가역원

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 다양한 환에서의 가역원
5. 추가 정보
참조

1. 개요

가역원은 모노이드 M의 원소 x에 대해 xy = yx = 1을 만족하는 원소 y를 의미하며, 역원을 갖는 원소를 가역원이라고 한다. 모노이드 M의 가역원들로 구성된 집합은 M의 가역원군을 이루며, 환의 가역원은 곱셈 모노이드로서의 가역원을 뜻한다. 반군에서 멱등원에 대한 가역원 개념이 존재하며, 군이나 단위적 반군에서 정칙원, 단위원에 대한 가역원, 단원의 개념은 일치한다. 가역반군은 임의의 원이 가역원인 반군을 의미하며, 가역원층은 환 달린 공간에서 가역원들의 군을 대응시키는 층이다. 가역원은 환의 성질과 밀접한 관련이 있으며, 정수, 나눗셈환, 행렬환 등 다양한 환에서 가역원의 예시를 찾아볼 수 있다.

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가역원
정의
대상	환
용어	가역원, 단위, 곱셈적 역원을 갖는 원소
조건	곱셈에 대한 역원을 가짐
표기
기호	R×, R*, U(R), E(R)
설명	R의 가역원들의 집합 (곱셈군)
성질
항등원	곱셈 항등원 (1)
연산	곱셈
군	가역원들은 곱셈에 대해 군을 이룸
예시
정수환	±1
체	0을 제외한 모든 원소
ℤ/nℤ	n과 서로소인 잉여류
관련 개념
곱셈적 닫힘	가역원들의 곱은 가역원임
가역 행렬	정사각 행렬이 가역원인 경우
독일어
용어	Einheit (아인하이트)
영어
용어	Invertible element, Unit (인버터블 엘리먼트, 유닛)

2. 정의

모노이드 $M$ 의 원소 $x\in M$ 의 '''역원'''(inverse^영어) $y$ 는 다음 조건을 만족하는 원소 $y\in M$ 이다.

: $xy=yx=1$

여기서 $1$ 은 모노이드 $M$ 의 항등원이다. 주어진 원소의 역원은 존재한다면 유일하다. 만약 $x\in M$ 이 두 역원 $y,y'\in M$ 을 갖는다면 $y'=(yx)y'=y(xy')=y$ 가 성립하기 때문이다.

모노이드에서 역원을 갖는 원소를 '''가역원'''(invertible element^영어)이라고 한다. 가역원들의 집합은 가역원군이라는 군 구조를 이룬다. 환에서의 가역원은 곱셈 연산에 대한 모노이드 구조에서의 가역원을 의미한다.

2. 1. 가역원

모노이드

M

의 원소

x\in M

의 '''역원'''(inverse^영어)

y

는

xy=yx=1

이 되는 원소

y\in M

이다. 여기서

1

은 모노이드

M

의 항등원이다. 주어진 원소의 역원은 유일하다. 만약

x\in M

이 두 역원

y,y'\in M

을 갖는다면

y'=(yx)y'=y(xy')=y

가 성립하기 때문이다.

모노이드에서, 역원을 갖는 원소를 '''가역원'''이라고 한다. 모노이드

M

의 가역원들로 구성된 부분 집합

:

\operatorname{Unit}(M)=\{x\in M\colon\exists y\in M\colon xy=yx=1\}

은

M

의 부분 모노이드이자 군을 이룬다. 이를

M

의 '''가역원군'''(group of invertible elements^영어, group of units^영어)이라고 하며,

M^\times

,

M^{*}

또는

\operatorname{Unit}(M)

으로 표시한다.

환에서의 가역원(군)은 곱셈 연산에 대한 모노이드 구조에서의 가역원(군)을 의미한다. 환의 가역원은 특별히 '''단원'''(unit^영어)이라고도 부른다.

곱셈 항등원 $1$ 과 덧셈의 역원 $-1$ 은 항상 단원이다.
더 일반적으로, 환 $R$ 의 모든 단위근은 단원이다. 즉, 어떤 자연수 $n$ 에 대해 $r^n = 1$ 이면, $r^{n-1}$ 는 $r$ 의 곱셈 역원이므로 $r$ 은 단원이다.
영환이 아닌 환에서, 0은 곱셈 역원을 가지지 않으므로 가역원이 아니다. 따라서 가역원군 $R^\times$ 는 덧셈에 대해 닫혀 있지 않다.

