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디랙 괄호

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목차

1. 개요

디랙 괄호는 2종 구속을 가진 계에서 물리량을 계산하기 위해 푸아송 괄호를 일반화한 개념이다. 해밀턴 역학에서 제약 조건이 있는 시스템의 시간 변화를 올바르게 기술하며, 정준 양자화를 적용할 때 연산자의 교환자를 계산하는 데 사용된다. 디랙 괄호는 1종과 2종 구속의 개념을 바탕으로 정의되며, 특히 2종 구속을 갖는 시스템에서 시간 변화를 계산하고 양자역학으로의 전환을 가능하게 한다. 디랙 괄호는 강한 자기장 내 입자의 운동, 부분다양체에 구속된 입자의 운동, 초구 위의 자유 운동 등 다양한 물리적 상황을 설명하는 데 활용된다.

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디랙 괄호
디랙 괄호
유형수학, 물리학
분야해밀턴 역학, 양자역학
정의
정의디랙 괄호는 제약이 있는 해밀턴 시스템을 다루는 데 사용되는 양자화 방법이다.

2. 정의

폴 디랙이 고안한 디랙 괄호는 해밀턴 역학에서 푸아송 괄호를 일반화한 개념이다. 이는 특히 구속constraint영어이 있는 물리계를 다룰 때 중요한 역할을 하는데, 그중에서도 2종 구속(second-class constraint)이 존재하는 경우 필수적으로 사용된다.[7]

일반적인 해밀턴 계는 위상 공간, 해밀토니언, 그리고 푸아송 괄호 연산으로 기술된다. 하지만 많은 물리계는 변수들 사이에 추가적인 관계식, 즉 구속 조건이 존재한다. 이러한 구속 조건은 계가 움직일 수 있는 상태 공간을 제한한다.

구속 조건은 크게 1종 구속(first-class constraint)과 2종 구속으로 나눌 수 있다. 1종 구속은 주로 계의 게이지 대칭성과 관련이 있는 반면, 2종 구속은 물리적인 자유도를 직접적으로 줄이는 역할을 한다. 표준적인 푸아송 괄호는 2종 구속 조건과 함께 사용할 경우 이론적인 모순을 일으킬 수 있다. 예를 들어, 2종 구속 조건을 양자화할 때 표준적인 정준 양자화 절차를 따르면 불가능한 결과가 도출되기도 한다.

디랙 괄호는 이러한 문제를 해결하기 위해 푸아송 괄호를 수정한 것이다. 이는 2종 구속 조건을 포함하는 계에서도 일관된 동역학을 기술하고, 정준 양자화를 가능하게 하는 수학적 도구이다. 디랙 괄호는 2종 구속과의 연산 결과가 항상 0이 되도록 정의되어, 구속 조건과 동역학 방정식 사이의 모순을 제거한다.

2. 1. 구속된 해밀턴 계

해밀턴 계 (M,\omega,H)가 주어졌다고 가정하자. 여기서 심플렉틱 다양체 (M,\omega)는 계의 위상 공간을 나타내고, H는 계의 해밀토니언이다. M 위의 매끄러운 함수들의 대수를 \mathcal C^\infty(M)이라고 표기한다. 심플렉틱 구조 \omega에 의해 다음과 같은 푸아송 괄호가 정의된다.

:\{f,g\}=(\omega^{-1})^{\mu\nu}\partial_\mu f\partial_\nu g

이 해밀턴 계 위에 주어진 '''구속'''(constraint영어) \Phi\subset\mathcal C^\infty(M)는 다음의 조건을 만족하는 매끄러운 함수들의 집합이다.

  • \Phi는 \mathcal C^\infty(M)의 아이디얼이면서 동시에 \mathcal C^\infty(M)에 대한 자유 가군이다. 이를 구체적으로 설명하면 다음과 같다.
  • 임의의 함수 f\in\mathcal C^\infty(M)와 임의의 구속 \phi\in\Phi에 대해, 그 곱 f\phi 역시 구속 \Phi에 속한다.
  • 임의의 두 구속 \phi, \phi'\in\Phi에 대해, 그 합 \phi+\phi' 역시 구속 \Phi에 속한다.
  • \Phi에는 기저 \{\phi^i\}_{i\in I}\subset\Phi가 존재한다. 이는 \Phi에 속하는 임의의 구속 \phi를 \phi = \sum_i u_i \phi^i (u_i \in \mathcal C^\infty(M)) 형태로 표현할 수 있음을 의미한다. (표현의 유일성은 요구되지 않는다.)
  • (일관성 조건) 쌍대가군 \Phi^*=\hom(\Phi,\mathcal C^\infty(M))의 어떤 원소 u\in\Phi^*가 존재하여, \Phi에 속하는 모든 \phi에 대해 다음 식이 구속된 상태 공간 \tilde M 위에서 성립한다.

:(\{\phi,H\}+u_i\{\phi,\phi^i\})|_{\tilde M}=0

여기서 \tilde M은 '''구속된 상태 공간'''으로, 모든 구속 조건을 만족하는 상태들의 집합을 의미한다.

:\tilde M=\{x\in M|\phi^i(x)=0\ \forall i\in I\}

2. 2. 1종 및 2종 구속

해밀토니언 역학에서 구속 조건(\phi_i=0)이 있는 시스템을 다룰 때, 이 구속 조건들은 두 종류로 나눌 수 있다. 이는 폴 디랙이 개발한 해밀토니언 구속 이론의 핵심 개념이다.

'''1종 구속'''(first-class constraint영어)은 다른 모든 구속 조건과의 푸아송 괄호가 (구속 조건을 만족하는 위상 공간 위에서) 0이 되는 구속 조건을 말한다.[7] 수학적으로 표현하면, 구속 조건의 집합을 \Phi라고 할 때, 1종 구속 \phi_1 \in \Phi는 다음 조건을 만족한다.

:\{\phi_1, \Phi\} \approx 0

여기서 \{\cdot, \cdot\}는 푸아송 괄호를 의미하며, \approx 0은 구속 조건 \Phi=0을 만족하는 위상 공간의 부분 공간(구속 초곡면) 위에서 0이 됨을 의미한다(약한 동등성, weakly equal).

1종 구속은 중요한 특징을 가지는데, 우선 해밀토니언 H와 가환한다.

:\{\phi_1, H\} \approx 0

이는 1종 구속 조건이 시스템의 동역학 아래에서 시간에 따라 변하지 않음을 의미한다 (일관성 조건). 또한, 1종 구속은 게이지 변환의 생성자로 여겨진다.[7] 이는 1종 구속이 물리적으로 의미 없는 자유도, 즉 게이지 자유도와 관련되어 있음을 시사한다.

'''2종 구속'''(second-class constraint영어)은 1종 구속이 아닌 구속 조건을 말한다. 즉, 적어도 하나의 다른 구속 조건과의 푸아송 괄호가 0이 아닌 구속 조건이다.[7]

:\{\phi_2, \phi'\} \not\approx 0 \quad (\text{for some } \phi' \in \Phi)

2종 구속은 시스템의 위상 공간 차원을 물리적으로 줄이는 역할을 한다. 2종 구속이 존재하면 표준적인 정준 양자화 절차를 직접 적용하기 어렵게 만든다. 예를 들어, 두 개의 2종 구속 \phi_a, \phi_b가 \{\phi_a, \phi_b\}_{PB} = c \neq 0 (상수) 관계를 만족한다고 하자. 양자화하면 연산자 \hat{\phi}_a, \hat{\phi}_b는 [\hat{\phi}_a, \hat{\phi}_b] = i\hbar c 라는 교환 관계를 만족해야 한다. 하지만 구속 조건에 따라 물리적 상태 |\psi\rangle에 대해서는 \hat{\phi}_a |\psi\rangle = 0 이고 \hat{\phi}_b |\psi\rangle = 0 이어야 하므로, [\hat{\phi}_a, \hat{\phi}_b] |\psi\rangle = 0 이 되어야 한다. 이는 i\hbar c \neq 0 이므로 모순이다.

이러한 문제를 해결하고 2종 구속이 있는 시스템을 일관되게 다루기 위해 디랙은 푸아송 괄호를 수정한 디랙 괄호를 도입했다. 2종 구속들의 푸아송 괄호로 구성된 행렬 M_{ab} = \{\tilde{\phi}_a, \tilde{\phi}_b\}_{PB} (여기서 \tilde{\phi}_a는 2종 구속)은 디랙 괄호를 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다. 디랙 괄호는 2종 구속과의 괄호 연산 결과가 항상 0이 되도록 정의되어, 양자화 과정에서의 모순을 해결한다.

