단위 계단 함수

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1. 개요
2. 정의
3. H(0)의 값
4. 해석적 근사
5. 적분 표현
6. 미분과 적분
7. 변환
- 7.1. 푸리에 변환
- 7.2. 라플라스 변환
참조

1. 개요

단위 계단 함수는 0보다 작은 값에서는 0, 0 이상인 값에서는 1을 갖는 구간 함수이다. 헤비사이드 함수라고도 불리며, 아이버슨 괄호, 지시 함수, 부호 함수의 선형 변환 등을 사용하여 표현할 수 있다. H(0)의 값은 1/2, 1, 0 등으로 정의될 수 있으며, 이는 함수의 그래프, 연속성, 해석적 근사 등과 관련된다. 또한, 디랙 델타 함수의 적분으로 표현되며, 램프 함수의 미분, 푸리에 변환, 라플라스 변환 등 다양한 변환을 통해 나타낼 수 있다.

2. 정의

헤비사이드 단위 계단 함수(Heaviside unit step function)는 x ≥ 0 일 때 1, x < 0 일 때 0의 값을 갖는 함수이다. 헤비사이드 함수는 다음과 같이 여러 방법으로 정의할 수 있다.

아이버슨 괄호 표기법 사용:

:

H(x) := [x \geq 0]

부호 함수의 선형 변환:

:

H(x) := \frac{1}{2} \left(\mbox{sgn}\, x + 1\right)

두 아이버슨 괄호의 산술 평균:

:

H(x) := \frac{[x\geq 0] + [x>0]}{2}

두 변수 아크탄젠트의 일방향 극한:

:

H(x) =: \lim_{\epsilon\to0^{+}} \frac{\mbox{atan2}(\epsilon,-x)}{\pi}

초함수:

:

H(x) =: \left(1-\frac{1}{2\pi i}\log z,\ -\frac{1}{2\pi i}\log z\right)

또는

:

H(x) =: \left( -\frac{\log -z}{2\pi i}, -\frac{\log -z}{2\pi i}\right)

(는 복소 로그의 주치)

램프 함수의 도함수:

:

H(x) := \frac{d}{dx} \max \{ x, 0 \}\quad \mbox{for } x \ne 0

절댓값 함수 사용:

:

H(x) =  \frac{x + |x|}{2x}

x < 0 또는 x > 0의 범위에서 연속이지만, x = 0에서 임의의 값 c를 취하는 계단 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

H_c(x) = \begin{cases}0 & (x < 0) \\c & (x = 0) \\1 & (x > 0)\end{cases}

이 함수를 실수 전체 집합(

\mathbb R

) 위의 함수

H_c \colon\, \mathbb R \to \mathbb R

로 생각하면, c값에 관계없이 원점(x = 0)에서 불연속이다. c값은 필요에 따라 편리한 값을 선택할 수 있지만, 0, 1/2, 1 등이 종종 사용되며, 각각 다음과 같다.

{2|x|} & (x \neq 0)\end{cases}\end{align}

|

\begin{align}H_{1/2}(x) &= \begin{cases}0 & (x < 0) \\\dfrac{1}{2} & (x = 0) \\1 & (x > 0)\end{cases} \\&= \begin{cases}\dfrac{1}{2} & (x = 0) \\\dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)\end{cases}\end{align}

|

\begin{align}H_1(x) &= \begin{cases}0 & (x < 0) \\1 & (x \geqq 0)\end{cases} \\&= \begin{cases}1 & (x = 0) \\\dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)\end{cases}\end{align}

|}

또한, 헤비사이드 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

H_1(x) = 1 - U(-x) = \lim_{t \to x-0} U(t)

:

H_0(x) = U(x)

:

H_c(x) = c H_1(x) + (1 - c) H_0(x)

:

H_{1/2}(x) = \frac{1 + \sgn(x)}{2}

(sgn은 부호 함수)

2. 1. 구간 함수

구간 함수를 사용하여 헤비사이드 함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

H(x) := \begin{cases} 1, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}

2. 2. 지시 함수

지시 함수를 사용하면 헤비사이드 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

H(x) := \mathbf{1}_{x \geq 0}=\mathbf 1_{\mathbb R_+}(x)

2. 3. 이산 형태

단위 계단을 이산 변수 ''n''에 대한 함수로 나타내면 다음과 같다.

:

이때 ''n''은 정수이다. 주어진 문제가 이산적이지 않은 상황에서는 ''H''[0]의 정의가 중요하다.

