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동치 관계

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목차

1. 개요

동치 관계는 집합 X 위의 이항 관계이며, 반사적, 대칭적, 추이적 관계를 만족한다. 동치 관계는 집합을 동치류로 분할하며, 몫집합을 형성한다. 동치 관계는 수학의 여러 분야에서 활용되며, 몫집합은 새로운 수학적 대상을 구성하는 데 사용된다.

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  • 관계 (수학) - 이항 관계
    이항 관계는 순서쌍을 원소로 가지는 집합으로, 두 원소 간의 관계를 정의하며, 집합 X와 Y의 데카르트 곱의 부분집합으로 표현되고, 다양한 연산과 성질을 가지며 여러 분야에서 활용된다.
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동치 관계
정의
정의어떤 집합의 원소들 사이의 이항 관계의 일종으로, 특정 성질을 공유하는 원소들을 묶어 같은 '무리'로 취급할 수 있도록 하는 관계이다.
성질
반사성모든 a에 대해, a ~ a이다.
대칭성만약 a ~ b이면, b ~ a이다.
추이성만약 a ~ b이고 b ~ c이면, a ~ c이다.
동치류
정의집합 X 위의 동치 관계 ~ 에 대한 X의 원소 a의 동치류는 a와 동치인 X의 모든 원소의 집합이다.
표기[a] 또는 a/R
몫집합
정의X를 집합이라 하고 ~를 X 위의 동치 관계로 놓는다. ~에 의한 X의 몫집합은 ~에 대한 X의 모든 동치류의 집합이다.
표기X/~ 또는 X/R
예시
합동 관계정수 집합에서의 법 n에 대한 합동 관계
평행 관계유클리드 공간에서 직선의 평행 관계
위상 동형 관계위상 공간 사이의 위상 동형 관계
활용
추상화동치 관계는 특정 성질을 공유하는 원소들을 추상화하여 새로운 수학적 객체를 정의하는 데 사용된다.
분류동치 관계는 집합의 원소들을 서로 겹치지 않는 동치류로 분류하는 데 사용된다.
참고
분할동치 관계는 집합의 분할을 유도하고, 반대로 집합의 분할은 동치 관계를 유도한다.
준동형 정리군 준동형 사상은 군의 몫군을 정의하는 데 사용되며, 이는 동치 관계의 중요한 응용이다.

2. 정의

집합 X 위의 이항 관계 \sim가 다음 세 조건을 만족시키면 동치 관계라고 한다.


  • ('''반사 관계''') 임의의 x\in X에 대하여, x\sim x
  • ('''대칭 관계''') 임의의 x,y\in X에 대하여, 만약 x\sim y라면, y\sim x
  • ('''추이적 관계''') 임의의 x,y,z\in X에 대하여, 만약 x\sim y이고 y\sim z라면 x\sim z


관계 \,\sim\,를 가진 X는 setoid라고 한다.

관계 대수에서, R\subseteq X\times Y이고 S\subseteq Y\times Z가 관계일 때, 합성 관계 SR\subseteq X\times Z는 x \, R \, y이고 y \, S \, z가 되도록 하는 y\in Y가 있을 경우에만 x \, SR \, z가 되도록 정의된다.[3] 이 정의는 함수적 합성의 정의를 일반화한 것이다. 집합 X에 대한 동치 관계 R의 정의는 다음과 같이 재구성할 수 있다.

  • \operatorname{id} \subseteq R (반사율). (여기서, \operatorname{id}는 X에 대한 항등 함수를 나타낸다.)
  • R=R^{-1} (대칭성).
  • RR\subseteq R (추이성).[4]


핵 (대수학), Kernel (set theory)영어에서 사상 f의 '''동치핵'''(''equivalence kernel'') 또는 f에 '''부수하는 동치 관계'''는 x\sim y \iff f(x) = f(y)로 정의되는 관계 \sim를 말한다.

2. 1. 동치류와 몫집합

equivalence class영어인 동치류는 주어진 집합에서 특정 원소와 동치인 모든 원소들의 집합을 의미한다. 집합 X 위에 동치 관계 \sim이 주어졌을 때, 원소 x\in X의 동치류 [x]_\sim는 다음과 같이 정의된다.

:[x]_\sim=\{y\in X\colon x\sim y\}

즉, [x]_\sim는 x와 동치인 X의 모든 원소 y를 포함한다.