2. 3. 디랙 괄호

폴 디랙이 고안한 디랙 괄호는 해밀턴 역학에서 푸아송 괄호를 일반화한 것으로, 특히 구속 조건(constraint)이 있는 계, 그중에서도 2종 구속(second-class constraint)을 다룰 때 사용된다.[7] 구속 조건 하에서 일반적인 푸아송 괄호를 사용하면 물리적으로 모순된 결과가 나올 수 있는데, 디랙 괄호는 이러한 문제를 해결하고 일관된 이론을 전개할 수 있게 해준다.

구속 조건은 계의 동역학을 설명하는 변수들 사이에 존재하는 관계식으로, 크게 1종 구속(first-class constraint)과 2종 구속으로 나뉜다. 어떤 함수 f(q, p)가 모든 구속 조건 \phi_j와의 푸아송 괄호가 (구속 조건을 만족하는 상태에서) 0이 되면, 즉 \{f, \phi_j\}_{PB} \approx 0 이면, 이 함수 f 또는 구속 조건 \phi_j를 1종이라고 한다. 1종 구속은 보통 계의 게이지 대칭성과 관련이 있다.[7] 반면, 다른 구속 조건과의 푸아송 괄호가 0이 아닌 구속 조건을 2종 구속이라고 한다.

예를 들어, 두 개의 2종 구속 \phi_1과 \phi_2가 있고, 이들의 푸아송 괄호가 0이 아닌 상수 c라고 하자.

:\{\phi_1, \phi_2\}_{PB} = c \neq 0

이를 정준 양자화하면, 연산자 \hat{\phi}_1과 \hat{\phi}_2의 교환자는 다음과 같이 주어진다.

:[\hat{\phi}_1, \hat{\phi}_2] = i\hbar \{\phi_1, \phi_2\}_{PB} = i\hbar c

그런데 구속 조건은 물리적인 상태에 작용하면 0이 되어야 한다 (\hat{\phi}_1 |\psi\rangle = 0, \hat{\phi}_2 |\psi\rangle = 0). 하지만 위 교환자 관계식의 우변은 0이 아니므로 (i\hbar c \neq 0), 모순이 발생한다. 이는 일반적인 푸아송 괄호와 정준 양자화 절차를 2종 구속이 있는 계에 직접 적용할 수 없음을 보여준다.

이러한 문제를 해결하기 위해 디랙 괄호 \{,\}_{DB}가 도입된다. 계의 모든 2종 구속들을 \tilde{\phi}_a라고 하고, 이들 사이의 푸아송 괄호로 행렬 M_{ab} = \{\tilde{\phi}_a, \tilde{\phi}_b\}_{PB}를 정의하자. 이 행렬 M은 항상 가역적임이 알려져 있다. 그러면 임의의 두 함수 f와 g에 대한 디랙 괄호는 다음과 같이 정의된다.

:\{f, g\}_{DB} = \{f, g\}_{PB} - \sum_{a, b}\{f,\tilde{\phi}_a\}_{PB} (M^{-1})_{ab}\{\tilde{\phi}_b,g\}_{PB}

여기서 (M^{-1})_{ab}는 행렬 M의 역행렬의 (a, b) 성분이다.

디랙 괄호는 다음과 같은 중요한 성질을 만족한다.

  • 쌍선형성과 반대칭성을 가진다.
  • 야코비 항등식을 만족한다.
  • 구속 조건이 없는 경우 푸아송 괄호와 일치한다.
  • 임의의 함수 f와 2종 구속 \tilde{\phi}_a 사이의 디랙 괄호는 항상 0이다. 즉, \{f, \tilde{\phi}_a\}_{DB} = 0 이다.


마지막 성질 덕분에 디랙 괄호를 사용하면 2종 구속 조건과 양립하는 일관된 동역학을 기술할 수 있다. 구속된 해밀턴 계 (M, \omega, H, \Phi)에서 임의의 함수 f의 시간 변화 \dot f는 디랙 괄호를 이용하여 다음과 같이 주어진다.

:\dot f = \{f, H\}_{DB}

여기서 H는 계의 해밀토니안이다. 이 정의에 따르면, 1종 구속과 2종 구속 모두 해밀토니안과의 디랙 괄호가 0이 되어 (\{\phi, H\}_{DB} = 0), 구속 조건을 만족하는 상태는 시간이 지나도 계속 구속 조건을 만족하게 된다.

구속된 계를 정준 양자화할 때, 고전적인 푸아송 괄호 대신 디랙 괄호를 사용한다. 즉, 연산자 \hat{f}와 \hat{g}의 교환자는 다음과 같이 주어진다.

:[\hat{f}, \hat{g}] = i\hbar \{f, g\}_{DB}

이렇게 하면 2종 구속 조건과 양립하는 일관된 양자 이론을 구축할 수 있다. 디랙 괄호는 게이지 이론이나 끈 이론과 같이 구속 조건이 중요한 역할을 하는 현대 물리학 이론에서 필수적인 도구로 사용된다.

3. 일반화된 해밀턴 절차

해밀턴 역학의 표준적인 전개 방식은 특정 상황에서는 부적절할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 경우이다.

# 라그랑지안이 적어도 하나의 좌표에 대한 속도에 대해 최대 선형일 때. 이 경우, 정준 운동량의 정의 자체가 constraint|'''구속'''영어으로 이어진다. 이는 디랙 괄호를 사용하는 가장 흔한 이유 중 하나이며, 모든 페르미온에 대한 라그랑지안(밀도)이 이런 형태를 띤다.

# 게이지 자유도나 다른 비물리적인 자유도가 있어 이를 고정해야 할 때.

# 위상 공간에서 부과하려는 다른 제약 조건이 있을 때.

일반적으로 해밀턴 계는 심플렉틱 다양체 (M,\omega)와 해밀토니언 H로 구성된다. 여기서 (M,\omega)는 계의 위상 공간이고, H는 해밀토니언이다. 심플렉틱 구조 \omega는 푸아송 괄호 \{f,g\}=(\omega^{-1})^{\mu\nu}\partial_\mu f\partial_\nu g를 정의한다. 계에 주어진 constraint|'''구속'''영어 \Phi는 특정 조건을 만족하는 매끄러운 함수들의 집합이다. 이 구속들을 모두 만족시키는 상태들의 집합을 '''구속된 상태 공간''' \tilde M=\{x\in M|\phi(x)=0\forall \phi\in\Phi\}이라고 한다.

고전역학의 한 예시로, 전하 q와 질량 m을 가진 입자가 강하고 균일하며 수직인 자기장 내에서 x-y 평면에 갇혀 있고, 자기장은 z 방향으로 세기 B를 갖는 경우를 살펴보자.[4] 이 시스템의 라그랑지안은 적절한 매개변수 선택을 통해 다음과 같이 표현된다.

: L = \tfrac{1}{2}m\vec{v}^2 + \frac{q}{c}\vec{A}\cdot\vec{v} - V(\vec{r}),

여기서 \vec{A}는 자기장 \vec{B}의 벡터 포텐셜이고, c는 진공에서의 빛의 속도이며, V(\vec{r})는 외부 스칼라 포텐셜이다. 벡터 포텐셜로 \vec{A} = \frac{B}{2}(x\hat{y} - y\hat{x})를 사용하면, 라그랑지안은 다음과 같다.

: L = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \frac{qB}{2c}(x\dot{y} - y\dot{x}) - V(x, y) ~.

이는 다음과 같은 운동 방정식을 이끈다.

: m\ddot{x} = - \frac{\partial V}{\partial x} + \frac{q B}{c}\dot{y}

: m\ddot{y} = - \frac{\partial V}{\partial y} - \frac{q B}{c}\dot{x}.

이제 매우 큰 자기장, 즉 qB/mc \gg 1인 극한을 생각하여 운동 에너지를 무시하면 다음과 같은 근사 라그랑지안을 얻을 수 있다.

: L = \frac{qB}{2c}(x\dot{y} - y\dot{x}) - V(x, y)~.

이 라그랑지안은 속도 \dot{x}, \dot{y}에 대해 선형적이며, 이는 표준 해밀턴 절차가 적용되지 않는 경우에 해당한다. 이 근사 라그랑지안으로부터 얻어지는 1차 운동 방정식은 다음과 같다.

: \dot{y} = \frac{c}{q B}\frac{\partial V}{\partial x}

: \dot{x} = -\frac{c}{q B}\frac{\partial V}{\partial y}~.

표준적인 해밀턴 절차를 따라 정준 운동량을 계산하면,

: p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = -\frac{q B}{2c}y

: p_y = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = \frac{q B}{2c}x ~,

이는 속도의 함수가 아니라 좌표의 함수로 주어진다. 즉, p_x와 y, p_y와 x 사이에 관계가 생겨 4차원 위상 공간 (x, y, p_x, p_y)의 변수들이 선형적으로 종속적이게 된다. 이는 위상 공간에 대한 '''구속'''이 발생했음을 의미한다.

