교차수

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1. 개요
2. 리만 곡면에서의 교차수
3. 대수다양체에서의 교차수
4. 세르의 Tor 공식
5. 스내퍼-클라이만 정의
6. 평면 곡선의 교차 중복도
7. 자기 교차수
8. 응용
참조

1. 개요

교차수는 대수기하학에서 두 개 이상의 기하학적 대상이 만나는 정도를 나타내는 개념이다. 리만 곡면, 대수다양체, 평면 곡선 등 다양한 공간에서 정의되며, 미분 형식, 국소환, 오일러 지표 등을 활용하여 계산된다. 교차수는 컵 곱의 푸앵카레 쌍대, 세르의 Tor 공식, 스내퍼-클라이만 정의 등 다양한 방식으로 표현될 수 있으며, 베주의 정리, 고정점 정리 등과 같은 수학적 결과들을 설명하는 데 활용된다. 자기 교차수와 같은 개념도 존재하며, 교차 이론은 대수기하학의 중요한 도구로 사용된다.

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교차수
개요
두 개의 다양체의 교차.
분야	대수기하학
관련 개념	교차 이론 겹침수 차원 특성류 베주 정리
정의
교차수	대수기하학에서 두 부분다양체의 교차를 나타내는 정수.
사용	대수다양체의 교차를 연구하고 계산하는 데 사용됨.
계산
방법	부분다양체들의 차원과 위치 관계를 이용하여 계산. 특성류 이론, 베주 정리 등을 활용.
중요성
응용	대수기하학의 여러 문제 해결에 기여. 끈 이론, 양자장론 등 물리학 분야에도 응용.

2. 리만 곡면에서의 교차수

''X''를 리만 곡면이라 하자. ''X'' 위의 두 닫힌 곡선의 교차수는 미분 형식을 사용하여 정의할 수 있다. ''X'' 위의 닫힌 곡선 ''c'' (매끄러운 함수 $c : S^1 \to X$ )에 대해, 푸앵카레 쌍대 $\eta_c$ 를 정의한다. $\eta_c$ 는 곡선 ''c''를 따라 디랙 델타 함수와 유사한 형태를 띠며, 단위 계단 함수의 미분을 통해 직관적으로 이해할 수 있다.

두 닫힌 곡선 ''a''와 ''b''의 교차수는 다음과 같이 정의된다.

: $a \cdot b := \iint_X \eta_a \wedge \eta_b$ .

여기서 $\wedge$ 는 미분 형식의 쐐기곱이다.

$\eta_c$ 를 정의하기 위해, ''X'' 위의 단순 닫힌 곡선 ''c''에 대해, 고리 모양의 ''c'' 주변의 작은 띠를 $\Omega$ 라고 하고, 이 띠에서 ''c''를 뺀 나머지( $\Omega \setminus c$ )의 왼쪽과 오른쪽을 각각 $\Omega^{+}$ 와 $\Omega^{-}$ 로 부른다. 그리고 ''c'' 주변의 더 작은 띠 $\Omega_0$ 를 잡고, 똑같이 왼쪽과 오른쪽을 $\Omega_0^{-}$ 와 $\Omega_0^{+}$ 로 부른다.

이때 함수 ''f_c''를 다음과 같이 정의한다.

: $f_c(x) = \begin{cases} 1, & x \in \Omega_0^{-} \\ 0, & x \in X \setminus \Omega^{-} \\ \mbox{매끄러운 보간}, & x \in \Omega^{-} \setminus \Omega_0^{-} \end{cases}$ .

즉, ''f_c''는 $\Omega_0^{-}$ 에서는 1, $X \setminus \Omega^{-}$ 에서는 0, 그리고 $\Omega^{-} \setminus \Omega_0^{-}$ 에서는 0과 1 사이를 부드럽게 이어주는 함수이다.

임의의 닫힌 곡선 ''c''는 여러 개의 단순 닫힌 곡선 ''c_i''들의 합으로 나타낼 수 있으므로, $\eta_c$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $\eta_c = \sum_{i=1}^N k_i \eta_{c_i}$ .

