변형력

3. 정의

변형력(응력(應力))은 물체가 외부 힘의 작용에 저항하여 원래 형태를 유지하려는 힘으로, 층밀림 변형력(전단응력)과 깊은 관계가 있으며 고체역학, 유체역학과도 연관이 있다. 응집력(응력(凝力))은 원자, 분자 또는 이온 사이에 작용하여 고체나 액체 따위의 물체를 이루게 하는 서로 끌어당기는 힘을 통틀어 이르는 말로 변형력과 연관있다.

응력은 경계면의 모든 방향에 대해 단위 면적당 작용하는 힘으로 정의된다. 물리량(힘)과 순수 기하학적 양(면적)으로부터 유도된 응력은 속도, 토크 또는 에너지와 같이 재료의 본질이나 물리적 원인을 명시적으로 고려하지 않고 정량화 및 분석할 수 있는 물리량이다.

이 문서에서는 계량법 체계의 정의^[12]에 따라 응력을 「단위 단면적당 힘」의 의미로 사용한다. 응력벡터는 물체 표면 또는 물체 내부에 가상적인 미소면을 생각했을 때, 그 미소면에 작용하는 단위 면적당 힘이며, 벡터(1계 텐서)로 표현된다.

3. 1. 수직 및 층밀림 (전단)

4. 응력의 종류

응력은 작용 방식과 방향에 따라 여러 종류로 분류할 수 있다. 공학 설계에서 자주 접하는 단순 응력 상황에는 일축 인장 응력, 순전단 응력, 등방성 인장 응력이 있다.

4. 1. 일축 응력 (Uniaxial Normal Stress)

4. 2. 전단 응력 (Shear Stress)

4. 3. 등방성 응력 (Isotropic Stress)

4. 4. 원통형 응력 (Cylinder Stress)

{2} \quad,\quad \tau_2=\frac

{2} \quad,\quad \tau_3=\frac

{2}

일반적으로 주응력과는 달리, 주전단응력이 작용하는 면에는 전단응력뿐만 아니라 수직응력도 작용한다.

5. 코시 응력 텐서 (Cauchy Stress Tensor)

코시 응력 텐서는 균일하게 응력을 받는 물체의 응력 상태를 완벽하게 설명하는 2차 텐서이다. 결합된 응력은 단일 벡터로 설명할 수 없으며, 임의의 가상 표면에 걸친 응력은 표면의 방향에 따라 달라진다. 코시는 표면을 가로지르는 응력 벡터 $T$가 항상 표면의 법선 벡터 $n$(단위 길이 벡터로 표면에 수직)의 선형 함수가 됨을 관찰했다. 즉, $T\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}(n)$이며, 여기서 함수 $\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}$는 다음을 만족한다.

$$\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}(\backslash alpha\; u\; +\; \backslash beta\; v)\; =\; \backslash alpha\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}(u)\; +\; \backslash beta\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}(v)$$

여기서 임의의 벡터 $u,v$와 임의의 실수 $\backslash alpha,\backslash beta$이다.

응력 텐서는 선택한 직교 좌표계에서 3×3 실수의 대칭 행렬로 나타낼 수 있다. 좌표가 $x\_1,x\_2,x\_3$로 번호가 매겨졌는지 또는 $x,y,z$로 명명되었는지에 따라 행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$$$

\begin{bmatrix}

\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\

\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\

\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33}

\end{bmatrix}

또는 $$$$

\begin{bmatrix}

\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\

\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\

\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\

\end{bmatrix}



법선 벡터 $n$(공변 - "행; 수평" - 벡터)의 좌표가 $n\_1,n\_2,n\_3$인 표면을 가로지르는 응력 벡터 $T\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}(n)$는 행렬 곱 $T\; =\; n\backslash cdot\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}$이다.(여기서 위첨자 T는 전치이며, 그 결과 공변(행) 벡터가 됨)

$T$와 $n$ 사이의 선형 관계는 선형 운동량 보존과 힘의 정적 평형의 기본 법칙에서 비롯되며, 따라서 모든 재료와 모든 응력 상황에 대해 수학적으로 정확하다. 재료의 모든 지점에서 코시 응력 텐서의 성분은 평형 방정식(코시의 운동 방정식)(가속도 0)을 만족한다. 또한 각운동량 보존의 원리는 응력 텐서가 대칭임을 의미한다. 즉, $\backslash sigma\_\{12\}\; =\; \backslash sigma\_\{21\}$, $\backslash sigma\_\{13\}\; =\; \backslash sigma\_\{31\}$, 그리고 $\backslash sigma\_\{23\}\; =\; \backslash sigma\_\{32\}$이다. 따라서 매 순간 매 지점에서 매질의 응력 상태는 9개가 아니라 6개의 독립적인 매개변수로만 지정할 수 있다.

