근삿값의 순서

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1. 개요
2. 과학 및 공학 분야에서의 사용
3. 구어적 용법
4. 한국 사회에서의 함의 (선택 사항)
- 4.1. 주의사항
참조

1. 개요

근삿값의 순서는 과학 및 공학 분야에서 사용되는 용어로, 급수 전개에서 사용된 지수를 나타내거나 수량의 대략적인 근사값을 표현하는 데 사용된다. 0차, 1차, 2차 근사 등의 표현은 근사의 정밀도를 나타내며, 0차는 가장 단순한 근사, 1차는 한 자리 유효 숫자를, 2차는 두 자리 이상의 유효 숫자를 의미한다. 고차 근사는 현실을 더 잘 설명하는 데 중요하지만, 일반적으로 숫자로 언급되지는 않는다. 또한, 과학자나 기술자들은 구어체로 중요하지 않은 현상을 묘사할 때 사용하며, 차수가 높을수록 그 효과가 작다는 것을 강조한다.

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근삿값의 순서
개요
분야	수학, 과학
하위 분야	수치 해석학
관련 항목	점근적 분석, 빅 오 표기법, 테일러 급수, 근사값
설명
정의	어떤 함수를 더 간단한 함수로 근사하는 방법.
목표	함수의 복잡성을 줄여 계산이나 분석을 용이하게 함.
사용 예시	복잡한 함수를 다항식으로 근사 미분 방정식의 해를 근사 적분 계산을 단순화
방법
테일러 급수	함수를 특정 점에서 무한합으로 표현하여 근사.
점근적 분석	함수의 극한 행동을 분석하여 근사.
빅 오 표기법	함수의 증가율을 나타내어 근사 오차를 평가.
응용
수치 해석학	컴퓨터를 이용한 수치적 계산에서 핵심적인 역할 수행.
과학 및 공학	복잡한 시스템의 모델링 및 시뮬레이션에 활용.
알고리즘 분석	알고리즘의 효율성을 평가하고 개선하는 데 사용.
예시
테일러 근사	sin(x) ≈ x (x가 0에 가까울 때).
빅 오 표기법	f(x) = O(x^2) (x가 충분히 클 때 f(x)의 증가율이 x^2을 넘지 않음).
주의 사항
정확도	근사값은 항상 오차를 포함하며, 필요한 정확도를 고려해야 함.
수렴성	테일러 급수와 같은 근사 방법은 특정 조건에서만 수렴할 수 있음.
영역	근사값은 특정 영역에서만 유효할 수 있음.

2. 과학 및 공학 분야에서의 사용

과학 및 공학 분야에서 '근삿값의 순서'라는 용어는 현상을 연구하는 데 사용되는 과학적 방법에 따라 달라지는 급수 전개의 선택을 의미한다. 이 표현은 주어진 구간에서 함수의 점진적으로 더 정교한 근사를 나타내는 데 사용된다.

근사 차수는 연구 목적에 따라 선택되며, 알려진 해석적 표현을 단순화하여 새로운 응용을 만들거나 데이터 점에 곡선을 맞추는 데 사용될 수 있다. 그러나 높은 차수의 근사가 항상 낮은 차수의 근사보다 유용한 것은 아니다. 예를 들어, 어떤 수량이 전체 구간에서 상수라면, 이차 테일러 급수로 근사해도 정확도가 높아지지 않는다.

매끄러운 함수의 경우, ''n''차 근사는 해당 차수의 테일러 급수를 절단하여 얻는 차수가 ''n''인 다항식이다. '근사 차수'라는 용어는 급수 전개에서 일부 항을 생략하는 것을 의미하며, 이는 정확도에 영향을 미친다. 오류는 일반적으로 구간 내에서 변하므로, '영차', '일차', '이차' 등의 용어는 백분율 오차나 유효 숫자에 대한 정보를 직접 제공하지 않는다.

지수 함수의 테일러 급수 전개를 예로 들면 다음과 같다.