3. 대수다양체에서의 교차수

$X$ 가 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대한 비특이 준사영 대수다양체이고, $\dim_KX=n$ 이며, $x\in X$ 라고 하자. $Z_1,\dots,Z_n\subset X$ 가 $X$ 의 $n$ 개의 초곡면(여차원이 1인 부분 대수 다양체)들이고, $x$ 근처에서 국소 방정식

: $f_i(t_1,\dots,t_n)=0\qquad(i=1,\dots,n)$

으로 정의된다고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

$x\in\bigcap_{i=1}^nZ_i$ . 즉, $f_i(x)=0\qquad(i=1,\dots,n)$ 이다.
$f_i$ 는 $x$ 에서 특이점을 갖지 않는다.
('''일반 위치 조건''' general position^영어) $\dim_x\bigcap_{i=1}^nZ_i=0$

이 경우,

x

에서의

\{Z_i\}_{i=1,\dots,n}

의 '''교차수'''는 다음과 같다.

:

(Z_1,\dots,Z_n)_x=\dim_K\mathcal O_{X,x}/(f_1,\dots,f_n)

여기서

\mathcal O_{X,x}

는

X

의 구조층의

x

에서의 줄기인 국소환이며,

(f_1,\dots,f_n)

은 이들 다항식으로 생성되는

\mathcal O_{X,x}

의 아이디얼이다. 이 아이디얼에 대한 몫환은

K

-벡터 공간을 이루며,

\dim_K

는

K

-벡터 공간으로서의 차원이다.

일반 위치에 있는

Z_i

들의 '''교차수'''는 각 점에서의 교차수들의 합이다.

:

(Z_1 \cdots, Z_n) = \sum_{x \in \bigcap_i Z_i} (Z_1 \cdots Z_n)_x

이는 유한함을 보일 수 있다.

효과적 인자들은 초곡면들의 형식적 선형 결합이므로, 일반 위치에 있는 효과적 인자의 교차수는 (일반 위치의) 초곡면들의 교차수를 선형으로 확대하여 정의한다. 임의의 인자는 두 효과적 인자의 차로 나타낼 수 있으므로, 일반 위치에 있는 인자들의 교차수는 효과적 인자의 교차수를 선형으로 확대하여 정의한다. 임의의 인자들의 집합은 저우 움직임 보조정리를 사용하여, 유리 동치인 일반 위치 인자로 대체할 수 있으므로, 이에 대하여 교차수를 정의할 수 있다.

4. 세르의 Tor 공식

장피에르 세르는 가환대수학과 호몰로지 대수학의 방법을 사용하여 각 교차점의 중복도를 찾는 방법을 설명했다.^[1] 이러한 기하학적 교차 개념과 유도 텐서 곱의 호몰로지적 개념 사이의 연결은 영향력이 있었으며, 특히 여러 가환대수학의 호몰로지 추측으로 이어졌다.

'''세르의 Tor 공식'''은 다음과 같다. 정칙 국소환 다양체 ''X''의 두 부분 다양체 ''V''와 ''W''가 서로 보완적인 차원을 갖고, ''V'' ∩ ''W''가 0차원이라고 하자. 모든 점 ''x'' ∈ ''V'' ∩ ''W''에 대해, ''A''를 ''x''의 국소환 $\mathcal{O}_{X, x}$ 라고 하자. ''x''에서의 ''V''와 ''W''의 구조층은 아이디얼 ''I'', ''J'' ⊆ ''A''에 해당한다. 그러면 점 ''x''에서 ''V'' ∩ ''W''의 중복도는 다음과 같다.

