고체역학

4. 재료 모델

고체 역학 분석가들은 계산하기 쉽기 때문에 선형 재료 모델을 가장 많이 사용한다. 그러나 실제 재료는 종종 비선형 거동을 보인다. 새로운 재료가 사용되고 기존 재료가 한계까지 사용되면서 비선형 재료 모델이 더욱 일반화되고 있다.

다음은 고체가 받는 응력에 반응하는 방식을 설명하는 기본 모델이다.

'''탄성''' - 가해진 응력이 제거되면 재료는 변형되지 않은 상태로 돌아간다.
'''점탄성''' - 탄성적으로 거동하지만 감쇠도 갖는 재료이다. 응력이 가해지고 제거될 때 감쇠 효과에 대해 일을 해야 하며, 이는 재료 내에서 열로 변환되어 응력-변형률 곡선에 히스테리시스 루프가 생긴다.
'''소성''' - 일반적으로 탄성적으로 거동하는 재료는 가해진 응력이 항복 값보다 작을 때 탄성을 유지한다. 응력이 항복 응력보다 클 경우, 재료는 소성적으로 거동하며 이전 상태로 돌아가지 않는다.
'''점소성''' - 점탄성과 소성 이론을 결합한 것이다.
'''열탄성''' - 기계적 반응과 열적 반응이 결합된 것이다.

4. 1. 탄성 (Elasticity)

재료는 초기 형상을 가지며, 응력에 의해 초기 형상에서 벗어나게 된다. 초기 형상으로부터 벗어난 정도를 변형이라고 하며, 원래 크기에 대한 변형의 비율을 변형률이라고 한다. 인가된 응력이 충분히 낮거나(또는 가해진 변형률이 충분히 작으면) 거의 모든 고체 재료는 변형률이 응력에 정비례하는 방식으로 거동한다. 이 비례 계수를 탄성계수라고 한다. 이 변형 영역을 선형 탄성 영역이라고 한다.

인가된 응력이 제거되면 재료는 변형되지 않은 상태로 돌아간다. 인가된 하중에 비례하여 변형되는 선형 탄성 재료는 선형 탄성 방정식, 예를 들어 후크의 법칙으로 설명할 수 있다.

4. 2. 점탄성 (Viscoelasticity)

점탄성은 재료가 탄성적으로 거동하면서도 감쇠를 갖는 성질을 의미한다. 점탄성 재료에 응력이 가해졌다가 제거되면, 감쇠 효과에 대한 일(work)이 발생하고, 이는 재료 내에서 열로 변환되어 응력-변형률 곡선에 히스테리시스 루프를 생성한다. 이는 점탄성 재료의 응답이 시간 의존성을 갖는다는 것을 의미한다.

4. 3. 소성 (Plasticity)

재료는 초기 형상을 가지며, 응력에 의해 초기 형상에서 벗어나게 된다. 초기 형상으로부터 벗어난 정도를 변형이라고 하며, 원래 크기에 대한 변형의 비율을 변형률이라고 한다. 인가된 응력이 충분히 낮거나(또는 가해진 변형률이 충분히 작으면) 거의 모든 고체 재료는 변형률이 응력에 정비례하는 방식으로 거동한다. 이 비례 계수를 탄성계수라고 한다. 이 변형 영역을 선형 탄성 영역이라고 한다.

일반적으로 탄성적으로 거동하는 재료는 인가된 응력이 항복 값보다 작을 때 그렇게 한다. 응력이 항복 응력보다 클 경우, 재료는 소성적으로 거동하며 이전 상태로 돌아가지 않는다. 즉, 항복 후 발생하는 변형은 영구적이다.^[1]

4. 4. 점소성 (Viscoplasticity)

점소성은 점탄성과 소성 이론을 결합하여 젤 및 머드와 같은 재료에 적용되는 현상이다. 재료는 초기 형상을 가지며, 응력에 의해 변형된다. 초기 형상에서 벗어난 정도를 변형이라 하고, 원래 크기에 대한 변형 비율을 변형률이라 한다.

인가된 응력이 충분히 낮거나 가해진 변형률이 충분히 작으면, 거의 모든 고체 재료는 변형률이 응력에 정비례하는 선형 탄성 거동을 보인다. 이 비례 계수를 탄성계수라고 한다. 그러나 실제 재료는 종종 비선형 거동을 나타내며, 새로운 재료의 사용과 기존 재료의 한계 상황으로 인해 비선형 재료 모델이 더욱 일반화되고 있다.

4. 5. 열탄성 (Thermoelasticity)

재료는 응력에 의해 초기 형상에서 벗어나게 되는데, 초기 형상으로부터 벗어난 정도를 변형이라고 한다. 열탄성은 기계적 반응과 열적 반응이 결합된 것이다. 일반적으로 열탄성은 등온 또는 단열 조건이 아닌 조건하에 있는 탄성 고체와 관련이 있다. 가장 간단한 이론은 열전도의 푸리에 법칙을 포함하며, 이는 물리적으로 더 현실적인 모델을 가진 고급 이론과는 대조적이다.^[1]

5. 고체역학의 세부 분야

고체는 자연적 또는 산업적 과정이나 작용 중에 특정 시간 척도에 걸쳐 상당한 전단력을 지탱할 수 있는 재료이다. 이것이 고체와 유체를 구분하는 특징이다. 유체는 재료 평면에 수직으로 작용하는 힘인 '수직력'과 단위 면적당 수직력인 '수직응력'을 지탱하지만, 고체는 전단력도 지탱하기 때문이다. '전단력'은 '수직력'과 달리 재료 평면에 평행하게 작용하며, 단위 면적당 전단력을 '전단응력'이라고 한다.

