하야시 경로

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 하야시 추시로의 초기 연구 (1961-1965)
- 2.2. 하야시 경로 이후의 발전 (1965-)
3. 금지 구역
- 3.1. 금지 구역의 물리적 원리
4. 별의 형성
- 4.1. 하야시 경로와 T Tauri 별
- 4.2. 하야시 경로 이후의 진화
5. 하야시 경로의 유도
- 5.1. 분석적 유도
- 5.2. 유도 결과
6. 수치적 결과
- 6.1. 질량과 하야시 경로
- 6.2. 화학 조성과 하야시 경로
7. 관측 증거
- 7.1. NGC 2264와 하야시 경로
- 7.2. 별 탄생선과 하야시 경로
참조

1. 개요

하야시 경로는 일본의 천체물리학자 하야시 추시로가 제안한 초기 별의 진화 모델로, HR도에서 별이 존재할 수 없는 '금지 구역'을 정의한다. 하야시 경로는 별이 완전히 대류 상태에 있는 동안 겪는 진화 경로를 나타내며, 별의 질량과 화학 조성에 따라 하야시 경로의 위치가 달라진다. 관측 증거는 젊은 별무리들의 색-등급도에서 나타나며, NGC 2264와 같은 별무리에서 하야시 경로를 따르는 T Tauri 별들을 관측할 수 있다.

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하야시 경로
개요
이름	하야시 경로
로마자 표기	Hayasi Gyeongno
영어	Hayashi track
일본어	林トラック (하야시 톳라크)
정의
설명	항성 진화에서 주계열 이전 단계의 헤르츠스프룽-러셀 도표 상의 경로
특징	낮은 항성 유효 온도를 가짐 거의 완전한 대류 평형 상태
경로 특성
질량과의 관계	M☉이 작은 별: 광도가 감소하며 온도는 거의 일정하게 유지 M☉ 5 이상 3 정도의 별: 광도와 온도가 모두 감소
진행 방향	헤르츠스프룽-러셀 도표에서 온도가 낮은 쪽으로 이동
정역학적 평형	별 내부의 압력과 중력이 균형을 이룸
수소 핵융합	중심핵에서 일어나지 않음
하야시 한계
정의	특정 화학 조성에 대해 주어진 유효 온도에서 정역학적 평형을 유지할 수 있는 항성의 반지름에 대한 하한 하야시 경로의 거의 수직인 부분의 유효 온도
특성	이보다 차가운 별은 존재할 수 없음 (정역학적 평형을 유지할 수 없기 때문) 대략 3500 K
위치	헤르츠스프룽-러셀 도표에서 거의 수직선으로 나타남
관련 정보
관련 천체	황소자리 T형 별
질량 범위	0.5 M☉ 이하의 별
이후 단계	헤니에이 경로 (질량이 3 M☉ 이상인 경우) 주계열 진입 (핵융합 시작)
온도	3500 K 근처
밀도	낮음
질량별 하야시 경로 특성
10 M☉ 별	표면 온도가 5,000 K에서 4,000 K로, 광도는 30 L☉에서 5 L☉로 감소 약 100,000년 소요
참고 자료
관련 논문	Hayashi, C. 1961, PASJ, 13, 450

2. 역사

1961년, 일본의 천체물리학자 하야시 추시로는 초기 별의 진화에 대한 현대적 이해의 기초를 형성하는 두 편의 논문을 발표했다.^[5]^[6] 하야시는 별이 상당한 대류 영역 없이 복사 평형 상태에 있다고 가정하는 기존 모델로는 적색 거성 가지의 모양을 설명할 수 없다는 것을 깨달았다.^[4] 따라서 그는 두꺼운 대류 영역의 효과를 별의 내부에 포함하여 모델을 대체했다.

몇 년 전, 오스터브로크는 5000 K 미만의 온도에서 H⁻ 이온의 불투명도(차가운 대기에서 지배적인 불투명도원)를 사용하여 분석한 효율적인 대류를 갖는 깊은 대류 영역을 제안했다. 그러나 태양과 같은 별의 초기 수치 모델은 이 연구를 따르지 않았고 복사 평형을 계속 가정했다.^[3]

1961년 논문에서 하야시는 별의 대류 외피가 다음과 같이 결정된다는 것을 보여주었다.

: ''E'' = 4πG^3/2(''μH''/''k'')^5/2''M''^1/2''R''^3/2''P''/''T''^5/2

여기서 ''E''는 단위가 없고 에너지가 아니다. 지수 3/2인 폴리트로프로 별을 모델링하여(다시 말해, ''P'' = ''Kρ''^5/3의 압력-밀도 관계를 따른다고 가정) 그는 ''E'' = 45가 준정역학적 별의 최대값임을 발견했다. 별이 빠르게 수축하지 않으면 ''E'' = 45는 HR도표에서 별이 존재할 수 없는 오른쪽 곡선을 정의한다. 그런 다음 그는 다양한 별의 질량에 대한 진화 트랙과 등시선 (주어진 나이의 별의 광도-온도 분포)을 계산하고 매우 젊은 별 무리인 NGC 2264가 등시선에 잘 맞는다는 점에 주목했다. 특히 그는 NGC 2264에 있는 태양형 별에 대해 훨씬 더 낮은 나이를 계산했으며 이 별들이 빠르게 수축하는 T Tauri 별이라고 예측했다.

