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구면기하학

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목차

1. 개요

구면 기하학은 구의 표면 위에서 점, 직선, 각도 등을 정의하고, 유클리드 기하학과 다른 특징을 보이는 기하학의 한 분야이다. 구면 위의 점은 점으로, 대원은 직선으로 정의되며, 두 직선의 각도는 대원이 만나는 각도로 정의된다. 유클리드 기하학과 달리, 구면 기하학에서는 모든 직선이 두 점에서 만나며, 삼각형의 내각의 합은 180도를 초과하고 540도 미만이다. 또한, 같은 구면 위의 삼각형 면적비는 내각의 합에서 180도를 뺀 값의 비와 같고, 합동을 제외한 닮음은 존재하지 않으며, 원주율은 π보다 작다. 구면 기하학은 유클리드 기하학의 평행선 공리를 만족하지 않으며, 타원 기하학 및 쌍곡 기하학과 관련이 있다.

2. 정의

구면기하학에서 사용하는 용어는 다음과 같이 정의된다.


  • 점: 구면 위의 점을 점이라고 한다.
  • 직선: 구의 대원을 직선이라고 한다. 두 점을 지나는 직선은 그 두 점이 구의 중심에 대해 대칭되는 위치에 있지 않는 한 하나로 정해진다.
  • 각도: 두 대원이 만나는 각도를 두 직선의 각도라고 한다.


평면 기하학에서 기본적인 개념은 점과 (직선) 선이지만, 구면 기하학에서 기본적인 개념은 점과 대원이다. 대원은 여러 면에서 구면 기하학에서 유클리드 기하학의 선과 동일한 논리적 역할을 한다. 예를 들어 구면 삼각형의 변이 대원이다. 구면 및 평면 기하학 등은 모두 거리 측정을 기반으로 구축된 기하학의 범주 내에서 통합될 수 있으며, 여기서 "선"은 가장 짧은 경로(측지선)를 의미하도록 정의된다.[1]

2. 1. 점

구면 위의 점을 점이라고 한다.

2. 2. 직선

구면기하학에서 직선은 구의 대원으로 정의된다. 대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구면이 만나서 생기는 원이다. 두 점을 지나는 직선은 그 두 점이 구의 중심에 대해 대칭 위치에 있지 않는 한 유일하게 결정된다.[2] 외재적 3차원 그림에서 대원은 구와 중심을 지나는 임의의 평면의 교차선이다. 내재적 접근법에서 대원은 측지선이다. 즉, 두 점 사이의 가장 짧은 경로가 충분히 가깝게 제공된다.[1]

2. 3. 각도

두 대원이 만나는 각도를 두 직선의 각도로 한다.[1]

3. 성질

구면기하학은 유클리드 기하학과 달리 다음과 같은 성질을 갖는다.


  • 모든 서로 다른 두 직선은 두 점에서 만난다.[7]
  • 구면기하학에서는 유클리드 기하학에 없는 일각형과 이각형이 존재한다.
  • 각 대원은 그 대원에 수직인 대원들의 공통 교점인 '극'(poles)이라고 불리는 한 쌍의 대척점과 연관되어 있다.
  • 각 점은 해당 점을 지나는 구의 지름에 수직이며 구의 중심을 지나는 평면 상의 대원인, 해당 점의 '극원'(polar circle)이라고 불리는 고유한 대원과 연관되어 있다.


유클리드 기하학의 기본 개념이 점과 (직선) 선이라면, 구면기하학의 기본 개념은 점과 대원이다. 구면 및 평면 기하학 등은 모두 거리 측정을 기반으로 구축된 기하학의 범주 내에서 통합될 수 있으며, 여기서 "선"은 가장 짧은 경로(측지선)를 의미하도록 정의된다.

3. 1. 평행선

구면에서는 평행한 직선이 존재하지 않으며, 모든 (대원인) 직선은 두 점에서 만난다.[7] 위선(緯線, parallels)은 만나지 않는 평행한 두 직선처럼 보일 수 있지만, 구면에서 두 점을 결정하는 직선은 대원이므로 위선은 구면상의 직선이라고 할 수 없다.

3. 2. 삼각형

삼각형의 내각의 합은 항상 180도보다 크고 540도보다 작다.[8] 같은 구면 위에 있는 삼각형의 면적비는, 내각의 합에서 180도를 뺀 값의 비와 같다. 예를 들어, 내각의 합이 190도인 삼각형과 내각의 합이 200도인 삼각형의 면적비는 10:20 = 1:2이다.[8] 같은 구면 위에는 합동을 제외하고 닮음이 존재하지 않는다. 세 각이 같은 경우, 내각의 합이 같아져 면적이 같아지기 때문이다.[8]

3. 3. 다각형

구면 기하학에서는 유클리드 기하학에 없는 일각형과 이각형이 존재한다.