이산-시간 단위 충격량은 이산-시간 단계에서 첫 번째 차이값으로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:δ[n]|=

\delta\left[ n \right] = H[n] - H[n-1]

^영어

이 함수는 크로네커 델타의 합으로 나타낼 수 있다.

:

여기서

:

이다.

단위 계단의 또 다른 형태는 함수 H : ℤ → ℝ|H : ℤ → ℝ^영어로 정의되며, 이산 변수 n을 입력으로 받는다.

:

H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0, \\ 1, & n \ge 0, \end{cases}

또는 반최댓값 관례를 사용하면 다음과 같다.^[2]

:

H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0, \\ \tfrac12, & n = 0,\\ 1, & n > 0, \end{cases}

여기서 n은 정수이다. n이 정수이면, 은 을 의미하고, 은 함수가 에서 1의 값을 갖는 것을 의미한다. 따라서 "계단 함수"는 의 영역에서 램프와 같은 동작을 보이며, 반최댓값 관례를 사용하면 실제로 계단 함수가 될 수 없다.

연속적인 경우와 달리, 의 정의는 중요하다.

이산 시간 단위 임펄스는 이산 시간 계단의 첫 번째 차분이다.

:

\delta[n] = H[n] - H[n-1].

이 함수는 크로네커 델타의 누적 합이다.

:

H[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k]

여기서

:

\delta[k] = \delta_{k,0}

는 이산 단위 임펄스 함수이다.

3. H(0)의 값

H(0)^영어의 값은 다음 세 가지 경우 중 하나로 정의된다.

구간 함수:

:

H(x) := \begin{cases} 1, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}

아이버슨 괄호 표기법 사용:

:

H(x) := [x \geq 0]

지시 함수:

:

H(x) := \mathbf{1}_{x \geq 0}=\mathbf 1_{\mathbb R_+}(x)

H(x) = \frac{1}{2}

인 경우, 다음과 같이 표현될 수 있다.

부호 함수의 선형 변환:

:

H(x) := \frac{1}{2} \left(\mbox{sgn}\, x + 1\right)

두 아이버슨 괄호의 산술 평균:

:

H(x) := \frac{[x\geq 0] + [x>0]}{2}

두 변수 아크탄젠트의 일방향 극한:

:

H(x) =: \lim_{\epsilon\to0^{+}} \frac{\mbox{atan2}(\epsilon,-x)}{\pi}

초함수:

:

H(x) =: \left(1-\frac{1}{2\pi i}\log z,\ -\frac{1}{2\pi i}\log z\right)

또는

:

H(x) =: \left( -\frac{\log -z}{2\pi i}, -\frac{\log -z}{2\pi i}\right)

: 여기서 log ''z''^영어는 z^영어의 복소 로그의 주치이다.

정의되지 않은 다른 정의는 다음과 같다.

램프 함수의 도함수:

:

H(x) := \frac{d}{dx} \max \{ x, 0 \}\quad \mbox{for } x \ne 0

절댓값 함수를 사용하여

:

H(x) =  \frac{x + |x|}{2x}

H^영어는 대개 적분에 사용되며, 함수가 단일 지점에서 갖는 값은 적분에 영향을 미치지 않으므로, H(0)^영어에 어떤 특정 값을 선택하든 거의 중요하지 않다. 실제로 H^영어를 분포 또는 L의 원소(L 공간 참조)로 간주하면, 이러한 객체는 거의 모든 곳에서만 정의되므로 0에서의 값을 논하는 것조차 의미가 없다. 만약 몇몇 해석적 근사(위에 있는 예시와 같이)를 사용한다면, 0에서의 관련 극한값이 무엇이든 종종 사용된다.

특정 값을 선택하는 데는 여러 가지 이유가 있다.

H(0) = 1/2^영어가 종종 사용되는데, 이는 그래프가 회전 대칭을 갖기 때문이다. 다른 말로, H - 1/2^영어는 기함수이다. 이 경우, 부호 함수와의 다음 관계가 모든 x^영어에 대해 성립한다.

:

H(x) = \tfrac12(1 + \sgn x).

: 또한, 모든 x에 대해 H(x) + H(-x) = 1이다.

H(0) = 1^영어은 H^영어가 우연속이어야 할 때 사용된다. 예를 들어, 누적 분포 함수는 일반적으로 우연속으로 취급되며, 르베그-스틸체스 적분에서 적분되는 함수도 그러하다. 이 경우, H^영어는 닫힌 반무한 구간의 지시 함수이다.