예를 들어, 집합 X = \{a, b, c\}에 대해 관계 R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}가 동치 관계일 때, 이 관계의 동치류는 다음과 같다.[26]

  • [a] = \{a\}
  • [b] = [c] = \{b, c\}


quotient set영어인 몫집합은 주어진 집합 위의 동치 관계에 대한 모든 동치류들의 집합이다. X의 \sim에 대한 몫집합 X/{\sim}은 다음과 같이 정의된다.

:X/{\sim}=\{[x]_\sim\colon x\in X\}

위의 예시에서 R에 대한 모든 동치류의 집합, 즉 몫집합은 \{\{a\}, \{b, c\}\}이다. 이 집합은 X의 분할이며, R에 의한 X의 몫집합이라고도 불린다.

만약 X가 위상 공간이라면, X / \sim을 위상 공간으로 변환하는 자연스러운 방법이 있으며, 자세한 내용은 ''몫 공간''을 참조하면 된다.

\sim의 ''프로젝션''은 \pi(x) = [x]로 정의되는 함수 \pi : X \to X/\mathord{\sim}이며, 이는 X의 원소를 \sim에 의해 해당 동치류로 매핑한다. 프로젝션에 대한 정리는 다음과 같다.

  • 함수 f : X \to B가 a \sim b이면 f(a) = f(b)를 만족하는 경우, f = g \pi를 만족하는 유일한 함수 g : X / \sim \to B가 존재한다. 만약 f가 전사 함수이고 a \sim b \text{ if and only if } f(a) = f(b)이면, g는 전단사 함수이다.


집합 S의 동치 관계 \sim로부터 정해지는 모든 동치류를 모은 집합을, 집합 S를 '''동치 관계''' \sim'''로 나눈 집합''', 또는 S의 \sim에 의한 '''몫집합'''이라고 하며,

:S/{\sim} := \{[x] \mid x \in S\}로 나타낸다.

집합 S의 원소에 대해 그것이 속하는 동치류를 대응시킴으로써, S에서 몫집합으로의 자연스러운 전사

:\pi\colon S \twoheadrightarrow S/{\sim};\ x \mapsto [x]가 주어진다. 이것을 동치 관계 \sim에 부수하는 '''몫사상''' 또는 '''표준 사영'''이라고 한다.

표준 사영의 보편성은 다음과 같다.

  • 사상 f: X \to B가 a \sim b이면 f(a) = f(b)를 만족하는 경우, 몫집합으로부터의 사상 g: X/{\sim} \to B로 f=g\circ\pi (\pi는 표준 사영)를 만족하는 것이 유일하게 존재한다. 또한, f가 전사이고 a \sim b \Leftrightarrow f(a) = f(b)를 만족할 때, g는 전단사가 된다.

2. 2. 모임의 경우

체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서는 모임 위에서도 동치 관계, 동치류, 몫집합을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 그대로 가져오면 된다. 다만, 모임 X 위의 동치 관계는 곱모임 X^2의 부분 모임이 되는데, 이는 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의하면, 동치류들을 개별적으로 다루는 데는 문제가 없지만, 동치류들이 고유 모임이 될 수 있으므로 동치류들의 모임을 정의하는 것은 불가능하다. 즉, X/{\sim}을 정의하기 위해서는 동치류가 집합이 되도록 수정해야 한다.[26]

모임 X 위에 동치 관계 {\sim}\subseteq X^2가 주어졌다고 가정하자. 원소 x\in X에 대하여, 다음과 같이 정의한다.[26]

:[x]'_\sim=\{y\in X\colon x\sim y\land(\forall z\in X\colon x\sim z\implies\operatorname{rank}y\le\operatorname{rank}z)\}

즉, [x]'_\sim는 x와 동치인 원소 중에서, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. 이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 이유는 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다. 이 최소 계수를 \alpha라고 하면, [x]'_\sim는 집합 V_{\alpha+1}의 부분 모임이므로 집합이 된다. 따라서, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.[26]

:(X/{\sim})'=\{[x]'\colon x\in X\}

3. 표기법

두 원소 a와 b가 동치 관계 R에 대해 동치임을 나타내는 데는 다양한 표기법이 사용된다. 가장 일반적인 표기법은 R이 암시적일 때 사용되는 "a \sim b" 및 "a \equiv b"이며, R을 명시적으로 나타내기 위해 "a \sim_R b", "a \equiv_R b" 또는 "{a\mathop{R}b}"와 같은 변형이 사용된다. 비동치는 "a \nsim b" 또는 "a \not\equiv b"로 표기할 수 있다.

