예: 원의 내부를 정사각형의 내부로 사상하는 사상)조차도 초등함수만을 사용하는 명시적인 공식이 없다.^[8]

더 복잡한 영역에 대한 리만 사상 정리의 유추는 사실이 아니다. 다음으로 간단한 경우는 이중 연결 영역(구멍이 하나 있는 영역)인데, 구멍이 뚫린 원판과 구멍이 뚫린 평면을 제외한 모든 이중 연결 영역은 어떤 원환 (

3차원 이상의 실수 차원에 대한 리만 사상 정리의 유추는 사실이 아니다. 3차원에서 등각 사상의 집합은 매우 부족하며, 본질적으로 뫼비우스 변환만을 포함한다. 고차원에서 임의의 동상사상을 허용하더라도, 볼과 동상사상이 아닌 수축 가능한 다양체를 찾을 수 있다(예: 화이트헤드 연속체). 다변수 복소 함수에서 리만 사상 정리의 유추 역시 사실이 아니다. $\backslash mathbb\{C\}^n$ ($n\; \backslash ge\; 2$)에서 볼과 다원판은 모두 단순 연결이지만, 이들 사이에는 이홀로모픽 사상이 없다.^[9]

4. 1. 한계

5. 증명

''U''에서 점 ''z''₀ 가 주어 졌을 때, ''U''를 단위 디스크에 그리고 ''z''₀에서 0으로 매핑하는 함수 ''f''를 만든다. ''U'' 가 경계 지어졌고 그 경계가 리만이라고 가정한다.

:$f(z)=(z-z\_0)e^\{g(z)\}$

여기서 ''g'' = ''u'' + ''iv''는 실수 부 ''u'' 와 허수 부 ''v를'' 갖는 결정될 형태 함수이다. 그렇다면 ''z''₀ 가 ''f'' 의 유일한 0이라는 것은 명백하다. | ''f'' ( ''z'' ) | = 1에 대해 ''z'' ∈ ∂ ''U'' 이므로, 다음을 얻는다.

:$u(z)\; =\; -\backslash log|z\; -\; z\_0|$

''u''는 해석 함수의 실수부이므로, ''u''는 반드시 조화 함수 라는 것을 알고 있다. 즉, 라플라스 방정식을 만족시킨다.

모든 ''U''에 정의되고 주어진 경계 조건을 갖는 실수 값 조화 함수 ''u'' 가 존재하는지에 대한 긍정적 인 답변은 디리클레 원리에 의해 제공된다. 일단 ''u'' 의 존재가 확립되면, 정형 함수 ''g''에 대한 코시-리만 관계식은 우리가 ''v''를 찾을 수 있게 해준다. (이 주장은 ''U'' 가 단순히 연결되어 있다는 가정에 의존한다.) 일단 ''u'' 와 ''v'' 가 만들어지면 결과 함수 ''f'' 가 실제로 필요한 모든 속성을 가지고 있는지 확인해야 한다.

5. 1. 정규족을 이용한 증명

5. 2. 디리클레 문제를 이용한 증명

6. 일반화

리만 사상 정리는 리만 곡면으로 일반화될 수 있다. 일반화 정리(uniformization theorem)에 따르면, 단순 연결 열린 리만 곡면은 리만 구, 복소 평면, 단위 원판 중 하나와 등각 동형이다.^[23][24][25]

6. 1. 평행 슬릿 사상 (Parallel slit mappings)

7. 부드러운 리만 사상 정리 (Smooth Riemann mapping theorem)

단순 연결된 유계 영역이 매끄러운 경계를 가질 경우, 리만 사상 함수와 그 모든 도함수는 영역의 폐포까지 연속적으로 확장된다.^[37][42] 이는 디리클레 경계값 문제의 해의 정칙성을 이용하여 증명할 수 있으며, 평면 영역에 대한 소볼레프 공간 이론 또는 고전적인 퍼텐셜 이론에서 따른다. 매끄러운 리만 사상 정리를 증명하는 다른 방법으로는 핵 함수 이론이나 벨트라미 방정식이 있다.