응력 벡터는 물체 표면 또는 물체 내부에 가상적인 미소면을 생각했을 때, 그 미소면에 작용하는 단위 면적당 힘이며, 벡터(1계 텐서)로 표현된다. 응력 텐서 σ의 각 성분의 첫 번째 아래 첨자는 “응력 성분을 생각하고 있는 미소면의 법선의 방향”을, 두 번째 아래 첨자는 “생각하고 있는 미소면에 작용하는 힘의 방향”을 각각 나타낸다. 미소면의 단위 법선 벡터를 '''n'''으로 하면, 그 미소면에서의 응력 벡터 '''t'''는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash boldsymbol\{t\}\; =\; \backslash sigma^\backslash mathrm\{T\}\; \backslash boldsymbol\{n\}$

이 식은 '''코시의 식'''이라고 불린다.

5. 1. 좌표 변환

코시 응력 텐서는 좌표계 변환에 따라 텐서 변환 법칙을 따른다. 이 변환 법칙을 그림으로 나타낸 것이 모어 원이다.^[8]

3×3 대칭 실수 행렬인 응력 텐서 $\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}$는 서로 직교하는 세 개의 단위 길이 고유벡터 $e\_1,\; e\_2,\; e\_3$와 세 개의 실수 고유값 $\backslash lambda\_1,\; \backslash lambda\_2,\; \backslash lambda\_3$를 가지며, $\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}\; e\_i\; =\; \backslash lambda\_i\; e\_i$를 만족한다. 따라서, $e\_1,\; e\_2,\; e\_3$를 축으로 하는 좌표계에서는 응력 텐서가 대각 행렬이 되며, 세 개의 수직 응력 성분, 즉 주응력 $\backslash lambda\_1,\; \backslash lambda\_2,\; \backslash lambda\_3$만을 갖는다. 세 고유값이 모두 같다면, 응력은 등방성 압축 또는 인장이며, 항상 모든 면에 수직이고, 전단 응력은 없으며, 텐서는 어떤 좌표계에서도 대각 행렬이다.

진응력은 텐서량이므로, 좌표계에 따라 그 성분이 변화한다. 좌표계를 다음과 같이 변환한다.

:$$x\text{'}\; =\; Ax$$

응력 텐서의 좌표계 변환식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash sigma\text{'}\; =\; A\backslash sigma\; A^\backslash mathrm\{T\}$

여기서,

• σ는 변환 전 좌표계에서의 응력 텐서
• σ'는 변환 후 좌표계에서의 응력 텐서
• ''A''는 회전 행렬
• ''A''^T는 ''A''의 전치 행렬

각 성분으로 표현하면 다음과 같다.

:$\{\backslash begin\{pmatrix\}$

\sigma'_{11} & \sigma'_{12} & \sigma'_{13} \\

\sigma'_{21} & \sigma'_{22} & \sigma'_{23} \\

\sigma'_{31} & \sigma'_{32} & \sigma'_{33} \\

\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} \\

\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}

\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\

\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\

\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\

\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{21} & a_{31} \\

a_{12} & a_{22} & a_{32} \\

a_{13} & a_{23} & a_{33} \\

\end{pmatrix}}

여기서, ''a_ij''는 두 좌표 간의 방향 코사인이며, 각 좌표축과의 관계는 다음 표와 같다.

	$x\_1$	$x\_2$	$x\_3$
$x\text{'}\_1$	$a\_\{11\}$	$a\_\{12\}$	$a\_\{13\}$
$x\text{'}\_2$	$a\_\{21\}$	$a\_\{22\}$	$a\_\{23\}$
$x\text{'}\_3$	$a\_\{31\}$	$a\_\{32\}$	$a\_\{33\}$

3차원 응력 상태에서 각 응력의 변환식은 다음과 같다.^[8]

:$\backslash sigma\_\{11\}\text{'}\; =\; a\_\{11\}^2\backslash sigma\_\{11\}+a\_\{12\}^2\backslash sigma\_\{22\}+a\_\{13\}^2\backslash sigma\_\{33\}+2a\_\{11\}a\_\{12\}\backslash sigma\_\{12\}+2a\_\{11\}a\_\{13\}\backslash sigma\_\{13\}+2a\_\{12\}a\_\{13\}\backslash sigma\_\{23\}$