4. 성질

집합 X 위의 이항 관계 \sim가 반사적, 대칭적, 추이적이면 동치 관계라고 한다. 즉, X의 모든 원소 a, b, c에 대해 다음이 성립한다.


  • 반사성: a \sim a (반사 관계)
  • 대칭성: a \sim b이면 b \sim a (대칭 관계)
  • 추이성: a \sim b이고 b \sim c이면 a \sim c (추이 관계)


\sim 관계를 갖는 X는 setoid라고 한다. a의 동치류는 [a]로 표시하며, [a] = \{x \in X : x \sim a\}.로 정의된다.[1][2]

관계 대수에서 R\subseteq X\times Y이고 S\subseteq Y\times Z가 관계일 때, 합성 관계 SR\subseteq X\times Z는 x \, R \, y이고 y \, S \, z인 y\in Y가 존재할 때만 x \, SR \, z가 되도록 정의된다.[3] 이는 함수적 합성의 정의를 일반화한 것이다. 집합 X에 대한 동치 관계 R의 정의는 다음과 같이 재구성할 수 있다.

  • \operatorname{id} \subseteq R (반사 관계). (\operatorname{id}는 X에 대한 항등 함수)
  • R=R^{-1} (대칭 관계)
  • RR\subseteq R (추이 관계)[4]


X 위의 동치 관계 \sim에서 P(x)가 X의 원소에 대한 속성이고, x \sim y일 때 P(y)가 참이면 P(x)도 참일 때, 속성 P는 관계 \sim 하에서 잘 정의된다고 한다.

f가 X에서 다른 집합 Y로의 함수일 때, x_1 \sim x_2이면 f(x_1) = f(x_2)인 경우 f는 \sim에 대한 불변량이라고 한다. 이는 유한군의 문자론에서 발생한다. 함수 f를 포함하는 경우 가환 삼각형으로 표현할 수 있다. 불변량도 참조하라.

일반적으로 함수는 (동치 관계 \sim_A에서) 동치인 인수를 (동치 관계 \sim_B에서) 동치인 값으로 매핑할 수 있다. 이러한 함수는 \sim_A에서 \sim_B로의 사상이라고 한다.

집합 X 위의 동치 관계 \sim에 대해, 표준적인 전사 함수 X\to X/{\sim} (x\mapsto[x])가 존재한다.

4. 1. 집합의 분할과의 관계

집합 X 위의 동치 관계들과 X의 분할 사이에는 일대일 대응이 존재한다.[7][8][9]

  • 집합 X 위에 동치 관계 \sim이 주어졌을 때, 몫집합 X/{\sim}은 집합의 분할이다. 즉, X의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다.
  • 반대로, 집합 X의 분할 \mathcal P가 주어졌을 때, X 위에 다음과 같은 이항 관계 \sim_{\mathcal P}를 정의할 수 있다.

:x\sim_{\mathcal P}y\iff\exists A\in P\colon x,y\in A\qquad(x,y\in X)

:이때 \sim_{\mathcal P}는 X 위의 동치 관계이다.

{\sim}\mapsto X/{\sim}과 \mathcal P\mapsto{\sim}_{\mathcal P}는 서로 역함수 관계이다. 즉,

:{\sim}_{X/{\sim}}={\sim}

:X/{\sim}_{\mathcal P}=\mathcal P

이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.

''X''의 분할의 각 원소(세포)는 ~에 의한 ''X''의 동치류와 같다. ''X''의 각 원소는 ''X''의 임의의 분할에서 유일한 한 원소에만 속하고, 분할의 각 원소는 ~에 의한 ''X''의 동치류와 동일하므로, ''X''의 각 원소는 ~에 의한 ''X''의 유일한 동치류에 속한다. 따라서 ''X''의 모든 동치 관계의 집합과 ''X''의 모든 분할의 집합 사이에는 자연스러운 전단사가 존재한다.[20][21][22]

유한 집합 ''X''가 ''n''개의 원소를 가질 때, ''X''에 대한 모든 동치 관계는 ''X''의 분할과 일대일 대응하고, 그 반대도 성립한다. 따라서 ''X''에 대한 동치 관계의 개수는 ''X''의 서로 다른 분할의 개수와 같으며, 이는 ''n''번째 벨 수 ''Bn''이다.

