CAT(κ) 공간

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1. 개요

CAT(κ) 공간은 단면 곡률이 κ인 공간 형식과 관련된 개념으로, 측지선 거리 공간의 일종이다. 이 공간은 삼각형의 변 길이와 비교 삼각형의 거리를 비교하는 CAT(κ) 부등식을 만족하는지 여부에 따라 정의된다. CAT(κ) 공간은 완비 CAT(0) 공간인 아다마르 공간을 포함하며, 다양한 성질을 갖는다. 예를 들어, CAT(κ) 공간은 CAT(λ) 공간(λ > κ)이며, k ≤ 0인 경우 보편 피복 공간은 수축 가능하다. CAT(κ) 공간은 내적 공간, 유클리드 공간, 쌍곡 공간, 구 등 다양한 예시를 포함하며, 알렉산드로프가 처음 도입하고 그로모프가 널리 사용하게 되었다.

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CAT(κ) 공간

2. 정의

임의의 실수 $\kappa\in\mathbb R$ 에 대하여, $\Sigma_\kappa$ 를 단면 곡률이 $\kappa$ 인 2차원 연결 단일 연결 공간 형식이라고 하자. $\kappa>0$ 일 경우 이는 구, $\kappa=0$ 일 경우는 유클리드 평면, $\kappa<0$ 일 경우는 쌍곡 평면이다. 이 공간 형식의 지름은 다음과 같다.

: $\operatorname{diam}\Sigma_\kappa=\begin{cases}\pi/\sqrt\kappa&\kappa>0\\\infty&\kappa\le0\end{cases}$

완비 $\operatorname{CAT}(0)$ 공간을 '''아다마르 공간'''(Hadamard space^영어)이라고 한다. 곡률이 $\leq 0$ 인 공간은 비양의 곡률을 가질 수 있다고 할 수 있다.

2. 1. 측지선 거리 공간

'''측지선 거리 공간'''(geodesic metric space^영어)

(X,d)

은 다음 조건을 만족시키는 길이 거리 공간이다.

임의의 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여, 두 점을 잇는 측지선 $\gamma$ 가 존재한다.
: $\gamma\colon[0,1]\to X$
: $\gamma(0)=x$
: $\gamma(1)=y$
: $d(\gamma(s),\gamma(t))=|t-s|\qquad(s,t\in[0,1])$

두 점

x,y\in X

를 잇는 측지선을

\gamma_{xy}\colon[0,1]\to X

로 표기한다.

2. 2. 비교 삼각형

실수

k

에 대해,

M_k

를 상수 곡률

k

를 갖는 유일한 완비 단순 연결 곡면으로 나타낸다.

(X,d)

를 측지 거리 공간이라 하고,

\Delta

를 측지선으로 변을 갖는

X

내의 삼각형이라고 하자. 이때,

\Delta

의 비교 삼각형

\Delta'

는 모델 공간

M_k

에 존재하며,

\Delta

와 같은 변의 길이를 갖는다.

2. 3. CAT(k) 부등식

측지선 거리 공간

(X,d)

속의 세 점

x,y,z\in X

에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는

x',y',z'\in\Sigma_\kappa

가 존재한다면, 삼각형

\triangle xyz

가 '''

\operatorname{CAT}(\kappa)

부등식'''을 만족시킨다고 한다.

$d(x,y)=d(x',y')$ , $d(y,z)=d(y',z')$ , $d(z,x)=d(z',x')$
$\triangle xyz$ 위의 두 점 사이의 거리는 $\triangle x'y'z'$ 위의 대응하는 하는 두 점 사이의 거리보다 같거나 짧다. 즉, 다음이 성립한다.
임의의 $s,t\in[0,1]$ 에 대하여, $d(\gamma_{xy}(s),\gamma_{yz}(t))\le d(\gamma_{x'y'}(s),\gamma_{y'z'}(t))$
임의의 $s,t\in[0,1]$ 에 대하여, $d(\gamma_{yz}(s),\gamma_{zx}(t))\le d(\gamma_{y'z'}(s),\gamma_{z'x'}(t))$
임의의 $s,t\in[0,1]$ 에 대하여, $d(\gamma_{zx}(s),\gamma_{xy}(t))\le d(\gamma_{z'x'}(s),\gamma_{x'y'}(t))$

