야코비 항등식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 교환자 형식
- 2.2. 수반 형식
3. 성질
4. 예제
5. 관련 항등식
6. 역사
참조

1. 개요

야코비 항등식은 두 개의 이항 연산과 항등원을 갖는 수학적 구조에서 성립하는 항등식으로, 특히 리 대수, 벡터곱, 푸아송 괄호 등에서 중요한 역할을 한다. 이 항등식은 교환자, 수반 연산자, 미분 등 다양한 형태로 표현될 수 있으며, 반대칭성 및 결합성의 수정과 관련된다. 야코비 항등식은 카를 구스타프 야코프 야코비의 이름을 따서 명명되었으며, 홀-비트 항등식과 같은 관련 항등식이 존재한다.

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야코비 항등식
개요
종류	이항 연산
분야	추상대수학
정의	임의의 원소 x, y, z에 대해 x(yz) = (xy)z + y(xz) + z(xy)가 성립함
관련 정보
관련 개념	리 대수, 푸아송 대수, 조작 대수

2. 정의

이항 연산 + 와 × 를 가진 집합에서, + 에 대한 항등원이 0 일 때, '''야코비 항등식'''은 다음과 같다.

: $x \times (y \times z) \ +\ y \times (z \times x) \ +\ z \times (x \times y)\ =\ 0.$

이 항등식의 왼쪽에 있는 변수들의 패턴을 보면, $a \times (b \times c)$ 형태의 각 식에서, 변수 $x$ , $y$ , $z$ 는 순환 순열 $x \mapsto y \mapsto z \mapsto x$ 에 따라 순열된다. 즉, 순서쌍 $(x,y,z)$ , $(y,z,x)$ , $(z,x,y)$ 는 순서쌍 $(x,y,z)$ 의 짝순열이다.

어떤 집합 S 에 이항 연산 * 와 가환이며 단위 원 0 을 갖는 이항 연산 + 가 정의되어 있고, 이 (S, +, *) 에 대해,

: $a*(b*c) + b*(c*a) + c*(a*b) = 0\quad \forall{a,b,c}\in S.$

가 성립할 때, (S, +, *) 는 야코비 항등식을 만족한다고 한다.

S 가 + 에 의해 가법군의 구조를 가지며, 꼬임원을 갖지 않을 때, S 의 원소는 * 에 관해 멱영이다. 야코비 항등식에서 a = b = c 로 놓으면 이 사실을 쉽게 확인할 수 있다.

다음은 야코비 항등식을 만족하는 예시이다.

벡터곱 $\times$ 은 야코비 항등식을 만족한다.
임의의 환 $(R, +, \cdot)$ 에 대해서 $a*b = a \cdot b - b \cdot a$ 로 정의하면, 이 연산자는 야코비 항등식을 만족한다.
리 대수의 이항연산자는 야코비 항등식을 항상 만족한다.

2. 1. 교환자 형식

리 대수에서 야코비 항등식은 교환자를 사용하여 표현할 수 있다. 교환자는

[X,Y]=XY-YX

(여기서 XY는 행렬 곱셈)로 정의되며, 행렬 곱셈에서 교환 법칙이 성립하지 않는 정도를 나타낸다.^[3] 야코비 항등식은 다음과 같이 표현된다.

:

[X, [Y, Z] ] + [Y, [Z, X] ] + [Z, [X, Y] ] = 0

이는 계산을 통해 쉽게 확인할 수 있다.^[3]

반대칭성 속성

[X,Y]=-[Y,X]

를 사용하면, 야코비 항등식은 결합성의 변형으로 다시 쓸 수 있다.

:

X, Y], Z] = [X, [Y, Z - [Y, [X, Z]]

만약

[X,Z]

가 무한소 운동 '''X'''가 '''Z'''에 작용하는 것이라면, 위 식은 다음과 같이 설명할 수 있다.

2. 2. 수반 형식

수반 연산자

\operatorname{ad}_x: y \mapsto [x,y]

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\operatorname{ad}_x[y,z]=[\operatorname{ad}_xy,z]+[y,\operatorname{ad}_xz].

이는 리 대수에서 한 원소의 작용이 미분임을 나타낸다. 이 형태는 라이프니츠 대수를 정의하는 데 사용된다.

3. 성질

$S$ 가 $+$ 에 의해 가법군의 구조를 가지며, 꼬임원을 갖지 않을 때, $S$ 의 원소는 $*$ 에 관해 멱영이다. 실제로 위의 항등식에서 ''a'' = ''b'' = ''c''로 놓으면 이 식이 성립함을 알 수 있다.

4. 예제

벡터곱은 야코비 항등식을 만족한다.
임의의 환에서 $a*b = a \cdot b - b \cdot a$ 로 정의하면, 이 연산자는 야코비 항등식을 만족한다.
리 대수의 이항연산자는 야코비 항등식을 항상 만족한다.
해석역학에서 푸아송 괄호는 야코비 항등식을 만족한다.^[1]
양자역학에서의 교환자는 야코비 항등식을 만족한다.

4. 1. 벡터곱

벡터곱(외적)은 야코비 항등식을 만족한다. 3차원 벡터 공간에서 벡터곱은 야코비 항등식을 만족하며, 그 식은 다음과 같다.

