S파

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1. 개요
2. 역사
3. 이론
- 3.1. 등방성 매질
- 3.2. 점탄성 매질
4. S파 기술
- 4.1. 자기 공명 탄성영상술 (MRE)
참조

1. 개요

S파는 고체 내에서 전파되는 탄성파의 한 종류로, 지진파의 한 유형이다. 1830년 시메옹 드니 푸아송에 의해 처음 언급되었으며, 파면과 평행한 방향으로 입자가 움직이는 횡파의 형태를 띤다. 등방성 매질에서 S파의 속도는 전단 탄성 계수와 밀도에 의해 결정되며, 점탄성 매질에서는 주파수에 따라 속도가 달라진다. 자기 공명 탄성영상술(MRE)과 같은 기술에서 S파는 생체 조직의 탄성 특성을 연구하는 데 활용된다.

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진앙은 지진이 발생한 지표면의 지점을 의미하며, 지진파 분석을 통해 위치를 파악하고 지진 규모 및 피해 예측에 활용한다.

S파
개요
유형	탄성파
매질	고체
전파 속도	P파보다 느림
다른 이름	횡파, 이차파
특징
전파	액체나 기체를 통과하지 못함
진동 방향	전파 방향에 수직
활용	지진 발생 위치 추정, 지구 내부 구조 연구

2. 역사

1830년, 수학자 시메옹 드니 푸아송은 프랑스 과학 아카데미에 고체 내 탄성파의 전파 이론에 관한 논문("회고록")을 제출했다. 그의 회고록에서 그는 지진이 서로 다른 두 종류의 파동을 생성한다고 언급했다. 하나는 속도 $a$ 를 가지고, 다른 하나는 속도 $\frac{a}{\sqrt 3}$ 를 가진다. 파원으로부터 충분히 멀리 떨어진 곳에서 관심 영역 내에서 평면파로 간주될 수 있을 때, 첫 번째 파동은 파면에 수직인 방향(즉, 파동의 이동 방향과 평행)으로 팽창과 압축으로 구성되며, 두 번째 파동은 파면에 평행한 방향(이동 방향에 수직)으로 늘어나는 운동으로 구성된다.^[7]

3. 이론

1830년, 수학자 시메옹 드니 푸아송은 프랑스 과학 아카데미에 고체 내 탄성파 전파 이론에 관한 논문을 제출했다. 그의 회고록에서 그는 지진이 서로 다른 두 종류의 파동을 생성한다고 언급했는데, 하나는 속도 $a$ 를 가지고, 다른 하나는 속도 $\frac{a}{\sqrt 3}$ 를 가진다고 하였다. 파원으로부터 충분히 멀리 떨어진 곳에서 관심 영역 내에서 평면파로 간주될 수 있을 때, 첫 번째 파동은 파면에 수직인 방향(즉, 파동의 이동 방향과 평행)으로 팽창과 압축으로 구성되며, 두 번째 파동은 파면에 평행한 방향(이동 방향에 수직)으로 늘어나는 운동으로 구성된다.^[7]

정상 상태 SH파는 아래의 헬름홀츠 방정식^[9]으로 정의된다.

$\left(\nabla^2 + k^2 \right) \boldsymbol{u}=0$

여기서 $k$ 는 파수이다.

3. 1. 등방성 매질

지구의 깊이에 따른 지진파 속도. 외핵에서 S파 속도가 0에 가까운 것은 액체 상태이기 때문이며, 고체 내핵에서는 S파 속도가 0이 아니다.

고체 매질이 등방성이라고 가정하면, 이는 변형에 대한 응답으로 모든 방향에서 응력이 동일하다는 것을 의미한다. 탄성 진동으로 인해 매질의 입자가 "정지" 위치

\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)

에서 벗어난 벡터를

\boldsymbol{u} = (u_1,u_2,u_3)

라고 하자. 여기서 진동은 정지 위치

\boldsymbol{x}

와 시간

t

의 함수로 이해된다. 해당 지점에서의 매질 변형은 변형률 텐서

\boldsymbol{e}

로 설명할 수 있으며, 이는 요소가 다음과 같은 3×3 행렬이다.

e_{i j} = \tfrac{1}{2} \left( \partial_i u_j + \partial_j u_i \right)

여기서

\partial_i

는 위치 좌표

x_i

에 대한 편미분을 나타낸다. 변형률 텐서는 3×3 응력 텐서

\boldsymbol{\tau}

와 다음 방정식으로 관련된다.

\tau_{i j} = \lambda\delta_{i j}\sum_{k} e_{k k} + 2\mu e_{i j}

여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타 (만약

i = j

이면 1, 그렇지 않으면 0)이며

\lambda

와

\mu

는 라메 상수이다(

\mu

는 재료의 전단 탄성 계수이다). 결과는 다음과 같다.

\tau_{i j} = \lambda\delta_{i j} \sum_{k} \partial_k u_k + \mu \left( \partial_i u_j + \partial_j u_i \right)

뉴턴의 관성 법칙으로부터 다음도 얻을 수 있다.