르장드르 변환을 통해 "순진한" 해밀토니안을 구하면,

: H(x,y, p_x, p_y) = \dot{x}p_x + \dot{y} p_y - L = V(x, y).

이 해밀토니안은 운동량 p_x, p_y에 의존하지 않으므로, 해밀턴 방정식을 통해 올바른 운동 방정식을 유도할 수 없다. 예를 들어, \dot{x} = \partial H / \partial p_x = 0 이고 \dot{y} = \partial H / \partial p_y = 0 이 되어 입자가 움직이지 않는다는 잘못된 결론에 도달한다.

이처럼 표준적인 해밀턴 절차가 실패하는 이유는 정준 운동량의 정의가 위상 공간에 대한 구속 조건을 내포하고 있기 때문이다. 이러한 구속 조건을 체계적으로 다루기 위해 디랙에 의해 개발된 일반화된 해밀턴 절차가 필요하며, 이것이 디랙 괄호 이론의 핵심이다. 이 절차에서는 구속 조건을 명시적으로 다루고, 해밀토니안을 수정하여 일관된 동역학을 기술한다. 상세한 절차는 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 라그랑주 승수와 유사성

라그랑주 역학에서, 계가 홀로노믹 구속을 가지는 경우, 일반적으로 라그랑주 승수를 라그랑지안에 더하여 이를 고려한다. 추가 항들은 구속이 충족될 때 사라지므로, 정지 작용의 경로는 구속 표면에 놓이게 된다. 이 경우, 해밀턴 형식으로 넘어가면 해밀턴 역학에서 ''위상 공간''에 대한 구속이 도입되지만, 해결책은 유사하다.

진행하기 전에, '''약한 등식'''과 '''강한 등식'''의 개념을 이해하는 것이 유용하다. 위상 공간에서 두 함수 ''f''와 ''g''가 구속이 충족될 때만 같고, ''위상 공간 전체에서는 같지 않을 경우'', 즉 f \approx g로 표기될 때 약하게 같다고 한다. ''f''와 ''g''가 구속의 충족 여부와 관계없이 같을 경우, 강하게 같다고 하며 f = g로 표기한다. 올바른 답을 얻기 위해서는 ''미분 또는 푸아송 괄호를 평가하기 전에 약한 등식을 사용할 수 없다''는 점에 유의해야 한다.

새로운 절차는 다음과 같이 작동한다. 라그랑지안으로 시작하여 일반적인 방식으로 정준 운동량을 정의한다. 이러한 정의 중 일부는 가역적이지 않을 수 있으며, 대신 위상 공간에 constraint|구속영어을 제공한다. 이러한 방식으로 유도되거나 문제의 시작부터 부과된 구속을 '''1차 구속'''이라고 한다. 구속은 \phi_j로 표시되며, 약하게 사라져야 한다, \phi_j(p,q) \approx 0.

다음으로, 위의 예제와 정확히 동일하게 르장드르 변환을 통해 일반적인 방식으로 '''단순 해밀토니안''' ''H''를 찾는다. 속도를 운동량의 함수로 역전시킬 수 없는 경우에도 해밀토니안은 항상 q와 p의 함수로만 쓸 수 있다.

디랙(Dirac)은 해밀토니안을 (라그랑주 승수법과 다소 유사하게) 다음과 같이 일반화해야 한다고 주장한다.

:H^* = H + \sum_j c_j\phi_j \approx H,

여기서 c_j는 상수 대신 좌표와 운동량의 함수이다. 이 새로운 해밀토니안이 단순 해밀토니안과 약하게 같은 좌표와 운동량의 가장 일반적인 함수이므로, H^*는 \delta\phi_j \approx 0일 때 \delta H^* \approx \delta H가 되도록 하는 가장 광범위한 해밀토니안의 일반화이다.

c_j를 더 명확히 하기 위해, 표준 절차에서 단순 해밀토니안으로부터 운동 방정식을 어떻게 얻는지 생각해 보자. 해밀토니안의 변화를 두 가지 방식으로 전개하여 같게 설정한다(지수와 합을 생략한 다소 축약된 표기법 사용).

:\delta H = \frac{\partial H}{\partial q}\delta q + \frac{\partial H}{\partial p}\delta p \approx \dot{q}\delta p - \dot{p}\delta q ~,

여기서 두 번째 등식은 오일러-라그랑주 운동 방정식과 정준 운동량의 정의로 단순화된 후에 성립한다. 이 등식으로부터, 해밀토니안 형식의 운동 방정식은 다음으로부터 추론된다.

:\left(\frac{\partial H}{\partial q} + \dot{p}\right)\delta q + \left(\frac{\partial H}{\partial p} - \dot{q}\right)\delta p = 0 ~,

약한 등호 기호는 정의상 운동 방정식이 약하게만 성립하므로 더 이상 명시적으로 표시되지 않는다. 현재 상황에서, 변화는 제약 조건에 의해 어느 정도 제한되므로 \delta q와 \delta p의 계수를 단순히 따로 0으로 설정할 수 없다. 특히, 변화는 제약 표면에 접해야 한다.

다음 해의 해가

:\sum_n A_n\delta q_n + \sum_n B_n\delta p_n = 0,

제약 조건 \phi_j \approx 0에 의해 제한된 \delta q_n과 \delta p_n의 변화에 대해 (제약 조건이 일부 정칙 조건을 만족한다고 가정) 일반적으로[5]

:A_n = \sum_m u_m \frac{\partial \phi_m}{\partial q_n}

:B_n = \sum_m u_m \frac{\partial \phi_m}{\partial p_n},

여기서 u_m은 임의의 함수이다.

이 결과를 사용하면 운동 방정식은 다음과 같다.

:\dot{p}_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j} - \sum_k u_k \frac{\partial \phi_k}{\partial q_j}

:\dot{q}_j = \frac{\partial H}{\partial p_j} + \sum_k u_k \frac{\partial \phi_k}{\partial p_j}

:\phi_j(q, p) = 0,

여기서 u_k는 위 운동 방정식의 두 번째 방정식으로부터 원칙적으로 결정될 수 있는 좌표와 속도의 함수이다.

라그랑지안 형식과 해밀토니안 형식 간의 르장드르 변환은 새로운 변수를 추가하는 대가로 유지되었다.

3. 2. 일관성 조건

푸아송 괄호를 사용하여 좌표와 운동량의 함수 f의 시간 변화는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\dot{f} \approx \{f, H^*\}_{PB} \approx \{f, H\}_{PB} + \sum_k u_k\{f, \phi_k\}_{PB}

여기서 H^* = H + \sum_j c_j\phi_j는 확장된 해밀토니언이고, \phi_k는 계의 구속들이다. u_k는 구속 \phi_k에 대응하는 계수이다.

이 형식이 물리적으로 의미를 가지려면, 제약 조건 자체가 시간에 따라 변하지 않아야 한다. 즉, 제약 조건은 운동 방정식을 만족해야 하며, 이는 제약 조건의 시간 미분이 (약하게) 0이어야 함을 의미한다. 이를 일관성 조건이라고 한다.

:\dot{\phi_j} \approx \{\phi_j, H\}_{PB} + \sum_k u_k\{\phi_j,\phi_k\}_{PB} \approx 0

이 일관성 조건으로부터 다음 네 가지 유형의 결과가 나올 수 있다.[5]

# 1=0과 같이 명백히 거짓인 방정식. 이는 초기 라그랑지언이 일관되지 않은 운동 방정식을 제공함을 의미한다.

# 기존 제약 조건을 사용하면 항등적으로 참이 되는 방정식. 이는 새로운 정보를 주지 않는다.

# 계수 u_k와는 독립적이면서, 좌표와 운동량에 대한 새로운 제약 조건을 부과하는 방정식. 이렇게 유도된 제약 조건을 '''이차 제약 조건'''이라고 한다. 이차 제약 조건이 발견되면, 이를 확장된 해밀토니언에 추가하고 다시 일관성 조건을 확인해야 한다. 이 과정은 더 이상 새로운 제약 조건이 나오지 않을 때까지 반복된다.

# 계수 u_k를 결정하는 데 사용되는 방정식.

모든 제약 조건(1차 및 2차)을 찾고 일관성 조건을 통해 u_k를 결정하는 과정을 마쳤을 때, 만약 u_k가 완전히 결정되지 않는 경우가 있다. 이는 시스템에 비물리적인 게이지 자유도가 존재함을 의미한다. 이 경우, u_k는 다음 형태의 비동차 선형 방정식의 해이다.