:

H(x) = \mathbf{1}_{[0,\infty)}(x).

: 이에 해당하는 확률 분포는 퇴화 분포이다.

H(0) = 0^영어은 H^영어가 좌연속이어야 할 때 사용된다. 이 경우, H^영어는 열린 반무한 구간의 지시 함수이다.

:

H(x) = \mathbf{1}_{(0,\infty)}(x).

최적화 및 게임 이론과 같은 함수 해석학적 맥락에서, 제한 함수의 연속성을 유지하고 특정 해의 존재를 보장하기 위해 헤비사이드 함수를 다중 값 함수로 정의하는 것이 종종 유용하다. 이러한 경우, 헤비사이드 함수는 가능한 해의 전체 구간 H(0) = [0,1]^영어을 반환한다.

계단 함수는 x < 0^영어 또는 x > 0^영어의 범위에서 연속이지만, x = 0^영어에서 값 c^영어를 취하는 계단 함수는 다음과 같다.

:

\begin{align}H_c(x) &= \begin{cases}0 & (x < 0) \\c & (x = 0) \\1 & (x > 0)\end{cases} \\&= \begin{cases}c & (x = 0) \\\dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)\end{cases}\end{align}

위 함수를 실수 전체의 집합

\mathbb R

위의 함수

H_c \colon\, \mathbb R \to \mathbb R

로 생각하면, c^영어를 어떻게 정하든 원점 x = 0^영어에서 불연속이다. c^영어의 값은 필요에 따라 편리한 값을 선택할 수 있지만, c = 0, 1/2, 1^영어 등이 종종 사용되며, 각각 다음과 같다.

\begin{align}

{2|x|} & (x \neq 0)\end{cases}\end{align}

|

\begin{align}H_{1/2}(x) &= \begin{cases}0 & (x < 0) \\\dfrac{1}{2} & (x = 0) \\1 & (x > 0)\end{cases} \\&= \begin{cases}\dfrac{1}{2} & (x = 0) \\\dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)\end{cases}\end{align}

|

\begin{align}H_1(x) &= \begin{cases}0 & (x < 0) \\1 & (x \geqq 0)\end{cases} \\&= \begin{cases}1 & (x = 0) \\\dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)\end{cases}\end{align}

|}

또한, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

H_1(x) = 1 - U(-x) = \lim_{t \to x-0} U(t)

:

H_0(x) = U(x)

:

H_c(x) = c H_1(x) + (1 - c) H_0(x)

:

H_{1/2}(x) = \frac{1 + \sgn(x)}{2}

여기서 함수 sgn^영어은 부호 함수이다.

4. 해석적 근사

생화학 및 신경과학에서는 단위 계단 함수에 대한 근사가 유용하며, 여기서 계단 함수의 로지스틱 근사(예: 힐 방정식 및 미카엘리스-멘텐 방정식)은 화학 신호에 대한 바이너리 세포 스위치를 근사하는 데 사용될 수 있다.

계단 함수에 대한 매끄러운 근사로, 다음의 로지스틱 함수를 사용할 수 있다.

:

H(x) \approx \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\tanh kx = \frac{1}{1+e^{-2kx}}

여기서 더 큰

k

는

x = 0

에서 더 날카로운 전환에 해당한다. 만약

H(0) = \tfrac{1}{2}

를 사용하면, 극한에서 등식이 성립한다.

:

H(x)=\lim_{k \to \infty}\tfrac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}}

계단 함수에 대한 다른 많은 매끄럽고 해석적인 근사가 있다.^[1] 가능한 것들 중에는 다음이 있다.

:

H(x) = \lim_{k \to \infty} \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\arctan kx\right)

:

H(x) = \lim_{k \to \infty}\left(\tfrac{1}{2} + \tfrac12\operatorname{erf} kx\right)

이 극한은 점별 수렴과 분포의 의미에서 성립한다. 그러나 일반적으로 점별 수렴은 분포 수렴을 의미하지 않으며, 그 반대의 경우도 마찬가지이다. (하지만 점별 수렴하는 함수 시퀀스의 모든 멤버가 어떤 "좋은" 함수에 의해 균일하게 제한되어 있으면, 분포의 의미에서도 수렴이 성립한다.)

일반적으로, 0 주위에 뾰족하고 분산을 제어하는 매개변수를 가진 연속 분포의 모든 누적 분포 함수는 분산이 0에 접근하는 극한에서 근사로 작용할 수 있다. 예를 들어, 위의 세 가지 근사는 모두 일반적인 확률 분포의 누적 분포 함수이다. 각각 로지스틱 분포, 코시 분포, 정규 분포이다.