: $e(X; V, W; x) = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i \mathrm{length}_A(\operatorname{Tor}_i^A(A/I, A/J))$

여기서 length는 국소환 위의 가군 길이이고, Tor는 Tor 함자이다. ''V''와 ''W''가 횡단적인 위치로 이동될 수 있다면, 이 호몰로지적 공식은 예상되는 답을 산출한다. 예를 들어, ''V''와 ''W''가 ''x''에서 횡단적으로 만난다면 중복도는 1이다. 만약 ''V''가 평면에서 포물선 ''W''의 점 ''x''에서의 접선이라면, ''x''에서의 중복도는 2이다.

만약 ''V''와 ''W''가 모두 정규 수열에 의해 국소적으로 잘려진다면, 예를 들어 비특이 다양체라면, 위 공식에서 모든 고차 Tor는 사라지므로 중복도는 양수이다. 임의의 경우에 있어서의 양수성은 세르의 중복도 추측 중 하나이다.

5. 스내퍼-클라이만 정의

스내퍼가 1959-60년에 도입하고, 카르티에와 클레이먼이 나중에 발전시킨 교차수의 접근 방식은 교차수를 오일러 지표로 정의한다.

''X''를 스킴 ''S'' 위의 스킴이라 하고, Pic(''X'')를 ''X''의 피카르 군, '''''G'''''를 ''X'' 상의 코히어런트 층의 범주에서 코히어런트 층의 그로텐디크 군으로 정의한다. 이때, 그 지지는 ''S''의 아르틴 부분 스킴 위에 고유 사상이다.

Pic(''X'')의 각 ''L''에 대해, '''''G'''''의 자기 준동형 사상 ''c''₁(''L'') (''L''의 제1 체른 클래스)을 다음과 같이 정의한다.

: $c_1(L)F= F - L^{-1} \otimes F.$

선형 번들로 텐서 곱하는 것은 완전하므로, 이것은 '''''G'''''에서 가법적이다. 또한 다음이 성립한다.

$c_1(L_1)c_1(L_2) = c_1(L_1) + c_1(L_2) - c_1(L_1 \otimes L_2)$ ; 특히, $c_1(L_1)$ 과 $c_1(L_2)$ 는 교환한다.
$c_1(L)c_1(L^{-1}) = c_1(L) + c_1(L^{-1}).$
$\dim \operatorname{supp} c_1(L)F \le \dim \operatorname{supp} F - 1$ (이것은 자명하지 않으며 데비사주 논법에서 유도된다.)

선형 번들 ''L''_''i''에 대한 교차수

:

L_1 \cdot {\dots} \cdot L_r

는 다음과 같이 정의된다.

:

L_1 \cdot {\dots} \cdot L_r \cdot F = \chi(c_1(L_1) \cdots c_1(L_r) F)

여기서 χ는 오일러 지표를 나타낸다. 또는, 귀납법에 의해 다음이 성립한다.

:

L_1 \cdot {\dots} \cdot L_r \cdot F = \sum_0^r (-1)^i \chi(\wedge^i (\oplus_0^r L_j^{-1}) \otimes F).

각 경우마다 ''F''가 고정되면

L_1 \cdot {\dots} \cdot L_r \cdot F

는 ''L''_''i''에 대한 대칭적인 함수이다.

만약 ''L''_''i'' = ''O''_''X''(''D''_''i'') (여기서 ''D''_''i''는 카르티에 제수)이라면, 교차수를

D_1 \cdot {\dots } \cdot D_r

로 표기한다.

''S''-스킴의 사상

f:X \to Y

, ''X'' 위의 선형 번들

L_i, 1 \le i \le m

, 그리고 '''G'''에서

m \ge \dim \operatorname{supp}F

인 ''F''에 대해 다음이 성립한다.

:

f^*L_1 \cdots f^* L_m \cdot F = L_1 \cdots L_m \cdot f_* F

.^[2]

6. 평면 곡선의 교차 중복도

평면 곡선의 교차 중복도는 특정 조건을 만족하는 유일한 함수 $I_p(P, Q)$로 정의된다. 이 함수는 다음 6가지 조건을 만족한다.