:\{\phi_j, H\}_{PB} + \sum_k u_k\{\phi_j,\phi_k\}_{PB} \approx 0

이 방정식은 최소한 하나의 해를 가져야 하며 (그렇지 않으면 시스템이 비일관적임), 게이지 자유도가 있다면 해는 유일하지 않다. 가장 일반적인 해는 다음과 같은 형태를 가진다.

:u_k = U_k + V_k

여기서 U_k는 위 방정식의 특정한 해이고, V_k는 다음 동차 방정식의 가장 일반적인 해이다.

:\sum_k V_k\{\phi_j,\phi_k\}_{PB}\approx 0

V_k는 동차 방정식의 선형 독립 해들의 선형 결합으로 표현된다. 선형 독립 해의 개수는 제약 조건의 수에서 u_k를 결정하는 독립적인 일관성 조건(위의 4번째 유형)의 수를 뺀 것과 같다. 이 수가 바로 시스템의 비물리적 자유도의 수이다. 선형 독립 해를 V^a_k (여기서 a는 1부터 비물리적 자유도의 수까지)라고 하면, u_k의 일반 해는 다음과 같다.

:u_k \approx U_k + \sum_a v_a V^a_k

여기서 v_a는 시간에 대한 임의의 함수이다. v_a의 다른 선택은 게이지 변환에 해당하며, 시스템의 물리적 상태를 바꾸지 않는다.[6]

3. 3. 전체 해밀토니안

일관성 조건을 통해 미정 계수 u_k를 결정할 수 있다. 이 조건은 u_k에 대한 비동차 선형 방정식 계를 형성한다.

:

\sum_k u_k\{\phi_j,\phi_k\}_{PB} \approx -\{\phi_j, H\}_{PB}.



위 방정식은 적어도 하나의 해를 가져야 한다. 그렇지 않으면 초기 라그랑지언이 일관성이 없기 때문이다. 그러나 게이지 자유도를 가진 시스템에서는 해가 유일하지 않다. 가장 일반적인 해는 다음과 같은 형태를 가진다.

:

u_k = U_k + V_k,



여기서 U_k는 위 비동차 방정식의 특정한 해이고 V_k는 해당 동차 방정식에 대한 가장 일반적인 해이다.

:

\sum_k V_k\{\phi_j,\phi_k\}_{PB}\approx 0.



가장 일반적인 해는 위 동차 방정식에 대한 선형 독립 해들의 선형 결합일 것이다. 선형 독립 해의 수는 u_k의 개수(제약 조건의 수와 동일)에서 네 번째 유형의 일관성 조건의 수(이전 하위 섹션에서 설명한 u_k를 지정하는 데 사용되는 방정식의 수)를 뺀 것과 같다. 이것이 시스템 내에서 비물리적 자유도의 수이다. 선형 독립 해에 V^a_k의 레이블을 지정하고, 여기서 지수 a는 1에서 비물리적 자유도의 수까지 실행되는데, 일관성 조건에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형태를 가진다.

:

u_k \approx U_k + \sum_a v_a V^a_k,



여기서 v_a는 시간에 대해 완전히 임의적인 함수이다. v_a의 다른 선택은 시스템의 게이지 변환에 해당하며, 이는 시스템의 물리적 상태를 변화시키지 않아야 한다.[6]

이 시점에서, '''total Hamiltonian|전체 해밀토니안영어''' H_T를 도입하는 것이 자연스럽다.

:

H_T = H + \sum_k U_k\phi_k + \sum_{a, k} v_a V^a_k \phi_k.



그리고 다음과 같이 H'를 표시한다.

:

H' = H + \sum_k U_k \phi_k.



위상 공간에서 함수 f의 시간 진화는 전체 해밀토니안 H_T와의 푸아송 괄호로 주어진다.

:

\dot{f} \approx \{f, H_T\}_{PB}.



게이지 불변량(물리적으로 측정 가능한 양)에 대해, 모든 해밀토니안(H, H^*, H_T, H')은 동일한 시간 진화를 나타내야 한다. 왜냐하면 그들은 모두 약하게 동등하기 때문이다. 구별이 중요해지는 것은 게이지 불변량이 아닌 양에 대해서만이다.

4. 디랙 괄호

해밀턴 역학에서 제약 조건이 있는 시스템, 특히 제2종 제약 조건을 포함하는 시스템을 다룰 때 표준적인 푸아송 괄호는 이론의 일관성을 해칠 수 있다. 예를 들어, 제2종 제약 조건은 자기 자신 또는 다른 제약 조건과의 푸아송 괄호가 0이 아닐 수 있는데, 이는 정준 양자화 과정에서 모순을 일으킬 수 있다. 이러한 문제를 해결하고 제약 조건을 만족시키면서 해밀턴 동역학을 기술하고 양자화를 수행하기 위해 폴 디랙이 도입한 것이 '''디랙 괄호'''(Dirac bracket영어)이다.[7]

제2종 제약 조건들을 \tilde{\phi}_a (여기서 a는 제약 조건의 인덱스)라고 하자. 이 제약 조건들의 푸아송 괄호로 이루어진 행렬 M을 다음과 같이 정의한다.

:M_{ab} = \{\tilde{\phi}_a,\tilde{\phi}_b\}_{PB}

여기서 \{\cdot, \cdot\}_{PB}는 표준 푸아송 괄호를 나타낸다. 디랙은 이 행렬 M이 항상 가역적임을 보였다. 이 행렬의 역행렬 M^{-1}을 이용하여, 위상 공간의 임의의 두 함수 f와 g에 대한 디랙 괄호 \{f, g\}_{DB}는 다음과 같이 정의된다.

:\{f, g\}_{DB} = \{f, g\}_{PB} - \sum_{a, b}\{f,\tilde{\phi}_a\}_{PB} (M^{-1})_{ab}\{\tilde{\phi}_b,g\}_{PB}

여기서 (M^{-1})_{ab}는 역행렬 M^{-1}의 ab 성분이다.

디랙 괄호는 푸아송 괄호와 마찬가지로 쌍선형성, 반대칭성을 만족하며 야코비 항등식을 만족한다. 또한, 제약 조건이 없는 경우 표준 푸아송 괄호와 같아진다. 가장 중요한 성질은 임의의 함수 f와 제2종 제약 조건 \tilde{\phi}_a 사이의 디랙 괄호는 (약하게가 아닌 강하게) 0이라는 것이다.

:\{f, \tilde{\phi}_a\}_{DB} = 0

이는 디랙 괄호가 제2종 제약 조건과 양립 가능함을 의미한다.

제약된 해밀턴 시스템에서 물리량 f의 시간 변화는 디랙 괄호를 사용하여 다음과 같이 주어진다.

:\dot f=\{f,H\}_{\text{D}}

여기서 H는 시스템의 해밀토니안이다. 이 정의에 따르면, 제약 조건 자체는 시간에 따라 변하지 않는다. 즉, 제약 곡면 \tilde M 위에서 모든 제약 조건 \phi에 대해 다음이 성립한다.

:\{\phi,H\}_{\text{D}}|_{\tilde M}=0

특히 모든 제2종 제약 조건 \tilde{\phi}_a에 대해서는 \{\tilde{\phi}_a, H\}_{DB} = 0 이고, 제1종 제약 조건 \phi_1에 대해서는 \{\phi_1, H\}_{DB} = \{\phi_1, H\}_{PB} \approx 0 이 성립한다.

정준 양자화를 제약된 시스템에 적용할 때, 연산자의 교환자 관계는 푸아송 괄호 대신 디랙 괄호를 사용하여 다음과 같이 주어진다.

:[\hat{f}, \hat{g}] = i\hbar \{f, g\}_{DB}

디랙 괄호는 제약 조건을 내재적으로 존중하므로, 양자화 과정에서 발생하는 모순을 피할 수 있다.

4. 1. 제1종 및 제2종 제약 조건

해밀턴 역학에서 제약 조건이 있는 시스템을 다룰 때, '''약한 등식'''과 '''강한 등식'''의 개념을 구분하는 것이 중요하다. 두 함수 f와 g가 위상 공간에서 제약 조건이 만족될 때만 같다면 약하게 같다고 하고 f \approx g로 표기한다. 만약 제약 조건의 만족 여부와 관계없이 항상 같다면 강하게 같다고 하며 f = g로 표기한다. 중요한 점은 미분이나 푸아송 괄호를 계산하기 전에는 약한 등식을 사용할 수 없다는 것이다.

라그랑주 역학에서 해밀턴 역학으로 전환할 때, 정준 운동량의 정의가 가역적이지 않으면 위상 공간에 제약 조건이 발생한다. 이렇게 유도되거나 처음부터 주어진 제약 조건을 '''1차 구속'''이라고 하며, \phi_j(p, q) \approx 0와 같이 약하게 0이 되어야 한다.