:$\backslash sigma\_\{22\}\text{'}\; =\; a\_\{21\}^2\backslash sigma\_\{11\}+a\_\{22\}^2\backslash sigma\_\{22\}+a\_\{23\}^2\backslash sigma\_\{33\}+2a\_\{21\}a\_\{22\}\backslash sigma\_\{12\}+2a\_\{21\}a\_\{23\}\backslash sigma\_\{13\}+2a\_\{22\}a\_\{23\}\backslash sigma\_\{23\}$

:$\backslash sigma\_\{33\}\text{'}\; =\; a\_\{31\}^2\backslash sigma\_\{11\}+a\_\{32\}^2\backslash sigma\_\{22\}+a\_\{33\}^2\backslash sigma\_\{33\}+2a\_\{31\}a\_\{32\}\backslash sigma\_\{12\}+2a\_\{31\}a\_\{33\}\backslash sigma\_\{13\}+2a\_\{32\}a\_\{33\}\backslash sigma\_\{23\}$

:$\backslash sigma\_\{12\}\text{'}\; =\; a\_\{11\}a\_\{21\}\backslash sigma\_\{11\}+a\_\{12\}a\_\{22\}\backslash sigma\_\{22\}+a\_\{13\}a\_\{23\}\backslash sigma\_\{33\}+(a\_\{11\}a\_\{22\}+a\_\{12\}a\_\{21\})\backslash sigma\_\{12\}+(a\_\{12\}a\_\{23\}+a\_\{13\}a\_\{22\})\backslash sigma\_\{23\}+(a\_\{11\}a\_\{23\}+a\_\{13\}a\_\{21\})\backslash sigma\_\{13\}$

:$\backslash sigma\_\{23\}\text{'}\; =\; a\_\{21\}a\_\{31\}\backslash sigma\_\{11\}+a\_\{22\}a\_\{32\}\backslash sigma\_\{22\}+a\_\{23\}a\_\{33\}\backslash sigma\_\{33\}+(a\_\{21\}a\_\{32\}+a\_\{22\}a\_\{31\})\backslash sigma\_\{12\}+(a\_\{22\}a\_\{33\}+a\_\{23\}a\_\{32\})\backslash sigma\_\{23\}+(a\_\{21\}a\_\{33\}+a\_\{23\}a\_\{31\})\backslash sigma\_\{13\}$

:$\backslash sigma\_\{13\}\text{'}\; =\; a\_\{11\}a\_\{31\}\backslash sigma\_\{11\}+a\_\{12\}a\_\{32\}\backslash sigma\_\{22\}+a\_\{13\}a\_\{33\}\backslash sigma\_\{33\}+(a\_\{11\}a\_\{32\}+a\_\{12\}a\_\{31\})\backslash sigma\_\{12\}+(a\_\{12\}a\_\{33\}+a\_\{13\}a\_\{32\})\backslash sigma\_\{23\}+(a\_\{11\}a\_\{33\}+a\_\{13\}a\_\{31\})\backslash sigma\_\{13\}$

평면 응력 상태에서의 응력 변환식은 다음과 같다.^[8]

:$\backslash sigma\_\{11\}\text{'}\; =\; a\_\{11\}^2\backslash sigma\_\{11\}+a\_\{12\}^2\backslash sigma\_\{22\}+2a\_\{11\}a\_\{12\}\backslash sigma\_\{12\}$

:$\backslash sigma\_\{22\}\text{'}\; =\; a\_\{21\}^2\backslash sigma\_\{11\}+a\_\{22\}^2\backslash sigma\_\{22\}+2a\_\{21\}a\_\{22\}\backslash sigma\_\{12\}$

:$\backslash sigma\_\{12\}\text{'}\; =\; a\_\{11\}a\_\{21\}\backslash sigma\_\{11\}+a\_\{12\}a\_\{22\}\backslash sigma\_\{22\}+(a\_\{11\}a\_\{22\}+a\_\{12\}a\_\{21\})\backslash sigma\_\{12\}$

좌표축 간의 각도 θ를 사용하여 위 식을 다시 쓰면 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_\{11\}\text{'}=\; \backslash sigma\_\{11\}\; \backslash cos^2\backslash theta\; +\backslash sigma\_\{22\}\; \backslash sin^2\backslash theta\; +2\backslash sigma\_\{12\}\backslash cos\backslash theta\; \backslash sin\backslash theta$

:$\backslash sigma\_\{22\}\text{'}\; =\; \backslash sigma\_\{11\}\; \backslash sin^2\backslash theta\; +\backslash sigma\_\{22\}\; \backslash cos^2\backslash theta\; -\; 2\backslash sigma\_\{12\}\backslash cos\backslash theta\; \backslash sin\backslash theta$

:$\backslash sigma\_\{12\}\text{'}\; =\; (\backslash sigma\_\{11\}-\backslash sigma\_\{22\})\backslash cos\backslash theta\; \backslash sin\backslash theta\; +\; \backslash sigma\_\{12\}(\backslash cos^2\backslash theta\; -\; \backslash sin^2\backslash theta)$

이 변환을 도식화하는 방법으로 모어의 응력 원이 알려져 있다.