: $e^x=\underbrace{1}_{0^\text{th}}+\underbrace{x}_{1^\text{st}}+\underbrace{\frac{x^2}{2!}}_{2^\text{nd}}+\underbrace{\frac{x^3}{3!}}_{3^\text{rd}} + \underbrace{\frac{x^4}{4!}}_{4^\text{th}} + \ldots\;,$

여기서 영차 항은 1, 일차 항은 x, 이차 항은 x²/2! 등이다. |x|<1 이면 각 고차 항은 이전 항보다 작아지지만, x의 값에 따라 고차 항이 더 커질 수도 있다.

영차 근사(Zeroth-order approximation): 매우 단순한 식을 구성하여 빠르게 결과를 얻는 최초의 근사값이다. (예: "이 도시에는 대략 수십만 명의 사람이 살고 있다")
일차 근사(First-order approximation): 수량의 대략적인 근사값이다.^[1]^[2] (예: "마을에는 4,000명, 즉 ''4천''명의 주민이 있다")^[3]
이차 근사(Second-order approximation): 유효 숫자 2개 이상의 답이 주어지는 경우이다. (예: "도시에 명, 즉 ''3900''명의 주민이 있다")^[1]

고차 근사는 현실을 더 잘 이해하고 설명하는 데 중요하지만, 일반적으로 숫자로 표현되지는 않는다.

2. 1. 영차 근사 (Zeroth-order)

영차 근사는 최초의 근사값을 의미한다. 해당 결과값이 필요할 때 매우 단순한 식을 구성하여 빨리 뽑아내는 것을 의미한다. 가령, 통계학자가 실제로는 723,432명이 살고 있는 도시에 대해서 "이 도시에는 대략 수십만 명의 사람이 살고 있다."고 말할 수 있다.

과학자들이 처음 대략적인 답을 얻기 위해 사용하는 용어이다. 많은 단순화된 가정이 이루어지며, 숫자가 필요할 때에는 대략적인 크기의 답(또는 0개의 유효 숫자)이 자주 주어진다. 예를 들어, 실제로는 3,914명의 주민이 있는 마을에 대해 "그 마을에는 '''수천 명'''의 주민이 있다"라고 말하는 경우이다. 이것은 때때로 자릿수 근사라고도 불린다. 여기서 "0차"의 0은 "몇"과 같이 주어진 유일한 숫자조차도 느슨하게 정의되어 있다는 사실을 나타낸다.

함수의 0차 근사(즉, 여러 데이터 포인트에 맞는 공식을 수학적으로 결정하는 것)는 상수이거나 기울기가 없는 평평한 선이다. 즉, 0차 다항식이다. 예를 들어 다음과 같다.

x	y
[0, 1, 2]	[3, 3, 5]

위 표에서 $y \sim f(x) = 3.67$ 는 데이터 포인트의 정확도가 보고된다면, 단순히 ''x'' 값과 ''y'' 값을 평균하여 얻은 데이터에 대한 근사 적합일 수 있다. 그러나 데이터 포인트는 측정 결과를 나타내며, 유클리드 기하학의 점과는 다르다. 따라서 입력 데이터에 유효 숫자가 하나만 있는데 출력에 세 개의 유효 숫자를 포함하는 평균 값을 인용하는 것은 허위 정밀도의 예로 인식될 수 있다. 데이터 포인트의 암시된 정확도가 ±0.5이면, 0차 근사는 표준 편차를 고려하여 ''x''의 구간 −0.5에서 2.5까지에서 ''y''의 결과로 ~3.7 ± 2.0을 얻을 수 있다.

데이터 포인트가 다음과 같이 보고되는 경우도 있다.

x	y
[0.00, 1.00, 2.00]	[3.00, 3.00, 5.00]

이 경우 0차 근사는 다음과 같은 결과를 낳는다.