3. 4. 원주율

구면에서의 원주율은 π보다 작다.[9] 지구를 예로 들어 반지름을 ''r''이라고 하면, 적도의 원주는 2π''r''이 된다. 한편 구면에서의 원으로서의 적도의 반지름은 북극점에서 적도까지의 구면에서의 직선 거리(대원)가 된다. 지름은 그 2배이므로 π''r''이 된다. 따라서 원주율(원주÷지름)은 2가 된다. 남반구의 위선을 북극점을 중심으로 한 구면에서의 원으로 간주하면, 원주율은 2보다 더욱 작아진다. 결국, 구면에서의 원주율은 지름에 따라 0 < (원주율) < π의 값을 갖는다.[9]

4. 유클리드 공리/공준과의 관계

유클리드 기하학의 공리에서 "선"을 대원으로 정의하면, 유클리드의 다섯 가지 공리 중 두 번째 공리("유한한 직선을 직선으로 연장할 수 있다")와 네 번째 공리("모든 직각은 서로 같다")만 만족한다.[7] 첫 번째 공리("두 점 사이에는 그 점들을 잇는 유일한 선분이 존재한다")와 달리, 대척점인 구의 북극과 남극처럼 두 점 사이의 유일한 최단 경로는 존재하지 않는다.[7] 세 번째 공리와 달리, 구는 임의로 큰 반지름을 가진 원을 포함하지 않는다.[7] 다섯 번째 공리(평행선 공리)와 달리, 주어진 선과 만나지 않는 선을 그을 수 있는 점은 존재하지 않는다.[7]

평행선 공리와 동치인 명제는 삼각형의 내각의 합이 180°가 된다는 것이다. 구면기하학은 평행선 공리를 위배하므로, 구의 표면에는 그러한 삼각형이 존재하지 않는다. 구면 위의 삼각형의 내각의 합은 180°(1 + 4''f'')이며, 여기서 ''f''는 삼각형이 둘러싸는 구 표면의 비율이다. ''f''가 양수 값을 가지면, 이 값은 180°를 초과한다.

5. 역사

구면기하학의 역사는 고대 그리스 시대부터 시작되어 여러 학자들에 의해 발전되어 왔다.

기원전 4세기 말, 피타네의 아우톨리코스는 "회전하는 구에 관하여"(Περὶ κινουμένης σφαίρας|페리 키누메네스 스파이라스grc)라는 구면 기하학 관련 저서를 남겼다.[1] 비티니아의 테오도시우스는 구의 기하학에 관한 책인 구면기하학(Spherics)을 저술했고,[2] 알렉산드리아의 메넬라오스는 "Sphaerica"라는 구면 삼각법에 관한 책을 저술하고 메넬라오스 정리를 개발했다.[3][4]

이슬람 세계에서는 알-자야니가 《구면의 미지 호의 책》을 저술했는데, 이는 구면 삼각법에 관한 최초의 논문으로 여겨진다. 이 책에는 직각 삼각형의 공식, 일반적인 사인 법칙, 극삼각형을 이용한 구면 삼각형의 해법이 담겨있다.[5] 1463년경 레기오몬타누스가 《삼각형에 관하여》를 저술하여 유럽 최초의 순수 삼각법 연구서로 평가받지만, 지롤라모 카르다노는 이 책의 구면 삼각법 관련 내용 대부분이 12세기 안달루시아 학자 자비르 이븐 아플라의 저작에서 차용된 것임을 언급했다.[6]

레온하르트 오일러는 구면 기하학에 관해 다음과 같은 중요한 논문들을 발표했다.[1]

제목발표 연도비고
Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits|구면 삼각법의 원리프랑스어1755년'Mémoires de lAcadémie des Sciences de Berlin 9 (1753), p. 233–257; Opera Omnia'', Series 1, vol. XXVII, p. 277–308.
Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits|구면 삼각법의 요소프랑스어1755년'Mémoires de lAcadémie des Sciences de Berlin 9 (1754), p. 258–293; Opera Omnia'', Series 1, vol. XXVII, p. 309–339.
De curva rectificabili in superficie sphaerica|구면 위의 곡선에 대하여la1771년Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, pp. 195–216; Opera Omnia, Series 1, Volume 28, pp. 142–160.
De mensura angulorum solidorum|입체각의 측정에 대하여la1781년Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, p. 31–54; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, p. 204–223.
Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio|알렉산드리아의 파푸스 문제에 대한 구성la1783년Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, p. 91–96; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, p. 237–242.
Geometrica et sphaerica quaedam|기하학 및 구면 기하학에 관한 몇 가지 고찰la1815년'Mémoires de lAcadémie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, p. 96–114; Opera Omnia'', Series 1, vol. XXVI, p. 344–358.
Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata|구면 삼각법 전반la1782년Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, p. 72–86; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, p. 224–236.
Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum|구면 삼각형의 넓이에 대한 다양한 고찰la1797년Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, p. 47–62; Opera Omnia, Series 1, vol. XXIX, p. 253–266.