5. 2. 텐서장 (Tensor Field)

6. 특수 형태의 응력

3차원 데카르트 좌표계에서 응력 텐서의 성분을 생각했을 때, '''수직응력'''은 $\backslash sigma\_\{xx\},\backslash ;\; \backslash sigma\_\{yy\},\backslash ;\; \backslash sigma\_\{zz\}$의 3가지 성분으로 나타난다. 수직응력은 힘이 작용하는 면과 힘의 방향이 직각을 이루며, 면을 당기는 방향으로 작용하면 인장응력(tensile stress^영어), 누르는 방향으로 작용하면 압축응력(compressive stress^영어)이라고 한다. 재료역학, 응용역학, 구조역학에서는 보통 인장응력을 양(+)의 수직응력으로 정의하지만, 토목공학(토질역학)에서는 압축응력을 양(+)의 수직응력으로 정의하기도 한다.

'''전단응력'''은 힘이 작용하는 면의 법선 방향과 힘의 방향이 일치하지 않는 응력 성분으로, $\backslash sigma\_\{xy\},\backslash ;\; \backslash sigma\_\{yx\},\backslash ;\; \backslash sigma\_\{yz\},\backslash ;\; \backslash sigma\_\{zy\},\backslash ;\; \backslash sigma\_\{zx\},\backslash ;\; \backslash sigma\_\{xz\}$의 6가지가 있다. 미소변형 역학에서는 전단응력을 기호 τ로 나타내는 경우가 많다. 이 경우 응력 텐서는 다음과 같이 표현된다.

:$$

\sigma=

\begin{pmatrix}

\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\

\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\

\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\

\end{pmatrix}

6. 1. 얇은 판 (Thin Plates)

6. 2. 얇은 보 (Thin Beams)

7. 응력 해석 (Stress Analysis)

응력 해석은 응용 물리학의 한 분야로, 고체 물체 내부에 작용하는 힘의 분포를 분석한다. 응력 해석은 구조물의 설계와 안전성을 평가하는 데 필수적인 도구이며, 지질학, 생물학 등 다양한 분야에서 활용된다.

응력 해석은 주로 실험적 방법 또는 수학적 방법을 통해 수행된다. 실험적 방법은 실제 구조물이나 축소 모형에 하중을 가하여 응력을 측정하는 방식이다. 수학적 방법은 오일러 운동 방정식과 오일러-코시 응력 원리 등을 사용하여 편미분 방정식계를 풀어 응력을 계산한다.

탄성 구조물의 경우, 탄성 이론과 미소 변형 이론을 기반으로 응력 해석이 이루어진다. 만약 가해진 하중이 영구 변형을 일으킨다면, 소성 유동, 파괴 등과 같은 물리적 과정을 고려한 복잡한 구성 방정식을 사용해야 한다. 일반적으로 구조물은 최대 예상 응력이 선형 탄성 범위 내에 있도록 설계되며, 이 경우 응력 텐서를 정의하는 미분 방정식은 선형이 되어 문제가 단순해진다.

7. 1. 목표 및 가정

7. 2. 방법

8. 응력 측정 (Measures of Stress)

다른 유용한 응력 측정에는 1차 및 2차 피올라-키르히호프 응력 텐서, 비오 응력 텐서, 키르히호프 응력 텐서가 있다.

진응력(코시 응력) 텐서 σ와 변형 구배 텐서 F를 이용하여 정의되는 다음 텐서를 피올라-키르히호프 응력 텐서(Piola-Kirchhoff stress tensor)라고 한다.