조건 번호	조건 내용
1	$I_p(P,Q) = I_p(Q,P)$ (대칭성)
2	$P$와 $Q$가 $p$에서 0이 되는 공통 인수를 가질 경우에만 $I_p(P,Q) = \infty$ (공통 인수에 대한 무한대)
3	$P(p)$ 또는 $Q(p)$ 중 하나가 0이 아닌 경우에만(즉, 점 $p$가 두 곡선의 교차점에 없는 경우) $I_p(P,Q) = 0$ (한 곡선만 지나는 점에서의 0)
4	$p = (a, b)$일 때, $I_p(x-a,y-b) = 1$ (특정 점에서의 1)
5	$I_p(P,Q_1Q_2) = I_p(P,Q_1) + I_p(P,Q_2)$ (곱에 대한 분해)
6	모든 $R \in K[x,y]$에 대해 $I_p(P + QR,Q) = I_p(P,Q)$ (더해진 항에 대한 불변성)

이러한 성질들은 교차 중복도를 완전히 특징짓지만, 실제로는 여러 가지 방법으로 실현된다.
교차 중복도 계산 방법

멱급수 환의 몫 공간의 차원:
$p = (0,0)$이라고 가정하고, 대수 곡선을 정의하는 다항식을 $P(x,y)$와 $Q(x,y)$라고 할 때, $I = (P,Q)$를 $P$와 $Q$에 의해 생성된 $Kx,y$의 아이디얼로 나타낸다. 교차 중복도는 $K$ 위의 벡터 공간으로서 $Kx,y/I$의 차원이다.
또는 국소환 $\mathcal{O}_p(\mathbb{A}^2)=\left\{\frac{f}{g}\in K(x,y):g(p)\ne0\right\}$ 을 사용해도 좋다.
두 다항식의 종결식:
$p = (0,0)$인 좌표에서, 곡선은 $y = 0$과의 다른 교차점이 없고, $x$에 대한 $P$의 차수가 $P$의 전체 차수와 같은 경우, $I_p(P,Q)$는 $P$와 $Q$의 결합자를 나누는 $y$의 가장 높은 거듭제곱으로 정의될 수 있다($P$와 $Q$는 $K[x]$ 위의 다항식으로 간주).
곡선 섭동:
$P$와 $Q$가 열린 집합 $U$의 폐포에서 한 번만 교차하는 곡선을 정의하는 경우, 조밀한 집합 $(\epsilon,\delta) \in K^2$에 대해, $P - \epsilon$와 $Q - \delta$는 $U$의 $n$개의 점에서 횡단적으로 교차한다(즉, 다른 접선을 갖는다). 이때 $I_p(P,Q) = n$이다.

예시:$x$축($y=0$)과 포물선 $y=x^2$의 교차 중복도를 계산해 보자.

$P = y$, $Q = y - x^2$, $p = (0,0)$으로 두면,

$I_p(P,Q) = I_p(y,y - x^2) = I_p(y,x^2) = I_p(y,x) + I_p(y,x) = 1 + 1 = 2$

따라서 교차 중복도는 2이며, 이는 일반적인 접선의 경우이다.

7. 자기 교차수

자기 교차수는 인자 자신과의 교차수를 의미하며, 일반 위치에 있는 동치인 인자를 사용하여 정의한다. 자기 교차수는 음수가 될 수 있다. 이는 인자가 첫 번째 인자와 관련하여 일반 위치에 있는 다른 동치 인자로 이동되고, 두 인자가 교차함을 의미한다.

8. 응용

교차 이론은 베주의 정리와 같은 고전적인 결과들을 현대적인 관점에서 엄밀하게 서술할 수 있도록 해준다. 고정점 정리는 함수의 그래프와 대각선의 교차로 해석될 수 있으며, 교차수를 통해 고정점의 중복도를 고려할 수 있다. 이를 통해 레프셰츠 고정점 정리와 같은 결과를 얻을 수 있다.

참조

_[1] 서적 Algèbre locale, multiplicités Springer-Verlag
_[2] 서적

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