모든 0이 아닌 원소가 가역원인 0이 아닌 환

R

(즉,

R^\times = R \setminus \{0\}

)을 나눗셈환 (또는 사체)이라고 한다. 가환 나눗셈환을 체라고 한다. 예를 들어, 실수체

\mathbb{R}

의 가역원군은 0을 제외한 실수의 집합

\mathbb{R} \setminus \{0\}

이다. 반면, 정수의 환

\mathbb{Z}

에서 단원은

1

과

-1

뿐이다.

n을 법으로 하는 정수의 환

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

에서 단원은

n

과 서로소인 정수에 대응하는 합동류들이다. 이 단원들은 법

n

에 대한 정수의 곱셈군을 구성한다.

가환환

R

의 두 원소

r

과

s

에 대해,

r = us

를 만족하는 단원

u \in R^\times

가 존재하면

r

과

s

는 '''동반원''' 관계에 있다고 하며,

r \sim s

로 표기한다. 임의의 환에서 원소

x

와 그 덧셈 역원

-x

는 항상 동반원 관계인데, 이는

-1

이 항상 단원이기 때문이다 (

x = (-1)(-x)

). 예를 들어, 정수환

\mathbb{Z}

에서 6과 -6은 동반원이다. 일반적으로 관계

\sim

는

R

위의 동치 관계이다. 동반원 관계는 가역원군

R^\times

가 곱셈을 통해

R

에 작용하는 군 작용의 관점에서 볼 수 있는데, 두 원소가 같은

R^\times

-궤도에 속할 때 동반원 관계가 성립한다. 정역에서는 0이 아닌 원소의 동반원 집합의 크기는 가역원군

|R^\times|

와 같다. 동치 관계

\sim

는 가환환

R

의 곱셈 반군 구조에서 정의되는 그린 관계 중 하나로 볼 수도 있다.

반군

S

에서도 가역원의 개념을 정의할 수 있다.

S

의 원소

a

에 대해,

ab = e

를 만족하는

b \in S

와 멱등원

e \in S

가 존재하면

a

를

e

에 대한 '''오른쪽 가역원'''이라 한다. 마찬가지로

ca = e'

를 만족하는

c \in S

와 멱등원

e' \in S

가 존재하면

a

를

e'

에 대한 '''왼쪽 가역원'''이라 한다.

a

가 같은 멱등원

e

에 대해 왼쪽 가역원이면서 오른쪽 가역원일 때,

a

를

e

에 대한 '''가역원'''이라고 한다. 만약 반군이 항등원

1

을 갖는 모노이드라면, 항등원

1

에 대한 (왼쪽, 오른쪽) 가역원을 간단히 (왼쪽, 오른쪽) '''단원'''(unit^영어)이라고 부른다.^[1]^[2]

환은 곱셈 연산에 대해 반군을 이루며, 만약 단위적 환이라면 곱셈 모노이드가 된다. 따라서 환의 원소에 대해서도 반군 이론의 가역원 및 단원 개념을 적용할 수 있다. 특히, 단위적 환

R

의 단원(곱셈 항등원

1

에 대한 가역원)들의 집합은

R

의 곱셈 반군 내에서 가장 큰 부분군을 형성하며, 이를 환

R

의 '''단원군'''(group of units^영어)이라고 부르고

U(R)

또는

R^\times

등으로 표기한다.^[3]

임의의 단위적 환

R, S

와 단위적 환 준동형

f: R \to S

에 대해,

f

는 단원군 사이에 군 준동형

U(f): U(R) \to U(S)

를 자연스럽게 유도한다 (

r \in U(R)

이면

f(r) \in U(S)

). 따라서, 단위적 환

R

에 그 단원군

U(R)

을 대응시키는 것은 단위적 환의 범주에서 군의 범주로 가는 함자

U

를 정의한다. 이 함자

U

는 군

G

를 그 군환

\mathbb{Z}G

로 보내는 함자를 왼쪽 수반으로 갖는다.^[4]

2. 2. 가역원군

모노이드

M

의 가역원들로 구성된 부분 집합

:

\operatorname{Unit}(M)=\{x\in M\colon\exists y\in M\colon xy=yx=1\}

은

M

의 부분 모노이드이자 군을 이룬다. 이를

M

의 '''가역원군'''(group of units^영어)이라고 하며,

M^\times

,

M^{*}

, 또는

\operatorname{Unit}(M)

으로 표기한다.