1962년, 하야시는 금지된 영역에서 태어난 별의 진화에 대해 논의하면서 183페이지 분량의 별의 진화에 대한 검토를 발표했다. 이 별들은 하야시 경로에서 준정역학적이고 완전히 대류 상태로 정착하기 전에 중력으로 인해 빠르게 수축한다.

1965년, Iben과 Ezer & Cameron의 수치 모델은 하야시 경로를 떠난 후 별이 따르는 헤니에이 경로을 포함하여 주계열 이전 진화를 현실적으로 시뮬레이션했다. 이러한 표준 PMS 경로는 여전히 별의 진화에 대한 교과서에서 찾을 수 있다.

2. 1. 하야시 추시로의 초기 연구 (1961-1965)

하야시 추시로 교수는 1961년에 초기 별의 진화에 대한 현대적 이해의 기초를 형성하는 두 편의 논문을 발표했다.^[5]^[6] 하야시는 별이 상당한 대류 영역 없이 복사 평형 상태에 있다고 가정하는 기존 모델로는 적색 거성 가지의 모양을 설명할 수 없다는 것을 깨달았다.^[4] 따라서 그는 두꺼운 대류 영역의 효과를 별의 내부에 포함하여 모델을 대체했다.

몇 년 전, 오스터브로크는 5000 K 미만의 온도에서 H⁻ 이온의 불투명도를 사용하여 분석한 효율적인 대류를 갖는 깊은 대류 영역을 제안했다. 그러나 태양과 같은 별의 초기 수치 모델은 이 연구를 따르지 않았고 복사 평형을 계속 가정했다.^[3]

1961년 논문에서 하야시는 별의 대류 외피가 다음과 같이 결정된다는 것을 보여주었다.

E = 4\pi G^{3/2} \left(\frac{\mu H}{k}\right)^{5/2} \frac{M^{1/2} R^{3/2} P}{T^{5/2}},

여기서 ''E''는 단위가 없고 에너지가 아니다. 지수 3/2인 폴리트로프로 별을 모델링하여(다시 말해,

P = K\rho^{5/3}

의 압력-밀도 관계를 따른다고 가정) 그는 ''E'' = 45가 준정역학적 별의 최대값임을 발견했다. 별이 빠르게 수축하지 않으면 ''E'' = 45는 HR도표에서 별이 존재할 수 없는 오른쪽 곡선을 정의한다. 그런 다음 그는 다양한 별의 질량에 대한 진화 트랙과 등시선 (주어진 나이의 별의 광도-온도 분포)을 계산하고 매우 젊은 별 무리인 NGC 2264가 등시선에 잘 맞는다는 점에 주목했다. 특히 그는 NGC 2264에 있는 태양형 별에 대해 훨씬 더 낮은 나이를 계산했으며 이 별들이 빠르게 수축하는 T Tauri 별이라고 예측했다.

1962년, 하야시는 금지된 영역에서 태어난 별의 진화에 대해 논의하면서 183페이지 분량의 별의 진화에 대한 검토를 발표했다. 이 별들은 하야시 트랙에서 준정역학적이고 완전히 대류 상태로 정착하기 전에 중력으로 인해 빠르게 수축한다.

1965년, Iben과 Ezer & Cameron의 수치 모델은 하야시 트랙을 떠난 후 별이 따르는 헤니에이 트랙을 포함하여 주계열 이전 진화를 현실적으로 시뮬레이션했다. 이러한 표준 PMS 트랙은 여전히 별의 진화에 대한 교과서에서 찾을 수 있다.

2. 2. 하야시 경로 이후의 발전 (1965-)

3. 금지 구역

'''금지 구역'''은 HR 도표에서 하야시 트랙 오른쪽에 위치한 영역으로, 어떠한 별도 정역학적 평형 상태에 있을 수 없는 곳이다.^[1] 이 구역에 있는 별은 초단열 기울기를 가지는데, 이는 대류를 유발한다.^[1] 이 대류는 별을 하야시 경로로 빠르게 이동시킨다.^[1] 새롭게 태어난 원시별은 이 구역에서 시작하지만 정역학적 평형 상태에 있지 않으며, 하야시 트랙을 향해 빠르게 이동한다.^[1]

별은 흑체 복사를 통해 빛을 방출하기 때문에, 단위 표면적당 방출되는 전력은 슈테판-볼츠만 법칙에 의해 결정된다. 주어진 광도에 대해, 낮은 온도는 더 큰 반지름을 의미하며, 그 반대도 마찬가지이다. 따라서 하야시 트랙은 HR 도표를 높은 온도와 작은 반지름을 갖는 허용된 영역(왼쪽)과 낮은 온도와 그에 상응하는 더 큰 반지름을 갖는 금지된 영역(오른쪽)으로 나눈다.

오른쪽 영역이 금지된 이유는 이 영역의 별이 초단열 기울기를 갖기 때문이다.

: $\frac{d \ln T}{d \ln P} > 0.4,$

여기서 $d \ln T / d \ln P = 0.4$ 는 단열 팽창 또는 수축을 겪는 단원자 이상 기체에 해당한다. 따라서 0.4보다 큰 온도 기울기를 초단열이라고 한다.