제약 조건이 있는 시스템의 해밀토니언은 일반적으로 '''단순 해밀토니안''' H에 제약 조건 항들을 추가하여 일반화한다. 디랙은 다음과 같은 형태의 '''확장된 해밀토니안''' H^*를 제안했다.

:H^* = H + \sum_j c_j\phi_j \approx H

여기서 c_j는 좌표와 운동량의 함수이다. 이 확장된 해밀토니안을 사용하여 운동 방정식을 유도하면 다음과 같다.

:\dot{p}_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j} - \sum_k u_k \frac{\partial \phi_k}{\partial q_j} = \{p_j, H^*\}_{PB}

:\dot{q}_j = \frac{\partial H}{\partial p_j} + \sum_k u_k \frac{\partial \phi_k}{\partial p_j} = \{q_j, H^*\}_{PB}

:\phi_j(q, p) = 0

여기서 u_k는 특정 함수들이며, \{ \cdot, \cdot \}_{PB}는 푸아송 괄호를 나타낸다.

제약 조건은 그 성질에 따라 두 종류로 나뉜다. 어떤 함수 f(q, p)가 모든 제약 조건 \phi_j와의 푸아송 괄호가 약하게 0일 때, 즉 \{f, \phi_j\}_{PB} \approx 0을 만족할 때, 이 함수 f를 '''제1종'''(first-class영어)이라고 한다. 제약 조건 자체가 제1종인 경우, 이를 '''first-class constraint|제1종 제약 조건영어'''이라고 부른다. 제1종 제약 조건들의 집합 \Phi_1은 모든 제약 조건의 집합 \Phi에 대해 다음을 만족한다.

:\Phi_1=\{\phi_1\in\Phi\colon\{\phi_1,\Phi\}|_{\tilde M} \approx 0\}

여기서 |_{\tilde M}은 제약 조건이 만족되는 부분 공간(제약 곡면)에서의 계산을 의미한다. 모든 제1종 제약 조건은 해밀토니언과 약하게 가환하며(\{\Phi_1, H\}_{PB} \approx 0), 게이지 변환을 생성하는 역할과 밀접하게 관련되어 있다.[7] 두 제1종 양의 푸아송 괄호도 제1종이다.

제1종 제약 조건이 아닌 제약 조건을 '''second-class constraint|제2종 제약 조건영어'''이라고 한다. 즉, 제2종 제약 조건 \tilde{\phi}_a는 적어도 하나의 다른 제약 조건 \tilde{\phi}_b와의 푸아송 괄호가 0이 아니다 (\{\tilde{\phi}_a, \tilde{\phi}_b\}_{PB} \not\approx 0). 전체 제약 조건의 집합 \Phi는 제1종 제약 조건의 집합 \Phi_1과 제2종 제약 조건의 집합 \Phi_2의 합으로 나타낼 수 있다 (\Phi \cong \Phi_1 \oplus \Phi_2).

제2종 제약 조건이 있는 시스템을 정준 양자화할 때 문제가 발생할 수 있다. 예를 들어, 두 제2종 제약 조건 \phi_1, \phi_2가 \{\phi_1, \phi_2\}_{PB} = c \neq 0 (상수) 관계를 가진다고 하자. 양자화하면 연산자 \hat{\phi}_1, \hat{\phi}_2는 교환 관계 [\hat{\phi}_1, \hat{\phi}_2] = i\hbar c \neq 0를 만족해야 한다. 하지만 제약 조건은 물리적 상태에 작용할 때 0이 되어야 하므로(\hat{\phi}_1 |\psi\rangle = \hat{\phi}_2 |\psi\rangle = 0), [\hat{\phi}_1, \hat{\phi}_2] |\psi\rangle = 0이어야 하는데, 이는 i\hbar c \neq 0와 모순된다.

이러한 모순을 해결하기 위해 푸아송 괄호를 일반화한 디랙 괄호 \{ \cdot, \cdot \}_{DB}가 도입된다. 먼저 제2종 제약 조건들 \tilde{\phi}_a로부터 행렬 M을 다음과 같이 정의한다.

:M_{ab} = \{\tilde{\phi}_a, \tilde{\phi}_b\}_{PB}

디랙은 이 행렬 M이 항상 가역적임을 보였다. 이를 이용하여 두 함수 f, g의 디랙 괄호는 다음과 같이 정의된다.

:\{f, g\}_{DB} = \{f, g\}_{PB} - \sum_{a, b}\{f,\tilde{\phi}_a\}_{PB} (M^{-1})_{ab}\{\tilde{\phi}_b,g\}_{PB}

여기서 (M^{-1})_{ab}는 행렬 M의 역행렬의 ab 성분이다. 디랙 괄호는 쌍선형성, 반대칭성을 만족하고 야코비 항등식을 만족하며, 제약 조건이 없는 경우 푸아송 괄호와 같아진다. 또한, 정의상 모든 제2종 제약 조건 \tilde{\phi}_a와 임의의 함수 f의 디랙 괄호는 0이다 (\{f, \tilde{\phi}_a\}_{DB} = 0).

제약 시스템의 정준 양자화에서는 연산자의 교환자를 i\hbar 곱하기 푸아송 괄호 대신 i\hbar 곱하기 '''디랙 괄호'''로 대체한다. 이렇게 하면 제약 조건을 일관되게 다룰 수 있다.

참고로, 그라스만 수로 표현되는 페르미온 변수의 경우, 자기 자신과의 푸아송 괄호가 0이 아닐 수 있으며, 이로 인해 제2종 제약 조건의 개수가 홀수일 수도 있다.

4. 2. 디랙 괄호의 정의

해밀턴 역학에서 제약 조건이 있는 시스템을 다룰 때, 표준적인 푸아송 괄호는 일관된 결과를 주지 못할 수 있다. 특히 제2종 제약 조건이 있는 경우, 이를 해결하기 위해 푸아송 괄호를 일반화한 것이 디랙 괄호이다.

디랙 괄호를 이해하기 전에 '''약한 등식'''과 '''강한 등식'''의 개념을 아는 것이 유용하다. 위상 공간에서 두 함수 f와 g가 제약 조건이 만족될 때만 같고, 위상 공간 전체에서는 같지 않을 경우, 약하게 같다고 하며 f \approx g로 표기한다. 만약 f와 g가 제약 조건의 만족 여부와 관계없이 항상 같다면, 강하게 같다고 하며 f = g로 표기한다. 중요한 점은 미분이나 푸아송 괄호를 계산하기 전에는 약한 등식을 사용할 수 없다는 것이다.

제약 조건 \phi_j(q, p) \approx 0은 크게 두 종류로 나뉜다.

  • '''제1종 제약 조건''': 모든 제약 조건과의 푸아송 괄호가 약하게 0이 되는 제약 조건이다. 즉, 임의의 함수 f(q, p)가 모든 j에 대해 \{f, \phi_j\}_{PB} \approx 0를 만족하면 f는 제1종이다. 제1종 제약 조건은 주로 시스템의 게이지 변환과 관련된다.
  • '''제2종 제약 조건''': 제1종이 아닌 제약 조건, 즉 적어도 하나의 다른 제약 조건과의 푸아송 괄호가 0이 아닌 제약 조건이다. 제2종 제약 조건 \tilde{\phi}_a들의 푸아송 괄호로 행렬 M을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:M_{ab} = \{\tilde{\phi}_a,\tilde{\phi}_b\}_{PB}

디랙은 이 행렬 M이 항상 가역적임을 보였다.

이제 위상 공간의 임의의 두 함수 f와 g에 대한 '''디랙 괄호''' \{f, g\}_{DB}는 다음과 같이 정의된다.

:\{f, g\}_{DB} = \{f, g\}_{PB} - \sum_{a, b}\{f,\tilde{\phi}_a\}_{PB} (M^{-1})_{ab}\{\tilde{\phi}_b,g\}_{PB}

여기서 \{f, g\}_{PB}는 표준 푸아송 괄호이고, (M^{-1})_{ab}는 행렬 M의 역행렬의 ab 성분이다.

이 디랙 괄호는 다음과 같은 중요한 성질을 만족한다.

  • 쌍선형이고 반대칭이다.
  • 야코비 항등식을 만족한다.
  • 제약 조건이 없는 시스템에서는 표준 푸아송 괄호와 같다.
  • 가장 중요한 성질: 임의의 함수 f와 제2종 제약 조건 \tilde{\phi}_a 사이의 디랙 괄호는 강하게 0이다.

:\{f, \tilde{\phi}_a\}_{DB} = 0

이는 디랙 괄호가 제2종 제약 조건과 양립 가능함을 의미한다.

제약된 해밀토니안 시스템을 정준 양자화할 때, 연산자의 교환자는 i\hbar 곱하기 고전적인 푸아송 괄호 대신 디랙 괄호로 대체된다.