\rho \partial_t^2 u_i = \sum_j \partial_j\tau_{i j}

여기서

\rho

는 해당 지점에서의 매질의 밀도 (단위 부피당 질량)이며,

\partial_t

는 시간에 대한 편미분을 나타낸다. 마지막 두 식을 결합하면 ''균질 매질에서의 지진파 방정식''이 얻어진다.

\rho \partial_t^2 u_i = \lambda\partial_i \sum_{k} \partial_k u_k + \mu\sum_j \bigl(\partial_i\partial_j u_j + \partial_j\partial_j u_i\bigr)

델 연산자 표기법

\nabla = (\partial_1, \partial_2, \partial_3)

를 사용하여, 약간의 근사로 이 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\rho \partial_t^2 \boldsymbol{u} = \left(\lambda + 2\mu \right) \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}\right) - \mu\nabla \times \left(\nabla \times \boldsymbol{u}\right)

이 방정식의 회전을 취하고 벡터 항등식을 적용하면 다음을 얻는다.

\partial_t^2(\nabla\times\boldsymbol{u}) = \frac{\mu}{\rho}\nabla^2 \left(\nabla\times\boldsymbol{u}\right)

이 공식은 재료의 전단 변형인 벡터 양

\nabla\times \boldsymbol{u}

에 적용된 파동 방정식이다. 이 방정식의 해인 S파는 다양한 파장과 전파 방향의 정현파 평면파의 선형 결합이지만, 모두 동일한 속도

\beta = \sqrt{\mu/\rho}

를 갖는다. 전파 매질이 선형, 탄성, 등방성 및 균질하다고 가정하면, 이 방정식은

\mu=\rho \beta^2=\rho \omega^2 / k^2

^[8]로 다시 쓸 수 있으며, 여기서 ''ω''는 각 주파수이고 ''k''는 파수이다. 따라서

\beta = \omega / k

이다.

균질 매질에서의 지진파 방정식의 발산을 회전 대신 취하면, 재료의 압축 변형인 양

\nabla \cdot \boldsymbol{u}

의 전파를 설명하는 파동 방정식이 생성된다. 이 방정식의 해인 P파는 더 빠른 속도

\alpha = \sqrt{(\lambda + 2\mu)/\rho}

로 이동한다.

정상 상태 SH파는 헬름홀츠 방정식^[9]으로 정의된다.

\left(\nabla^2 + k^2 \right) \boldsymbol{u}=0

여기서 k는 파수이다.

3. 2. 점탄성 매질

탄성 매질과 마찬가지로, 점탄성 물질에서 전단파의 속도는 유사한 관계

c(\omega) = \omega / k(\omega)=\sqrt{\mu(\omega)/\rho}

로 설명되지만, 여기서

\mu

는 복소수이고 주파수에 따라 달라지는 전단 탄성 계수이며

c(\omega)

는 주파수에 따라 달라지는 위상 속도이다.^[8] 점탄성 물질에서 전단 탄성 계수를 설명하는 일반적인 접근 방식 중 하나는 보이트 모델을 사용하는 것이며, 이 모델은

\mu(\omega)=\mu_0+i\omega\eta

로 나타낸다. 여기서

\mu_0

는 물질의 강성이고

\eta

는 점성이다.^[8]

4. S파 기술

S파 기술 중 하나로 자기 공명 탄성영상술(MRE)이 있다.

4. 1. 자기 공명 탄성영상술 (MRE)

자기 공명 탄성영상술(MRE)은 원하는 주파수에서 전단파를 유기 조직 전체로 전파시켜 살아있는 유기체 내 생물학적 물질의 특성을 연구하는 방법이다.^[10] 이 방법은 진동기를 사용하여 전단파를 조직으로 보내고 자기 공명 영상을 사용하여 조직의 반응을 관찰한다.^[11] 그런 다음 측정된 파동 속도와 파장을 측정하여 전단 탄성 계수와 같은 탄성 특성을 결정한다. MRE는 간, 뇌, 뼈 조직을 포함한 다양한 인체 조직 연구에 사용되어 왔다.^[10]

참조

_[1] 웹사이트 "Seismology ! UPSeis ! Michigan Tech" https://www.mtu.edu/[...] Michigan Technological University 2023-10-07
_[2] 웹사이트 S wave United States Geological Survey
_[3] 웹사이트 Why can't S-waves travel through liquids? 2019-12-06
_[4] 논문 Measurement of viscosity and shear wave velocity of a liquid or slurry for on-line process control 2002-08
_[5] 웹사이트 Do viscous fluids support shear waves propagation? 2019-12-06
_[6] 웹사이트 Lecture 16 Seismographs and the earth's interior http://tigger.uic.ed[...] University of Illinois at Chicago 1997-07-17
_[7] 논문 Mémoire sur la propagation du mouvement dans les milieux élastiques https://books.google[...] 1831
_[8] 논문 Characterization of Viscoelastic Materials Using Group Shear Wave Speeds 2018-05
_[9] 서적 Wave Motion in Elastic Solids https://books.google[...] Courier Corporation 2012-04-26
_[10] 논문 Estimation of material parameters from slow and fast shear waves in an incompressible, transversely isotropic material 2015-11
_[11] 웹사이트 MR Shear Wave Elastography https://medicine.uta[...] University of Utah Health 2021-11-10

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