환

R

의 가역원군은 곱셈 연산에 대한 모노이드

(R, \cdot)

의 가역원군을 의미한다.

환

R

의 곱셈 항등원

1

과 (만약 존재한다면) 그 덧셈 역원

-1

은 항상 가역원이다. 더 일반적으로, 환

R

의 모든 단위근은 가역원이다. 즉, 어떤 자연수

n \ge 1

에 대해

r^n = 1

을 만족하는 원소

r \in R

이 있다면,

r^{n-1}

은

r

의 곱셈 역원이 되므로

r

은 가역원이다.

영환이 아닌 환에서 덧셈 항등원

0

은 곱셈 역원을 가지지 않으므로 가역원이 아니다. 따라서 가역원군

R^\times

는 덧셈에 대해 닫혀 있지 않다.

모든 0이 아닌 원소가 가역원인, 즉

R^\times = R \setminus \{0\}

인 영환이 아닌 환

R

을 나눗셈환(또는 사체)이라고 한다. 가환 나눗셈환은 체라고 한다. 예를 들어, 실수의 체

\mathbb{R}

의 가역원군은 0을 제외한 실수의 집합

\mathbb{R} \setminus \{0\}

이다.

가환환

R

에 대해, 가역원이 아닌 원소들의 집합

R \setminus R^\times

가 아이디얼을 이루면, 이 아이디얼은 유일한 극대 아이디얼이 되며, 이 경우

R

을 국소환이라고 한다. 결과적으로,

R \setminus R^\times

가 아이디얼이면, 그것은 필연적으로 극대 아이디얼이며, 극대 아이디얼은

R^\times

와 서로소이므로

R

은 국소환이다.

만약

R

이 유한체라면, 그 가역원군

R^\times

는 곱셈에 대해 순환군을 이루며, 그 위수(원소의 개수)는

|R| - 1

이다.

모든 환 준동형

f : R \to S

는 곱셈 항등원을 곱셈 항등원으로 보내므로, 가역원을 가역원으로 보낸다. 따라서

f

는 가역원군 사이의 군 준동형

f|_{R^\times} : R^\times \to S^\times

를 자연스럽게 유도한다. 이러한 대응 관계는 가역원군을 만드는 과정이 환의 범주에서 군의 범주로 가는 함자

U: \mathbf{Ring} \to \mathbf{Grp}

(여기서

U(R) = R^\times

)임을 보여준다. 이 함자

U

는 왼쪽 수반 함자를 가지는데, 이는 군

G

를 그 정수 계수 군환

\mathbb{Z}[G]

로 보내는 함자이다.^[4]

군 스킴

\operatorname{GL}_1

은 모든 기저에 대해 곱셈군 스킴

\mathbb{G}_m

과 동형이므로, 모든 가환환

R

에 대해, 군

\operatorname{GL}_1(R)

과

\mathbb{G}_m(R)

는 자연스럽게

U(R)

와 동형이다. 함자

\mathbb{G}_m

(즉,

R \mapsto U(R)

)은 다음과 같은 의미에서 표현 가능하다: 가환환

R

에 대해

\mathbb{G}_m(R) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}[t, t^{-1}], R)

(예를 들어, 이는 앞서 언급한 군환 구성과의 수반 관계에서 따른다). 명시적으로 이는 환 준동형 사상의 집합

\mathbb{Z}[t, t^{-1}] \to R

과

R

의 단위원의 집합 사이에 자연스러운 전단사 함수가 있다는 것을 의미한다. (반대로,

\mathbb{Z}[t]

는 가산군

\mathbb{G}_a

, 즉 가환환의 범주에서 아벨 군의 범주로 가는 망각 함자를 나타낸다).

2. 3. 범주론적 정의

범주론적 관점에서, 모노이드는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 생각할 수 있다. 이 경우 모노이드의 원소들은 그 유일한 대상의 자기 사상들에 대응된다. 이러한 맥락에서 가역원은 모노이드의 동형 사상과 동일하며, 가역원군은 유일한 대상의 자기 동형군과 같다. 즉, 가역원의 개념은 동형 사상 개념의 특수한 경우로 이해할 수 있다.

일반적으로 여러 개의 대상을 가지는 임의의 작은 범주에서는 각 대상에 대하여 고유의 가역원군을 정의할 수 있다. 또한, 주어진 작은 범주에서 동형 사상이 아닌 사상들을 제거하면 준군을 얻게 되는데, 이는 가역원군의 또 다른 일반화로 볼 수 있다.