:[\hat{f}, \hat{g}] = i\hbar \{f, g\}_{DB}

디랙 괄호는 정의상 제약 조건을 만족시키므로, 양자화 과정에서 푸아송 괄호를 사용할 때처럼 약한 등식을 신경 써서 다룰 필요가 없다.

5. 예시

디랙 괄호의 적용을 보여주는 두 가지 주요 예시는 강한 자기장 속 입자의 운동과 초구와 같은 부분다양체에 구속된 입자의 운동이다.

첫 번째 예시는 고전역학에서 전하 ''q''와 질량 ''m''을 가진 입자가 강하고 균일한 수직 자기장 ''B'' 내에서 ''x''-''y'' 평면에 구속된 경우이다.[4] 매우 강한 자기장 극한(qB/mc \gg 1)에서는 운동 에너지를 무시할 수 있으며, 시스템은 속도에 선형적인 근사 라그랑지안으로 기술된다.

: L = \frac{qB}{2c}(x\dot{y} - y\dot{x}) - V(x, y)

이 라그랑지안으로부터 유도되는 정준 운동량 p_x와 p_y는 속도가 아닌 좌표 ''x'', ''y''의 함수가 되어 위상 공간에 다음과 같은 2종 구속 조건을 도입한다.

: \phi_1 = p_x + \tfrac{q B}{2c} y \approx 0, \qquad \phi_2 = p_y - \tfrac{q B}{2 c} x \approx 0

이 구속 조건들 사이의 푸아송 괄호는 \{\phi_1, \phi_2\}_{PB} = qB/c로 0이 아니므로 2종 구속이다. 이 시스템의 디랙 괄호는 다음과 같이 정의된다.

: \{f, g\}_{DB} = \{f, g\}_{PB} + \frac{c\varepsilon_{ab}}{q B} \{f, \phi_a\}_{PB}\{\phi_b, g\}_{PB}

여기서 \varepsilon_{ab}는 레비-치비타 기호이다. 주요 변수들 간의 0이 아닌 디랙 괄호는 다음과 같다.

: \{x, y\}_{DB} = -\frac{c}{q B}, \quad \{x, p_x\}_{DB} = \{y, p_y\}_{DB} = \tfrac{1}{2}, \quad \{p_x, p_y\}_{DB} = - \frac{q B}{4c}

정준 양자화를 통해 얻어지는 교환 관계는 다음과 같다.

: [\hat{x}, \hat{y}] = -i\frac{\hbar c}{q B}, \quad [\hat{x}, \hat{p}_x] = [\hat{y}, \hat{p}_y] = i\frac{\hbar}{2}, \quad [\hat{p}_x, \hat{p}_y] = -i\frac{\hbar q B}{4c}

좌표 연산자 \hat{x}와 \hat{y}가 교환하지 않는다는 사실([\hat{x}, \hat{y}] \neq 0)은 이 시스템이 비가환 기하학으로 기술되며, 위치에 대한 불확정성 원리가 존재함을 시사한다.

두 번째 예시는 초구 S^n 위에 구속된 자유 입자의 운동이다. n+1개의 좌표 x_i는 x_i x^i = 1이라는 구속 조건을 만족하며, 운동량 p_i는 x_i p^i = 0이라는 구속 조건을 만족한다. 이 시스템의 디랙 괄호는 다음과 같다.[8]

: \{x_i, x_j\}_{DB} = 0

: \{x_i, p_j\}_{DB} = \delta_{ij} -x_i x_j

: \{p_i, p_j\}_{DB} = x_j p_i - x_i p_j

이 경우, 2n+1개의 제약된 변수 (x_i, p_i)를 사용하는 디랙 괄호는 변수 일부를 제거하여 2n개의 비제약 변수로 만들고 일반적인 푸아송 괄호를 사용하는 것보다 더 간단하고 명료한 동역학 구조를 제공한다. 즉, 디랙 괄호는 더 많은 변수를 사용하는 대신 계산의 단순성과 표현의 우아함을 얻게 해준다.

5. 1. 강한 자기장에서의 비가환 기하학

심플렉틱 다양체 (M,\omega) 위에, 전하 q의 입자가 자기장 B_{\mu\nu}=B\omega_{\mu\nu}와 위치 에너지 V\colon M\to\mathbb R에 영향을 받는다고 가정하자.[11][12] 자기장이 매우 강하여 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 가정하면, 운동 에너지 항을 생략한 라그랑지언은 다음과 같다.

:L(x,\dot x)=qA_\mu\dot x^\mu-V(x)

여기서 A_\mu는 자기 퍼텐셜로, (dA)_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=B\omega_{\mu\nu}를 만족시킨다. 편의상 A_\nu=\frac12Bx^\mu\omega_{\mu\nu}로 놓으면, 라그랑지언은 다음과 같이 표현된다.

:L(x,\dot x)=\frac12qBx^\mu\dot x^\nu\omega_{\mu\nu}-V(x)

이 경우, 정준 운동량은 다음과 같다.

:p_\nu=\frac{\partial L}{\partial\dot x^\nu}=\frac12qBx^\mu\omega_{\mu\nu}

따라서 해밀토니언은 다음과 같다.

:H=p_\mu\dot x^\mu-L=V(x)

정준 운동량은 시간 도함수 \dot x, \dot y를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 구속 조건들이 존재한다.

:\phi_\nu=p_\nu-\frac12qBx^\mu\omega_{\mu\nu}=0

두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다.

:\{\phi_\mu,\phi_\nu\}=qB\omega_{\mu\nu}

이 행렬은 가역행렬이므로, 이들은 모두 2종 구속이며 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같이 정의된다.

:\{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+\frac1{qB}\{f,\phi_\mu\}\omega^{\mu\nu}\{\phi_\nu,g\}

특히, 좌표들 사이의 디랙 괄호는 다음과 같다.

:\{x^\mu,x^\nu\}_{\text{D}}=-\omega^{\mu\nu}/(qB)

이를 양자화하면 다음과 같은 교환 관계를 얻는다.

:[x^\mu,x^\nu]=-i\hbar \omega^{\mu\nu}/(qB)

이는 좌표들이 서로 교환하지 않음을 의미하며, 비가환 기하학을 나타낸다.

이 경우, 구속 조건에 따라 물리적 공간 M 자체가 사실상 위상 공간이 된다. 퍼텐셜 A_\mu가 대역적으로 존재한다면, 심플렉틱 구조 \omega_{\mu\nu}의 코호몰로지류 [\omega]\in H^2(M;\mathbb R)는 0이다. 따라서 기하학적 양자화를 따를 때 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량 g_{\mu\nu}가 심플렉틱 구조 \omega_{\mu\nu}와 호환된다면, 이 구조는 (거의) 켈러 구조를 이루어 기하학적 양자화가 가능하다. 다만, 퍼텐셜 V(x)의 양자화 순서는 모호해질 수 있다.

고전역학의 구체적인 예시로, 전하 q와 질량 m을 가진 입자가 강하고 균일하며 수직인 자기장 내에서 x-y 평면에 갇혀 있는 경우를 생각해보자. 자기장은 z 방향으로 세기 B를 가진다.[4]

이 시스템의 라그랑지언은 다음과 같다.

: L = \tfrac{1}{2}m\vec{v}^2 + \frac{q}{c}\vec{A}\cdot\vec{v} - V(\vec{r}),

여기서 \vec{A}는 자기장 \vec{B}의 벡터 포텐셜이고, c는 진공에서의 빛의 속도이며, V(\vec{r})는 외부 스칼라 포텐셜이다. z 방향의 균일하고 일정한 자기장 B에 해당하는 벡터 포텐셜로 \vec{A} = \frac{B}{2}(x\hat{y} - y\hat{x})를 사용할 수 있다. 여기서 모자 기호(\hat{x}, \hat{y})는 단위 벡터를 나타낸다.

명시적으로 라그랑지안은 다음과 같다.

:

L = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \frac{qB}{2c}(x\dot{y} - y\dot{x}) - V(x, y) ~,



이는 다음과 같은 운동 방정식을 이끈다.

:

m\ddot{x} = - \frac{\partial V}{\partial x} + \frac{q B}{c}\dot{y}



:

m\ddot{y} = - \frac{\partial V}{\partial y} - \frac{q B}{c}\dot{x}.



매우 강한 자기장 극한(qB/mc \gg 1)에서는 운동 에너지를 무시하여 다음과 같은 근사 라그랑지언을 얻을 수 있다.

:

L = \frac{qB}{2c}(x\dot{y} - y\dot{x}) - V(x, y)~,



이는 다음과 같은 1차 운동 방정식을 준다.