초단열 기울기를 가진 별은 불안정하다. 초단열 기울기는 대류를 유발하며, 대류는 별의 내부 구조를 변화시켜 정역학적 평형 상태로 만든다. 별에서 대류 과정은 매우 효율적이며, 전형적인 $d \ln T / d \ln P$ 는 단열 기울기보다 1000만 분의 1만큼만 초과한다. 별이 금지 구역에 위치하여 온도 기울기가 0.4보다 훨씬 크면, 기울기를 낮추는 빠른 대류를 경험하게 된다. 이 대류는 별의 압력과 온도 분포를 급격하게 변화시키기 때문에, 별은 정역학적 평형 상태에 있지 않으며, 평형 상태가 될 때까지 수축한다.

하야시 트랙의 왼쪽으로 멀리 떨어진 별은 단열보다 작은 온도 기울기를 갖는다. 이것은 가스 덩어리가 약간 상승하면 주변보다 밀도가 높아 원래 위치로 다시 가라앉는다는 것을 의미한다. 따라서 대류가 발생하지 않으며, 거의 모든 에너지 출력은 복사적으로 전달된다.

3. 1. 금지 구역의 물리적 원리

'''금지 구역'''은 HR 도표에서 하야시 트랙 오른쪽에 위치한 영역으로, 부분적으로 또는 완전히 복사성을 띠는 별을 포함하여 어떠한 별도 정역학적 평형 상태에 있을 수 없는 곳이다. 새롭게 태어난 원시별은 이 구역에서 시작하지만 정역학적 평형 상태에 있지 않으며, 하야시 트랙을 향해 빠르게 이동한다.

별은 흑체 복사를 통해 빛을 방출하기 때문에, 단위 표면적당 방출되는 전력은 슈테판-볼츠만 법칙에 의해 결정된다. 주어진 광도에 대해, 낮은 온도는 더 큰 반지름을 의미하며, 그 반대도 마찬가지이다. 따라서 하야시 트랙은 HR 도표를 높은 온도와 작은 반지름을 갖는 허용된 영역(왼쪽)과 낮은 온도와 그에 상응하는 더 큰 반지름을 갖는 금지된 영역(오른쪽)으로 나눈다.

오른쪽 영역이 금지된 이유는 이 영역의 별이 초단열 기울기를 가지기 때문이다.

\frac{d \ln T}{d \ln P} > 0.4,

여기서

d \ln T / d \ln P = 0.4

는 단열 팽창 또는 수축을 겪는 단원자 이상 기체에 해당한다. 따라서 0.4보다 큰 온도 기울기를 초단열이라고 한다.

초단열 기울기를 가진 별은 불안정하다. 초단열 기울기는 대류를 유발하며, 대류는 별의 내부 구조를 변화시켜 정역학적 평형 상태로 만든다. 별에서 대류 과정은 매우 효율적이며, 전형적인

d \ln T / d \ln P

는 단열 기울기보다 1000만 분의 1만큼만 초과한다.^[1] 별이 금지 구역에 위치하여 온도 기울기가 0.4보다 훨씬 크면, 기울기를 낮추는 빠른 대류를 경험하게 된다. 이 대류는 별의 압력과 온도 분포를 급격하게 변화시키기 때문에, 별은 정역학적 평형 상태에 있지 않으며, 평형 상태가 될 때까지 수축한다.

하야시 트랙의 왼쪽으로 멀리 떨어진 별은 단열보다 작은 온도 기울기를 갖는다. 이것은 가스 덩어리가 약간 상승하면 주변보다 밀도가 높아 원래 위치로 다시 가라앉는다는 것을 의미한다. 따라서 대류가 발생하지 않으며, 거의 모든 에너지 출력은 복사적으로 전달된다.

4. 별의 형성

별은 거대 분자 구름의 작은 영역이 자체 중력에 의해 붕괴되어 원시별이 될 때 형성된다. 붕괴는 중력 에너지를 방출하여 원시별을 가열한다. 이 과정은 자유 낙하 시간에 발생하며, 태양 질량의 원시별의 경우 대략 10만 년이며, 원시별이 약 4000 K에 도달하면 종료된다. 이것을 하야시 경계라고 하며, 이 시점에서 원시별은 하야시 경로에 놓이게 된다. 이 시점에서 T Tauri 별로 알려지며 계속 수축하지만 훨씬 느리게 수축한다. 수축하면서 빛을 방출할 수 있는 표면적이 줄어들기 때문에 광도가 감소한다. 하야시 경로는 온도 변화를 나타내며, 하야시 경로는 거의 수직이기 때문에 광도 변화에 비해 최소화될 것이다. 즉, HR도에서 T Tauri 별은 높은 광도로 하야시 경로에서 시작하여 시간이 지남에 따라 경로를 따라 아래로 이동한다.