:

\boldsymbol a\times(\boldsymbol b\times \boldsymbol c) + \boldsymbol b\times(\boldsymbol c\times \boldsymbol a) + \boldsymbol c\times(\boldsymbol a\times \boldsymbol b) = \boldsymbol 0

4. 2. 리 대수

리 대수에서의 곱셈 연산인 괄호곱은 야코비 항등식을 만족한다.^[3]

:

괄호곱을 수반 작용으로 생각하면, 환에서의 미분에서의 라이프니츠 규칙으로 볼 수 있다. 즉,: \mathrm{ad}_X(Y)=[X,Y]

로 나타내면, 야코비 항등식은

:

\mathrm{ad}_Z([X,Y])=[\mathrm{ad}_Z(X),Y]+[X,\mathrm{ad}_Z(Y)]

이며, 라이프니츠 규칙으로 해석할 수 있다.^[3]

리 대수의 가장 간단하고 유익한 예는

n\times n

행렬의 (결합) 링에서 구성되며, 이는 ''n''차원 벡터 공간의 무한소 운동으로 생각할 수 있다. × 연산은 교환자이며, 행렬 곱셈에서 교환 법칙이 성립하지 않음을 측정한다.

X\times Y

대신, 리 괄호 표기법이 사용된다.^[3]

:

[X,Y]=XY-YX.

이 표기법에서 야코비 항등식은 다음과 같다.

:

[X, [Y, Z] ] + [Y, [Z, X] ] + [Z, [X, Y] ] \ =\  0

이는 계산을 통해 쉽게 확인할 수 있다.^[3]

만약 ''A''가 결합 대수이고, ''V''가 괄호 연산에 닫혀 있는 ''A''의 부분 공간이라면, 즉 모든

X,Y\in V

에 대해

[X,Y]=XY-YX

가 ''V''에 속한다면, 야코비 항등식은 ''V''에서도 계속 성립한다.^[3] 따라서, 이진 연산

[X,Y]

가 야코비 항등식을 만족한다면, 실제로 그 방식으로 정의되지 않더라도 어떤 결합 대수에서

XY-YX

로 주어지는 것처럼 동작한다고 말할 수 있다.^[3]

반대칭성 속성

[X,Y]=-[Y,X]

를 사용하여 야코비 항등식은 결합성 속성의 수정으로 다시 작성할 수 있다.

:

X, Y], Z] = [X, [Y, Z - [Y, [X, Z]]~.

만약

[X,Z]

가 무한소 운동 ''X''가 ''Z''에 작용하는 것이라면, 다음과 같이 말할 수 있다.

리 대수에 대한 야코비 항등식은 대수 내의 임의의 원소의 작용이 미분임을 나타낸다. 야코비 항등식의 이러한 형태는 라이프니츠 대수의 개념을 정의하는 데에도 사용된다.^[3]

또 다른 재배열은 야코비 항등식이 수반 표현의 연산자 간의 다음 항등식과 동등함을 보여준다.

:

\operatorname{ad}_{[x,y]}=[\operatorname{ad}_x,\operatorname{ad}_y].

여기서, 왼쪽의 괄호는 원래 대수의 연산이고, 오른쪽의 괄호는 연산자 합성의 교환자이며, 항등식은 각 원소를 수반 작용으로 보내는

\mathrm{ad}

맵이 리 대수 준동형사상임을 나타낸다.^[3]

4. 3. 푸아송 괄호

해석역학에서 푸아송 괄호는 야코비 항등식을 만족한다.^[1]

:

\{ \{ f, g \}, h \}+\{ \{ h, f \}, g \}+\{ \{ g, h \},f\}=0

4. 4. 교환 관계

양자역학에서의 교환자는 야코비 항등식을 만족한다.

:

5. 관련 항등식

홀-비트 항등식은 군에서 교환자 연산에 대한 유사한 항등식이다.^[4]반가환성과 야코비 항등식으로부터 유도되는, 임의의 리 대수에서 성립하는 항등식은 다음과 같다.:

[x,[y,[z,w]]] + [y,[x,[w,z]]] + [z,[w,[x,y]]] + [w,[z,[y,x]]] = 0.

야코비 항등식은 리 괄호가 곱셈과 미분 역할을 모두 하는 곱 규칙과 동일하다.

:

[X,[Y,Z]] = X,Y], Z] + [Y, [X,Z

만약

X, Y

가 벡터장이면

[X,Y]

는 실제로

Y

에 작용하는 미분 연산자, 즉 리 미분

\mathcal{L}_X Y

이다.

6. 역사

야코비 항등식은 독일의 수학자 카를 구스타프 야코프 야코비의 이름을 따서 지어졌다. 야코비는 19세기 해석역학 및 미분방정식 연구에 중요한 기여를 하였다.

참조

_[1] 서적 C. G. J. Jacobi (1862), §26, Theorem V.
_[2] 서적 T. Hawkins (1991)
_[3] 서적 Hall (2015) Example 3.3
_[4] 논문 Higher Jacobi Identities 2016-04-18
_[5] 서적 C. G. J. Jacobi (1862), § 26, Theorem V.
_[6] 서적 T. Hawkins (2009)

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