\Delta

를 측지선으로 변을 갖는

X

내의 삼각형이라고 할 때,

\Delta

는 변의 길이가

\Delta

의 변과 같은 비교 삼각형

\Delta'

가 모델 공간

M_k

에 존재하여

\Delta

위의 점들 사이의 거리가

\Delta'

의 대응하는 점들 사이의 거리보다 작거나 같으면

\mathbf{\operatorname{\textbf{CAT}}}(k)

'''부등식'''을 만족한다고 한다.

2. 4. CAT(k) 공간

geodesic metric space^영어 $(X,d)$에서 세 점 $x,y,z\in X$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 $x',y',z'\in\Sigma_\kappa$가 존재한다면, 삼각형 $\triangle xyz$는 '''$\operatorname{CAT}(\kappa)$ 부등식'''을 만족시킨다고 한다.

$d(x,y)=d(x',y')$, $d(y,z)=d(y',z')$, $d(z,x)=d(z',x')$
$\triangle xyz$ 위의 두 점 사이의 거리는 $\triangle x'y'z'$ 위의 대응하는 두 점 사이의 거리보다 같거나 짧다. 즉, 다음이 성립한다.
임의의 $s,t\in[0,1]$에 대하여, $d(\gamma_{xy}(s),\gamma_{yz}(t))\le d(\gamma_{x'y'}(s),\gamma_{y'z'}(t))$
임의의 $s,t\in[0,1]$에 대하여, $d(\gamma_{yz}(s),\gamma_{zx}(t))\le d(\gamma_{y'z'}(s),\gamma_{z'x'}(t))$
임의의 $s,t\in[0,1]$에 대하여, $d(\gamma_{zx}(s),\gamma_{xy}(t))\le d(\gamma_{z'x'}(s),\gamma_{x'y'}(t))$

측지선 거리 공간 $(X,d)$에서 임의의 세 점 $x,y,z\in X$에 대하여 $\operatorname{CAT}(\kappa)$ 부등식이 성립한다면, $(X,d)$를 '''$\operatorname{CAT}(\kappa)$ 공간'''이라고 한다.

측지 거리 공간 $(X,d)$의 모든 측지 삼각형 $\Delta$가 둘레가 $2D_k$보다 작을 때 $\operatorname{CAT}(k)$ 부등식을 만족하면, $(X,d)$는 $\mathbf{\operatorname{\textbf{CAT}}}(k)$ '''공간'''이다.

3. 성질

CAT(k) 공간은 여러 중요한 기하학적 성질을 갖는다. k≤0인 경우, 모든 CAT(k) 공간의 보편 피복 공간은 수축 가능하며, 특히 이러한 공간의 고차 호모토피 군은 자명군이다. 그러나 k>0인 경우에는 n-구 Sⁿ의 예시에서 볼 수 있듯이, CAT(k) 공간이 수축 가능하다고 일반적으로 기대할 수 없다.

3. 1. CAT(k)와 CAT(l)의 관계

임의의

\operatorname{CAT}(k)

공간

(X, d)

는 모든

\ell > k

에 대해

\operatorname{CAT}(\ell)

공간이다. 역으로,

(X, d)

가 모든

\ell > k

에 대해

\operatorname{CAT}(\ell)

공간이라면,

\operatorname{CAT}(k)

공간이다.

3. 2. 유일한 측지선

CAT(k)^영어 공간

(X,d)

에서, 임의의 두 점

x,y\in X

에 대해 (

k> 0

이면

d(x,y)< D_k

),

x

와

y

를 잇는 유일한 측지선 분절이 존재한다. 또한, 이 분절은 종점의 함수로써 연속적으로 변한다.

