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회전수

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목차

1. 개요

회전수는 앙리 푸앵카레에 의해 처음 정의되었으며, 원의 자기 위상 동형사상에 부여되는 불변량이다. 실직선 또는 원 위에서 정의되며, 함수의 반복을 사용하여 계산된다. 회전수는 원의 자기 위상 동형의 군에서 원군으로 가는 군 준동형이며, 위상 공액 및 단조 위상적 반공액에 대해 불변하다. 회전수는 유리수 또는 무리수 값을 가질 수 있으며, 이에 따라 원의 자기 위상 동형을 분류하는 데 사용된다.

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회전수

2. 역사

1885년, 앙리 푸앵카레가 처음 정의했으며, 이는 행성 궤도의 근일점 세차 운동과 관련이 있었다. 푸앵카레는 이후 회전수의 유리수에 따른 주기 궤도의 존재를 특징짓는 정리를 증명했다.

3. 정의

회전수는 실직선 또는 원에서 정의되는 특정 조건을 만족하는 함수에 대해, 반복 적용했을 때 나타나는 평균적인 변화량을 나타내는 값이다. 앙리 푸앵카레가 이 값이 항상 존재하며 시작점에 상관없이 일정함을 증명하였다.

3. 1. 실직선 위에서의 정의

실직선 위에서 자기 위상 동형 사상 F\colon\mathbb R\to\mathbb R가 다음 조건을 만족한다고 가정하자.

:F(x+n)=F(x)+n\qquad\forall n\in\mathbb N

이 때, F의 회전수 \omega(F)는 다음과 같이 정의된다.

:\omega(F)=\lim_{n\to\infty}\frac{F^n(x)-x}n\in\mathbb R

여기서 F^n=\overbrace{F\circ\cdots\circ F}^n이다. 이 극한은 항상 존재하며, x\in\mathbb R에 상관없이 일정하다. 이는 앙리 푸앵카레가 증명하였다.

F의 주기성으로 인해, 원의 방향을 보존하는 자기 위상 동형 f\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1을 정의할 수 있다. 이 경우, f의 회전수 \omega(f)\in\mathbb R/\mathbb Z는 F의 회전수와 같다. F와 n+F는 같은 f에 대응하지만 회전수가 정수 n만큼 다르므로, f의 회전수는 \mathbb R/\mathbb Z의 원소이다. 예를 들어, \omega(x\mapsto x+\theta)=\theta이다.

f:S^1 \to S^1이 원 S^1 = \R/\Z의 방향을 보존하는 위상동형사상이라면, 실수선에 대한 위상동형사상 F: \R \to \R으로 리프트될 수 있으며, 다음을 만족한다.

: F(x + m) = F(x) +m

여기서 모든 실수이고, 모든 정수이다.

f의 회전수는 F의 반복을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:\omega(f)=\lim_{n\to\infty} \frac{F^n(x)-x}{n}.

앙리 푸앵카레는 이 극한이 존재하며 시작점 선택에 관계없이 일정함을 증명했다. 리프트 F는 정수 modulo로 유일하므로 회전수는 \R/\Z의 잘 정의된 원소이다. 직관적으로, 이는 f의 궤도를 따라 평균 회전 각도를 측정한다.

3. 2. 원 위에서의 정의

실직선의 자기 위상 동형 F\colon\mathbb R\to\mathbb R가 다음을 만족시킨다고 하자.

:F(x+n)=F(x)+n\qquad\forall n\in\mathbb N

그렇다면, F의 '''회전수''' \omega(F)는 다음과 같다.

:\omega(F)=\lim_{n\to\infty}\frac{F^n(x)-x}n\in\mathbb R

여기서

:F^n=\overbrace{F\circ\cdots\circ F}^n

이다. 이 극한은 항상 존재하며, x\in\mathbb R에 상관없다는 것을 보일 수 있으며, 이는 앙리 푸앵카레가 증명하였다.