: $y \sim f(x) = 3.67.$

결과의 정확성은 예를 들어, 해당 평균에 대한 곱셈 함수를 파생하려는 시도를 정당화한다.

: $y \sim x + 2.67.$

그러나 곱셈 함수는 전체 구간에 대해 정의되므로 주의해야 한다. 세 개의 데이터 포인트만 사용할 수 있는 경우, 구간의 나머지 부분에 대해 알 수 없으며, 이는 구간의 큰 부분을 차지할 수 있다. 즉, ''y''에는 구간의 끝과 중간에서 0이 되는 다른 구성 요소가 있을 수 있다. 이 속성을 가진 많은 함수가 알려져 있으며, 예를 들어 ''y'' = sin π''x''가 있다. 테일러 급수는 유용하며 해석적 해를 예측하는 데 도움이 되지만, 근사만으로는 결정적인 증거를 제공하지 않는다.

2. 2. 일차 근사 (First-order)

'''일차 근사''' 또는 '''일차 근사로'''와 같은 구문은 수량의 대략적인 근사값을 나타낸다.^[1]^[2] 예를 들어, "마을에는 4,000명, 즉 ''4천''명의 주민이 있다"와 같이 숫자가 필요할 때 유효 숫자가 한 자리인 답이 종종 주어진다.^[3]

격식 있는 표현에서, '''''일차''' 근사''와 같이 단어 order 앞에 사용되는 서수는 근사에 사용된 급수 전개에서 가장 높은 지수를 나타낸다.

매끄러운 함수의 경우, ''n''차 근사는 이 차수로 테일러 급수를 절단하여 얻는 차수가 ''n''인 다항식이다. ''근사 차수''의 격식적인 사용은 급수의 일부 항을 생략하는 것에 해당하며, 이는 전개에 사용된다.

함수의 1차 근사(즉, 여러 데이터 포인트를 맞추기 위한 공식을 수학적으로 결정하는 것)는 기울기를 가진 선형 근사, 즉 1차 다항식이 된다. 예를 들어 다음과 같다.

x	y
0.00	3.00
1.00	3.00
2.00	5.00

위의 데이터에서 $y \sim f(x) = x + 2.67$ 는 근사적합이다.

2. 3. 이차 근사 (Second-order)

''이차 근사''는 과학에서 정밀한 답을 얻기 위해 사용되는 용어이다. 몇 가지 가정이 이루어지며, 유효 숫자 2개 이상의 답이 주어진다. 예를 들어, "도시에 명, 즉 ''3900''명의 주민이 있다"와 같이 표현할 수 있다.^[1] "이차"라는 용어는 부정확한 수량에 대해 주어진 정확한 숫자의 수를 나타낸다. 이 경우 "3"과 "9"는 더 정밀한 두 단계의 숫자를 의미한다.

함수의 이차 근사(여러 데이터 포인트를 맞추기 위한 공식을 수학적으로 결정)는 이차 다항식이 되며, 기하학적으로는 포물선, 즉 차수가 2인 다항식이 된다. 예를 들어:

:

x = [0.00, 1.00, 2.00],

:

y = [3.00, 3.00, 5.00],

:

y \sim f(x) = x^2 - x + 3

위 식은 데이터에 대한 근사적인 적합이다. 단 세 개의 데이터 포인트만 사용하면 포물선은 제공된 데이터를 기반으로 정확하게 일치한다. 그러나 대부분의 구간에 대한 데이터 포인트는 사용할 수 없으므로 주의해야 한다.

템플릿이 제거되었고, 문맥에 맞게 수정되었다.

2. 4. 고차 근사 (Higher-order)

격식 있는 표현에서, "order" 앞에 사용되는 서수는 근사에 사용된 급수 전개에서 가장 높은 지수를 나타낸다. "영차 근사", "일차 근사", "이차 근사" 등과 같은 표현이 고정된 구문으로 사용된다. "영차 근사"라는 표현도 흔히 사용된다. 기수는 "영차 근사", "일차 근사" 등과 같은 표현에 가끔 사용된다.