:B_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!} \quad (도빈스키 공식).

4. 2. 순서론적 성질

집합 X 위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 \operatorname{Eq}(X)는 완비 격자이다. \operatorname{Eq}(X)의 최소 원소는 (X로 국한된) 등호 =이며, 최대 원소는 전체 관계 X^2\subseteq X^2이다.

동치 관계 격자 \operatorname{Eq}(X)는 항상 대수적 격자(algebraic lattice영어)이자 반모듈러 격자(semimodular lattice영어)이다. 유한 집합 X의 경우, \operatorname{Eq}(X)는 단순 격자(simple lattice영어, 합동 관계가 자명한 격자)이다.

만약 \sim과 \approx가 동일한 집합 S에 대한 두 개의 동치 관계이고, 모든 a, b \in S에 대해 a \sim b가 a \approx b를 의미한다면, \approx는 \sim보다 더 '''조잡한''' 관계라고 하며, \sim은 \approx보다 더 '''세밀한''' 관계라고 한다.

동치류의 관점에서 보면,

  • \sim 가 \approx 보다 세밀하다는 것은, \sim 에 관한 임의의 동치류가 \approx 에 관한 적당한 동치류의 부분 집합이 될 때를 말한다.


상등 관계는 임의의 집합 위에서 가장 강한 동치 관계이며, 자명 관계[23]는 가장 약한 동치 관계이며, 임의의 두 원소는 서로 동치가 된다.

고정된 집합에 대한 모든 동치 관계의 집합에서 "\sim은 \approx보다 세밀하다" 관계는 부분 순서 관계이며, 이는 해당 집합을 기하 격자로 만든다.[10]

5. 예


  • 등식은 임의의 집합에서 동치 관계이다. 예를 들어, 숫자 집합에서 \tfrac{1}{2}는 \tfrac{4}{8}과 같다.[2]
  • 평면 또는 입체 도형들의 집합에서 닮음 관계는 동치 관계이다. 모든 삼각형의 집합에서 "닮음"과 도형의 닮음 관계는 앞뒷면, 방향, 크기의 비율 차이를 무시하고 도형의 "형태"로서는 동일하다.
  • 모든 삼각형의 집합에서 "합동"과 도형의 합동 관계는 위치, 앞뒷면, 방향의 차이를 무시하고 도형으로서 동일하다.
  • 함수 f\colon X\to Y가 주어졌을 때, f의 정의역 X의 원소에서 "f 아래에서 같은 상을 갖는다"는 관계는 동치 관계이다. 예를 들어 모든 사람의 집합에서 "생일이 같다"는 관계가 동치관계이다.
  • 자연수 n이 주어졌을 때, 정수에서 "모듈로 n에 대해 합동이다"는 동치 관계이다.[2]
  • 실수 집합에서 "절댓값이 같다"는 동치 관계이다.
  • 모든 각도의 집합에서 "코사인이 같다"는 동치 관계이다.
  • 직선의 평행 관계는 아핀 평면 내의 직선이 교차하지 않거나 일치한다(기울기가 동일하다).
  • 양의 비례 관계는 증가하는 정도, 감소하는 정도의 비율로서는 동일하다.
  • 정수의 합동 관계는 어떤 수로 나눈 나머지가 동일하다.
  • 집합의 농도의 대등 "관계"는 집합의 내용은 별개로 하고, 집합의 크기로서는 동일하다.
  • 명제가 동치라는 "관계"는 2개의 명제에 있어서, 참과 거짓 (진리값)이 동일하거나 서로 상대방을 증명할 수 있다.
  • 상선형 공간(상벡터 공간), 잉여군(잉여류군, 상군), 상위상 공간 등은 각각 적절한 동치 관계에 의한 몫집합(에 적절한 구조를 부여한 것)으로 정의된다.