:

\dot{y} = \frac{c}{q B}\frac{\partial V}{\partial x}



:

\dot{x} = -\frac{c}{q B}\frac{\partial V}{\partial y}~.



이 근사 라그랑지언은 속도에 대해 선형적이므로 표준적인 해밀턴 절차를 바로 적용하기 어렵다.

해밀턴 절차에 따라 정준 운동량을 계산하면 다음과 같다.

:

p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = -\frac{q B}{2c}y



:

p_y = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = \frac{q B}{2c}x ~,



이 운동량들은 속도의 함수가 아니라 좌표의 함수로 주어지며, 이는 위상 공간 변수들 사이에 구속 조건이 존재함을 의미한다.

르장드르 변환을 통해 얻는 해밀토니언은 다음과 같다.

:

H(x,y, p_x, p_y) = \dot{x}p_x + \dot{y} p_y - L = V(x, y).



이 해밀토니언은 운동량에 의존하지 않으므로, 표준적인 해밀턴 방정식만으로는 일관된 운동 방정식을 얻을 수 없다. 이는 정준 운동량 정의에서 비롯된 구속 조건을 고려하지 않았기 때문이다.

이 문제를 해결하기 위해 디랙의 구속된 해밀토니언 형식을 사용한다. 해밀토니언 H = V(x, y)와 두 개의 1차 구속 조건은 다음과 같다.

:

\phi_1 = p_x + \tfrac{q B}{2c} y \approx 0,\qquad \phi_2 = p_y - \tfrac{q B}{2 c} x \approx 0.



여기서 \approx 0은 구속 조건이 위상 공간의 특정 부분 공간에서만 성립함을 의미하는 '약한 0'을 나타낸다. 확장된 해밀토니언은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

H^* = V(x, y) + u_1 \phi_1 + u_2 \phi_2 = V(x, y) + u_1 \left(p_x + \tfrac{q B}{2c}y\right) + u_2 \left(p_y - \tfrac{q B}{2c}x\right).



여기서 u_1, u_2는 라그랑주 승수이다.

다음 단계는 구속 조건이 시간에 따라 변하지 않아야 한다는 일관성 조건 \{\phi_j, H^*\}_{PB} \approx 0을 적용하는 것이다. (\{\cdot,\cdot\}_{PB}는 푸아송 괄호)

:

\{\phi_1, H^*\}_{PB} = \{\phi_1, V\}_{PB} + u_1\{\phi_1, \phi_1\}_{PB} + u_2\{\phi_1, \phi_2\}_{PB} = -\frac{\partial V}{\partial x} + u_2 \frac{q B}{c} \approx 0



:

\{\phi_2, H^*\}_{PB} = \{\phi_2, V\}_{PB} + u_1\{\phi_2, \phi_1\}_{PB} + u_2\{\phi_2, \phi_2\}_{PB} = -\frac{\partial V}{\partial y} - u_1 \frac{q B}{c} \approx 0.



이 식들은 새로운 2차 구속 조건을 만드는 대신, 라그랑주 승수 u_1과 u_2를 결정한다.

:

u_1 = -\frac{c}{q B}\frac{\partial V}{\partial y}



:

u_2 = \frac{c}{q B}\frac{\partial V}{\partial x}



모든 라그랑주 승수가 결정되었으므로, 시스템에는 물리적이지 않은 자유도가 없다.

결정된 u_1과 u_2를 사용하여 변수들의 시간 변화율(\dot{f} = \{f, H^*\}_{PB})을 계산하면 다음과 같은 운동 방정식을 얻는다.

:

\dot{x} = \{x, H^*\}_{PB} = \{x, V\}_{PB} + u_1\{x, \phi_1\}_{PB} + u_2\{x, \phi_2\}_{PB} = u_1\{x, p_x\}_{PB} = u_1 = -\frac{c}{q B} \frac{\partial V}{\partial y}



:

\dot{y} = \{y, H^*\}_{PB} = \{y, V\}_{PB} + u_1\{y, \phi_1\}_{PB} + u_2\{y, \phi_2\}_{PB} = u_2\{y, p_y\}_{PB} = u_2 = \frac{c}{q B} \frac{\partial V}{\partial x}



:

\dot{p}_x = \{p_x, H^*\}_{PB} = \{p_x, V\}_{PB} + u_1\{p_x, \phi_1\}_{PB} + u_2\{p_x, \phi_2\}_{PB} = -\frac{\partial V}{\partial x} + u_2 \{p_x, \phi_2\}_{PB} = -\frac{\partial V}{\partial x} + \frac{c}{q B}\frac{\partial V}{\partial x} (-\frac{qB}{2c}) = -\frac{1}{2}\frac{\partial V}{\partial x}



:

\dot{p}_y = \{p_y, H^*\}_{PB} = \{p_y, V\}_{PB} + u_1\{p_y, \phi_1\}_{PB} + u_2\{p_y, \phi_2\}_{PB} = -\frac{\partial V}{\partial y} + u_1 \{p_y, \phi_1\}_{PB} = -\frac{\partial V}{\partial y} -\frac{c}{q B}\frac{\partial V}{\partial y} (\frac{qB}{2c}) = -\frac{1}{2}\frac{\partial V}{\partial y},



이 결과는 라그랑지 운동 방정식과 일치하며 자체적으로 일관성이 있다.

구속 조건 \phi_1과 \phi_2 사이의 푸아송 괄호를 계산하면 다음과 같다.

:

\{\phi_1, \phi_2\}_{PB} = \{p_x + \tfrac{q B}{2c} y, p_y - \tfrac{q B}{2 c} x\}_{PB} = \{p_x, -\tfrac{q B}{2 c} x\}_{PB} + \{\tfrac{q B}{2c} y, p_y\}_{PB} = \frac{qB}{2c} + \frac{qB}{2c} = \frac{q B}{c},



이는 0이 아니므로, \phi_1과 \phi_2는 2종 구속이다. 구속 행렬 M_{ab} = \{\phi_a, \phi_b\}_{PB}는 다음과 같다.

:

M = \begin{pmatrix} \{\phi_1, \phi_1\}_{PB} & \{\phi_1, \phi_2\}_{PB} \\ \{\phi_2, \phi_1\}_{PB} & \{\phi_2, \phi_2\}_{PB} \end{pmatrix} = \frac{q B}{c}

\begin{pmatrix}

0 & 1\\

  • 1 & 0

\end{pmatrix},



이 행렬의 역행렬은 다음과 같다.

:

M^{-1} = \frac{c}{q B}

\begin{pmatrix}

0 & -1\\

1 & 0

\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad M^{-1}_{ab} = -\frac{c}{q B} \varepsilon_{ab},



여기서 \varepsilon_{ab}는 2차원 레비-치비타 기호이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같이 정의된다.

:

\{f, g\}_{DB} = \{f, g\}_{PB} - \{f, \phi_a\}_{PB} M^{-1}_{ab} \{\phi_b, g\}_{PB} = \{f, g\}_{PB} + \frac{c\varepsilon_{ab}}{q B} \{f, \phi_a\}_{PB}\{\phi_b, g\}_{PB}.



디랙 괄호를 사용하면, 구속 조건을 강하게 0(\phi_a = 0)으로 취급할 수 있으므로 계산 순서에 대한 모호함 없이 단순 해밀토니언 H = V(x, y)를 사용하여 올바른 운동 방정식을 얻을 수 있다.

시스템을 양자화하기 위해 위상 공간 변수들 간의 디랙 괄호를 계산한다. 원본 소스에 따르면 0이 아닌 디랙 괄호는 다음과 같다.

:

\{x, y\}_{DB} = -\frac{c}{q B}



:

\{x, p_x\}_{DB} = \{y, p_y\}_{DB} = \tfrac{1}{2}



:

\{p_x, p_y\}_{DB} = - \frac{q B}{4c}.



다른 교차 항들은 0이다.

정준 양자화(\{A, B\}_{DB} \to \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}])를 통해 다음과 같은 교환 관계를 얻는다.

:

[\hat{x}, \hat{y}] = i\hbar \{x, y\}_{DB} = -i\frac{\hbar c}{q B}



:

[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar \{x, p_x\}_{DB} = i\frac{\hbar}{2}



:

[\hat{y}, \hat{p}_y] = i\hbar \{y, p_y\}_{DB} = i\frac{\hbar}{2}



:

[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = i\hbar \{p_x, p_y\}_{DB} = -i\frac{\hbar q B}{4c}~.



다른 교차 항들은 0이다. 특히 [\hat{x}, \hat{y}] \neq 0 이라는 사실은 위치 연산자 \hat{x}와 \hat{y}가 서로 교환하지 않음을 의미하며, 이는 이 시스템이 비가환 기하학으로 기술됨을 보여준다. 이는 x 위치와 y 위치를 동시에 정확하게 측정할 수 없다는 불확정성 원리를 내포한다.