3. 3. 국소 측지선과 측지선

에서, 길이가 최대

D_k

인 모든 국소 측지선은 측지선이다.^[1]

3. 4. 볼록성

(X,d)

가

\operatorname{CAT}(k)

공간일 때, 반경이

D_k/2

미만인

X

의

d

-열린 공은 (측지선적으로) 볼록하다.^[1]

3. 5. 수축성

CAT^영어(k) 공간에서, 반경이 D_k 미만인 d^영어-공은 수축 가능하다.^[1]

3. 6. 근사 중간점

(X,d)

가

\operatorname{CAT}(k)

공간이라고 할 때, 근사 중간점은 다음 의미에서 중간점에 가깝다. 모든

\lambda < D_k

와 모든

\epsilon > 0

에 대해,

\delta = \delta(k,\lambda,\epsilon) > 0

가 존재하여, 만약

m

이

d(x,y)\leq \lambda

를 만족하는

x

에서

y

까지의 측지선 분절의 중간점이고

\max \bigl\{ d(x, m'), d(y, m') \bigr\} \leq \frac1{2} d(x, y) + \delta,

이면

d(m,m') < \epsilon

이다.

4. 예

모든 $\operatorname{CAT}(k)$ 공간 $(X,d)$ 는 모든 $\ell>k$ 에 대해 $\operatorname{CAT}(\ell)$ 공간이다. 역도 성립한다. 만약 $(X,d)$ 가 모든 $\ell>k$ 에 대해 $\operatorname{CAT}(\ell)$ 공간이라면, 그것은 $\operatorname{CAT}(k)$ 공간이다.
일반적인 거리를 갖는 $n$ 차원 유클리드 공간 $\mathbf{E}^n$ 은 $\operatorname{CAT}(0)$ 공간이다.
표준 공간 $M_k$ 는 $\operatorname{CAT}(k)$ 공간이다. 예를 들어 차원에 관계없이 반지름 $r$ 의 구(및 상수 곡률 $\frac{1}{r^2}$ )는 $\operatorname{CAT}\left(\frac{1}{r^2}\right)$ 공간이다. 구의 지름은 $\pi r$ (구의 표면에서 측정)이며, $2r$ (구의 중심을 통과하여 측정)가 아님에 유의해야 한다.
유도된 길이 메트릭을 갖춘 $\mathbf{E}^3$ 의 닫힌 부분 공간 $X$ 는 $X = \mathbf{E}^{3} \setminus \{ (x, y, z) \mid x > 0, y > 0 \text{ and } z > 0 \}$ 로 주어지며, 어떤 $k$ 에 대해서도 $\operatorname{CAT}(k)$ 공간이 ''아니다''.

4. 1. 유클리드 공간과 내적 공간

모든 내적 공간(완비일 필요는 없음)은 CAT(0) 공간이다. 임의의 노름 공간 V가 어떤 실수 κ에 대하여 CAT(κ) 공간이라면, V는 내적 공간이다.

4. 2. 쌍곡 공간

n차원 쌍곡 공간은

\operatorname{CAT}(-1)

공간이며, 따라서

\operatorname{CAT}(0)

공간이기도 하다.

4. 3. 구

n차원 단위 구는 CAT(1) 공간이다. 반지름이 r인 초구는 CAT(1/r²) 공간이다. 이 초구의 길이 거리 공간으로서의 지름은 πr이다.