"order"를 생략하면 덜 격식적인 의미를 갖는 구문이 된다. "일차 근사" 또는 "일차 근사로"와 같은 구문은 "수량의 대략적인 근사값"을 나타낼 수 있다.^[1]^[2] "영차 근사로"라는 구문은 "엉뚱한 추측"을 나타낸다.^[3] "근사 차수"라는 표현은 때때로 부정확하게 유효 숫자의 개수를 의미하거나, 정확도가 증가하는 순서로, 또는 차수를 의미하는 데 사용되기도 한다. 그러나 이러한 격식적인 표현이 도함수의 차수를 직접적으로 나타내는 것이 아니므로 혼란을 야기할 수 있다.

급수 전개의 선택은 현상을 조사하는 데 사용되는 과학적 방법에 따라 달라진다. "근사 차수"라는 표현은 지정된 구간에서 함수의 점진적으로 더 정교한 근사를 나타낼 것으로 예상된다. 근사 차수의 선택은 연구 목적에 따라 달라진다. 알려진 해석적 표현을 단순화하여 새로운 응용 프로그램을 고안하거나, 반대로, 데이터 점에 곡선을 맞추려고 할 수 있다. 높은 차수의 근사가 항상 낮은 차수의 근사보다 더 유용한 것은 아니다. 예를 들어, 수량이 전체 구간 내에서 상수이면, 이를 이차 테일러 급수로 근사해도 정확도가 증가하지 않는다.

매끄러운 함수의 경우, ''n''차 근사는 이 차수로 테일러 급수를 절단하여 얻는 차수가 ''n''인 다항식이다. "근사 차수"의 격식적인 사용은 급수의 일부 항을 생략하는 것에 해당하며, 이는 전개에 사용된다. 이는 정확도에 영향을 미친다. 오류는 일반적으로 구간 내에서 변한다. 따라서 위에 사용된 용어 ("영차", "일차", "이차" 등)는 백분율 오차 또는 유효 숫자에 대한 정보를 직접적으로 제공하지 않는다.

예를 들어, 지수 함수의 테일러 급수 전개에서,

:

e^x=\underbrace{1}_{0^\text{th}}+\underbrace{x}_{1^\text{st}}+\underbrace{\frac{x^2}{2!}}_{2^\text{nd}}+\underbrace{\frac{x^3}{3!}}_{3^\text{rd}} + \underbrace{\frac{x^4}{4!}}_{4^\text{th}} + \ldots\;,

영차 항은

1;

일차 항은

x,

이차 항은

x^2/2,

등이다.

|x|<1,

이면 각 고차 항은 이전 항보다 작다.

|x|<<1,\,

이면 일차 근사,

:

e^x\approx 1+x,

로도 충분한 경우가 많다. 그러나

x=1,

에서 일차 항

x,

는 영차 항

1.

보다 작지 않다. 그리고

x=2,

에서 이차 항

2^3/3!=4/3,\,

조차도 영차 항보다 크다.

고차 근사값은 존재하며 현실을 더 잘 이해하고 설명하는 데 매우 중요하지만, 일반적으로 숫자로 언급되지는 않는다.

위의 내용을 이어가면, 4개의 데이터 포인트를 완벽하게 맞추려면 3차 근사가 필요하며, 그 외에도 마찬가지이다. 다항식 보간법을 참조하라.

3. 구어적 용법

'''일차 근사''' 또는 '''일차 근사로'''와 같은 구문은 ''수량의 대략적인 근사값''을 나타낼 수 있다.^[1]^[2] '''영차 근사로'''라는 구문은 ''엉뚱한 추측''을 나타낸다.^[3]

''근사 차수''라는 표현은 때때로 유효 숫자의 개수를 의미하거나, 정확도가 증가하는 순서, 또는 차수를 의미하는 데 사용되기도 한다. 그러나 이러한 격식적인 표현이 도함수의 차수를 직접적으로 나타내는 것이 아니므로 혼란을 야기할 수 있다.