하야시 경로는 완전히 대류하는 별을 묘사한다. 이것은 매우 차갑고 불투명도가 높기 때문에 매우 어린 주계열 전 별에 대한 좋은 근사치이며, 복사 전달로는 생성된 에너지를 제거하기에 충분하지 않으므로 대류가 발생해야 한다. 0.5 태양 질량보다 작은 별은 완전히 대류 상태를 유지하므로 하야시 경로에 남아 있으며, 하야시 경로의 바닥에서 주계열에 합류한다. 0.5 태양 질량보다 무거운 별은 내부 온도가 더 높으며, 이는 중심 불투명도를 감소시키고 복사가 많은 양의 에너지를 제거할 수 있게 한다. 이를 통해 별의 핵 주위에 복사층이 형성될 수 있다. 그러면 별은 더 이상 하야시 경로에 있지 않으며, 거의 일정한 광도에서 온도가 급격히 증가하는 기간을 겪는다. 이것을 헤니에이 경로라고 하며, 온도가 핵에서 수소 융합을 점화하기에 충분히 높을 때 종료된다. 그러면 별은 주계열성에 놓이게 된다.

질량이 작은 별은 하야시 경로가 주계열과 교차할 때까지 하야시 경로를 따르며, 그 시점에서 수소 융합이 시작되고 별은 주계열을 따른다. 훨씬 질량이 작은 '별'은 수소를 융합하는 데 필요한 조건을 달성하지 못하고 갈색 왜성이 된다.

4. 1. 하야시 경로와 T Tauri 별

초기 별은 거대 분자 구름의 작은 영역이 자체 중력에 의해 붕괴되어 원시별이 될 때 형성된다. 붕괴는 중력 에너지를 방출하여 원시별을 가열한다. 이 과정은 자유 낙하 시간에 발생하며, 태양 질량의 원시별의 경우 대략 10만 년이며, 원시별이 약 4000 K에 도달하면 종료된다. 이것을 하야시 경계라고 하며, 이 시점에서 원시별은 하야시 경로에 놓이게 된다. 이 시점에서 T Tauri 별로 알려지며 계속 수축하지만 훨씬 느리게 수축한다. 수축하면서 빛을 방출할 수 있는 표면적이 줄어들기 때문에 광도가 감소한다. 하야시 경로는 온도 변화를 나타내며, 하야시 경로는 거의 수직이기 때문에 광도 변화에 비해 최소화될 것이다. 즉, HR도에서 T Tauri 별은 높은 광도로 하야시 경로에서 시작하여 시간이 지남에 따라 경로를 따라 아래로 이동한다.

하야시 경로는 완전히 대류하는 별을 묘사한다. 이것은 매우 차갑고 불투명도가 높기 때문에 매우 어린 주계열 전 별에 대한 좋은 근사치이며, 복사 전달로는 생성된 에너지를 제거하기에 충분하지 않으므로 대류가 발생해야 한다.

4. 2. 하야시 경로 이후의 진화

거대 분자 구름의 작은 영역이 자체 중력에 의해 붕괴되어 원시별이 형성될때, 별은 중력 에너지를 방출하여 원시별을 가열한다. 이 과정은 자유 낙하 시간에 발생하며, 태양 질량의 원시별의 경우 대략 10만 년이며, 원시별이 약 4000 K에 도달하면 종료된다. 이것을 하야시 경계라고 하며, 이 시점에서 원시별은 하야시 경로에 놓이게 된다. 이 시점에서 T Tauri 별로 알려지며 계속 수축하지만 훨씬 느리게 수축한다. 수축하면서 빛을 방출할 수 있는 표면적이 줄어들기 때문에 광도가 감소한다. 하야시 경로는 온도 변화를 나타내며, 하야시 경로는 거의 수직이기 때문에 광도 변화에 비해 최소화될 것이다. 즉, HR도에서 T Tauri 별은 높은 광도로 하야시 경로에서 시작하여 시간이 지남에 따라 경로를 따라 아래로 이동한다.

보다 질량이 작은 별은 완전히 대류 상태를 유지하므로 하야시 경로에 남아 있으며, 하야시 경로의 바닥에서 주계열에 합류한다. 질량이 작은 별은 하야시 경로가 주계열과 교차할 때까지 하야시 경로를 따르며, 그 시점에서 수소 융합이 시작되고 별은 주계열을 따른다.

보다 무거운 별은 내부 온도가 더 높으며, 이는 중심 불투명도를 감소시키고 복사가 많은 양의 에너지를 제거할 수 있게 한다. 이를 통해 별의 핵 주위에 복사층이 형성될 수 있다. 그러면 별은 더 이상 하야시 경로에 있지 않으며, 거의 일정한 광도에서 온도가 급격히 증가하는 기간을 겪는다. 이것을 헤니에이 경로라고 하며, 온도가 핵에서 수소 융합을 점화하기에 충분히 높을 때 종료된다. 그러면 별은 주계열성에 놓이게 된다.

훨씬 질량이 작은 '별'은 수소를 융합하는 데 필요한 조건을 달성하지 못하고 갈색 왜성이 된다.

5. 하야시 경로의 유도

하야시 경로의 정확한 모양과 위치는 컴퓨터 모델을 사용하여 수치적으로만 계산할 수 있다.^[1] 그럼에도 불구하고, 간단한 모델을 통해 하야시 경로의 특성을 분석적으로 유도할 수 있다. 이 모델에서 별은 완전 대류 내부와 완전 복사 대기로 구성된다고 가정한다.^[1]

대류 내부는 단열 온도 기울기를 가진 이상적인 단원자 가스로 가정한다.

