하디-리틀우드 원 방법

3. 방법

하디-리틀우드 원 방법은 수열의 점근적 성장을 분석하는 복소해석학 기법이다. 이 방법은 주어진 수열의 생성함수를 복소 평면에서 단위 원을 따라 적분하여, 그 수열의 항들을 유수로 표현하는 것이 핵심이다.

원 방법은 다음 단계로 구성된다:

1. 생성함수 정의: 주어진 수열 $a\_k$에 대해 생성함수 $f(z)\; =\; \backslash sum\_k\; a\_k\; z^k$를 정의한다.

2. 특이점 분석: 생성함수 $f(z)$는 보통 단위 원 (|z| = 1) 위에서 특이점을 갖는다. 이 특이점들의 위치와 성질을 분석하며, 특히 단위근이 중요하다.

3. 유수 계산: 잔류 정리를 이용하여, 수열의 각 항 $a\_n$을 $f(z)/z^\{n+1\}$의 유수로 계산한다. 이 유수는 단위 원을 따라 적분하여 얻는다.

적분 경로는 '주요 호'(major arc)와 '부수 호'(minor arc)로 나뉜다. 주요 호는 가장 중요한 특이점을 포함하는 작은 호들이고, 부수 호는 나머지 부분이다. 주요 호에서의 적분은 수열의 점근적 거동을 결정하는 주요 항을 제공하며, 부수 호에서의 적분은 상대적으로 작은 오차 항을 제공한다.

와링 문제와 같은 문제에서는 생성함수의 거듭제곱을 이용하여 특이점이 주요 항을 지배하도록 만들 수 있다. 이반 비노그라도프는 이 방법을 발전시켜 유한 푸리에 급수를 사용함으로써, 적분을 푸리에 계수로 표현 가능하게 하였다.

이 방법은 분할 함수의 점근적 성질을 연구한 고드프리 해럴드 하디와 스리니바사 라마누잔의 연구에서 처음 사용되었으며, 이후 정수론의 다양한 문제에 적용되었다.

3. 1. 생성함수 정의

3. 2. 특이점 분석

원 방법은 단위 원에서 함수 $f$가 나타내는 특이점의 성질을 이해하여 $r\; \backslash to\; 1$로 수렴하도록 한다. 페리 수열 또는 단위근이 이 과정에서 중요한 역할을 한다.^[1]

:$\backslash zeta\backslash \; =\; \backslash exp\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\; ir\}\{s\}\; \backslash right\; ).$

여기서 $$가 기약분수일 때, 분모 $s$는 $f$가 $\backslash zeta$ 근처에서 보이는 특이 행동의 상대적 중요성을 결정한다.^[1]

세타 함수 이론은 이러한 통찰의 중요한 출처 중 하나이다.^[1] 와링 문제의 맥락에서, 세타 함수의 거듭제곱은 제곱 합 함수의 생성 함수이다.^[1]

세타 함수의 경우, 경계 원에서 가장 중요한 점은 $z=1$이고, 그 다음은 $z=-1$, 그리고 7시와 11시에 있는 두 개의 복소수 세제곱근이다. 그 다음으로 중요한 것은 네제곱근 $i$와 $-i$이다.^[1] 이러한 특성은 단위근에 대한 파레이 급수(Farey series) 유형의 기준을 사용하는 근거를 설명한다.^[1]

와링 문제의 경우, 생성 함수의 충분히 높은 거듭제곱을 취하여 특이점이 우위를 차지하도록 강제한다. 이를 통해 소위 '특이 급수'를 구성할 수 있다.^[1]

3. 3. 유수 계산

생성함수 $f(z)=\backslash sum\_ka\_kz^k$를 정의하고, 이 급수는 보통 $|z|=1$에서 발산한다. 이 경우 발산하는 정도, 즉 $\backslash lim\_\{r\backslash to1^-\}f(r\backslash exp(i\backslash theta))$를 계산한다.

수열 $a\_n$은 $f(z)/z^\{n+1\}$의 유수로 계산할 수 있다. 이는 $\backslash exp(i\backslash theta)$ 꼴의 원에 대한 선적분으로 주어진다.