5. 1. 잉여류

정수 전체의 집합 '''Z'''에 대해, ''a''와 ''b''의 차 ''a'' - ''b''가 3의 배수일 때에만 ''a'' ≡ ''b''라는 관계 ≡를 정하면, 이는 동치 관계가 된다.[1]

이 관계에 의해 집합 '''Z'''는 세 개의 동치류(이 경우, 잉여류라고도 불린다)로 분할된다.[1] 각각의 동치류는 3으로 나누어 떨어지는 것 전체 [0], 1이 남는 것 전체 [1], 2가 남는 것 전체 [2]에 대응한다.[1]

이 몫집합은 보통 '''Z'''/3'''Z'''으로 표기되며, 자연스럽게 연산이 정의되어 덧셈에 관한 아벨 군이 되고, 더 나아가 곱셈을 도입하여 가환환(잉여류환)이 된다.[1] 또한, ''p''가 소수일 때 '''Z'''/''p'''''Z'''는 체(유한체)가 된다.[1]

6. 반례

임의의 집합 X 위에서, 공집합 관계 \varnothing\subseteq X^2는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나 X\ne\varnothing이라면 이는 반사 관계가 아니다.

정수의 집합 \mathbb Z 위의 표준적인 순서 x\le y\iff\exists z\in\mathbb Z_{\ge0}\colon y=x+z는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, 0\le1이지만, 1\not\le0이다.

정수 집합 \mathbb Z 위의 이항 관계 (x,y)\in R\iff y=x+1\lor y=x-1는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.

실수 간의 관계 "≥"는 반사적이고 추이적이지만 대칭적이지 않다. 예를 들어 7 ≥ 5이지만 5 ≥ 7은 아니다.

1보다 큰 자연수 간의 관계 "1보다 큰 공약수를 갖는다"는 반사적이고 대칭적이지만 추이적이지 않다. 예를 들어, 자연수 2와 6은 1보다 큰 공약수를 갖고, 6과 3도 1보다 큰 공약수를 갖지만, 2와 3은 1보다 큰 공약수를 갖지 않는다.

집합 ''X''에 대한 공집합 관계 ''R'' (''aRb''가 절대 참이 되도록 정의되지 않음)는 무의미하게 대칭적이고 추이적이지만, ''X'' 자체가 비어 있지 않은 한 반사적이지 않다.

실수 간의 관계 "대략 같음"은, 더 정확하게 정의되더라도, 동치 관계가 아니다. 왜냐하면 반사적이고 대칭적이지만, 여러 작은 변화가 축적되어 큰 변화가 될 수 있기 때문에 추이적이지 않기 때문이다. 그러나 근사치가 점근적으로 정의되면, 예를 들어 두 함수 ''f''와 ''g''가 어떤 점에서 ''f − g''의 극한이 0이면 그 점 근처에서 대략 같다고 말한다면, 이는 동치 관계를 정의한다.

7. 다른 이항 관계와의 관계


  • 반순서 관계는 반사적이고, 반대칭적이며 추이적인 이항 관계이다.
  • 등호는 동치 관계이면서 반순서 관계이다. 등호는 또한 집합에서 반사적, 대칭적이며 반대칭적인 유일한 관계이다.
  • 강순서 관계는 비반사적이고, 추이적이며, 비대칭 관계인 이항 관계이다.
  • 부분 동치 관계는 추이적이고 대칭적인 관계이다. 이러한 관계는 전체 관계일 경우에만 반사적이다.[5] 따라서, 동치 관계는 대칭적이고, 추이적이며 전체적인 관계로 대체 정의될 수 있다.
  • 삼진 동치 관계는 일반적인 (이진) 동치 관계의 삼진 아날로그이다.
  • 반사적이고 대칭적인 관계는 (유한한 경우) 의존 관계이며, 무한한 경우 관용 관계이다.
  • 전순서 관계는 반사적이고 추이적인 관계이다.
  • 합동 관계는 그 영역 X가 또한 대수 구조의 기본 집합이고, 추가적인 구조를 존중하는 동치 관계이다. 일반적으로, 합동 관계는 준동형 사상의 커널 역할을 하며, 합동 관계에 의한 구조의 몫을 형성할 수 있다. 많은 중요한 경우에, 합동 관계는 정의된 구조의 부분 구조로 대체 표현을 가진다 (예: 그룹에 대한 합동 관계는 정규 부분군에 해당한다).
  • 임의의 동치 관계는 불가 관계의 부정이며, 고전 수학(구성 수학과 대조적으로)에서만 역 명제가 성립한다. 이는 배중률과 동치이기 때문이다.
  • 반사적이고 왼쪽(또는 오른쪽) 유클리드적인 각 관계는 또한 동치 관계이다.