: $\frac{d\ln T}{d\ln P} = 0.4.$

이러한 관계는 폴리트로프 방정식으로 표현될 수 있으며, 별의 중심에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $P_c = \left(\frac{k\rho_c}{\mu H}\right)^\gamma C.$

여기서 ''C''는 상수로, 질량 ''M''과 반지름 ''R''을 이용하여 표현할 수 있다.

: $C \sim M^{2-\gamma} R^{3\gamma - 4},$

대기 모델을 통해 별의 표면 압력과 불투명도를 계산할 수 있다. 광구에서의 광학 깊이는 $\tau = 2/3$ 이며, 유효 온도는 $T = T_\text{eff}$ 이다. 불투명도는 다음과 같이 근사할 수 있다.

: $k = k_0 P^a T^b,$

여기서 , 이다.

광도(''L'')는 다음 방정식으로 표현 가능하다

: $\ln{R} = 0.5\ln L - 2\ln T_\text{eff} + \text{const}.$

위의 방정식들을 결합하고, $\gamma = 5/3$ 을 설정하면, 다음과 같은 하야시 경로의 방정식을 유도할 수 있다.

: $\ln T_\text{eff} = A\ln L + B\ln M + \text{const},$

여기서

: $\begin{align}A &= \frac{0.75a - 0.25}{5.5a + b + 1.5}, \\B &= \frac{0.5a + 1.5}{5.5a + b + 1.5}.\end{align}$

차가운 별 대기()에서 불투명도의 주요 원인은 H⁻ 이온이며, 이 경우 $A \approx 0.05$ 및 $B \approx 0.2$ 이다. ''A''는 1보다 훨씬 작으므로 하야시 경로는 매우 가파르다. ''B''가 양수라는 것은 하야시 경로가 질량이 증가함에 따라 HR도에서 더 높은 온도로 이동한다는 것을 의미한다.^[1]

고온에서는 대기의 불투명도가 크라머스 불투명도 법칙에 의해 지배되기 시작하며, 이 경우 로, 별은 더 이상 하야시 경로에 있지 않다.^[1]

"별의 내부"에서는^[2], 다음 방정식을 통해 온도가 광도와 거의 무관하다는 것을 보여준다.

: $T_\text{eff} = (2600~\text{K}) \mu^{13/51} \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{7/51} \left(\frac{L}{L_\odot}\right)^{1/102},$

5. 1. 분석적 유도

하야시 경로의 정확한 모양과 위치는 컴퓨터 모델을 사용하여 수치적으로만 계산할 수 있다.^[1] 그럼에도 불구하고, 간단한 모델을 통해 하야시 경로의 특성을 분석적으로 유도할 수 있다. 이 모델에서 별은 완전 대류 내부와 완전 복사 대기로 구성된다고 가정한다.^[1]

대류 내부는 단열 온도 기울기를 가진 이상적인 단원자 가스로 가정한다.

:

\frac{d\ln T}{d\ln P} = 0.4.

이러한 관계는 폴리트로프 방정식으로 표현될 수 있으며, 별의 중심에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

P_c = \left(\frac{k\rho_c}{\mu H}\right)^\gamma C.

여기서 ''C''는 상수로, 질량 ''M''과 반지름 ''R''을 이용하여 표현할 수 있다.

:

C \sim M^{2-\gamma} R^{3\gamma - 4},

대기 모델을 통해 별의 표면 압력과 불투명도를 계산할 수 있다. 광구에서의 광학 깊이는

\tau = 2/3

이며, 유효 온도는

T = T_\text{eff}

이다. 불투명도는 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

k = k_0 P^a T^b,

여기서 , 이다.

광도(''L'')는 다음 방정식으로 표현 가능하다

:

\ln{R} = 0.5\ln L - 2\ln T_\text{eff} + \text{const}.

위의 방정식들을 결합하고,

\gamma = 5/3

을 설정하면, 다음과 같은 하야시 경로의 방정식을 유도할 수 있다.

:

\ln T_\text{eff} = A\ln L + B\ln M + \text{const},

여기서

:

\begin{align}A &= \frac{0.75a - 0.25}{5.5a + b + 1.5}, \\B &= \frac{0.5a + 1.5}{5.5a + b + 1.5}.\end{align}

차가운 별 대기()에서 불투명도의 주요 원인은 H⁻ 이온이며, 이 경우

A \approx 0.05

및

B \approx 0.2

이다. ''A''는 1보다 훨씬 작으므로 하야시 경로는 매우 가파르다. ''B''가 양수라는 것은 하야시 경로가 질량이 증가함에 따라 HR도에서 더 높은 온도로 이동한다는 것을 의미한다.^[1]

고온에서는 대기의 불투명도가 크라머스 불투명도 법칙에 의해 지배되기 시작하며, 이 경우 로, 별은 더 이상 하야시 경로에 있지 않다.^[1]

"별의 내부"에서는^[2], 다음 방정식을 통해 온도가 광도와 거의 무관하다는 것을 보여준다.

:

T_\text{eff} = (2600~\text{K}) \mu^{13/51} \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{7/51} \left(\frac{L}{L_\odot}\right)^{1/102},

5. 2. 유도 결과

하야시 경로의 정확한 모양과 위치는 컴퓨터 모델을 사용하여 수치적으로만 계산할 수 있지만, 분석적 논증을 통해 그 특성을 파악할 수 있다.^[1] 이 모델에서 별은 완전 대류 내부와 완전 복사 대기로 구성된다고 가정한다.