급수 전개의 선택은 현상을 조사하는 데 사용되는 과학적 방법에 따라 달라진다. '''근사 차수'''라는 표현은 지정된 구간에서 함수의 점진적으로 더 정교한 근사를 나타낼 것으로 예상된다. 근사 차수의 선택은 연구 목적에 따라 달라진다. 알려진 해석적 표현을 단순화하여 새로운 응용 프로그램을 고안하거나, 반대로, 데이터 점에 곡선을 맞추려고 할 수 있다. 높은 차수의 근사가 항상 낮은 차수의 근사보다 더 유용한 것은 아니다. 예를 들어, 수량이 전체 구간 내에서 상수이면, 이를 이차 테일러 급수로 근사해도 정확도가 증가하지 않는다.

매끄러운 함수의 경우, ''n''차 근사는 이 차수로 테일러 급수를 절단하여 얻는 차수가 ''n''인 다항식이다. ''근사 차수''의 격식적인 사용은 급수의 일부 항을 생략하는 것에 해당하며, 이는 전개에 사용된다. 이는 정확도에 영향을 미친다. 오류는 일반적으로 구간 내에서 변한다. 따라서 위에 사용된 용어 (''영차'', ''일차'', ''이차'' 등)는 백분율 오차 또는 유효 숫자에 대한 정보를 직접적으로 제공하지 않는다.

이 용어들은 또한 과학자들과 기술자들이 구어로 중요하지 않아 무시할 수 있는 현상을 묘사하는 데 사용되기도 한다. 예를 들어, "물론 지구의 자전은 우리의 실험에 영향을 미치지만, 그 효과가 너무 고차여서 측정할 수 없을 것입니다." 또는 "이 속도에서는 상대성이 연간 보정에서만 신경 쓰는 4차 효과입니다."와 같이 사용될 수 있다. 이러한 사용법에서 근사치의 차수는 정확하지 않지만, 그 중요하지 않음을 강조하는 데 사용된다. 사용된 숫자가 높을수록 효과는 덜 중요하다. 이 용어는 이 맥락에서 전체 주제와 비교했을 때 매우 작다고 추론되는 효과를 설명하기 위해 필요한 높은 수준의 정밀도를 나타낸다. 차수가 높을수록 효과를 측정하는 데 더 많은 정밀도가 필요하며, 따라서 전체 측정에 비해 효과가 작다는 것을 의미한다.

4. 한국 사회에서의 함의 (선택 사항)

주어진 원본 소스에는 '근삿값의 순서'라는 수학적 개념에 대한 설명만 있을 뿐, 한국 사회와의 연관성을 찾을 수 있는 내용은 없다. 따라서 '한국 사회에서의 함의' 섹션에는 작성할 내용이 없다.

4. 1. 주의사항

격식 있는 표현에서 "영차 근사", "일차 근사", "이차 근사" 등은 급수 전개에서 가장 높은 지수를 나타내는 고정된 구문으로 사용된다.^[1]^[2] '''영차 근사'''라는 표현도 흔히 사용되며, '''일차 근사''' 또는 '''일차 근사로'''와 같은 구문은 ''수량의 대략적인 근사값''을 나타낼 수 있다.^[3] '''영차 근사로'''라는 구문은 ''엉뚱한 추측''을 나타낸다.

''근사 차수''라는 표현은 때때로 부정확하게 유효 숫자의 개수를 의미하거나, 정확도가 증가하는 순서, 또는 차수를 의미하는 데 사용될 수 있다. 그러나 이러한 표현은 도함수의 차수를 직접적으로 나타내는 것이 아니므로 혼란을 야기할 수 있다.