보통 이 선적분은 유리수 $\backslash theta=2\backslash pi\; m/n$에 집중되며, $n$이 작을수록 이에 해당하는 항이 더 중요해진다. 따라서 이 선적분은 유리수 $n$ 근처에서의 적분으로 주어진다.

잔류 정리에 의해 다음이 성립한다.

:$I\_n=\backslash oint\_\{C\}\; f(z)z^\{-(n+1)\}\backslash ,dz\; =\; 2\backslash pi\; ia\_n$

여기서 $n$은 0 이상의 정수이고, $C$는 반지름이 $r$이고 0을 중심으로 하는 원이며, 인 임의의 $r$에 대해, $I\_n$은 반시계 방향으로 한 번 순회하는 원에 대해 적분된 선적분이다. $r=1$을 직접 취하여 단위 원의 적분 경로를 사용하고 싶지만, 복소 해석 공식에서 이것은 $f$의 값이 거기서 정의되지 않을 수 있기 때문에 문제가 된다.

3. 4. 주요 호와 부수 호

하디-리틀우드 원 방법에서, 복소 변수 z에 대한 급수 f(z)는 보통 |z|=1 에서 발산한다. 이때문에, 이 특이점들을 분석하여 $\backslash lim\_\{r\backslash to1^-\}f(r\backslash exp(i\backslash theta))$를 계산한다. 수열 $a\_n$은 $f(z)/z^\{n+1\}$의 유수로 계산할 수 있는데, 이는 $\backslash exp(i\backslash theta)$ 꼴의 원에 대한 선적분으로 주어진다.^[1]

이 선적분은 주로 유리수 $\backslash theta=2\backslash pi\; m/n$에 집중되며, $n$이 작을수록 해당 항이 더 중요해진다. 따라서, 이 선적분은 유리수 $n$ 근처에서의 적분으로 계산할 수 있다.^[1]

이때, 원을 '주요 호'(major arc)와 '부수 호'(minor arc)로 나누어 계산한다. 주요 호는 가장 중요한 특이점을 포함하는 작은 호를 의미하고, 부수 호는 나머지 부분을 의미한다. 많은 경우 특이점은 단위근에서 발생하며, 그 중요성은 페리 수열의 순서에 따라 결정된다. 이러한 특이점의 성질을 분석하여, $r\; \backslash to\; 1$ 로 수렴하도록 하는 것이 원 방법의 핵심 아이디어이다.^[1]

:$\backslash zeta\backslash \; =\; \backslash exp\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\; ir\}\{s\}\; \backslash right\; ).$

여기서 $\backslash frac\{r\}\{s\}$는 기약분수이고, 분모 $s$는 $f$가 $\backslash zeta$ 근처에서 보이는 특이 행동의 상대적 중요성을 결정한다.^[1]

$r\; \backslash to\; 1$일 때 $I\_n$의 평가에 대한 기여는 '주요 호'와 '부수 호' 두 가지로 나뉜다. 단위원의 근 $\backslash zeta$를 $s\; \backslash le\; N$ (주요 호) 또는 $s\; >\; N$ (부수 호) 인지에 따라 두 클래스로 나눈다. 여기서 $N$은 $n$의 함수이다. 적분 $I\_n$은 $\backslash zeta$에 인접한 호들에 대한 적분으로 나뉘며, 이 호들은 전체 원을 구성한다. 주요 호에 대한 적분의 합은 $2\backslash pi\; iF(n)$을 구성하고, 부수 호에 대한 적분의 합은 $F(n)$보다 작은 상한으로 대체된다.^[1]

4. 응용

하디-리틀우드 원 방법은 다양한 문제에 적용될 수 있다.

• 웨어링의 문제
• 분할수 p(n)의 점근적 표현. 이 경우 f(z)는 데데킨트 에타 함수에 주어지며, 그 모듈러 성질에 의해 계산할 수 있다. 보다 일반적으로, 생성함수가 모듈러 형식을 이루는 경우 이와 같이 계산할 수 있다.
• 약한 골드바흐의 추측

5. 라데마허의 수정