5. 적분 표현

때때로 복소 적분의 형태로도 나타낼 수 있다:

: $H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0^+} {i\over 2\pi}\int_{-\infty}^\infty {\mathrm{e}^{-i x \tau} \over \tau+i\epsilon} \mathrm{d}\tau =\lim_{ \epsilon \to 0^+} {1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {\mathrm{e}^{i x \tau} \over \tau-i\epsilon} \mathrm{d}\tau.$

흔히 적분으로 표현되는 헤비사이드 계단 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}H(x)&=\lim_{ \varepsilon \to 0^+} -\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} d\tau \\&=\lim_{ \varepsilon \to 0^+} \frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\tau-i\varepsilon} e^{i x \tau} d\tau.\end{align}$

여기서 두 번째 표현은 계단 함수가 실수이므로 켤레 복소수와 같다는 점을 이용하여 첫 번째 표현에서 쉽게 유도할 수 있다.

디랙 델타 함수 δ와 구간 $(-\infty, x]$ 의 지시 함수 $\chi_{(-\infin, x]}$ 에 대해

: $\int_{-\infin}^x \delta(t)dt:= \int_{-\infin}^{\infin}\chi_{(-\infin, x]}(t)\delta(t)dt= \chi_{(-\infin, x]}(0)$

라고 하면, 이것은 $x < 0$ 일 때 구간 $(-\infty, x]$ 는 0을 포함하지 않고, $x \geqq 0$ 일 때 구간 $(-\infty, x]$ 가 0을 포함하므로

: $\chi_{(-\infin, x]}(0) = \begin{cases}0 & (x < 0) \\1 & (x \geqq 0)\end{cases}$

가 된다. 즉,

: $H_1(x) = \int^{x}_{-\infin} \delta(\xi) d\xi$

로 나타낼 수 있다. 이 의미에서 헤비사이드 계단 함수는 디랙 델타 함수를 확률 밀도 함수로 할 때의 누적 분포 함수에 해당한다.

6. 미분과 적분

디랙 델타 함수는 헤비사이드 함수의 약미분이다.

: $\delta(x)= \frac{d}{dx} H(x).$

따라서 헤비사이드 함수는 디랙 델타 함수의 적분으로 간주될 수 있다. 이는 때때로 다음과 같이 표현된다.

: $H(x) := \int_{-\infty}^x \delta(s)\,ds$

램프 함수는 헤비사이드 계단 함수의 부정적분이다.

: $\int_{-\infty}^{x} H(\xi)\,d\xi = x H(x) = \max\{0,x\} \,.$

헤비사이드 계단 함수의 분포 미분은 디랙 델타 함수이다.

: $\frac{d H(x)}{dx} = \delta(x) \,.$

7. 변환

단위 계단 함수는 푸리에 변환과 라플라스 변환을 통해 다른 형태로 변환할 수 있다.

7. 1. 푸리에 변환

단위 계단 함수의 푸리에 변환은 분포이다. 푸리에 변환의 정의에 대한 상수 중 하나를 사용하여 다음을 얻을 수 있다.

:

\hat{H}(s) = \lim_{N\to\infty}\int^N_{-N} e^{-2\pi i x s} H(x)\,dx = \frac{1}{2} \left( \delta(s) - \frac{i}{\pi} \operatorname{p.v.}\frac{1}{s} \right).

여기서 p.v.는 시험 함수를

\textstyle\int_{-\infty}^\infty \frac{\varphi(s)}{s} \, ds

의 코시 주요값으로 보내는 분포이다. 적분에 나타나는 극한은 (완전) 분포의 의미로도 취해진다.

7. 2. 라플라스 변환

헤비사이드 계단 함수의 라플라스 변환은 메로모픽 함수이다. 단측 라플라스 변환을 사용하면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\hat{H}(s) &= \lim_{N\to\infty}\int^N_{0} e^{-sx} H(x)\,dx\\&= \lim_{N\to\infty}\int^N_{0} e^{-sx} \,dx\\&= \frac{1}{s} \end{align}

양측 변환을 사용할 경우 적분을 두 부분으로 나눌 수 있으며 결과는 동일하다.

참조

_[1] 서적 Heaviside Step Function https://mathworld.wo[...]
_[2] 서적 The Fourier transform and its applications McGraw-Hill 2000

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$H_0(x)$	$H_{1/2}(x)$	$H_1(x)$
$\begin{align}$