5. 2. 부분다양체에 구속된 입자

리만 다양체 (M,g) 위에 존재하는 질량 m의 입자가 위치 에너지 V(x)의 영향을 받고, 동시에 어떤 함수 C\colon M\to\mathbb R의 영집합, 즉 부분다양체 C^{-1}(0)\subset M에 구속되어 움직이는 상황을 고려해 보자.[13] 이 경우, 임의의 위치 x\in M에서 입자의 해밀토니언은 다음과 같이 표현된다.

:H=\frac1{2m}g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu+V(x)

여기서 p_\mu는 입자의 운동량이고, g^{\mu\nu}는 리만 다양체의 계량 텐서이다.

입자는 부분다양체 위에 구속되어 있으므로, 다음과 같은 두 가지 구속 조건을 만족해야 한다.

:\phi^1=C(x)=0

:\phi^2=g^{\mu\nu}p_\mu\partial_\nu C(x)=0

첫 번째 조건 \phi^1=0은 입자가 항상 부분다양체 C^{-1}(0) 위에 있어야 함을 의미한다. 두 번째 조건 \phi^2=0은 입자의 운동량 벡터 p가 부분다양체의 접공간에 수직인 방향, 즉 \nabla C 방향 성분을 가지지 않아야 함을 의미한다. 이는 입자의 속도가 항상 부분다양체에 접해야 한다는 물리적 조건과 같다.

이 두 구속 조건 사이의 푸아송 괄호를 계산하면 다음과 같다.

:\{\phi^1,\phi^2\}=g^{\mu\nu}\partial_\mu C\partial_\nu C=(\partial C)^2

만약 부분다양체 C^{-1}(0) 위에서 \partial C\ne0이라면, 이 푸아송 괄호는 0이 아니게 된다. 이 경우, \phi^1과 \phi^2는 모두 2종 구속 조건이 된다. 참고로, \partial C\ne0 조건은 음함수 정리에 의해 C^{-1}(0)이 매끄러운 부분다양체를 형성할 조건이기도 하다.

2종 구속 조건이 존재할 때, 시스템의 동역학을 올바르게 기술하기 위해 디랙 괄호를 도입한다. 디랙 괄호는 다음과 같이 정의된다.

:\{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+(\partial C)^{-2}\{f,\phi^i\}\epsilon_{ij}\{\phi^j,g\}

여기서 \{f,g\}는 일반적인 푸아송 괄호이고, \epsilon_{ij}는 \epsilon_{12} = 1, \epsilon_{21} = -1, \epsilon_{11} = \epsilon_{22} = 0인 반대칭 행렬이다.

이 디랙 괄호를 이용하여 위치 좌표 x^\mu와 운동량 좌표 p_\nu 사이의 관계를 계산하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:\{x^\mu,x^\nu\}_{\text{D}}=0

:\{x^\mu,p_\nu\}_{\text{D}}=\delta^\mu_\nu-(\partial C)^{-2}\partial^\mu C\partial_\nu C

:\{p_\mu,p_\nu\}_{\text{D}}=(\partial C)^{-2}p^\rho\left((\nabla_\rho\partial_\mu C)(\partial_\nu C)-(\partial_\mu C)(\nabla_\rho\partial_\nu C)\right)

여기서 \delta^\mu_\nu는 크로네커 델타이고, \nabla는 공변 미분이다. 이 결과는 구속 조건으로 인해 위치와 운동량 사이의 표준적인 푸아송 괄호 관계가 어떻게 수정되는지를 보여준다.

구체적인 예로, n차원 초구 S^n 위에 구속된 자유 입자의 운동을 생각해 보자. 이 경우, n+1개의 데카르트 좌표 x_i는 구속 조건 x_i x^i = 1을 만족해야 한다. 또한, 운동량 p_i는 구속 조건으로부터 유도되는 x_i p^i = 0 조건을 만족해야 한다. 이 시스템에 대한 디랙 괄호는 다음과 같이 계산된다.[8]

:\{x_i, x_j\}_{DB} = 0,

:\{x_i, p_j\}_{DB} = \delta_{ij} -x_i x_j ,

:\{p_i, p_j\}_{DB} = x_j p_i - x_i p_j .

2n+1개의 제약된 위상 공간 변수 (x_i, p_i)는 디랙 괄호를 따르는데, 이는 변수 중 일부를 제거하여 2n개의 비제약 변수로 만들고 일반적인 푸아송 괄호를 사용하는 것보다 더 간단하고 명료한 구조를 제공한다. 즉, 디랙 괄호는 더 많은 변수를 사용하는 대신 계산의 단순성과 표현의 우아함을 얻게 해준다.

예를 들어, 1차원 원(n=1) 위의 자유 운동을 살펴보자. 구속 조건에서 x_2를 소거하고 x_1 \equiv z라고 두면, 비제약 시스템의 라그랑지언은 다음과 같다.

:L=\frac{1}{2} \frac {{\dot z}^2}{1-z^2}

이 라그랑지언으로부터 얻어지는 운동 방정식은 다음과 같다.

:{\ddot z} =-z \frac {{\dot z}^2}{1-z^2} =-z 2E (여기서 E는 입자의 에너지)

이 방정식은 변수 z의 진동 운동을 나타낸다.

반면에, 디랙 괄호를 사용하는 제약 시스템에서는 해밀토니언 H = p^2/2 = E와 위에서 계산된 디랙 괄호를 이용하여 운동 방정식을 다음과 같이 직접 얻을 수 있다.

:{\dot x}^i =\{x^i,H\}_{DB} = p^i

:{\dot p}^i =\{p^i,H\}_{DB} = - x^i p^2 = -x^i 2E

두 번째 식을 한 번 더 미분하고 첫 번째 식을 대입하면, {\ddot x}^i = {\dot p}^i = - x^i 2E라는 결과를 즉시 얻을 수 있다. 이는 두 좌표 변수 x^i가 모두 동일한 진동 운동을 함을 보여주며, 디랙 괄호를 사용함으로써 시스템의 동역학을 더 직관적으로 파악할 수 있음을 보여준다.

5. 3. 초구 위의 자유 운동

마찬가지로, 초구 S^n 위의 자유 운동에 대해, n + 1개의 좌표는 제약 조건 x_i x^i = 1을 갖는다. 일반적인 운동학적 라그랑지안으로부터, 그들의 운동량이 이에 수직하다는 것을 알 수 있는데, x_i p^i = 0이다. 따라서, 해당 디랙 괄호는 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있다.[8]

:\{x_i, x_j\}_{DB} = 0,

:\{x_i, p_j\}_{DB} = \delta_{ij} -x_i x_j ,

:\{p_i, p_j\}_{DB} = x_j p_i - x_i p_j ~.

2n + 1개의 제약된 위상 공간 변수 (x_i, p_i)는 두 개의 제약 조건(처음부터 ''x'' 중 하나와 ''p'' 중 하나를 제거한 경우)을 통해 일반적인 푸아송 괄호를 따르는 2n개의 비제약 변수보다 훨씬 "더 간단한 디랙 괄호"를 따른다. 디랙 괄호는 과도한 (제약된) 위상 공간 변수의 대가로 단순함과 우아함을 더한다.

예를 들어, 원 위의 자유 운동, 즉 n = 1의 경우, x_1 \equiv z에 대해 원 제약 조건에서 x_2를 제거하면 비제약된

:L=\frac{1}{2} \frac {{\dot z}^2}{1-z^2} ~,

과 같은 라그랑지안을 얻으며, 운동 방정식은

:{\ddot z} =-z \frac {{\dot z}^2}{1-z^2} =-z 2E ~,

로 진동을 나타낸다. 반면에 H = p^2/2 = E인 등가 제약 시스템은 해밀토니안 H와 디랙 괄호를 사용하여

:{\dot x}^i =\{x^i,H\}_{DB} = p^i~,

:{\dot p}^i =\{p^i,H\}_{DB} = - x^i ~ p^2~,

를 얻고, 따라서, 즉시, 사실상 관찰에 의해, 두 변수의 진동을 얻는다.

:{\ddot x}^i = - x^i 2E ~.

참조

[1] 논문 Generalized Hamiltonian dynamics
[2] 서적 Lectures on quantum mechanics https://books.google[...] Belfer Graduate School of Science, New York
[3] 서적 Quantization of Gauge Systems Princeton University Press
[4] 논문 Self-dual Chern-Simons solitons and two-dimensional nonlinear equations
[5] 문서
[6] 서적 The Quantum Theory of Fields Cambridge University Press
[7] 문서
[8] 논문 Non-local charges for the supersymmetric σ-model
[9] 논문
[10] 서적
[11] 논문
[12] 논문
[13] 논문


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