대류 내부는 단열 온도 기울기를 가진 이상적인 단원자 가스로 가정하며, 단열 방정식은 다음과 같다.

:P^1-γ T^γ = C

여기서 γ는 단열 감마이며, 이상적인 단원자 가스의 경우 5/3이다. 이상 기체 법칙을 통해 위 식은 P = Kρ^{1 + 1/n}으로 표현될 수 있으며, 이는 폴리트로프 지수 n = 1.5인 폴리트로프를 나타낸다. 이를 별의 중심에 적용하면,

:C = (μ_H / ρ_ck)^γ P_c

를 얻는다. 여기서 P_c = W_nGM²/R⁴, ρ_c = K_nρ_avg이며, W_n, K_n은 상수, ρ_avg는 평균 밀도이다. 이 두 방정식을 C에 대입하면,

:C ~ M^2-γR^3γ-4

를 얻는다. 따라서 질량 M과 반지름 R을 가진 모든 별에 대해,

:lnP = (2 - γ)/(1 - γ)lnM + (3γ - 4)/(1 - γ)lnR - γ/(1 - γ)lnT

가 성립한다. P를 제거하기 위해 대기 모델을 고려한다. 대기는 얇고 평균 불투명도 k를 가진다고 가정한다. 광구의 광학 깊이는 τ = 2/3이며, 광구의 온도는 T = T_eff이고, 유효 온도는 L = 4πR²σT_eff⁴로 주어진다. 따라서 압력은 다음과 같다.

:P₀ = GM/R² * 2/3k

불투명도는 k = k₀P^aT^b로 근사할 수 있으며, 이 값을 압력 방정식에 대입하면,

:lnP₀ = lnconst + 1/(a + 1)(lnM - 2lnR - blnT_eff)

를 얻는다. 마지막으로, R을 제거하고 광도 L을 도입하면,

:lnR = 0.5lnL - 2lnT_eff + const

를 얻는다. 위 방정식들을 결합하고, γ = 5/3을 설정하면,

:lnT_eff = AlnL + BlnM + const

를 얻는다. 여기서 A = (0.75a - 0.25) / (5.5a + b + 1.5), B = (0.5a + 1.5) / (5.5a + b + 1.5)이다. 차가운 별 대기(T < 5000 K)에서 불투명도의 주요 원인은 H^- 이온이며, a ≈ 1, b ≈ 3이므로 A = 0.05, B = 0.2이다.

A는 1보다 훨씬 작으므로 하야시 경로는 매우 가파르다. 즉, 광도가 2배 변하면 온도는 4%만 변한다. B가 양수라는 것은 하야시 경로가 질량이 증가함에 따라 HR도에서 더 높은 온도로, 즉 왼쪽으로 이동한다는 것을 의미한다.

고온에서는 대기의 불투명도가 H^- 이온 대신 크라머스 불투명도 법칙에 의해 지배되기 시작하며, a = 1, b = -4.5의 경우, A = 0.2로, 별은 더 이상 하야시 경로에 있지 않게 된다.

"별의 내부"에서^[2] 한센, 카왈러, 트림블은 비슷한 유도를 통해,

:T_eff = (2600 K)μ^13/51(M/M_☉)^7/51(L/L_☉)^1/102

를 얻었다. 여기서 μ는 입자당 분자량이다. 이들은 2600 K의 계수가 너무 낮다고 지적했지만, 이 방정식은 온도가 광도와 거의 무관하다는 것을 보여준다.

6. 수치적 결과

다양한 질량과 화학 조성에 대한 하야시 경로는 수치적으로 계산할 수 있다.

헬륨 질량 분율이 0.245인 0.8 태양 질량의 별에 대한 하야시 경로, 3가지 다른 금속 함량에 대한 값

이 문서 상단의 다이어그램은 다양한 질량에 대해 수치적으로 계산된 별의 진화 경로를 보여준다. 각 경로의 수직 부분은 하야시 경로이다. 각 경로의 종점은 주계열에 위치한다. 질량이 더 큰 별의 수평 세그먼트는 헤니에이 경로를 보여준다.

별의 질량이 증가함에 따라 하야시 경로는 더 높은 온도로 이동한다. 즉,

:

\frac{\partial \ln T_\text{eff}}{\partial \ln M} \approx 0.1.

이다.

화학적 조성은 대기의 불투명도에 영향을 미쳐 하야시 경로를 변화시킨다. 대기의 불투명도는 H⁻ 이온에 의해 결정되는데, 이 이온의 양은 자유 전자의 밀도에 비례한다. 금속은 수소나 헬륨보다 쉽게 이온화되어 자유 전자를 더 많이 생성하므로, 금속 함량이 높을수록 자유 전자의 밀도가 높아진다. 주어진 수소 질량 분율에서 금속 함량()을 증가시키면 분자량이 증가한다. 온도가 분자량에 미치는 영향은 매우 커서,

:

\frac{\partial \ln T_\text{eff}}{\partial \ln \mu} \approx -26.