2. 4. 가역원층

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

이 주어졌다고 하자. 이때 임의의 두 열린집합

U\subseteq V\subseteq X

에 대해 다음이 성립한다.

:

\Gamma(U;\mathcal O_X^\times)=\left(\Gamma(U;\mathcal O_X)\right)^\times

:

\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal O_X^\times}=\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal O_X}|_{\Gamma(U;\mathcal O_X)^\times}

위 조건을 만족하는 아벨 군 값의 층

\mathcal O_X^\times

가 존재하며, 이를

\mathcal O_X

의 '''가역원층'''(可逆元層, sheaf of units^영어)이라고 부른다. (여기서

\Gamma(-,-)

는 층의 단면군을 나타내고,

\operatorname{res}

는 두 단면군 사이의 제한 준동형을 의미한다.)

3. 성질

환 $R$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$R^\times=R\setminus\{0\}$
$R$ 는 나눗셈환이다.

환

R

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$R\setminus R^\times$ 가 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.
$R$ 는 국소환이다.

환

R

에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$0\in R^\times$ 이다.
$R=R^\times$ 이다.
$R$ 는 자명환이다.

이는 만약 0이 역원을 갖는다면

1=0^{-1}0=0

이 되기 때문이다.

4. 예시

다음은 다양한 환에서의 가역원의 예시이다.

가장 기본적인 예로, 정수의 환 $\mathbb{Z}$ 의 가역원은 $+1$ 과 $-1$ 뿐이다 ( $\mathbb{Z}^\times = \{\pm 1\}$ ).
나눗셈환 (예: 유리수의 체 $\mathbb{Q}$ , 실수의 체 $\mathbb{R}$ )에서는 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다.
체 $K$ 위의 $n \times n$ 행렬환 $\operatorname{Mat}(n;K)$ 의 가역원은 가역행렬로 구성된 일반선형군 $\operatorname{GL}(n;K)$ 이다.
환 $R$ 의 모든 단위근(즉, 어떤 자연수 $n$ 에 대해 $r^n = 1$ 을 만족하는 원소 $r$ )은 가역원이다. $r^{n-1}$ 이 $r$ 의 곱셈 역원이 되기 때문이다. 특히 곱셈 항등원 $1$ 은 항상 가역원이며, $1=-1$ 이 아닌 한 $-1$ 도 가역원이다 ( $(-1)^2 = 1$ 이므로).
영환이 아닌 환에서 덧셈 항등원 0은 절대로 가역원이 될 수 없다.
대수기하학에서는 스킴 $(X,\mathcal O_X)$ 의 각 열린 부분집합 $U$ 에 대응하는 환 $\mathcal O_X(U)$ 의 가역원들을 모아 '''가역원층''' $\mathcal O_X^\times$ 이라는 층을 정의한다. 이 가역원층의 계수를 가지는 1차 층 코호몰로지 군 $\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)$ 는 $X$ 의 '''피카르 군''' $\operatorname{Pic}(X)$ 이라고 불리며, 이는 스킴 $X$ 위의 선형 다발들을 분류하는 중요한 대상이다.

4. 1. 다양한 환에서의 가역원

정수의 환 $\mathbb{Z}$ 의 가역원은 $\pm 1$ 뿐이다. 즉, $\mathbb{Z}^\times = \{\pm 1\}$ 이다.
나눗셈환에서는 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다. 예를 들어, 유리수의 체 $\mathbb{Q}$ 의 가역원군은 $\mathbb{Q}^\times = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ 이다. 마찬가지로, 실수의 체 $\mathbb{R}$ 의 가역원군은 $\mathbb{R}^\times = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ 이다. 0이 아닌 환 $R$ 에서 모든 0이 아닌 원소가 가역원일 때 (즉, $R^\times = R \setminus \{0\}$ ), $R$ 을 나눗셈환이라고 한다. 가환환인 나눗셈환은 체라고 부른다.
정수론에서 중요한 대상인 잉여류환 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 의 가역원은 $n$ 과 서로소인 정수로 표현되는 합동류들이다. 이 가역원들은 곱셈군을 형성하며, 이를 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ 또는 기약잉여류군이라고 표기한다. 이는 암호학 등 다양한 분야에 응용된다.
수체 $F$ 의 정수환 $R$ 의 가역원군 $R^\times$ 는 디리클레 단위 정리에 의해 그 구조가 결정된다. 이 정리에 따르면 $R^\times$ 는 다음과 같은 군과 동형이다.