• 제1 피올라-키르히호프 응력 텐서: Π = det(F)σ(F^-1)^T
• 제2 피올라-키르히호프 응력 텐서: K = F^-1Π = det(F)F^-1σ(F^-1)^T

• '''n'''₀: 기준 배치의 미소 면의 법선 벡터
• '''t'''₀: 현재 배치의 미소 면에 작용하는 힘을 기준 배치의 미소 면의 면적으로 나누어 정의되는 응력 벡터
• t̂: 현재 배치의 미소 면에 작용하는 힘을 기준 배치에서 다시 구하고, 그것을 기준 배치의 미소 면의 면적으로 나누어 정의되는 응력 벡터

• 코시 응력 - 알만시 변형률
• 제1 피올라-키르히호프 응력 - 변형 구배
• 제2 피올라-키르히호프 응력 - 그린 변형률

9. 편차 응력 (Deviatoric Stress)

편차 응력(deviatoric stress)은 응력 텐서에서 그 등방 성분을 뺀 것으로 정의된다. 물체에 등방적인 압축·인장 이외의 전단 변형이 발생한 경우에 편차 응력이 발생한다. 편차 응력 dev[σ]는 다음과 같이 정의된다.^[18]

:$\backslash operatorname\{dev\}[\backslash sigma]\; :=\; \backslash sigma\; -\; pI$

여기서 ''I''는 2계의 단위 텐서,

:$p\; :=\; -\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash operatorname\{tr\}\; [\backslash sigma]=-\backslash frac\{\backslash sigma\_\{kk\}\}\{3\}$

는 평균 응력(세 개의 주응력의 평균값)이며, 수직 응력(평균 응력)과 같다. 는 평균 응력 텐서라고 불린다.

편차 응력의 고유값 는 원래 응력 텐서의 고유값(주 응력)과 다음과 같은 관계가 있다.^[19]

:$s\_i=\backslash sigma\_i\; -\; p,\backslash quad\; i=1,2,3$

편차 응력의 주축은 원래 응력 텐서의 주축과 일치한다.

10. 재료의 항복과 등가 응력 (Material Yield and Equivalent Stress)

응력은 3차원적인 텐서이므로, 일반적인 응력에 대해 재료의 특성치를 조사하는 것은 어렵다. 따라서 항복에 대해 등가로 간주할 수 있는 일축 응력에 대응하는 스칼라량인 '''등가응력'''으로 환산하면 편리하다. 등가응력은 재료의 항복 조건에 따라 여러 가지가 있다.^[8]

10. 1. 최대 주응력설 (Maximum Principal Stress Theory)

10. 2. 전단 변형 에너지설 (Shear Strain Energy Theory)

10. 3. 최대 전단 응력설 (Maximum Shear Stress Theory)

11. 잔류 응력 (Residual Stress)

잔류 응력은 외력이 작용하지 않는 물체 내부에 존재하는 응력이다. 기계적 또는 열적 원인으로 물체에 불균일한 탄·소성 변형이 발생함으로써 발생한다.^[20]

참조

_[1] 웹사이트 12.3 Stress, Strain, and Elastic Modulus - University Physics Volume 1 https://openstax.org[...] 2016-09-19
_[2] 웹사이트 Class Physical-Quantity in theory Physical-Quantities http://www-ksl.stanf[...] 2022-11-02
_[3] 웹사이트 What is Shear Stress - Materials - Definition https://material-pro[...] 2022-11-02
_[4] 서적 Structures, or, Why things don't fall down Da Capo Press 2003
_[5] 웹아카이브 historyofstrengt0000timo_k8r2 https://archive.org/[...]
_[6] 논문 Hydrodynamics of soft active matter
_[7] 논문 Estimation of bulk viscosity of dilute gases using a nonequilibrium molecular dynamics approach.
_[8] 문서 연속체
_[9] 서적 応力の項、「応力の大きさは単位面積に作用する内力のおおきさにより定義され、これを応力度あるいは応力強さともいうが、一般には応力度のことを単に応力と呼び・・・」 平凡社 1984-11-02
_[10] 웹사이트 応力度 https://web.archive.[...] ウェブリオ株式会社 2013-08-12
_[11] 웹사이트 第５話 応力とは何 http://myhagisan.la.[...] 2007-09-30
_[12] 법률 計量単位令　別表第一 https://laws.e-gov.g[...]
_[13] 문서 방향여현
_[14] 문서 코시의 응력 원리
_[15] 문서 모멘트의 평형 조건
_[16] 서적 建築構造力学 図説・演習Ⅰ 丸善
_[17] 서적 例題で学ぶ連続体力学 森北出版
_[18] 서적 例題で学ぶ連続体力学 森北出版
_[19] 서적 例題で学ぶ連続体力学 森北出版
_[20] 서적 塑性加工学 養賢堂
_[21] 서적 機械工学辞典
_[22] 서적 材料強度
_[23] 서적 弾性力学
_[24] 서적 弾性力学
_[25] 서적 弾性力学
_[26] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]
_[27] 웹사이트 대한화학회 화학술어집 https://new.kcsnet.o[...]