이다. 를 10분의 1로 감소시키면 경로는 오른쪽으로 이동하며,

\ln T_\text{eff}

를 약 0.05만큼 변경한다.

별의 금속 함량(Z)이 증가하면 분자량이 증가한다. 온도가 분자량에 미치는 영향은 매우 가파르다. 금속 함량을 10분의 1로 감소시키면 하야시 경로는 오른쪽으로 이동하며,

\ln T_\text{eff}

를 약 0.05만큼 변경한다.

화학적 조성은 대기의 불투명도에 영향을 미쳐 하야시 경로를 결정한다. 불투명도는 H⁻ 이온에 의해 결정되는데, 이 이온의 양은 자유 전자의 밀도에 비례한다. 금속은 수소나 헬륨보다 더 쉽게 이온화되기 때문에 금속이 많을수록 자유 전자의 밀도가 높아져 H⁻ 이온의 양이 늘어난다.

6. 1. 질량과 하야시 경로

별의 질량이 증가함에 따라 하야시 경로는 더 높은 온도로 이동한다. 즉,

\frac{\partial \ln T_\text{eff}}{\partial \ln M} \approx 0.1.

이다.

화학적 조성은 대기의 불투명도에 영향을 미쳐 하야시 경로를 변화시킨다. 대기의 불투명도는 H⁻ 이온에 의해 결정되는데, 이 이온의 양은 자유 전자의 밀도에 비례한다. 금속은 수소나 헬륨보다 쉽게 이온화되어 자유 전자를 더 많이 생성하므로, 금속 함량이 높을수록 자유 전자의 밀도가 높아진다. 주어진 수소 질량 분율에서 금속 함량()을 증가시키면 분자량이 증가한다. 온도가 분자량에 미치는 영향은 매우 커서,

\frac{\partial \ln T_\text{eff}}{\partial \ln \mu} \approx -26.

이다. 를 10분의 1로 감소시키면 경로는 오른쪽으로 이동하며,

\ln T_\text{eff}

를 약 0.05만큼 변경한다.

6. 2. 화학 조성과 하야시 경로

별의 금속 함량(Z)이 증가하면 분자량이 증가한다. 온도가 분자량에 미치는 영향은 매우 가파르다. 금속 함량을 10분의 1로 감소시키면 하야시 경로는 오른쪽으로 이동하며,

\ln T_\text{eff}

를 약 0.05만큼 변경한다.

화학적 조성은 대기의 불투명도에 영향을 미쳐 하야시 경로를 결정한다. 불투명도는 H⁻ 이온에 의해 결정되는데, 이 이온의 양은 자유 전자의 밀도에 비례한다. 금속은 수소나 헬륨보다 더 쉽게 이온화되기 때문에 금속이 많을수록 자유 전자의 밀도가 높아져 H⁻ 이온의 양이 늘어난다.

7. 관측 증거

하야시 경로에 대한 관측 증거는 젊은 별무리들의 색-등급도(HR도와 관측적으로 동일)에서 얻을 수 있다.^[3] 하야시에게 있어, NGC 2264는 수축하는 별들의 첫 번째 증거를 제공했다. 2012년에, NGC 2264의 데이터는 먼지 적색화와 소광을 고려하여 재분석되었다.

젊은 별무리 NGC 2264, 주계열로 수축하는 많은 T Tauri 별들을 보여준다. 실선은 주계열을 나타내고, 그 위의 두 선은 650만 년(위쪽)과 500만 년(아래쪽) 등시선을 나타낸다.

위 그림에서, 등시선은 특정 연령의 별들이 위치할 것으로 예상되는 곡선이며, 모든 별이 하야시 경로를 따라 진화한다고 가정한다. 등시선은 모든 가능한 질량의 별들을 선택하여, 동일한 연령까지 진화시키고, 이들을 모두 색-등급도에 표시함으로써 생성된다. NGC 2264의 별들 대부분은 이미 주계열에 있지만(검은 선), 상당수의 별들이 320만 년과 500만 년 사이의 등시선 사이에 위치하며, 이는 별무리가 320만~500만 년 되었고, 많은 T Tauri 별들이 아직 그들의 하야시 경로에 있음을 나타낸다. 비슷한 결과가 NGC 6530, IC 5146, 그리고 NGC 6611에서도 얻어졌다.^[3]

번호가 매겨진 곡선은 해당 질량(태양 질량 단위)의 별들의 하야시 경로를 나타낸다. 작은 원은 T Tauri 별들의 관측 데이터를 나타낸다. 오른쪽의 굵은 곡선은 탄생선이며, 그 위에는 별이 거의 존재하지 않는다.

아래 그림은 다양한 질량에 대한 하야시 경로를 여러 출처에서 수집된 T Tauri 관측 데이터와 함께 보여준다. 오른쪽의 굵은 곡선, 즉 별 탄생선에 주목하라. 이론적으로 일부 하야시 경로는 탄생선 위로 확장되지만, 그 위에 있는 별은 거의 없다. 실제로 별들은 각자의 하야시 경로를 따라 아래로 진화하기 전에 탄생선에 "태어난다".