8. 응용


  • 임의의 집합 X가 주어졌을 때, 모든 함수 X \to X의 집합 [X \to X]에 대한 동치 관계는 두 함수가 해당 고정점 집합의 기수가 같을 때, 즉 순열에서 길이가 1인 사이클에 해당할 때 동치로 간주하여 얻을 수 있다.
  • 집합 X에 대한 동치 관계 \,\sim\,는 전사 함수 사영 \pi : X \to X / \sim의 동치 커널이다.[11] 반대로, 집합 간의 임의의 전사 함수는 그 정의역에 대한 분할, 즉 공역의 단일 집합들의 역상 집합을 결정한다. 따라서 X에 대한 동치 관계, X의 분할, 그리고 정의역이 X인 사영은 동일한 것을 지정하는 세 가지 동등한 방법이다.
  • ''X''에 대한 임의의 동치 관계 집합 (이항 관계를 X \times X의 부분 집합으로 간주)의 교집합 역시 동치 관계이다. 이는 동치 관계를 생성하는 편리한 방법을 제공한다. 즉, ''X''에 대한 임의의 이항 관계 ''R''이 주어지면, ''R''에 의해 생성된 동치 관계는 ''R''을 포함하는 모든 동치 관계의 교집합이다 (또한 ''R''을 포함하는 가장 작은 동치 관계로 알려져 있다). 구체적으로, ''R''은 다음과 같은 동치 관계를 생성한다.

:a \sim b는 자연수 n과 x_0, \ldots, x_n \in X가 존재하여 a = x_0, b = x_n이고, i = 1, \ldots, n에 대해 x_{i-1} \mathrel{R} x_i 또는 x_i \mathrel{R} x_{i-1}인 경우에 해당한다.

:이러한 방식으로 생성된 동치 관계는 자명할 수 있다. 예를 들어, ''X''에 대한 임의의 전순서에 의해 생성된 동치 관계는 정확히 하나의 동치 클래스, 즉 ''X'' 자체를 갖는다.

  • 동치 관계는 "사물을 함께 접착"하여 새로운 공간을 구성할 수 있다. ''X''를 단위 데카르트 곱 [0, 1] \times [0, 1]로 하고, ~를 모든 a \in [0, 1]에 대해 (a, 0) \sim (a, 1)이고 모든 b \in [0, 1]에 대해 (0, b) \sim (1, b)로 정의된 ''X''에 대한 동치 관계라고 하면, 몫 공간 X / \sim은 자연스럽게 토러스와 동일시될 수 있다. 종이 한 장을 가져와서 위쪽과 아래쪽 가장자리를 구부리고 붙여서 원통을 만들고, 그 다음 결과로 생긴 원통을 구부려서 두 개의 열린 끝을 붙여 토러스를 만드는 과정을 생각하면 된다.
  • 수학의 상당 부분은 동치 관계와 순서 관계 연구에 기반을 두고 있다. 격자 이론은 순서 관계의 수학적 구조를 포착한다. 동치 관계는 순서 관계만큼이나 수학에서 흔하지만, 동치 관계의 대수적 구조는 순서 관계의 대수적 구조만큼 널리 알려져 있지 않다. 전자의 구조는 주로 군론과, 덜 중요하지만 격자 이론, 범주론, 그리고 군체에 의존한다.
  • 정수 전체의 집합 에 대해, 와 의 차 가 의 배수일 때에만 라는 관계 를 정하면, 이는 동치 관계가 된다.
  • 이 관계에 의해 집합 는 세 개의 동치류(이 경우, ''잉여류''라고도 불린다)로 분할된다. 각각의 동치류는 으로 나누어 떨어지는 것 전체 , 이 남는 것 전체 , 가 남는 것 전체 에 대응한다.
  • 이 상집합은 보통 으로 표기되며, 자연스럽게 연산이 정의되어 덧셈에 관한 아벨 군, 더 나아가 곱셈을 도입하여 가환환이 된다(잉여류환). 또한, 가 소수일 때 는 체(유한체)가 된다.
  • 비슷한 예로, 상선형 공간(상벡터 공간), 잉여군(잉여류군, 상군), 잉여환(상환), 상위상 공간 등은 각각 적절한 동치 관계에 의한 상집합(에 적절한 구조를 부여한 것)으로 정의된다.