8. 알고리즘

1980년대 초, 등각 사상을 계산하는 기본 알고리즘이 발견되었다.^[38] 이 알고리즘은 평면상의 점 z₀, …, zₙ이 주어지면, z₀, …, zₙ ∈ γ 인 조르당 곡선 γ로 경계가 지정된 영역으로 단위 원판의 명시적인 등각 사상을 계산한다. 이 알고리즘은 균일하게 가까운 경계의 의미에서 조르당 영역에 대해 수렴한다.^[38] 사상 함수와 그 역함수에 대해 닫힌 영역과 닫힌 원판에 대한 균일한 추정치가 존재하며, 데이터 점이 C¹ 곡선 또는 K-준원 위에 놓여 있다면 향상된 추정치를 얻을 수 있다. 이 알고리즘은 등각 접합에 대한 근사 방법으로 발견되었지만, 뢰브너 미분 방정식의 이산화로 볼 수도 있다.^[39]

두 평면 영역 사이의 등각 사상을 수치적으로 근사하는 문제에 대해, 긍정적 결과와 부정적 결과가 알려져 있다.^[40] 긍정적 결과로는 균일화 사상을 계산하는 알고리즘이 존재하며, 특정 조건 하에서 시간과 공간 복잡도가 계산 가능하다는 것이 밝혀졌다. 또한, 난수화된 알고리즘을 사용하여 다항 시간 안에 균일화 사상의 절댓값을 오차 범위 내에서 계산할 수 있다. 부정적 결과로는, 등각 반지름 계산 문제가 Sharp-P-hard 문제로 환산 가능하며, 특정 조건에서 AC⁰ 회로를 이용해 다수결 함수(MAJ_n)를 계산할 수 있다는 것이 밝혀졌다.

9. 한국 수학계의 기여

10. 같이 보기

10. 1. 관련 수학자

10. 2. 관련 개념

참조

_[1] 문서 The existence of f is equivalent to the existence of a Green’s function.
_[2] 논문 Developments of the Theory of Conformal Mapping and Riemann Surfaces Through a Century
_[3] 문서 For the original paper, see Osgood (1900). For accounts of the history, see Walsh (1973, pp. 270–271); Gray (1994, pp. 64–65); Greene & Kim (2017, p. 4). Also see Carathéodory (1912, p. 108, footnote **) (acknowledging that Osgood (1900) had already proven the Riemann mapping theorem).
_[4] 논문 Gray (1994, pp. 78–80), citing Carathéodory (1912)
_[5] 논문 Greene & Kim (2017, p. 1)
_[6] 논문 Gray (1994, pp. 80–83)
_[7] 웹사이트 What did Riemann Contribute to Mathematics? Geometry, Number Theory and Others https://www.research[...]
_[8] 논문 Generalisations and randomisation of the plane Koch curve 1987-08-00
_[9] 논문 Remmert (1998), section 8.3, p. 187
_[10] 문서 See Ahlfors (1978), Beardon (1979), Conway (1978), Gamelin (2001)
_[11] 논문 Gamelin (2001, pages 256–257), elementary proof
_[12] 논문 Berenstein & Gay (1991, pages 86–87)
_[13] 논문
_[14] 논문
_[15] 논문
_[16] 논문
_[17] 논문
_[18] 논문
_[19] 논문
_[20] 논문
_[21] 논문
_[22] 논문
_[23] 논문
_[24] 논문
_[25] 논문
_[26] 논문
_[27] 논문
_[28] 논문
_[29] 논문
_[30] 논문
_[31] 논문
_[32] 논문
_[33] 논문
_[34] 논문
_[35] 논문
_[36] 논문
_[37] 논문
_[38] 문서 A Jordan region is the interior of a Jordan curve.
_[39] 논문 Convergence of a Variant of the Zipper Algorithm for Conformal Mapping
_[40] 논문 On the computational complexity of the Riemann mapping
_[41] 문서 この f の存在は、グリーン函数の存在と同値である。
_[42] 논문
_[43] 서적 Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse http://www.emis.de/c[...] 괴팅겐 대학교 2014-10-30