급수 전개의 선택은 현상을 조사하는 데 사용되는 과학적 방법에 따라 달라진다. '''근사 차수'''라는 표현은 지정된 구간에서 함수의 점진적으로 더 정교한 근사를 나타낼 것으로 예상된다. 근사 차수의 선택은 연구 목적에 따라 달라지며, 높은 차수의 근사가 항상 낮은 차수의 근사보다 더 유용한 것은 아니다. 예를 들어, 수량이 전체 구간 내에서 상수이면, 이를 이차 테일러 급수로 근사해도 정확도가 증가하지 않는다.

매끄러운 함수의 경우, ''n''차 근사는 이 차수로 테일러 급수를 절단하여 얻는 차수가 ''n''인 다항식이다. ''근사 차수''의 격식적인 사용은 급수의 일부 항을 생략하는 것에 해당하며, 이는 전개에 사용된다. 이는 정확도에 영향을 미친다.

예를 들어, 지수 함수의 테일러 급수 전개에서,

e^x=\underbrace{1}_{0^\text{th}}+\underbrace{x}_{1^\text{st}}+\underbrace{\frac{x^2}{2!}}_{2^\text{nd}}+\underbrace{\frac{x^3}{3!}}_{3^\text{rd}} + \underbrace{\frac{x^4}{4!}}_{4^\text{th}} + \ldots\;,

영차 항은

1;

일차 항은

x,

이차 항은

x^2/2,

등이다.

|x|<1,

이면 각 고차 항은 이전 항보다 작지만,

x=1,

에서 일차 항

x,

는 영차 항

1.

보다 작지 않고,

x=2,

에서는 이차 항

2^3/3!=4/3,\,

조차도 영차 항보다 크다.

''0차 근사''는 과학자들이 처음 대략적인 답을 얻기 위해 사용하는 용어이며, 많은 단순화된 가정이 이루어진다. 예를 들어, 실제로는 3,914명의 주민이 있는 마을에 대해 "그 마을에는 '''수천 명'''의 주민이 있다"라고 말하는 경우이다.

함수의 0차 근사는 상수이거나 기울기가 없는 평평한 선이다. 예를 들어:

x	y	y ~ f(x)
[0, 1, 2]	[3, 3, 5]	3.67

데이터 포인트는 측정 결과를 나타내며, 유클리드 기하학의 점과는 다르다. 따라서 입력 데이터에 유효 숫자가 하나만 있는데 출력에 세 개의 유효 숫자를 포함하는 평균 값을 인용하는 것은 허위 정밀도의 예로 인식될 수 있다.

''1차 근사''는 과학자들이 약간 더 나은 답에 사용하는 용어이다.^[3] 예를 들어 "마을에는 ''4천''명의 주민이 있다"와 같이 유효 숫자가 한 자리인 답이 종종 주어진다. 함수의 1차 근사는 기울기를 가진 선형 근사, 즉 1차 다항식이 된다. 예를 들어:

x	y	y ~ f(x)
[0.00, 1.00, 2.00]	[3.00, 3.00, 5.00]	x + 2.67

''2차 근사''는 과학자들이 괜찮은 품질의 답을 얻기 위해 사용하는 용어이며, 유효 숫자 2개 이상("도시에 ''3900''명의 주민이 있다")의 답이 일반적으로 주어진다. 함수의 2차 근사는 이차 다항식, 기하학적으로 포물선, 즉 차수 2의 다항식이 된다. 예를 들어:

x	y	y ~ f(x)
[0.00, 1.00, 2.00]	[3.00, 3.00, 5.00]	x^2 - x + 3

고차 근사값은 존재하며 현실을 더 잘 이해하고 설명하는 데 매우 중요하지만, 일반적으로 숫자로 언급되지는 않는다. 과학자들과 기술자들은 구어로 중요하지 않아 무시할 수 있는 현상을 묘사하는 데 사용하기도 한다.

참조

_[1] 서적 first approximation Webster's Third New International Dictionary, Könemann
_[2] 웹사이트 to a first approximation http://www.webster-d[...]
_[3] 웹사이트 to a zeroth approximation http://www.webster-d[...]

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