4. 4. 그 외의 예시

모든 내적 공간은 (완비일 필요는 없지만) $\operatorname{CAT}(0)$ 공간이다. 실수 노름 공간 $V$ 가 어떤 실수 $\kappa$ 에 대하여 $\operatorname{CAT}(\kappa)$ 공간이라면, $V$ 는 내적 공간이다.
$n$ 차원 쌍곡 공간은 $\operatorname{CAT}(-1)$ 공간이다.
반지름이 $r$ 인 $n$ 차원 초구 $\mathbb S^n$ 은 $\operatorname{CAT}(1/r^2)$ 공간이다. (이 초구의 길이 거리 공간으로서의 지름은 $\pi r$ 이다.)
구멍 뚫린 평면 $\Pi = \mathbf{E}^2\backslash\{\mathbf{0}\}$ 는 측지선으로 볼록하지 않기 때문에 $\operatorname{CAT}(0)$ 공간이 아니다. (예를 들어, 점 $(0,1)$ 과 $(0,-1)$ 은 호의 길이가 2인 $\Pi$ 에서 측지선으로 연결될 수 없다.) 그러나 $\Pi$ 의 모든 점은 $\operatorname{CAT}(0)$ 측지선으로 볼록한 이웃을 가지므로, $\Pi$ 는 곡률이 $\leq 0$ 인 공간이다.
$\operatorname{CAT}(0)$ 공간의 곱은 $\operatorname{CAT}(0)$ 공간이다.

5. Hadamard 공간

Hadamard 공간은 완비 CAT(0) 공간이다. 이는 Hadamard 다양체와 유사하다. Hadamard 공간은 축약 가능하며(단일 점의 호모토피 유형을 가진다), Hadamard 공간의 임의의 두 점 사이에는 이를 연결하는 유일한 측지선이 존재한다. Hadamard 공간의 거리 함수는 볼록하다. 즉, $\sigma_1, \sigma_2$ 가 동일한 구간 ''I''에서 정의된 두 개의 측지선이면, 함수 $I\to \R$ 는 다음과 같다.

: $t \mapsto d \big( \sigma_{1} (t), \sigma_{2} (t) \big)$

''t''에 대해 볼록하다.

6. 역사

CAT(κ) 공간의 개념은 알렉산드르 알렉산드로프가 도입하였다. 알렉산드로프는 이를 원래 "R_κ 영역"으로 명명하였다. 이후 미하일 그로모프가 1987년 논문에서 "CAT(κ) 공간"이라는 용어를 도입하였다. 이름에서 "CAT"는 앙리 카르탕, 알렉산드로프, 빅토르 안드레예비치 토포고노프의 머릿글자를 딴 것이다.

7. 비양의 곡률을 갖는 곡면

실수 $k$ 에 대해, $M_k$ 를 상수 곡률 $k$ 를 갖는 유일한 완비 단순 연결 곡면 (실수 2차원 리만 다양체)으로 나타낸다. 곡면의 곡률이 $K \leq 0$ 을 만족하는 영역에서, 측지선 삼각형은 카르탕, 알렉산드로프, 토포노고프가 연구하고, 나중에 브루앗과 티츠가 Bruhat–Tits 빌딩 관점에서 다르게 고찰한 '''비교 기하학'''의 CAT(0) 부등식을 만족한다. 그로모프의 통찰력 덕분에, 이러한 비음의 곡률에 대한 특징은 밑바탕이 되는 거리 공간의 관점에서 현대 기하학, 특히 기하학적 군론에 지대한 영향을 미쳤다. 비음의 곡률을 가진 단일 연결 곡면이 평면과 위상 동형이라는 비르코프의 곡선 단축 과정을 통한 측지선 구성 방법이나, 반 망골트와 아다마르의 정리와 같이 매끄러운 곡면과 그 측지선에 대해 알려진 많은 결과들이 이보다 더 일반적인 설정에서도 똑같이 유효하다.^[1]

알렉산드로프가 1940년경 표면에서 처음 증명한 비교 부등식의 가장 간단한 형태는 다음과 같다.

이 부등식은 다음 사실에서 비롯된다.

c(t)

가 호의 길이로 매개변수화된 측지선을 설명하고

a

가 고정된 점이면,

:

f(t) = d(a,c(t))^2 - t^2

는 볼록 함수이다. 즉,

:

\ddot{f}(t) \ge 0.

참조

_[1] 서적 2004
_[1] 서적 Nonpositive curvature: geometric and analytic aspects Birkhäuser

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