5. 1. 고대 그리스

기원전 4세기 말에 활동한 피타네의 아우톨리코스는 "회전하는 구에 관하여"(Περὶ κινουμένης σφαίρας|페리 키누메네스 스파이라스grc)라는 구면 기하학 관련 저서를 남겼다.[1]

비티니아의 테오도시우스는 구의 기하학에 관한 책인 구면기하학(Spherics)을 저술한 그리스 천문학자이자 수학자이다.[2] 알렉산드리아의 메넬라오스는 구면 삼각법에 관한 책 "Sphaerica"를 저술하고 메넬라오스 정리를 개발했다.[3][4]

5. 2. 이슬람 세계

같이 보기

이슬람 수학자 알-자야니가 저술한 《구면의 미지 호의 책》은 구면 삼각법에 관한 최초의 논문으로 여겨진다. 이 책에는 직각 삼각형의 공식, 일반적인 사인 법칙, 그리고 극삼각형을 이용한 구면 삼각형의 해법이 담겨있다.[5]

1463년경에 쓰여진 레기오몬타누스의 저서 《삼각형에 관하여》는 유럽 최초의 순수 삼각법 연구서이다. 그러나 지롤라모 카르다노는 1세기 후 이 책의 구면 삼각법 관련 내용 대부분이 12세기의 안달루시아 학자 자비르 이븐 아플라의 저작에서 차용된 것임을 언급했다.[6]

5. 3. 오일러의 연구

레온하르트 오일러는 구면 기하학에 관해 다음과 같은 일련의 중요한 논문을 발표했다.[1]

제목발표 연도비고
Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits|구면 삼각법의 원리프랑스어1755년'Mémoires de lAcadémie des Sciences de Berlin 9 (1753), p. 233–257; Opera Omnia'', Series 1, vol. XXVII, p. 277–308.
Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits|구면 삼각법의 요소프랑스어1755년'Mémoires de lAcadémie des Sciences de Berlin 9 (1754), p. 258–293; Opera Omnia'', Series 1, vol. XXVII, p. 309–339.
De curva rectificabili in superficie sphaerica|구면 위의 곡선에 대하여la1771년Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, pp. 195–216; Opera Omnia, Series 1, Volume 28, pp. 142–160.
De mensura angulorum solidorum|입체각의 측정에 대하여la1781년Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, p. 31–54; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, p. 204–223.
Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio|알렉산드리아의 파푸스 문제에 대한 구성la1783년Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, p. 91–96; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, p. 237–242.
Geometrica et sphaerica quaedam|기하학 및 구면 기하학에 관한 몇 가지 고찰la1815년'Mémoires de lAcadémie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, p. 96–114; Opera Omnia'', Series 1, vol. XXVI, p. 344–358.
Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata|구면 삼각법 전반la1782년Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, p. 72–86; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, p. 224–236.
Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum|구면 삼각형의 넓이에 대한 다양한 고찰la1797년Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, p. 47–62; Opera Omnia, Series 1, vol. XXIX, p. 253–266.


6. 관련 기하학

구면 기하학과 관련된 중요한 기하학은 실수 사영 평면이다. 이는 구면에서 대점(서로 반대되는 점의 쌍)을 식별하여 얻는다. 국소적으로 사영 평면은 구면 기하학의 모든 속성을 갖지만, 서로 다른 전역적 속성을 갖는다. 특히, 사영 평면은 비가향적 또는 일면적이며, 구와 달리 3차원 공간에서 자체적으로 교차하지 않고 표면으로 그릴 수 없다.

구면 기하학의 개념은 타원체에도 적용될 수 있지만, 특정 공식에 약간의 수정이 필요하다.

참조

[1] 서적 A history of non-Euclidean geometry : evolution of the concept of a geometric space Springer-Verlag 1988
[2] 웹사이트 Theodosius of Bithynia – Dictionary definition of Theodosius of Bithynia http://www.encyclope[...] 2015-03-25
[3] 웹사이트 Menelaus of Alexandria
[4] 웹사이트 Menelaus of Alexandria Facts, information, pictures http://www.encyclope[...] 2015-03-25
[5] 웹사이트 School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews http://www-groups.dc[...]
[6] 웹사이트 Victor J. Katz-Princeton University Press http://press.princet[...] 2009-03-01
[7] 서적 Mathematics: A Very Short Introduction Oxford University Press 2002
[8] 문서 球過量 (spherical excess) と称される。
[9] 간행물 Newton 別冊 数学の世界 図形編 2018-06-18


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