F의 주기성으로 인하여, 이로부터 원의 방향을 보존하는 자기 위상 동형 f\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1을 정의할 수 있다. 이 경우, f의 '''회전수''' \omega(f)\in\mathbb R/\mathbb Z는 F의 회전수와 같다. F와 n+F는 같은 f에 대응하지만 회전수가 정수 n만큼 다르므로, f의 회전수는 \mathbb R/\mathbb Z의 원소이다. 예를 들어, \omega(x\mapsto x+\theta)=\theta이다.

f:S^1 \to S^1이 원 S^1 = \R/\Z의 방향을 보존하는 위상동형사상이라고 가정하자. 그러면 f는 실수선에 대한 위상동형사상 F: \R \to \R으로 리프트될 수 있으며, 다음을 만족한다.

: F(x + m) = F(x) +m

여기서 x는 모든 실수이고, m은 모든 정수이다.

f의 '''회전수'''는 F의 반복을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:\omega(f)=\lim_{n\to\infty} \frac{F^n(x)-x}{n}.

앙리 푸앵카레는 이 극한이 존재하며 시작점 x의 선택에 관계없이 일정함을 증명했다. 리프트 F는 정수 modulo로 유일하므로 회전수는 \R/\Z의 잘 정의된 원소이다. 직관적으로, 이는 f의 궤도를 따라 평균 회전 각도를 측정한다.

4. 성질

회전수 \(\omega\)는 원의 방향 보존 자기 위상 동형군 \(\operatorname{Homeo}^+(\mathbb S^1)\)에서 원군 \(\mathbb S^1\cong\mathbb R/\mathbb Z\)으로 가는 군 준동형이다. \(\operatorname{Homeo}^+(\mathbb S^1)\)에 \(\mathcal C^0\) 위상을 주어 위상군으로 만들면, 회전수는 연속 함수가 된다.

회전수는 위상 공액에 대해 불변하며, 단조 위상적 반공액에 대해서도 불변한다. 원의 두 방향 보존 자기 위상 동형 \(f, g\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1\) 및 연속 함수 \(h\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1\)에 대하여, \(h\circ f=g\circ h\)라면 \(\omega(f)=\omega(g)\)이다.

만약 \(f\)가 \(2\pi N\)만큼 회전(\(0 < N < 1\))하면, \(F(x) = x + N\)이고 회전수는 \(N\)이다(무리 회전 참조).

회전수는 원의 동형 사상 그룹(\(\mathcal C^0\) 위상)에서 원으로 가는 사상으로서 "연속적"이다.

4. 1. 원의 자기 위상 동형 분류

앙리 푸앵카레와 아르노 당주아는 회전수를 사용하여 원의 자기 위상 동형 f들을 다음과 같이 분류하였다.

  • 1. 만약 f의 회전수가 유리수 \omega(f)=p/q라면 (\gcd\{p,q\}=1), f는 하나 이상의 주기적 궤도를 가지며, f의 모든 주기적 궤도의 주기는 q이다. 또한, f의 모든 궤도는 주기적 궤도로 수렴한다. (반면, f에서 수렴하는 주기적 궤도와 f^{-1}에서 수렴하는 주기적 궤도는 일반적으로 다를 수 있다.)
  • 2. 만약 f의 회전수가 무리수라면, f는 주기적 궤도를 갖지 않는다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 경우가 가능하다.
  • * 2(a). f는 적어도 하나의 조밀 궤도를 갖는다. 이 경우, f=g\circ(x\mapsto x+\omega(f))\circ g^{-1}인 방향 보존 위상 동형 g\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1이 존재하며, 모든 궤도가 조밀하다.
  • * 2(b). f의 모든 궤도는 조밀하지 않다. 이 경우, f(C)=C인 칸토어 집합 C\subset\mathbb S^1가 존재한다. 이 경우, f의 모든 궤도는 C에 수렴하며, 마찬가지로 f^{-1}의 모든 궤도 역시 C에 수렴한다. 이 경우, h\circ f=(x\mapsto x+\omega(f))\circ h가 되는 연속 함수 h\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1가 존재하며, h는 \mathbb S^1\setminus C의 각 연결 성분 위에서 상수 함수이다.


또한, 만약 f가 \mathcal C^2 함수라면 항상 1이거나 2(a)에 해당한다. (이는 아르노 당주아가 증명하였다.)


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