R^\times \cong \mathbb{Z}^r \times \mu_R

여기서

\mu_R

는

R

에 포함된 단위근들의 (유한 순환) 군이며,

r = r_1 + r_2 - 1

은 가역원군의 계수이다.

r_1

은

F

를 실수

\mathbb{R}

로 보내는 실수 매장(embedding)의 수이고,

r_2

는

F

를 복소수

\mathbb{C}

로 보내는 켤레 복소 매장 쌍의 수이다.

* 예를 들어, 이차체 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 의 정수환 $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ 에서 $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$ 이므로 $2 + \sqrt{3}$ 은 가역원(단수)이다. 이 환의 경우 $r_1 = 2, r_2 = 0$ 이므로 가역원군의 계수는 $r = 2 + 0 - 1 = 1$ 이다. 따라서 가역원군은 $\mathbb{Z} \times \{\pm 1\}$ 과 동형이며 무한히 많은 가역원을 가진다.
가환환 $R$ 위의 다항식환 $R[x]$ 의 가역원은 다음과 같은 형태의 다항식 $p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ 이다. 여기서 상수항 $a_0$ 는 $R$ 에서 가역원이고, 나머지 계수 $a_1, \dots, a_n$ 은 모두 멱영원이다 (즉, 적당한 자연수 $N$ 에 대해 $a_i^N = 0$ 을 만족한다). 만약 $R$ 이 정역이라면 멱영원은 0뿐이므로, $R[x]$ 의 가역원은 $R$ 의 가역원(상수 다항식)과 같다.
형식적 멱급수환 $Rx$ 의 가역원은 상수항 $a_0$ 가 $R$ 에서 가역원인 멱급수 $p(x) = \sum_{i=0}^\infty a_i x^i$ 이다.
환 $R$ 위의 $n \times n$ 행렬환 $M_n(R)$ 의 가역원은 가역행렬들로 구성된 일반선형군 $GL_n(R)$ 이다. 만약 $R$ 이 가환환이라면, 행렬 $A \in M_n(R)$ 가 가역행렬일 필요충분조건은 행렬식 $\det(A)$ 가 $R$ 에서 가역원인 것이다. 이 경우 역행렬 $A^{-1}$ 는 수반행렬을 이용하여 계산할 수 있다.

5. 추가 정보

환 ''R''의 원소 ''x''와 ''y''에 대해, $1 - xy$ 가 가역원이라면, $1 - yx$ 도 역원 $1 + y(1-xy)^{-1}x$ 를 갖는다. 이 공식은 다음과 같은 비가환 거듭제곱 급수의 환에서의 계산을 통해 추측할 수 있다:

$(1-yx)^{-1} = \sum_{n \ge 0} (yx)^n = 1 + y \left(\sum_{n \ge 0} (xy)^n \right)x = 1 + y(1-xy)^{-1}x.$

유사한 결과에 대해서는 화의 항등식을 참조할 수 있다.

만약 ''R''이 가환환이라고 가정하자. ''R''의 원소 ''r''과 ''s''는 $r = us$ 를 만족하는 단원 ''u''가 ''R''에 존재하면 '''동반'''(associate)이라고 하며, 이 경우 $r \sim s$ 로 표기한다. 임의의 환에서 덧셈 역원 쌍 ''x''와 $-x$ 는 동반 관계에 있는데, 이는 모든 환이 단원 $-1$ 을 포함하기 때문이다. 예를 들어, 6과 −6은 '''Z'''에서 동반 관계에 있다. 일반적으로 $\sim$ 는 ''R''에 대한 동치 관계이다.

동반 관계는 ''R''^×가 곱셈을 통해 ''R''에 작용하는 작용의 관점에서 설명할 수도 있다. ''R''의 두 원소가 같은 ''R''^×-궤도에 속하면, 두 원소는 동반 관계에 있다.

정역에서, 주어진 0이 아닌 원소의 동반 원소 집합은 ''R''^×와 같은 기수를 갖는다.

동치 관계 $\sim$ 는 가환환 ''R''의 곱셈 반군 구조에서 정의되는 그린 관계 중 하나로 볼 수 있다.

참조

_[1] 서적 半群論共立出版 1972-06
_[2] 서적 半群論共立出版 2001-05
_[3] 서적 数の代数的理論
_[4] 서적 Graduate Algebra: Noncommutative View "{{google books|8svF[...] American Mathematical Society

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