9. 일반화

범주론에서 동치 관계는 여등화자의 개념으로 일반화된다. 범주의 사상의 '''여등화자'''란 대상과 사상의 쌍으로, 를 만족하고, 다음의 보편성을 갖는 것이다. 대상 와 사상 의 쌍이 있어서, 를 만족한다면, 다음의 도식을 가환으로 만드는 사상 가 단 하나 존재한다.[25]

집합 위에 동치 관계 가 주어졌다고 하자. 로 놓고, 사상 를 , 로 정의하면, 몫집합 와 표준 사영 의 쌍은 집합의 범주에서의 과 의 여등화자이다.

10. 동치 관계와 수학적 논리

동치 관계는 모형 이론에서 예시나 반례를 제공하는 데 유용하다. 예를 들어, 정확히 두 개의 무한 동치류를 가진 동치 관계는 ω-범주적이지만 더 큰 기수에 대해서는 범주적이지 않은 이론의 쉬운 예이다.

모형 이론에 따르면 관계를 정의하는 속성이 서로 독립적이라는 것을 증명할 수 있다. 이는 각 속성에 대해 주어진 속성을 만족하지 않으면서 다른 모든 속성을 만족하는 관계의 예시를 찾을 수 있을 때에만 가능하다. 따라서 동치 관계를 정의하는 세 가지 속성은 다음 세 가지 예시를 통해 상호 독립적임을 증명할 수 있다.


  • '''반사적이고 추이적''': '''N'''상의 관계 ≤ (전순서).
  • '''대칭적이고 추이적''': '''N'''상의 관계 ''R'' (''aRb'' ↔ ''ab'' ≠ 0). 또는 모든 부분 동치 관계.
  • '''반사적이고 대칭적''': '''Z'''상의 관계 ''R'' (''aRb'' ↔ "''a'' − ''b''가 2 또는 3 중 적어도 하나로 나누어떨어진다."). 또는 모든 종속 관계.


동치 관계가 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있는 일계 논리에서 정의 가능한 속성은 다음과 같다.

  • 동치류의 수가 유한 또는 무한.
  • 동치류의 수가 (유한한) 자연수 ''n''과 같음.
  • 모든 동치류가 무한한 기수를 가짐.
  • 각 동치류의 원소의 수가 자연수 ''n''임.

11. 한국 사회와 동치 관계

한국 사회에서 동치 관계는 다양한 사회 현상을 이해하고 분석하는 데 적용될 수 있다. 예를 들어, 사회 집단 간의 관계, 정치적 이념의 유사성, 문화적 동질성 등을 동치 관계로 설명할 수 있다.

참조

[1] 웹사이트 Equivalence Class https://mathworld.wo[...] 2020-08-30
[2] 웹사이트 7.3: Equivalence Classes https://math.librete[...] 2020-08-30
[3] 문서 Sometimes the composition SR\subseteq X\times Z is instead written as R;S, or as RS; in both cases, R is the first relation that is applied. See the article on [[Composition of relations#Notational variations|Composition of relations]] for more information.
[4] 서적 Naive Set Theory Springer
[5] 문서 "''If:'' Given a, let a \sim b hold using totality, then b \sim a by symmetry, hence a \sim a by transitivity. — ''Only if:'' Given a, choose b = a, then a \sim b by reflexivity."
[6] 간행물 Algebra Chelsea
[7] 간행물 Groups, Rings and Fields Springer-Verlag
[8] 간행물 Abstract Algebra John Wiley & Sons
[9] 간행물 Introduction to Set Theory Marcel Dekker
[10] 간행물 Lattice Theory American Mathematical Society
[11] 간행물 Algebra Chelsea
[12] 간행물
[13] 간행물 Laws and Symmetry Oxford Univ. Press
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[15] 간행물 Groups, Rings and Fields Springer-Verlag
[16] 간행물 Groups, Rings and Fields Springer-Verlag
[17] 간행물 Abstract Algebra John Wiley & Sons
[18] 간행물 Galois theories Cambridge University Press
[19] 간행물 Algebra Chelsea
[20] 간행물 Groups, Rings and Fields Springer-Verlag
[21] 간행물 Abstract Algebra John Wiley & Sons
[22] 간행물 Introduction to Set Theory Marcel Dekker
[23] 웹사이트 Trivial_Relation https://proofwiki.or[...]
[23] 웹사이트 Trivial_Relation_is_Equivalence https://proofwiki.or[...]
[24] 간행물 Lattice Theory American Mathematical Society
[25] 서적 Category theory https://books.google[...] Oxford University Press
[26] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer 2003


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