따라서 고체역학은 고체 재료와 구조물의 전단응력, 변형 및 파괴를 연구한다.

고체역학에서 다루는 가장 일반적인 주제는 다음과 같다.

응력 해석
변형 해석
빔의 뒤틀림 해석
빔의 구부림 해석
'''구조물의 안정성''' - 구조물이 교란이나 부분적/완전 파괴 후 주어진 평형 상태로 돌아갈 수 있는지 여부를 조사한다. ''구조역학 참조''
'''동역학계와 카오스''' - 주어진 초기 위치에 매우 민감한 기계 시스템을 다룬다.
'''열역학''' - 열역학 원리를 바탕으로 유도된 모델을 사용하여 재료를 분석한다.
'''생체역학''' - 뼈, 심장 조직 등 생체 재료에 적용되는 고체역학
'''지반역학''' - 얼음, 토양, 암석 등 지질 재료에 적용되는 고체역학
'''고체 및 구조물의 진동''' - 진동하는 입자와 구조물에서의 진동과 파동 전파를 조사한다. 즉, 기계, 토목, 광산, 항공, 해양, 항공 우주 공학에서 중요하다.
'''파괴 및 손상 역학''' - 고체 재료의 균열 성장 역학을 다룬다.
'''복합재료''' - 강화 플라스틱, 철근 콘크리트, 유리섬유 등 두 가지 이상의 화합물로 구성된 재료에 적용되는 고체역학
'''변분 공식 및 계산 역학''' - 유한 요소법 (FEM) 등 다양한 고체역학 분야에서 발생하는 수학 방정식에 대한 수치 해법
'''실험 역학''' - 고체 재료와 구조물의 거동을 조사하기 위한 실험 방법의 설계 및 분석

6. 활용 분야

고체역학은 고체 재료와 구조물의 전단응력, 변형 및 파괴를 연구한다. 고체역학에서 다루는 가장 일반적인 주제는 다음과 같다.

'''구조물의 안정성''' - 구조물이 교란이나 부분적/완전 파괴 후 주어진 평형 상태로 돌아갈 수 있는지 여부를 조사한다. ''구조역학 참조''
'''생체역학''' - 뼈, 심장 조직 등 생체 재료에 적용되는 고체역학
'''지반역학''' - 얼음, 토양, 암석 등 지질 재료에 적용되는 고체역학
'''고체 및 구조물의 진동''' - 진동하는 입자와 구조물에서의 진동과 파동 전파를 조사한다. 기계, 토목, 광산, 항공, 해양, 항공 우주 공학에서 중요하다.
'''파괴 및 손상 역학''' - 고체 재료의 균열 성장 역학을 다룬다.
'''복합재료''' - 강화 플라스틱, 철근 콘크리트, 유리섬유 등 두 가지 이상의 화합물로 구성된 재료에 적용되는 고체역학
'''변분 공식 및 계산 역학''' - 유한 요소법 (FEM) 등 다양한 고체역학 분야에서 발생하는 수학 방정식에 대한 수치 해법
'''실험 역학''' - 고체 재료와 구조물의 거동을 조사하기 위한 실험 방법의 설계 및 분석

7. 역사

1452년 ~ 1519년 레오나르도 다 빈치는 많은 공헌을 하였다.^[1]
1638년: 갈릴레오 갈릴레이는 간단한 구조물의 파괴를 조사한 저서 "두 가지 새로운 과학(Two New Sciences)"을 출판하였다.

1660년: 로버트 훅의 훅의 법칙
1687년: 아이작 뉴턴은 뉴턴 운동 법칙을 포함한 "자연 철학의 수학적 원리(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)"를 출판하였다.

1750년: 오일러-베르누이 보 방정식
1700년 ~ 1782년: 다니엘 베르누이는 가상 일의 원리(principle of virtual work)를 소개하였다.
1707년 ~ 1783년: 레온하르트 오일러는 기둥의 좌굴 이론을 개발하였다.

1826년: 클로드 루이 나비에는 구조물의 탄성 거동에 관한 논문을 발표하였다.
1873년: 카를로 알베르토 카스티글리아노는 변위를 변형 에너지의 편미분으로 계산하는 카스티글리아노 정리가 포함된 논문 "탄성계에 관하여(Intorno ai sistemi elastici)"를 발표하였다. 이 정리에는 최소 일의 방법이 특수한 경우로 포함된다.
1874년: 오토 모어는 정정불능 구조물의 개념을 공식화하였다.
1922년: 스티븐 티모센코는 오일러-베르누이 보 방정식을 수정하였다.
1936년: 하디 크로스는 연속 프레임 설계에서 중요한 혁신인 모멘트 분배법(moment distribution method)을 발표하였다.
1941년: 알렉산더 흐레니코프는 격자 구조를 사용하여 평면 탄성 문제의 이산화를 해결하였다.
1942년: 리처드 쿠랑은 영역을 유한한 하위 영역으로 나누었다.
1956년: J. 터너, R. W. 클로, H. C. 마틴, L. J. 토프는 "복잡한 구조물의 강성과 처짐(Stiffness and Deflection of Complex Structures)" 논문에서 "유한 요소법"이라는 이름을 제시하였고, 오늘날 알려진 이 방법에 대한 최초의 포괄적인 논의로 널리 인정받고 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Leonardo da Vinci: The Mechanics of Genius https://qeprize.org/[...] 2024-05-27
_[2] 웹사이트 固体力学 https://www.jsme.or.[...] 2022-09-06
_[3] 웹사이트 固体力学研究室 https://www.nit.ac.j[...] 2022-09-06

1. 개요

2. 기본적인 측면

2. 1. 응력과 변형률

3. 연속체 역학과 고체역학