탄생선은 별들이 거대 분자 구름의 과밀한 핵에서 안쪽에서 바깥쪽으로 형성되기 때문에 존재한다.^[4] 즉, 작은 중심 영역이 먼저 자체적으로 붕괴되는 동안 외부 껍질은 거의 정지 상태를 유지한다. 그 후, 외부 봉투가 중심 원별로 강착된다. 강착이 끝나기 전에, 원별은 시야에서 가려지므로 색-등급도에 표시되지 않는다. 봉투가 강착을 완료하면 별이 드러나 탄생선에 나타난다.

7. 1. NGC 2264와 하야시 경로

하야시 경로는 젊은 별무리들의 색-등급도(HR도와 관측적으로 동일)를 통해 관측 증거를 확보한다.^[3] 하야시에게 있어, NGC 2264는 수축하는 별들의 첫 번째 증거를 제공했다. 2012년 NGC 2264 데이터를 먼지 적색화와 소광을 고려해 재분석한 결과, 색-등급도는 오른쪽 그림과 같이 나타났다.

위쪽 그림에서 등시선은 특정 연령의 별들이 위치할 것으로 예상되는 곡선으로, 모든 별이 하야시 경로를 따라 진화한다고 가정하여 생성된다. NGC 2264의 별들 대부분은 이미 주계열(검은 선)에 있지만, 상당수 별들이 320만 년과 500만 년 사이 등시선 사이에 위치한다. 이는 별무리가 320만~500만 년 되었고, 많은 T Tauri 별들이 아직 하야시 경로에 있음을 의미한다. 비슷한 결과가 NGC 6530, IC 5146, NGC 6611에서도 나타났다.^[3]

아래쪽 그림은 다양한 질량에 대한 하야시 경로와 여러 출처에서 수집된 T Tauri 관측 데이터를 함께 보여준다. 오른쪽의 굵은 곡선인 별 탄생선 위로는 별이 거의 존재하지 않는데, 이론적으로 일부 하야시 경로는 탄생선 위로 확장되지만, 별들은 각자의 하야시 경로를 따라 아래로 진화하기 전에 탄생선에 "태어난다".

탄생선은 별들이 거대 분자 구름의 과밀한 핵에서 안쪽에서 바깥쪽으로 형성되기 때문에 존재한다.^[4] 즉, 작은 중심 영역이 먼저 자체적으로 붕괴되고 외부 껍질은 거의 정지 상태를 유지하다가, 이후 외부 봉투가 중심 원별로 강착된다. 강착이 끝나기 전, 원별은 시야에서 가려져 색-등급도에 표시되지 않다가, 봉투 강착이 완료되면 별이 드러나 탄생선에 나타난다.

7. 2. 별 탄생선과 하야시 경로

하야시 경로에 대한 관측 증거는 젊은 별무리들의 색-등급도—HR도와 관측적으로 동일한 것—에서 얻을 수 있다.^[3] 하야시에게 있어, NGC 2264는 수축하는 별들의 첫 번째 증거를 제공했다. 2012년에, NGC 2264의 데이터는 먼지 적색화와 소광을 고려하여 재분석되었다.

위쪽 그림에서, 등시선은 특정 연령의 별들이 위치할 것으로 예상되는 곡선이며, 모든 별이 하야시 경로를 따라 진화한다고 가정한다. 등시선은 모든 가능한 질량의 별들을 선택하여, 동일한 연령까지 진화시키고, 이들을 모두 색-등급도에 플롯함으로써 생성된다. NGC 2264의 별들 대부분은 이미 주계열에 있지만(검은 선), 상당수의 별들이 320만 년과 500만 년 사이의 등시선 사이에 위치하며, 이는 별무리가 320만~500만 년 되었고, 많은 T Tauri 별들이 아직 그들의 하야시 경로에 있음을 나타낸다. 비슷한 결과가 NGC 6530, IC 5146, 그리고 NGC 6611에서도 얻어졌다.^[3]

아래쪽 그림은 다양한 질량에 대한 하야시 경로를 여러 출처에서 수집된 T Tauri 관측 데이터와 함께 보여준다. 오른쪽의 굵은 곡선, 즉 별 탄생선에 주목하라. 이론적으로 일부 하야시 경로는 탄생선 위로 확장되지만, 그 위에 있는 별은 거의 없다. 실제로 별들은 각자의 하야시 경로를 따라 아래로 진화하기 전에 탄생선에 "태어난다".

탄생선은 별들이 거대 분자 구름의 과밀한 핵에서 안쪽에서 바깥쪽으로 형성되기 때문에 존재한다.^[4] 즉, 작은 중심 영역이 먼저 자체적으로 붕괴되는 동안 외부 껍질은 거의 정지 상태를 유지한다. 그 후, 외부 봉투가 중심 원별로 강착된다. 강착이 끝나기 전에, 원별은 시야에서 가려지므로 색-등급도에 표시되지 않는다. 봉투가 강착을 완료하면 별이 드러나 탄생선에 나타난다.

참조

_[1] 서적 Stellar structure and evolution Springer 2012
_[2] 서적 Stellar interiors : physical principles, structure, and evolution https://archive.org/[...] Springer 2004
_[3] 서적 First Stars IV: From Hayashi to the Future 2012
_[4] 간행물 Understanding young stars - A history 1988
_[5] 간행물 Stellar evolution in early phases of gravitational contraction 1961
_[6] 간행물 The Outer Envelope of Giant Stars with Surface Convection Zone 1961

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